2020届江苏省、中华中学高三下学期联合调研数学试题（解析版）

、中华中学 2020 届高三年级第二学期联合调研 数学试题 第一卷 必做题（160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请把答案写在答 题纸的指定位置上） 1.已知集合 ，则 ________________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据交集的定义，即得解. 【详解】集合 根据交集定义， 【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 2.已知复数 ，则复数 的虚部为______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算，化简得 ，进而求得复数的虚部，得到答案. 【详解】由题意，复数 ，所以复数 的虚部为 . 故答案为： . 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的概念，熟练应用复 数的除法运算法则化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3.某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为 1100 人、1000 人、900 人，为了解不同年级学生的 视力情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为 30 的样本，则高三年级应抽取的学生人数为____. 【答案】9 【解析】 { }0 2 , { 1}M x x N x x= < < = > M N = { |1 2}x x< < { }0 2 , { 1}M x x N x x= < < = > { |1 2}M N x x= < ( ) 0f x < ( ) 0x f x⋅ < ( ) 0 0 x f x >  ( ) 0f x > 0 3x< < 3x < − ( ) 0f x < ( ) 0xf x < ( ) 0 0 x f x >    < < < − 0 3x< < 0 3 0, 3 x x x ( )2 9mn n m− = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 29 99 4 4 12mn m n m n m n m n mn mnmn mn − = ⇒ − = ⇒ + = − + = + ≥ 63 2m = − 63 2n = + 2 2 3x y m n+ = + ≥ 2 3 ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 cos cosb C c B= 1 1 1 tan tan tanA B C + + 2 7 3先用正弦定理边化角，得 ，再结合诱导公式和内角和代换 ，进而求得最值 【详解】由正弦定理 可转化为 ，两边同时除以 可 得 ， ， 即 则 ， 当且仅当 时取到等号； 故答案为 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，正弦定理、诱导公式的使用，基本不等式求最值，综合性强，属 于中档题 14.已知函数 ，（其中 e 为自然对数的底数），若关于 x 的方程 恰有 5 个相异的实根，则实数 a 的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】 作出 图象，求出方程的根，分类讨论 的正负，数形结合即可. 【详解】当 时，令 ，解得 ， 所以当 时， ，则 单调递增，当 时， ，则 单调递减， 当 时， 单调递减，且 ， 作出函数 的图象如图： 2tan tanB C= tan A 2 cos cosb C c B= 2sin cos sin cosB C C B= cos cosB C 2tan tanB C= ( ) ( ) ( )tan tan tanA B C π A π B C A π B C B C + + = ⇒ = − + ⇒ = − + = − +  ( ) 2 tan tan 3tantan tan 1 tan tan 1 2tan B C BA B C B C B += − + = − = −− − 21 1 1 2tan 1 1 1 2 7 2 7= tantan tan tan 3tan tan 2tan 3 6tan 3 B BA B C B B B B −+ + + + = + ≥ 7tan 2B = 2 7 3 ( ) , 2 4 8 , 25 x ex xef x x xx  ≤=  − > ( ) ( )2 23 2 0f x a f x a− + = 2 4 1, 5 2e         ( )f x ( )f x 2x ( ) 1 0x ef x e ′ = − = 1x = 1x ( ) 0f x′ > ( )f x 1 2x  ( ) 0f x′ < ( )f x 2x > 4 8 4 8( ) 5 5 5 xf x x x −= = − ( ) [0f x ∈ 4)5 ( )f x（1）当 时，方程整理得 ，只有 2 个根，不满足条件； （2）若 ，则当 时，方程整理得 ， 则 ， ，此时各有 1 解， 故当 时，方程整理得 ， 有 1 解同时 有 2 解，即需 ， ，因为 （2） ，故此时满足题 意； 或 有 2 解同时 有 1 解，则需 ，由（1）可知不成立； 或 有 3 解同时 有 0 解，根据图象不存在此种情况， 或 有 0 解同时 有 3 解，则 ，解得 ， 故 ， （3）若 ，显然当 时， 和 均无解， 当 时， 和 无解，不符合题意． 综上： 的范围是 ， 故答案为： ， 【点睛】本题主要考查了函数零点与函数图象的关系，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对 这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题． 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内） 0a = 2 ( ) 0f x = 0a > ( ) 0f x < 2 2( ) 3 ( ) 2 [ ( ) 2 ][ ( ) ] 0f x af x a f x a f x a+ + = + + = ( ) 2 0f x a= − < ( ) 0f x a= − < ( ) 0f x > 2 2( ) 3 ( ) 2 [ ( ) 2 ][ ( ) ] 0f x af x a f x a f x a− + = − − = ( ) 2f x a= ( )f x a= 2 1a = 1 2a = f 2 2 2 1 2 e e e = = > ( ) 2f x a= ( )f x a= 0a = ( ) 2f x a= ( )f x a= ( ) 2f x a= ( )f x a= 2 1 2 4 5 a ae > 0，sinB>0，所以 ， 又 ，所以 . （2）由△ABC 的面积为 ，得 ， 又 ，所以 . 在△ABC 中，由余弦定理，得 ， 因为 a=5，所以 ， 所以 ， 所以 ，即△ABC 的周长为 12. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，注意灵活运用定理解题. 16.如图，在直三棱柱 中， ，点 M 为棱 的中点. （1）求证： ∥平面 ； 2 3 3 π cos A 2 3 bc b c+ 1cos 2A = ( )0,πA∈ π 3A = 2 3 1 sin 2 32 bc A = π 3A = 8bc = 2 2 22 cosb c bc A a+ − = 2 2 33b c+ = ( )2 49b c+ = 12a b c+ + = 1 1 1ABC A B C− AC BC= 1 1A B AB 1 1 1A B C（2）求证：平面 平面 . 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）证明 ，利用线面平行判定定理，即可证得结论； （2）证明 ，再利用面面垂直的判定定理，即可证得结论. 【详解】（1）∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， 又 ， ， ∴ . （2）由（1）证明同理可知 ， ， ∵ ， ∴ ， ∵M 是 的中点， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ，又 ， ∴ ，又 ， ∴ . 【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直的判定定理的应用，考查转化与化归思想，考查空间想象 能力，属于基础题. 17.某地区现有一个直角梯形水产养殖区 ABCD，∠ABC=90°，AB∥CD，AB=800m，BC=1600m，CD=4000m， 在点 P 处有一灯塔（如图），且点 P 到 BC，CD 的距离都是 1200m，现拟将养殖区 ACD 分成两块，经过灯 塔 P 增加一道分隔网 EF，在△AEF 内试验养殖一种新的水产品，当△AEF 的面积最小时，对原有水产品养 1C CM ⊥ 1 1 1A B C 1 1/ /AB A B 1 1 1B A C CM⊥ 平面 1 1 1 1/ / =AA BB AA BB， 1 1AA B B 1 1/ /AB A B 1 1AB A B C⊄ 平面 1 1 1 1A B A B C⊂ 平面 1 1 1/ /AB A B C平面 1 1AC AC= 1 1BC B C= AB BC= 1 1 1 1A B B C= 1 1A B 1 1 1C M A B⊥ 1 1 1 1CC A B C⊥ 平面 1 1 1 1 1B A A B C⊂ 平面 1 1 1CC B A⊥ 1 1 1=CC C M C∩ 1 1 1B A C CM⊥ 平面 1 1 1 1 1B A A B C⊂ 平面 1 1 1 1C CM A B C⊥平面 平面殖的影响最小．设 AE=d． （1）若 P 是 EF 的中点，求 d 的值； （2）求对原有水产品养殖的影响最小时的 d 的值，并求△AEF 面积的最小值． 【答案】（1）480 ; （2）对原有水产品养殖的影响最小时，d=480 ．△AEF 面积的最小值为 192000 m2 【解析】 【分析】 （1）建立平面坐标系，求出直线 AD，AC 的方程，根据 P 为 EF 的中点列方程得出 E 点坐标，从而可计算 d； （2）根据基本不等式得出 AE•AF 的最小值，进而求出△AEF 的面积最小值． 【详解】解：（1）以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则 C（800，1600），B（800，0），P（-400，400），D（-3200，1600）． AC 所在直线方程为 y=2x，AD 所在直线方程为 y=- x． 设 E（-2m，m），F（n，2n），m＞0，＞0． ∵P 是 EF 的中点，∴ ，解得 ， ∴E（-960，480）， ∴d=|AE|= =480 ． （2）∵EF 经过点 P，∴kPE=kPF， 5 5 1 2 2 800 2 800 m n m n − + = −  + = 480 160 m n =  = 2 2960 480+ 5即 = ，化简得 80m+240n=mn． 由基本不等式得：mn=80m+240n≥160 ， 即 mn≥76800，当且仅当 m=3n=480 时等号成立． ∵kAC•kAD=-1，∴AC⊥AD， ∴S△AEF= AE•AF= m• n= mn≥ 76800=192000， 此时 E（-960，480），d=AE=480 ． 故对原有水产品养殖的影响最小时，d=480 ．△AEF 面积的最小值为 192000 m2． 【点睛】本题考查了直线方程的应用，基本不等式的应用，属于中档题． 18.如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的右顶点和上顶点分别为 A，B，M 为线 段 的中点，且 . （1）求椭圆的离心率； （2）已知 ，四边形 内接于椭圆， .记直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值. 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）由 ，由 M 为线段 的中点得 ，再根据向量的数量积坐标运算得 ， 结合 ，可求得离心率； （2）根据 ，故可设 的方程为 ，设 ，直线 ， 的斜率 400 2 400 m m − − + 2 400 400 n n − + 3mn 1 2 1 52 ⋅ 5 5 2 5 2 × 5 5 xOy 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > AB 23 2OM AB b⋅ = −  2a = ABCD //AB DC AD BC 1k 2k 1 2k k⋅ 3 2 ( ,0), (0, )A a B b AB ( , )2 2 a bM 2a b= 2 2 2+a b c= //AB CD DC 1 2y x m= − + 1 1 2 2( , ), ( , )D x y C x y AD BC分别用坐标和 表示，再进行计算，即可得答案. 【详解】（1） ，由 M 为线段 的中点得 . 所以 . 因为 ，所以 ， 整理得 ，即 . 因为 ，所以 ，即 . 所以椭圆 离心率 . （2）由 得 ，故椭圆方程为 . 从而 ，直线 的斜率为 . 因为 ，故可设 的方程为 ，设 . 联立 ，消去 y，得 ， 所以 ，从而 . 直线 的斜率 ，直线 的斜率 ， 所以 ， 的 m ( ,0), (0, )A a B b AB ( , )2 2 a bM =( , ) ( , )2 2 a bOM AB a b= − ， 23 2OM AB b⋅ = −  2 2 23( , ) ( , )2 2 2 2 2 a b a ba b b⋅ − = − + = − 2 24a b= 2a b= 2 2 2+a b c= 2 23 4a c= 3 2a c= 3 2 ce a = = 2a = 1b = 2 2 14 x y+ = (2,0), (0,1)A B AB 1- 2 //AB CD DC 1 2y x m= − + 1 1 2 2( , ), ( , )D x y C x y 2 2 1 2 14 y x m x y  = − +  + = 2 22 2 2 0x mx m− + − = 1 2 2x x m+ = 1 22x m x= − AD 1 1 1 1 1 1 2 2 2 x myk x x − + = =− − BC 2 2 2 2 2 1 11 2 x myk x x − + −−= = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 11 ( 1) ( 1)2 2 4 2 2 2 ( 2) x m x m x x m x mx m m k k x x x x − + − + − − − − + − ⋅ = ⋅ =− − 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1( ) ( 1)4 2 2 2 x x m x x x m m x x x − + + + − = − 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 12 (2 ) ( 1) 14 2 2 4 2 2 2 4 x x m m m x m m x x x x x x x x x − ⋅ + − + − − = = =− −即 为定值 . 【点睛】本题考查椭圆的离心率、椭圆中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑 推理能力、运算求解能力. 19.已知函数 ， . （1）若曲线 在 处的切线恰与曲线 相切，求 a 的值； （2）不等式 对一切正实数 x 恒成立，求 a 的取值范围； （3）已知 ，若函数 在 上有且只有一个零点，求 a 的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 或 或 . 【解析】 【分析】 （1）求出切线方程后，再与二次函数联立，利用判别式为 0，即可求得 的值； （2）将问题转化为 对任意的 恒成立，再利用参变分离和构造函数，即可得答案； （3）由题意得 ， ，对 分 和 两 种情况讨论，从而求得 的取值范围. 【详解】（1）因为 ，所以 ，又切点为 ， 因此曲线 在 处的切线为 ， 将 与 联立，消去 y 得： ， 由题意知 ， 解得 . （2）因为 ，所以 ， 即 ， 设 ， 则 ， 当 时， ， 单调递减； 1 2k k⋅ 1 4 2( ) ( 2) 2f x x a x= − + + ( ) ln ,g x x a R= ∈ ( )y g x= 1x = ( )y f x= ( ) ( )f x xg x≥ 2a < ( ) ( ) ag(x) 2ah x f x= + + (0,2) 3 2 3a = − ± 1 ln 2a ≤ − 2 ln 2a ≤ − 1a = − 0 2a< < a 22 lna x xx + ≤ + − 0x > 2( ) ( 2) ln 2 2h x x a x a x a= − + + + + ( 1)(2 )( ) x x ah x x − −′ = a 0a ≤ 0 2a< < a 1( )g x x ′ = (1) 1k g′= = 1,0（ ） ( )y g x= 1x = 1y x= − 1y x= − 2 ( 2) 2y x a x= − + + 2 ( 3) 3 0x a x− + + = 2( 3) 12 0a∆ = + − = 3 2 3a = − ± ( ) ( )f x xg x≥ 2 ( 2) 2 lnx a x x x− + + ≥ 22 lna x xx + ≤ + − 2( ) ln , 0x x x xx ϕ = + − > 2 ( 1)( 2)( ) x xx x ϕ + −′ = (0,2)x∈ ( ) 0xϕ′ ≤ ( )xϕ当 时， ， 单调递增； 因此 ， 所以 ，即 . （3） ， ， ①当 时， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 所以 ， 当 ，即 时， 因为 ， 又 ， 所以 在 上存在唯一的零点， 因此 在 上无零点，所以 即 ，解得 又 ，所以 当 ，即 时， 有唯一的零点 . 当 ，即 时， 恒成立，所以 无零点. ②当 时， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 因为 ，所以当 ， 无零点. 设 ，则 ，于是 ， 又 ， 所以 在 上存在唯一的零点，即 在 上有且只有一个零点， . (2 + )x∈ ∞， ( ) 0xϕ′ > ( )xϕ min( ) (2) 3 ln 2xϕ ϕ= = − 2 3 ln 2a + ≤ − 1 ln 2a ≤ − 2( ) ( ) g( ) 2 ( 2) ln 2 2h x f x a x a x a x a x a= + + = − + + + + ( 1)(2 )( ) x x ah x x − −′ = 0a ≤ (0,1)x∈ ( ) 0h x′ ≤ ( )h x (1 + )x∈ ∞， ( ) 0h x′ > ( )h x min( ) (1) 1h x h a= = + 1 0a + < 1a < − 2 4 2 2 2 2( ) ( 2) 2 ( ) 2(1 e ) 0h e e a e e e a− − − − − −= − + + = − + − > (1) 1 0h a= + < ( )h x (0,1) ( )h x (1,2) (2) 0h ≤ ln 2 2 0a + ≤ 2 ln 2a ≤ − 1a < − 2 ln 2a ≤ − 1 0a + = 1a = − ( )h x 1x = 1 0a + > 1 0a− < ≤ ( ) 0h x > ( )h x 0 2a< < (0, )2 ax∈ ( ) 0h x′ > ( )h x ( ,1)2 ax∈ ( ) 0h x′ < ( )h x (1,+ )x∈ ∞ ( ) 0h x′ > ( )h x (1) 1 0h a= + > ( ,+ )2 ax∈ ∞ ( )h x 2 2 0 a ax e +−= 00 1x< < 0 0 0( ) ( 2) 0h x x x a= − − < ( ) (1) 02 ah h> > ( )h x (0, )2 a ( )h x (0,2)综上可知， 或 或 . 【点睛】本题考查导数的几何意义、不等式恒成立、函数的零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想、 分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 20.已知数列 的各项均为正数，记数列 的前 n 项和为 ，数列 的前 n 项和为 ，且 . （1）求 值； （2）求数列 的通项公式； （3）若 ，且 成等比数列，求 k 和 t 的值. 【答案】（1）1（2） .（3） . 【解析】 【分析】 （1）令 代入递推关系，即可求得 的值； （2）连续两次利用“临差法”，即多递推一项再相减，从而构造出 这一递推关系，再利用等比数 列通项公式，即可得答案； （3）由（2）可知 ，由 成等比数列，可得 ，即 ，再根据等式两边奇、偶数的特点，推理得到 k 和 t 的值. 【详解】（1）由 ，得 ，即 . 因为 ，所以 . （2）因为 ，① 所以 ，② ②－①，得 . 因为 ， 所以 ，③ 所以 ，④ 的 2 ln 2a ≤ − 1a = − 0 2a< < { }na { }na nS { }2 na nT 23 2 ,n n nT S S n N ∗= + ∈ 1a { }na ,k t N ∗∈ 1 1, ,k t kS S S S S− − 12 ,n na n N− ∗= ∈ 2, 3k t= = 1n = 1a 1 2n n a a + = 2 1n nS = − 1 1, ,k t kS S S S S− − 2 1 1( ) ( )k t kS S S S S− = − 2(2 2 2 2)k t k− = − 2 1 1 13 2T S S= + 2 2 1 1 13 2a a a= + 2 1 1 0a a− = 1 0a > 1=1a 23 2n n nT S S= + 2 +1 +1 +13 2n n nT S S= + 2 2 2 2 +1 1 +1 +1 +1 1 +13 2 3 ( ) 2n n n n n n n n na S S a a a S S a+ += − + ⇒ = + + +1 0na > 1 1 23 2n n na S S+ + += + + 2 2 13 2n n na S S+ + += + +④－③，得 ，即 ， 所以当 时， . 又由 ，得 ， 即 . 因为 ，所以 ，所以 ，所以对 ，都有 成立， 所以数列 的通项公式为 . （3）由（2）可知 . 因为 成等比数列， 所以 ，即 ， 所以 ，即 . 由于 ，所以 ，即 . 当 时， ，得 . 当 时，由 ，得 为奇数， 所以 ，即 ，代入(*)得 ，即 ，此时 k 无正整数解. 综上， . 【点睛】本题考查数列递推关系的应用、等比数列中项性质、数列中的推理问题，考查函数与方程思想、 转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 第二卷 附加题（40 分） 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，若多做，则按作答的前两小题评 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. [选修 4－2：矩阵与变换] 21.已知矩阵 的一个特征值 λ=2，其对应的一个特征向量是 .求矩阵 M 的另一个特征值以 及它的逆矩阵. 2 1 2 13 3n n n na a a a+ + + +− = + 2 12n na a+ += 2n ≥ 1 2n n a a + = 2 2 2 23 2T S S= + 2 2 2 2 23(1 ) (1 ) 2(1 )a a a+ = + + + 2 2 22 0a a− = 2 0a > 2 =2a 2 1 2a a = n ∗∈N 1 2n n a a + = { }na 12 ,n na n N− ∗= ∈ 2 1n nS = − 1 1, ,k t kS S S S S− − 2 1 1( ) ( )k t kS S S S S− = − 2(2 2 2 2)k t k− = − 22 (2 ) 3 2 4t k k= − ⋅ + 2 1 2 22 (2 ) 3 2 1( )t k k− − −= − ⋅ + ∗ 1 0kS S− ≠ 1k ≠ 2k ≥ 2k = 2 8t = 3t = 3k ≥ ( )∗ 1 2 1(2 ) 3 2 1k k− −− ⋅ + 2 0t − = 2t = 2 -2 22 3 2 0k k−− ⋅ = 2 3k = 2, 3k t= = 0 0 aM b  =    1 1 α  =   【答案】 ， . 【解析】 【分析】 将特征值于特征向量代入，可得关于 方程，可得 的值，求出矩阵 ,可求出其另一个特征值， 可得其逆矩阵. 【详解】解：由题意，λ＝2 是矩阵 M 的一个特征值，所以 ， 所以 ， 所以 ， 由方程 . 所以 或 ， 所以 M 的另一个特征值－2. 又因为 ， 所以矩阵 M 的逆矩阵为 . 【点睛】本题主要考查矩阵与逆矩阵的相关知识，属于矩阵的特征值与特征向量的相关知识并灵活运用是 解题的关键. [选修 4－4：坐标系与参数方程] 22.在极坐标系中，求曲线 关于直线 对称的曲线的极坐标方程. 【答案】 【解析】 【分析】 将曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，从而求得对称曲线的直角坐标方程，再转化成极坐标方 程. 【详解】以极点为坐标原点，极轴为 x 轴建立直角坐标系， 则曲线 的直角坐标方程为 ，且圆心 C 为 . 2− 10 2 1 02          ba、 ba、 M 2Mα α= 0 1 120 1 1 a b      =           2a b= = 22( ) 4 02f λλ λλ −= = − =− 2λ = 2λ = − 0 2 2 4 0− × = − ≠ 1 10 2 1 02 M −    =      =2cosρ θ ( )4 R πθ ρ= ∈ =2sinρ θ =2cosρ θ 2 2( 1) 1x y− + = (1,0)直线 的直角坐标方程为 ， 因为圆心 C 关于 的对称点为 ， 所以圆心 C 关于 的对称曲线为 . 所以曲线 关于直线 对称的曲线的极坐标方程为 . 【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑 推理能力、运算求解能力. 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤. 23.某班图书角有文学名著类图书 5 本，学科辅导书类图书 3 本，其它类图书 2 本，共 10 本不同的图书，该 班从图书角的 10 本不同图书中随机挑选 3 本不同图书参加学校活动. （1）求选出的三本图书来自于两个不同类别的概率； （2）设随机变量 X 表示选出的 3 本图书中，文学名著类本数与学科辅导类本数差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）见解析， 【解析】 【分析】 （1）选出的三本书共有 种，再利用古典概型概率求解； （2）由题意得 的所有可能取值为 ，再通过概率计算可得： ， ， ， ，从而写出分布列和计算期望值. 【详解】（1）选出的三本书共有 种， 记选出的三本书来自于两个不同类别为事件 则 . （2）由题意得 的所有可能取值为 ， ， ， ， X 的分布列如下： = 4 πθ y x= (1,0) y x= (0 )1， y x= 22 ( 1) 1yx + − = =2cosρ θ = ( )4 R πθ ρ =2sinρ θ 79 120 23( ) 20E X = 3 10 10 9 8 1203 2 1C × ×= =× × X 0,1,2,3 1( 0) 4P X = = 53( 1) 120P X = = 13( 2) 60P X = = 11( 3) 120P X = = 3 10 10 9 8 1203 2 1C × ×= =× × A 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 5 3 5 3 5 2 5 2 3 2 3 2( ) ( ) ( ) 79( ) 120 120 C C C C C C C C C C C CP A + + + + += = X 0,1,2,3 1( 0) 4P X = = 53( 1) 120P X = = 13( 2) 60P X = = 11( 3) 120P X = = ∴X 0 1 2 3 P ∴ . 【点睛】本题考查计数原理和离散型随机变量 分布列和期望，考查逻辑推理能力、数据处理能力. 24.已知 为给定的正整数，设 ， . （1）若 ，求 的值； （2）若 ，求 的值. 【答案】（1） ， .（2） 【解析】 【分析】 （1）利用二项式定理可求出 和 的值； （2）利用组合数公式得出 ，可得出 ，然后利用二项式定理即可求得答案. 【详解】（1）因为 ，所以 ， ； （2）当 时， ， 又因为 ， 当 时， ； 当 时， 的 1 4 53 120 13 60 11 120 23( ) 20E X = n 2 0 1 2 2 3 n n nx a a x a x a x + = + + + +    x∈R 4n = 0 1,a a 1 3x = 0 ( ) n k k k n k a x = −∑ 0 16 81a = 1 32 27a = 2 3 n 0a 1a 1 1 k k n nkC nC − −= ( ) 0 0 1 2 1 2 1 3 3 3 3 n k k n k kn n n k k k k n n k k k n k a x nC nC − − = = =        − = −              ∑ ∑ ∑ 4n = 0 4 0 4 2 16C ( )3 81a = = 1 3 1 4 2 32C ( )3 27a = = 1 3x = 2 1C ( ) ( )3 3 k k n k k k na x −= 1 1 ! ( 1)!C C!( )! ( 1)!( )! k k n n n nk k n nk n k k n k − − −= = =− − − 1n = 0 1 1 0 2 2( ) C ( )3 3 n k k k n k a x = − = =∑ 2n ≥ 0 0 2 1( ) ( )C ( ) ( )3 3 n n k k n k k k n k k n k a x n k − = = − = −∑ ∑ 0 1 2 1 2 1C ( ) ( ) C ( ) ( )3 3 3 3 n n k n k k k n k k n n k k n k− − = = = −∑ ∑ 1 1 1 2 1 2 1( ) C ( ) ( )3 3 3 3 n n k n k k n k n n − − − = = + − ∑，当 时，也符合. 所以 的值为 . 【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，同时也考查了利用二项式定理化简求值，解题的关键就是 二项展开式通项和二项式定理的逆用，考查计算能力，属于中等题. 1 1 1 1 1 2 1C ( ) ( )3 3 3 n k n k k n k n n − − − − = = − ∑ 11 2 1 2( )3 3 3 3 nn n n−= − + = 1n = 0 ( ) n k k k n k a x = −∑ 2 3 n