俯视图
侧视图正视图
1111
2
P
A
B
O
F
E
D1 C1
A1
B1
A B
C
DP
A D
B C
x
y
F
D
俯视图
侧视图正视图
1111
2
P
A
B
O
F
E
D1 C1
A1
B1
A B
C
DP
A D
B C
x
y
F
D
1907 返校考数学试卷
选择题部分 (共 40 分)
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.双曲线 的离心率是
A. B. C. D.
3.函数 是奇函数的充要条件是
A. B. C. D.
[来源:学§科§网]
4.已知 ， 是两个不同的平面，直线 满足 ，则“ ”是“ ”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，
则该几何体的侧面积为
A. B.
C. D.
6.设 ， ，且满足 ，则 的取值范围是
A. B. C. D.
7.已知定义在 的函数 满足 为奇函数，且 关于直线 对称，则下列 式子一
定正确的是
A. B.
C. D.
8.如图，在正方体 中， 为线段 上的一个动点，
{ }1 0A x x x= ≤ − ≥或 { }1 2B x x= − < ≤ A B =
{ }0 2x x≤ ≤ { }2x x ≤ { }0x x ≥ R
2 2
136 64
x y− =
5
4
7
3
5
3
4
5
( )f x x x a b= + +
1ab = 0a b+ = a b= 2 2 0a b+ =
α β m m α⊂ m β⊥ α β⊥
392 2
+ 2 2 2+
2 2 2 3+ 6
α β [ , ]2 2
π π∈ − sin cos sin cos 1α β β α+ = sin sinα β+
[ 2, 2]− [ 1, 2]− [0, 2] [1, 2]
R ( )f x (2 )f x− ( 3)f x + 1x =
( 2) ( )f x f x− = ( 2) ( 6)f x f x− = +
( 2) ( 2) 1f x f x− ⋅ + = ( 1) ( ) 0f x f x+ + − =
1 1 1 1ABCD A B C D− E 1AA为线段 上的一个动点，则平面 与底面 所成的锐二面角
的平面角余弦值的取值范围是
A. B. C. D.
9.已知向量 ， 满足 ，当 ， 的夹角最大时，则
A. B. C. D.
10.已知 ， ， 为整数，集合 中的数从小到大排列，组成数列
， 如 ， ，
[来源:Z+xx+k.Com]
A. B. C. D.
非选择题部分（共 110 分）
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。
11. 成书于公元一世纪的我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问
题
题目是：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适马岸齐，问水深，葭长各几
何？”
题意是：有一正方形池塘，边长为一丈（10 尺），有棵芦苇长在它正中央，高出水面部分有 1
尺
长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸 沿（池塘一边的中点），则水深为 尺，芦苇长
尺.
12. 已知实数 ， 满足 ，则 的最小值是 .
13. 在 中，角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，若 , ， ，则
；
.
14. 在 中， , ,则 的取值范围是 ； 的取值范围是 .
15. 已知等比数列 满足首项 ，公比 ，用 表示该数列的前 项之积，则 取
F 1 1B C EFB ABCD
2[0, ]2
3 2[ , ]2 2
3[0, ]3
5[0, ]5
a b 2, 2a a b a b= ⋅ = − a b a b⋅ =
0 2 2 2 4
r s t { }| 2 2 2 , 0r s tA a a r s t= = + + ≤ < <
{ }na 1 7a = 2 11a = 121a =
515 896 1027 1792
x y
3 4 0
3 4 0
0
x y
x y
y
+ − ≥
+ − ≤
≥
4z x y= +
ABC∆ A B C a b c 6C
π= 1b = 2 cosc a B=
a =
cos A =
ABC∆ 2A B= 1BC = AC BA BC⋅
{ }na 1 2018a = 1
2q = − n
∏ n n
∏俯视图
侧视图正视图
1111
2
P
A
B
O
F
E
D1 C1
A1
B1
A B
C
DP
A D
B C
x
y
F
D
到
最大值时， 的值为 .
16. 已知函数 在区间 上的最大值是 ，则实数 的取值范围是 .
17.已知抛物线 和点 ，若过某点 可作抛物线的两条切线，切点分别是 ， ，且满足
,则 的面积为 .
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18. 已知函数 .
（Ⅰ）求 的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，求 在区间 上
的值域.
19. 已知四棱锥 的底面 为梯形， ，且 , .
, .
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
n
4( )f x a x ax
= − + + [1,4] 5 a
2y x= (0,1)P C A B
1 2
3 3CP CA CB= + ABC∆
2( ) 2sin ( ) 3 cos24f x x x
π= − +
( )f x
( )f x 6
π
( )g x ( )g x [ , ]4 4
π π−
P ABCD− ABCD BC AD∥ 1AB BC CD= = = 2AD =
13
2PB = 3PA PC= =
AC BP⊥
AD APC俯视图
侧视图正视图
1111
2
P
A
B
O
F
E
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A1
B1
A B
C
DP
A D
B C
x
y
F
D
20. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， 是 和 的等差中项.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 ，求数列 前 项和 .
21. 在平面直角坐标系 中，点 时椭圆 的一个焦点，点 时椭圆上的一
个动点，且 .
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点 作直线交椭 圆 于 两点，求 面积的最大值.
22. 定义函数
（Ⅰ）如果 的图象关于 对称，求 的值；
（Ⅱ）若 ，记 得最大值为 ，当 ， 变化时，求 的最小值.
{ }na n nS 1 3 30a a+ = 22S 13S 3S
{ }na
{ }nb 31 log n
n
n
a
b a
+
= { }nb n nT
xOy F
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > D
[1,3]FD ∈
( 4,0)P − C ,A B ABC∆
2 2( ) (1 )( ).f x x x bx c= − + +
( )f x 2x = 2b c+
[ 1,1]x∈ − ( )f x ( , )M a b b c ( , )M a b1907 返校考部分小题解析
1.（1907 返校考 T8）如图，在正方体 中， 为线段 上的一个动点，
为线段 上的一个动点，则平面 与底面 所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围
是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
方法一：定性分析
显然，当点 与点 重合，锐二面角的平面角可取到最大值 ；
固定点 ，则点 越靠近 ，其二面角的平面角越小，
固定点 ，则点 越靠近 ，其二面角的平面角越小，
故当点 位于 ，点 位于 时，其二面角的平面角最小，易求得为 .
综上可知，平面 与底面 所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是 .
方法二：建系
如图所示，建立直角坐标系， ， ， ， ，
， ， ， ，
底面 的一个法向量为 ，
1 1 1 1ABCD A B C D− E 1AA
F 1 1B C EFB ABCD
2[0, ]2
3 2[ , ]3 2
3[0, ]3
5[0, ]5
F 1B 2
π
E F 1C
F E 1A
E 1A F 1C 4
π
EFB ABCD 2[0, ]2
(0,0,0)B (1,0,0)A (0,1,0)C (1,1,0)D
(1,0, )E m (0, ,1)F n (1,0, )BE m= (0, ,1)BF n=
ABCD (0,0,1)设平面 的一个法向量为 ，则 ，
不妨取 ，则 ，
从而 .
2.（1907 返校考 T9）已知向量 ， 满足 ， ，当 ， 的夹角最大时，
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
方法一：几何角度
如右图所示，令 ， ，
则 ， ， ，
从而 ，得 ，
显然 ，故 ，即 ，
从而，取 ， ，即 ，可得 .
方法二：代数角度
将 两边平方，得 ，
EFB ( , , )x y z 0
0
x mz
ny z
+ =
+ =
( ,1, )mn n−
2 2 2
2
2
1 2cos( ) [ ,0]211 1
n
m n n m n
π θ − −− = = ∈ −
+ + + +
2cos [0, ]2
θ ∈
a b 2a = 2a b a b⋅ = − a b
a b⋅ =
0 2 2 2 4
AB x= AOB θ∠ =
cos
xOB θ= OH x= 2AH x= −
2 2 2 2OB OH AB AH− = −
2
2
2
2
1 1cos 1 14 4 24( ) 22
x
x x
x
θ = = ≥+ − − − +
cos 0θ > 2cos 2
θ ≥ (0, ]4
πθ ∈
4
πθ = 2x = 2 2OB = 4a b⋅ =
2a b a b⋅ = − 22(cos 1) 4cos 4 0b bθ θ− + − = 因为 ，常数项 ，故只需 ，解得 ，
从而，取 ， ，可得 .
方法三：建系角度
不妨设 ， ，
则由 可得 的终点 的轨迹方程为 ，
由图象可知，当直线 和轨迹 相切时 最大，
从而，设 ，与 联立得 ，
令 ，即得 ， ，故 .
3.（1907 返校考 T10）已知 ， ， 为整数，集合 中
的数从小到大排列，组成数列 ，如 ， ，
[来源:Z§xx§k.Com]
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
我们知道： ，
那么也就是说：该集合中的两个数比较大小，只要 越大，那么该数一定越大；
若 相同，则进而比较 的大小.
我们又发现，当 时，共有 个，[来源:学,科,网]
显然，第 个是 当 的时候，
显然，第 个是当 ， 的时候，
故第 个数为 .
4.（1907 返校考 T15）已知等比数列 满足首项 ，公比 ，用 表示该
数列前 项之积，则 取到最大值时， 的值为 .
2cos 1 0θ − ≤ 4 0− < 2
2
2cos 0cos 1
32cos 16 0
θ
θ
θ
− ≥ −
∆ = − >
[0, ]4
πθ ∈
4
πθ = 2 2b = 4a b⋅ =
(2,0)a = ( , )b x y=
2a b a b⋅ = − b B 2: 4( 1)C y x= −
OB C ,a b
:OB y kx= 2: 4( 1)C y x= − 2 2 4 4 0k x x− + =
216 16 0k∆ = − = 1k = (2,2)b = 4a b⋅ =
r s t { }| 2 2 2 , 0r s tA a a r s t= = + + ≤ < <
{ }na 1 7a = 2 11a = 121a =
515 896 1027 1792
321 2222 −−− ++> nnnn
z
z y
92 −=z 1203
10 =C
121 10=z
121 0=y 1=z
121 1027222 0110 =++
{ }na 1 2018a = 1
2q = − n
Π
n n
Π n【答案】
【解析】
显然， ，则 ，
当 时， ，故 ；
当 时， ，故 .
又 ， ，而 ， ，
故 的最大值为 ，
而 ，故当 时， 取到最大值.
5.（1907 杭州 二中返校考 T16）已知函数 在区间 上的最大值是 ，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】
不妨把 看作主元，等价于 恒成立，
当 时，即 恒成立，得 ；
当 时，即 ，在区间 上恒成立.
综上可知： .
6.（1907 返校考 T17）已知抛物线 和点 ，若过某点 可作抛物线的两条切线，
切点分别是 ， ，且满足 ，则 的面积为 .
【答案】
【解析】
12
( 1)
212018 ( )2
n
n
n
n−
= ⋅ −Π 1 2018
2
n
n
n
+ =Π
Π
10n ≤ 1 1n
n
+Π
Π > 11 10 1
Π>Π > > Π
11n ≥ 1 1n
n
+Π
Π < 11 12 13
Π Π Π> > >
11 0Π < 10 0Π < 12 0Π > 9 0Π >
n
Π { }9 12max ,Π Π
312 30
9
12018 ( ) 12
Π = × >Π 12n = n
Π
4( )f x a x ax
= − + + [1,4] 5 a
1a ≤
a 4 5a a xx
− + + ≤
4a x
≥ 42 5a xx
≤ − + 1a ≤
4a x
< 4 5x x
+ ≤ [1,4]
1a ≤
2y x= (0,1)P C
A B 1 2
3 3CP CA CB= + ABC
27 216由 可知点 在线段 上，且 ，
如图所示，设 的直线方程为 ，
与抛物线 联立得 ，得 ，
又 ，故 ， ，
即 ， ，得 的直线方程为 ，
设点 的坐标为 ，我 们可知 的直 线方程为 ，
从而可得点 的坐标为 .
故
1 2
3 3CP CA CB= + P AB 2PA PB=
AB 1y kx= +
2y x= 2 1 0x kx− − = 1A Bx x = −
2A Bx x= − 2Ax = − 2
2Bx =
( 2,2)A − 2 1( , )2 2B AB 2 12y x= − +
C ( , )c cx y AB 2c cy y x x+ =
C 2( , 1)4
− −
1
1 271 22 161
A A
ABC B B
C C
x y
S x y
x y
= =
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