2020年武汉市九年级数学元月调考训练试卷3(含答案和解释)

第 1 页（共 13 页） 2020 年湖北省武汉市九年级元月调考数学训练试卷（3） 一、选择题 1．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点，∠BAC＝20°， ＝ ，则∠DAC 的度数是（　　） A．30° B．35° C．45° D．70° 2．将抛物线 y＝﹣2x2 向左平移 1 个单位，得到的抛物线是（　　） A．y＝﹣2（x+1）2 B．y＝﹣2（x﹣1）2 C．y＝﹣2x2+1 D．y＝﹣2x2﹣1 3．经过某十字路口的汽车，它可以继续直行，也可以向左转或向右转．如果这三种可能性 大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知一块圆心角为 270°的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不 计），圆锥底面圆的直径是 60cm，则这块扇形铁皮的半径是（　　） A．40cm B．50cm C．60cm D．80cm 二、填空题. 5．（3 分）一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1＝0 的一个根为 0，则 a＝　 　． 6．（3 分）半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为　 　． 7．（3 分）一块矩形菜地的面积是 120m2，如果它的长减少 2m，那么菜地就变成正方形， 则原菜地的长是　 　m． 三、解答题 8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的三个顶点分别是 A（﹣3，2），B（0，4），C （0，2）． （1）将△ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，第 2 页（共 13 页） 若点 A 的对应点 A2 的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2； （2）若将△A1B1C 绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标； （3）在 x 轴上有一点 P，使得 PA+PB 的值最小，请直接写出点 P 的坐标． 9．如图，⊙O 中，直径 CD⊥弦 AB 于 E，AM⊥BC 于 M，交 CD 于 N，连 AD． （1）求证：AD＝AN； （2）若 AB＝4 ，ON＝1，求⊙O 的半径． 10．某公司生产的一种商品其售价是成本的 1.5 倍，当售价降低 5 元时商品的利润率为 25% ．若不进行任何推广年销售量为 1 万件．为了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资 金做推广，根据经验，每年投入的推广费 x 万元时销售量 y（万件）是 x 的二次函数： 当 x 为 1 万元时，y 是 1.5（万件）．当 x 为 2 万元时，y 是 1.8（万件）． （1）求该商品每件的的成本与售价分别是多少元？ （2）求出年利润与年推广费 x 的函数关系式； （3）如果投入的年推广告费为 1 万到 3 万元（包括 1 万和 3 万元），问推广费在什么范 同内，公司获得的年利润随推广费的增大而增大？ 11．如图，直角三角形 ABC 中，∠A＝90°，作∠BCF＝45°交边 AB 于点 F，作∠CFE＝∠ AFC 交边 BC 于点 E，过点 E 作 ED⊥CA 于点 D，ED 交 CF 于点 G， 求证：EF＝EG．第 3 页（共 13 页） 12．平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象经过点 A（2，0）和点 ，直线 l 经过抛物线的顶点且与 y 轴垂直，垂足为 Q．求该二次函数的表达 式．第 4 页（共 13 页） 2020 年湖北省武汉市九年级元月调考数学训练试卷（3） 参考答案与试题解析 一、选择题 1．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点，∠BAC＝20°， ＝ ，则∠DAC 的度数是（　　） A．30° B．35° C．45° D．70° 【分析】由圆周角∠BAC 的度数，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍，得到圆心 角∠BOC 的度数，再根据邻补角定义可得出∠AOC 的度数，再由 ＝ ，根据等弧对 等角，可得∠COD＝∠AOD＝ ∠AOC，进而得到∠COD 的度数，再由∠DAC 与∠COD 所对的弧都为 ，根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，可求出∠DAC 的度数 ． 【解答】解：连接 OC，OD，如图所示： ∵∠BAC 与∠BOC 所对的弧都为 ，∠BAC＝20°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝40°， ∴∠AOC＝140°， 又∵ ＝ ， ∴∠COD＝∠AOD＝ ∠AOC＝70°， ∵∠DAC 与∠DOC 所对的弧都为 ， ∴∠DAC＝ ∠COD＝35°． 故选：B． 【点评】此题考查了圆周角定理，以及弦，弧，圆心角三者的关系，要求学生根据题意， 作出辅助线，建立未知角与已知角的联系，利用同弧（等弧）所对的圆心角等于所对圆 周角的 2 倍来解决问题．第 5 页（共 13 页） 2．将抛物线 y＝﹣2x2 向左平移 1 个单位，得到的抛物线是（　　） A．y＝﹣2（x+1）2 B．y＝﹣2（x﹣1）2 C．y＝﹣2x2+1 D．y＝﹣2x2﹣1 【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由“左加右减”的原则可知，把抛物线 y＝﹣2x2 向左平移 1 个单位，则平 移后的抛物线的表达式为 y＝﹣2（x+1）2， 故选：A． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右 减，上加下减． 3．经过某十字路口的汽车，它可以继续直行，也可以向左转或向右转．如果这三种可能性 大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】列举出所有情况，看两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的情况占总情况 的多少即可． 【解答】解：列表得： 右 （直，右） （左，右） （右，右） 左 （直，左） （左，左） （右，左） 直 （直，直） （左，直） （右，直） 直 左 右 ∴一共有 9 种情况，两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的有一种， ∴两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是 ，故选 A． 【点评】用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 4．如图，已知一块圆心角为 270°的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不 计），圆锥底面圆的直径是 60cm，则这块扇形铁皮的半径是（　　） A．40cm B．50cm C．60cm D．80cm第 6 页（共 13 页） 【分析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇 形的弧长求得铁皮的半径即可． 【解答】解：∵圆锥的底面直径为 60cm， ∴圆锥的底面周长为 60πcm， ∴扇形的弧长为 60πcm， 设扇形的半径为 r， 则 ＝60π， 解得：r＝40cm， 故选：A． 【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面周长，利用圆锥的 底面周长等于扇形的弧长求解． 二、填空题. 5．（3 分）一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1＝0 的一个根为 0，则 a＝　1　． 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到 a+1≠0 且 a2﹣1＝0， 然后解不等式和方程即可得到 a 的值． 【解答】解：∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1＝0 的一个根为 0， ∴a+1≠0 且 a2﹣1＝0， ∴a＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为 2 的整式方程叫一元二次方程，其一般式为 ax2+bx+c＝0（a≠0）．也考查了一元二次方程 的解的定义． 6．（3 分）半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为　 ： ：1　． 【分析】根据题意画出图形，设出圆的半径，再由正多边形及直角三角形的性质求解即 可． 【解答】解：设圆的半径为 R， 如图（一）， 连接 OB，过 O 作 OD⊥BC 于 D， 则∠OBC＝30°，BD＝OB•cos30°＝ R，第 7 页（共 13 页） 故 BC＝2BD＝ R； 如图（二）， 连接 OB、OC，过 O 作 OE⊥BC 于 E， 则△OBE 是等腰直角三角形， 2BE2＝OB2，即 BE＝ ， 故 BC＝ R； 如图（三）， 连接 OA、OB，过 O 作 OG⊥AB， 则△OAB 是等边三角形， 故 AG＝OA•cos60°＝ R，AB＝2AG＝R， 故圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 R： R：R＝ ： ：1． 【点评】本题考查的是圆内接正三角形、正方形及正六边形的性质，根据题意画出图形， 作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键． 7．（3 分）一块矩形菜地的面积是 120m2，如果它的长减少 2m，那么菜地就变成正方形， 则原菜地的长是　12　m． 【分析】根据“如果它的长减少 2m，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽 多 2 米，利用矩形的面积公式列出方程即可． 【解答】解：∵长减少 2m，菜地就变成正方形， ∴设原菜地的长为 x 米，则宽为（x﹣2）米， 根据题意得：x（x﹣2）＝120， 解得：x＝12 或 x＝﹣10（舍去）， 故答案为：12． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系． 三、解答题第 8 页（共 13 页） 8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的三个顶点分别是 A（﹣3，2），B（0，4），C （0，2）． （1）将△ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC， 若点 A 的对应点 A2 的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2； （2）若将△A1B1C 绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标； （3）在 x 轴上有一点 P，使得 PA+PB 的值最小，请直接写出点 P 的坐标． 【分析】（1）延长 AC 到 A1，使得 AC＝A1C，延长 BC 到 B1，使得 BC＝B1C，利用点 A 的对应点 A2 的坐标为（0，﹣4），得出图象平移单位，即可得出△A2B2C2； （2）根据△△A1B1C 绕某一点旋转可以得到△A2B2C2 进而得出，旋转中心即可； （3）根据 B 点关于 x 轴对称点为 A2，连接 AA2，交 x 轴于点 P，再利用相似三角形的性 质求出 P 点坐标即可． 【解答】解：（1）如图所示： （2）如图所示：旋转中心的坐标为：（ ，﹣1）； （3）∵PO∥AC， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴OP＝2， ∴点 P 的坐标为（﹣2，0）．第 9 页（共 13 页） 【点评】此题主要考查了图形的平移与旋转和相似三角形的性质等知识，利用轴对称求 最小值问题是考试重点，同学们应重点掌握． 9．如图，⊙O 中，直径 CD⊥弦 AB 于 E，AM⊥BC 于 M，交 CD 于 N，连 AD． （1）求证：AD＝AN； （2）若 AB＝4 ，ON＝1，求⊙O 的半径． 【分析】（1）先根据圆周角定理得出∠BAD＝∠BCD，再由直角三角形的性质得出∠ ANE＝∠CNM，故可得出∠BCD＝∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE ，故可得出结论； （2）先根据垂径定理求出 AE 的长，设 NE＝x，则 OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，r＝OD＝ OE+ED＝2x﹣1 连结 AO，则 AO＝OD＝2x﹣1，在 Rt△AOE 中根据勾股定理可得出 x 的值，进而得出结 论． 【解答】（1）证明：∵∠BAD 与∠BCD 是同弧所对的圆周角， ∴∠BAD＝∠BCD， ∵AE⊥CD，AM⊥BC， ∴∠AMC＝∠AEN＝90°， ∵∠ANE＝∠CNM， ∴∠BCD＝∠BAM，第 10 页（共 13 页） ∴∠BAM＝BAD， 在△ANE 与△ADE 中， ∵ ， ∴△ANE≌△ADE， ∴AD＝AN； （2）解：∵AB＝4 ，AE⊥CD， ∴AE＝2 ， 又∵ON＝1， ∴设 NE＝x，则 OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1 连结 AO，则 AO＝OD＝2x﹣1， ∵△AOE 是直角三角形，AE＝2 ，OE＝x﹣1，AO＝2x﹣1， ∴（2 ）2+（x﹣1）2＝（2x﹣1）2，解得 x＝2， ∴r＝2x﹣1＝3． 【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题 的关键． 10．某公司生产的一种商品其售价是成本的 1.5 倍，当售价降低 5 元时商品的利润率为 25% ．若不进行任何推广年销售量为 1 万件．为了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资 金做推广，根据经验，每年投入的推广费 x 万元时销售量 y（万件）是 x 的二次函数： 当 x 为 1 万元时，y 是 1.5（万件）．当 x 为 2 万元时，y 是 1.8（万件）． （1）求该商品每件的的成本与售价分别是多少元？ （2）求出年利润与年推广费 x 的函数关系式； （3）如果投入的年推广告费为 1 万到 3 万元（包括 1 万和 3 万元），问推广费在什么范 同内，公司获得的年利润随推广费的增大而增大？ 【分析】（1）根据售价﹣成本价＝利润，成本价乘以利润率＝利润，列方程即可求解；第 11 页（共 13 页） （2）根据每年投入的推广费 x 万元时销售量 y（万件）是 x 的二次函数，代入所给数据 即可求解； （3）根据年利润＝单件利润乘以销售量再减去推广费即可列出二次函数，根据二次函数 的性质即可确定推广费的取值范围． 【解答】解：（1）设该商品每件的的成本为 a 元，则售价为元 1.5a 元， 根据题意，得 1.5a﹣5﹣a＝25%a， 解得 a＝20，则 1.5a＝30， 答：该商品每件的的成本与售价分别是 20 元、30 元． （2）根据题意每年投入的推广费 x 万元时销售量 y（万件）是 x 的二次函数， 设 y＝ax2+bx+c ∵不进行任何推广年销售量为 1 万件，即当 x＝0 时，y＝1（万件）， 当 x 为 1 万元时，y 是 1.5（万件）．当 x 为 2 万元时，y 是 1.8（万件）． ∴ 解得 所以销售量 y 与推广费 x 的函数解析式为 y＝﹣ x2+ x+1． 所以设公司获得的年利润为 w 万元， 答：年利润与年推广费 x 的函数关系式为 w＝10y＝﹣x2+6x+10． （3）公司获得的年利润为 w 万元，根据题意，得 w＝10y﹣x ＝10（﹣ x2+ x+1）﹣x ＝﹣x2+5x+10 ＝﹣（x﹣ ）2+ ∵1≤x≤3， ∴当 1≤x≤2.5 时，w 随 x 的增大而增大，第 12 页（共 13 页） 答：推广费在 1 万元到 2.5 万元（包括 1 万元和 2.5 万元）时，公司获得的年利润随推广 费的增大而增大． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的等量关系． 11．如图，直角三角形 ABC 中，∠A＝90°，作∠BCF＝45°交边 AB 于点 F，作∠CFE＝∠ AFC 交边 BC 于点 E，过点 E 作 ED⊥CA 于点 D，ED 交 CF 于点 G， 求证：EF＝EG． 【分析】证出 ED∥AB，由平行线的性质得出∠DGC＝∠AFC，证出∠EGF＝∠CFE，即 可得出结论． 【解答】证明：∵∠A＝90°， ∴CA⊥AB， ∵ED⊥CA， ∴ED∥AB， ∴∠DGC＝∠AFC， ∵∠EGF＝∠DGC，∠CFE＝∠AFC， ∴∠EGF＝∠CFE， ∴EF＝EG． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三 角形的判定和平行线的性质是解题的关键． 12．平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象经过点 A（2，0）和点 ，直线 l 经过抛物线的顶点且与 y 轴垂直，垂足为 Q．求该二次函数的表达 式．第 13 页（共 13 页） 【分析】直接将 A、B 两点坐标代入解析式，根据待定系数法即可得解． 【 解 答 】 解 ： 将 点 A （ 2 ， 0 ） 和 点 分 别 代 入 由 ＝ x2+mx+n 中 ， 得 ： ， 解得： ． ∴抛物线的解析式：y＝ x2﹣1． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．