冲刺卷03-决战2020年高考数学冲刺卷（山东专版）（解析版）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 冲刺卷 03-决战 2020 年高考数学冲刺卷（山东专版） 一、单选题 1．已知实数集 ，集合 ，集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 可得集合 ,求出补集 ,再求出 即可. 【详解】 由 ,得 ,即 , 所以 , 所以 . 故选:A 【点睛】 本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题. 2．已知复数 是纯虚数，其中 是实数，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 对复数 进行化简，由于 为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为 0，得到 的值，从而得到复数 . 【详解】 因为 为纯虚数，所以 ，得 R { |1 3}A x x= < < 1| 2 B x y x  = = −  ( )RA C B∩ = { |1 2}x x< ≤ { |1 3}x x< < { | 2 3}x x≤ < { |1 2}x x< < 2 0x − > B RC B ( )RA C B∩ 2 0x − > 2x > (2, )B = +∞ RC B ( ,2]= −∞ ( )RA C B∩ = (1,2] (2 ) 1 ai iz i += − a z 2i 2i− i i− z z a z ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 12 2 2 1 1 1 1 2 2 ai i a i ia i a az ii i i i + − + −− + − += = = = +− + + − z 2 02 a− = 2a =原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 所以 . 故选 A 项 【点睛】 本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题. 3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 中的一个字母，第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 试题分析：开机密码的可能有 ， ，共 15 种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 ，故选 C． 【考点】古典概型 【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有 有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式 （其中 n 是基本事件的总数，m 是事件 A 包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的． 4．若两个非零向量 、 满足 ，且 ，则 与 夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 设平面向量 与 的夹角为 ，由已知条件得出 ，在等式 两边平方，利用平面向量 数量积的运算律可求得 的值，即为所求. 【详解】 设平面向量 与 的夹角为 ， ，可得 ， 在等式 两边平方得 ，化简得 . 故选：A. 2z i= a b ( ) ( ) 0a b a b+ ⋅ − =    2a b a b+ = −    a b 3 5 3 5 ± 1 2 1 2 ± a b θ a b=  2a b a b+ = −    cosθ a b θ ( ) ( ) 2 22 2 0a b a b a b a b+ ⋅ − = − = − =         a b=  2a b a b+ = −    2 2 2 2 2 4 8 4a a b b a a b b+ ⋅ + = − ⋅ +        3cos 5 θ =原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【点睛】 本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属 于中等题. 5．已知等差数列 的公差为-2，前 项和为 ，若 ， ， 为某三角形的三边长，且该三角形有一 个内角为 ，则 的最大值为（ ） A．5 B．11 C．20 D．25 【答案】D 【解析】 【分析】 由公差 d=-2 可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前 n 项和，从而得到最值. 【详解】 等差数列 的公差为-2，可知数列单调递减，则 ， ， 中 最大， 最小， 又 ， ， 为三角形的三边长，且最大内角为 ， 由余弦定理得 ，设首项为 ， 即 得 ， 所以 或 ，又 即 , 舍去， ，d=-2 前 项和 . 故 的最大值为 . 故选：D 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式的应用，考查求前 n 项和的最值问题，同时还考查了余弦定 理的应用. 6．已知函数 ，若 是 的导函数，则函数 的图象大致是（ ） { }na n nS 2a 3a 4a 120° nS { }na 2a 3a 4a 2a 4a 2a 3a 4a 120° 2 2 2 2 3 4 3 4a a a a a= + + 1a ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 1 1 1 1 12 a 4 a 6 a 4 a 6 0a − = − + − + − − = ( )( )1 14 9 0a a− − = 1 4a = 1 9a = 4 1a 6 0a ，= − > 1a 6> 1 4a = 1 9a =故 n ( ) ( ) ( )219n 2 5 252n n nS n −= + × − = − − + nS 5 25S = ( ) 2 2cosf x x x= + ( )f x′ ( )f x ( )f x′原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择. 【详解】 因此当 时， ；当 时， ；当 时， ； 故选：A 【点睛】 本题考查利用导数研究函数单调性以及零点，考查基本分析判断能力，属中档题. 7．已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点，过 作双曲线 的一条渐近线 的垂线，分别交两条渐近线于点 、 ，过点 作 轴的垂线，垂足恰为 ，则双曲线 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 设点 位于第二象限，可求得点 的坐标，再由直线 与直线 垂直，转化为两直线斜率之积为 可得出 的值，进而可求得双曲线 的离心率. 【详解】 ( ) ( ) ( )2 2cos 2 2sin 2 2cos 0f x x x f x x x f x x′ ′′= + ∴ = − ∴ = − ≥ 0x = ( ) 0f x′ = 0x > ( ) ( )0 0f x f′ ′> = 0x < ( ) ( )0 0f x f′ ′< = 1F 2F ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > 2F C A B B x 1F C 2 3 2 3 5 B B 2BF by xa = 1− 2 2 b a C原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 设点 位于第二象限，由于 轴，则点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即点 ， 由题意可知，直线 与直线 垂直， ， ， 因此，双曲线的离心率为 . 故选：B. 【点睛】 本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出 、 、 的等量关系，考查计算能力，属于中等题. 8．定义在 上函数 满足 ，且对任意的不相等的实数 有 成立，若关于 x 的不等式 在 上恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 结合题意可知 是偶函数,且在 单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数 的单调性关系,构造新函数 ,计算最值,即可. 【详解】 结合题意可知 为偶函数,且在 单调递减,故 可以转换为 对应于 恒成立,即 即 对 恒成立 B 1BF x⊥ B Bx c= − B B b bcy xa a = − = , bcB c a  −   2BF by xa = 2 2 2BF bc b aak c a b − = = − = − 2 2 2b a ∴ = 2 2 2 2 21 3c a b be a a a += = = + = a b c R ( )f x ( ) ( )f x f x− = [ )1 2, 0,x x ∈ +∞ ( ) ( )1 2 1 2 0f x f x x x − ( ) ( )1x xφ φ− = − ( ) ( )2 2x xφ φ= ( ) ( )2 1P x xξ φ< = − ( ) ( )2P x xξ φ> = − ξ (0,1)N 0ξ = ( ) (x P xφ ξ=  0)x >原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 随机变量 服从标准正态分布 ， 正态曲线关于 对称， ， ，根据曲线的对称性可得： A. ，所以该命题正确； B. ，所以 错误； C. ，所以该命题正确； D. 或 ，所以该命题错误． 故选： ． 【点睛】 本题主要考查正态分布的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．设 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】 【分析】 逐一分析选项，验证基本不等式的使用是否成立. 【详解】 A.当 时， 成立，故 A 正确； B.当 时， ，等号成立的条件是 ，当 时， ，等号成立的条件是 ， 故 B 不正确； C.当 时， ，所以 ，故 C 正确； D. ，所以 ，等号成立的条件是当且仅当 ，即 ，故 D 正确. 故答案为：ACD 【点睛】  ξ (0,1)N ∴ 0ξ = ( ) (x P xφ ξ=  0)x > ( ) ( ) 1 ( )x x xφ φ ξ φ− = ≥ = − (2 ) ( 2 ),2 ( ) 2 ( )x x x xφ φ ξ φ φ ξ= ≤ = ≤ ( ) ( )2 2x xφ φ= (| | )= ( ) 1 2 ( ) 1 2[1 ( )] 2 ( ) 1P x P x x x x xξ ξ φ φ φ< − ≤ ≤ = − − = − − = − (| | ) (P x P xξ ξ> = > )=1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 2 ( )x x x x x xξ φ φ φ φ φ< − − + − = − + − = − AC ,a b∈R 2 2 2a b ab+ ≥ 1 2a a + ≥ 2 1 2+ ≥b b 2b a a b + ≥ ,a b∈R 2 2 2a b ab+ ≥ 0a > 1 2a a + ≥ 1a = 0a < 1 2a a + ≤ − 1a = − b R∈ ( )2 21 2 1 0b b b+ − = − ≥ 2 1 2+ ≥b b 0, 0b a a b > > 2 2b a b a a b a b + ≥ × = b a a b = 2 2a b=原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 本题考查判断基本不等式使用是否正确，意在考查基本公式的简单应用，属于基础题型. 11．已知函数 ，中正确结论有（ ） A． 在 上是减函数； B． 在 上的最小值为 ； C． 在 上至少有两个零点； D． 在 上是增函数； 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据 和 的单调性判断 A，B 选项，根据函数图像判断 C. 【详解】 由题得，函数 和 在 上都是减函数，可知 在 上是减函数，则 A 正确；同 理可得 在 上是减函数，则 在 上没有最小值，B 不正确；若 在 上至少有 两个零点，则 在定义域上至少有两个实根，即 ，分别作出 和 在 上的函数图像如图，又 ，由图可知，两函数图像在 上有 2 个交 点，故 C 正确，由 A 知，D 不正确.综上，正确结论是 AC. 故选：AC 【点睛】 1( ) cosf x xx = + ( )f x 0, 2 π     ( )f x (0, )π 2 π ( )f x (0,2 )π ( )f x 0, 2 π     1y x = cosy x= 1y x = cosy x= 0, 2 π     ( )f x 0, 2 π     ( )f x (0, )π ( )f x (0, )π ( )f x (0,2 )π 1( ) cos 0f x xx = + = 1cos x x = − 1y x = − cosy x= (0,2 )π 1cos 1π π= − < − (0,2 )π原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 本题考查函数单调性，极值以及利用数形结合的方法确定函数零点个数. 12．已知正四棱柱 的底面边长为 2，侧棱 ， 为上底面 上的动点，给 出下列四个结论中正确结论为（ ） A．若 ，则满足条件的 点有且只有一个 B．若 ，则点 的轨迹是一段圆弧 C．若 ∥平面 ，则 长的最小值为 2 D．若 ∥平面 ，且 ，则平面 截正四棱柱 的外接球所得平面图形 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】 若 ，由于 与 重合时 ，此时 点唯一； ，则 ，即点 的轨 迹是一段圆弧；当 为 中点时，DP 有最小值为 ，可判断 C；平面 截正四棱柱 的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为 ，可得 D. 【详解】 如图： ∵正四棱柱 的底面边长为 2， ∴ ，又侧棱 ， ∴ ，则 与 重合时 ，此时 点唯一，故 A 正确； 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1AA = P 1111 DCBA 3PD = P 3PD = P PD 1ACB DP PD 1ACB 3PD = BDP 1 1 1 1ABCD A B C D− 9 4 π 3PD = P 1B 3PD = P ( )3 13PD = ∈ ， 1 2PD = P P 1 1AC 3= BDP 1 1 1 1ABCD A B C D− 3 2 = 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 2 2B D = 1 1AA = ( )2 2 1 2 2 1 3DB = + = P 1B 3PD = P原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∵ ， ，则 ，即点 的轨迹是一段圆弧，故 B 正确； 连接 ， ，可得平面 平面 ，则当 为 中点时，DP 有最小值为 ，故 C 错误； 由 C 知，平面 即为平面 ，平面 截正四棱柱 的外接球所得平面图形 为外接球的大圆，其半径为 ，面积为 ，故 D 正确． 故选：ABD． 【点睛】 本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于较难题. 三、填空题 13．已知函数 有唯一零点，则 ________ 【答案】 【解析】 【分析】 令 ，得到 的解析式，判断出 是偶函数，从而得到 的图像关于 成轴对称，根 据函数 有唯一零点，得到 ，从而得到 的方程，解出 的值. 【详解】 设 ，则 定义域为 ， 所以 为偶函数， 所以 的图像关于 成轴对称 要使 有唯一零点， ( )3 13PD = ∈ ， 1 1DD = 1 2PD = P 1DA 1DC 1 1 //A DC 1ACB P 1 1AC ( )2 22 1 3+ = BDP 1 1BDD B BDP 1 1 1 1ABCD A B C D− 2 2 21 32 2 12 2 + + = 9 4 π 2 1 1( ) 2 ( )x xf x x x a e e− − += − + + a = 1 2 1t x= − ( )f t ( )f t ( )f x 1x = ( )f x ( )1 0f = a a ( ) ( ) ( ) ( )22 1 1 1 12 1 1x x x xf x x x a e e x a e e− − + − − += − + + = − − + + 1t x= − ( ) ( )2 1 t tf t t a e e−= − + + R ( ) ( ) ( ) ( )2 1 t tf t t a e e f t−− = − − + + = ( )f t ( )f x 1x = ( )f x原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 则只能 ， 即 解得 ， 故答案为： . 【点睛】 本题考查判断函数奇偶性，根据函数的零点求参数的值，属于中档题. 14．从 1、3、5、7 中任取 2 个数字，从 0、2、4、6 中任取 2 个数字，组成没有重复数字的四位数，其中 能被 5 整除的四位数共有________个.（用数字作答） 【答案】198 【解析】 【分析】 题目要求得到能被 5 整除的数字，注意 0 和 5 的排列，分三种情况进行讨论，四位数中包含 5 和 0 的情况， 四位数中包含 5，不含 0 的情况，四位数中包含 0，不含 5 的情况，根据分步计数原理得到结果． 【详解】 解：①四位数中包含 5 和 0 的情况： ． ②四位数中包含 5，不含 0 的情况： ． ③四位数中包含 0，不含 5 的情况： ． 四位数总数为 ． 故答案为：198． 【点睛】 本题是一个典型的排列问题，数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字 问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏，属于中档题. 15．已知定义域为 的偶函数 的导函数为 ，对任意 ，均满足： . ( )1 0f = ( )2 0 01 2 1 0a e e− × + + = 1 2a = 1 2 3 1 1 3 1 2 3 3 2 2( ) 90C C A A A+ =   1 2 3 3 3 3 54C C A =  2 1 3 3 3 3 54C C A = ∴ 90 54 54 198+ + = R ( )f x ( )f x′ [0, )x∈ +∞ ( ) 2 ( ) 0xf x f x′ + >原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 若 ，则不等式 的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 先根据已知得出函数的单调性，再根据单调性解不等式. 【详解】 因为 是 上的偶函数，所以 是 上的偶函数， 在 上单调递增， ，即 解得 ，解集为 . 【点睛】 本题主要考查函数与单调性的关系，注意构造的新函数的奇偶性及单调性的判断. 16．给出下列四个命题： ①命题“ ”的否定是“ ”； ②在空间中， 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，如果 ， ， 那么 ； ③将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象； ④函数 的定义域为 ，且 ，若方程 有两个不同实根，则 的取 值范围为 ．其中真命题的序号是________． 2( ) ( )g x x f x= g(2 ) g(1 )x x< − 11, 3  −   ( )f x R ( ) ( )2g x x f x= R ( ) ( )' 2 0xf x f x+ > ( ) ( )2 2 0x f x xf x∴ + >′ ( ) ( )( ) ( ) ( )'2 22 0g x x f x xf x x f x′∴ ′= = + > ( ) ( )2g x x f x∴ = [ )0, R+∞ 2 1x x∴ < − (x+1)(3 x-1) 2, 1 3x R x x∀ ∈ + > m n、 α β、 , nα β α β⊥ ∩ = m n⊥ m β⊥ cos2y x= 3 π sin(2 )6y x π= − ( )f x R 2 1( 0)( ) { ( 1)( 0) x xf x f x x − − ≤= − > ( )f x x a= + a ( ,1)−∞原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 【答案】③④ 【解析】 【详解】 试题分析：对于①中，命题“ ”的否定是“ ”，所以是错误的；对于 ②，在空间中， 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，如果 ， ，那么 与 的关系是 或 或 与 相交，所以不正确；对于③中，将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，所以是正 确的；对于④中，函数 的定义域为 ，且 ，当 时，函数 ；当 时，函数 ， 当 时， ， 类比有 ，也就是说， 的部分是将 的部分，周期性向右 平移 个单位长度得到的，若方程 有两个不同实根，则 的取值范围为 ，所以是正确 的． 四、解答题 17．设 的内角 、 、 的对边长分别为 、 、 .设 为 的面积，满足 . (1)求 ； (2)若 ，求 的最大值. 【答案】(1) ；(2) . 【解析】 【分析】 (1)根据条件形式选择 ，然后利用余弦定理和正弦定理化简，即可求出； (2)由(1)求出角 ，利用正弦定理和消元思想，可分别用角 的三角函数值表示出 ， 2, 1 3x R x x∃ ∈ + > 2, 1 3x R x x∀ ∈ + ≤ m n、 ,α β , nα β α β⊥ ∩ = m n⊥ m β / /m β m β⊂ m β cos2y x= 3 π 2cos[2( )] cos(2 ) sin(2 )3 3 6y x x x π π π= − = − = − ( )f x R 2 1( 0)( ) { ( 1)( 0) x xf x f x x − − ≤= − > 0x < ( ) 1( ) 12 xf x = − 0x > ( ) ( 1)f x f x= − (0,1]x∈ ( ) 11 ( 1,0], ( 1) 2 1, (0,1]xx f x f x x−− ∈ − = − = − ∈ ( ) 2( 1) 2 1, (1,2]xf x f x x−= − = − ∈ 0x > ( 1,0]x∈ − 1 ( )f x x a= + a ( ,1)−∞ ABC A B C a b c S ABC ( )2 2 23 4S a c b= + − B 3b = ( )3 1 2a c− + 3 π 2 6 1 sin2S ac B= 3B π= A ,a c原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 即可得到 ，再利用三角恒等变换，化简为 ，即可求出最大值． 【详解】 (1)∵ ， 即 ， ∴ 变形得： ， 整理得： ， 又 ，∴ ； (2)∵ ，∴ ， 由正弦定理知 ， ， ∴ ，当且仅当 时取最大值． 故 的最大值为 . 【点睛】 本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，以及利用三角恒等变换求函数的最值，意在 考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题 18．已知 为数列 的前 项和，且 . ( ) ( ) 23 1 2 2 3 1 sin 4sin 3a c A Aπ − + = − + −   ( )3 1 2 2 6 sin 4a c A π − + = +   1 sin2S ac B= 2 2 2 cos 2 a c bB ac + −= 2 2 2 2 cosa c b ac B=+ − ( )2 2 23 4S a c b= + − 1 3sin 2 cos2 4ac B ac B= × tan 3B = 0 B π< < 3B π= A B C π+ + = 20 3A π< < sin 3sin 2sinsin sin 3 b A Aa AB π= = = sin 22sinsin 3 b Cc AB π = = −   ( ) ( ) 23 1 2 2 3 1 sin 4sin 3a c A Aπ − + = − + −   ( ) 22 3 1 sin 4sin 3A Aπ = − + −   2 3sin 2 3 cosA A= + 2 6 sin 2 64A π = + ≤   4A π= ( )3 1 2a c− + 2 6 nS { }na n 2 6n nS a= −原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）令 可求得 的值，再令 ，由 得出 ，两式相减可得出数列 为等比数列，确定该数列的公比，可求得数列 的通项公式； （2）求得 ，利用错位相减法可求得 . 【详解】 （1）当 时， ，所以 ； 当 时，由 ，可得 ， 上述两个等式相减得 ， ， 所以数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列， ； （2）由（1）可知 ， 故 ，① .② ① ②，得 ， 化简得 ． 【点睛】 { }na n n nb a = { }nb n nT 1 2 3n na −= ( )2 1 3 1 8 n n nT − += 1n = 1a 2n ≥ 2 6n nS a= − 1 12 6n nS a− −= − { }na { }na 13 2 n n nb −⋅= nT 1n = 1 12 6S a= − 1 2a = 2n ≥ 2 6n nS a= − 1 12 6n nS a− −= − 12 n n na a a−= − 1 1 3 n n a a − ∴ = { }na 2 1 3 1 1 1 22 3 3 n n na − −  = × =   13 2 n n nb −×= 0 1 11 3 2 3 3 2 2 2 n n nT −× × ×= + +⋅⋅⋅+ ( ) 11 2 1 31 3 2 3 33 2 2 2 2 n n n n nT −− ×× × ×= + +⋅⋅⋅+ + − ( ) ( )0 1 1 1 1 3 1 2 3 11 3 3 3 3 322 2 2 2 2 1 3 2 4 n nn n n n nn nT − − − ⋅ −× × ×− = + +⋅⋅⋅+ − = − =− ( )2 1 3 1 8 n n nT − +=原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 本题考查利用 与 之间的关系求通项，同时也考查了错位相减法求和，考查计算能力，属于中等题. 19．《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早 1000 多年,在《九章算术》中,将底面 为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du);阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱 锥,鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵 中, . (1)求证:四棱锥 为阳马; (2)若 ,当鳖膈 体积最大时,求锐二面角 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析;(2) . 【解析】 【分析】 (1)按照题目定义，只要证明 面 即可，而由 ， 即可证出 面 ； (2)先根据基本不等式求出当 时，鳖膈 体积最大，然后建立如图所示的空间直角 坐标系，根据向量法即可求出锐二面角 的余弦值． 【详解】 (1)∵ 底面 ， 面 ∴ 又 ， ∴ 面 ， nS na 1 1 1ABC A B C− AB AC⊥ 1 1B A ACC− 1 2C C BC= = 1C ABC− 1 1C A B C− − 15 5 AB ⊥ 1 1ACC A 1A A AB⊥ AB AC⊥ AB ⊥ 1 1ACC A 2AB AC= = 1C ABC− 1 1C A B C− − 1A A ⊥ ABC AB Ì ABC 1A A AB⊥ AB AC⊥ 1A A AC A= AB ⊥ 1 1ACC A原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 又四边形 为矩形 ∴四棱锥 为阳马． (2)∵ ， ，∴ 又∵ 底面 ， ∴ 当且仅当 时， 取最大值 ∵ ， 底面 ∴以 A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系 ， ， ， ， 设面 的一个法向量 由 得 同理得 ∴ 二面角 的余弦值为 ． 1 1ACC A 1 1B A ACC− AB AC⊥ 2BC = 2 2 4AB AC+ = 1A A ⊥ ABC 1 1 1 1 3 2C ABCV C C AB AC− = ⋅ ⋅ ⋅ 2 21 1 2 3 3 2 3 AB ACAB AC += ⋅ ⋅ ≤ ⋅ = 2AB AC= = 1 1 3C ABCV AB AC− = ⋅ ⋅ AB AC⊥ 1A A ⊥ ABC ( )2,0,0B ( )0, 2,0C ( )1 0,0,2A ( )1 2,0, 2A B = − ( )2, 2,0BC = − ( )1 1 0, 2,0AC = 1A BC ( )1 1 1 1, ,n x y z= 1 1 1 0 0 n A B n BC  ⋅ = ⋅ =     ( )1 2 2,1n = ( )2 2,0,1n = 1 2 1 2 1 2 15cos , 5| | | | n nn n n n ⋅= = ⋅      1 1C A B C− − 15 5原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 【点睛】 本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，基本不等式的应用，以及向量法求二面角的余弦值，意在考查 学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题． 20．高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在 2018 年这一 年内从 市到 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为 万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽 取 人次作为样本,得到下表(单位:人次): 老年人 中年人 青年人 满意度 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 10 分(满意) 12 1 20 2 20 1 5 分(一般) 2 3 6 2 4 9 0 分(不满意) 1 0 6 3 4 4 （1）在样本中任取 个,求这个出行人恰好不是青年人的概率; （2）在 2018 年从 市到 市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取 人次,记其中老年人出行的人次为 .以 频率作为概率,求 的分布列和数学期望; （3）如果甲将要从 市出发到 市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由. 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望 （3）建议甲乘坐高铁从 市到 市.见解析 【解析】 【分析】 A B 50 100 1 A B 2 X X A B 29 50 2 5 A B原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 （1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为 ， ， ， 即可按照古典概型的概率计算公式计算得出； （2）依题意可知 服从二项分布，先计算出随机选取 人次，此人为老年人概率是 ，所以 ，即 ，即可求出 的分布列和数学期望； （3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机． 【详解】 （1）设事件：“在样本中任取 个，这个出行人恰好不是青年人”为 ， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为 ， ， ， 所以在样本中任取 个，这个出行人恰好不是青年人的概率 ． （2）由题意， 的所有可能取值为： 因为在 2018 年从 市到 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取 人次，此人 为老年人概率是 ， 所以 ， ， ， 所以随机变量 的分布列为： 故 ． （3）答案不唯一，言之有理即可． 如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下： 由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为： 19 39 42 X 1 15 1 75 5 = 12, 5X B     ( ) 2 2 1 115 5 k k kP x k C −   = = −       X 1 M 19 39 42 1 19 39 29( ) 100 50P M += = X 01 2.，， A B 1 15 1 75 5 = 0 2 2 1 16( 0) C (1 )5 25P X = = × − = 1 2 1 1 8( 1) C (1 )5 5 25P X = = × × − = 2 2 2 1 1( 2) C ( )5 25P X = = × = X 0 1 2 16 25 8 25 1 25 16 8 1 2( ) 0 1 225 25 25 5E X = × + × + × = 52 10 12 5 11 0 116 52 12 11 15 × + × + × =+ +原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 乘坐飞机的人满意度均值为： 因为 ， 所以建议甲乘坐高铁从 市到 市． 【点睛】 本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解 题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题． 21．已知椭圆 经过点 ，离心率为 . （1）求椭圆 的方程； （2）过点 的直线交椭圆于 、 两点，若 ，在线段 上取点 ，使 ，求证：点 在定直线上. 【答案】（1） ；（2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据题意得出关于 、 、 的方程组，解出 、 的值，进而可得出椭圆 的标准方程； （2）设点 、 、 ，设直线 的方程为 ，将该直线的方程与椭圆 的方程联立，并列出韦达定理，由向量的坐标运算可求得点 的坐标表达式，并代入韦达定理，消去 ，可得出点 的横坐标，进而可得出结论. 【详解】 （1）由题意得 ，解得 ， . 所以椭圆 的方程是 ； （2）设直线 的方程为 ， 、 、 ， 4 10 14 5 7 0 22 4 14 7 5 × + × + × =+ + 116 22 15 5 > A B ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > ( )3,1 6 3 C ( )4,0M A B AM MBλ=  AB D AD DBλ= −  D 2 2 16 2 x y+ = a b c 2a 2b C ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )0 0,D x y AB 4x my= + C D λ D 2 2 2 2 2 6 3 3 1 1 c a a b c a b  =  + =  = − 2 6a = 2 2b = C 2 2 16 2 x y+ = AB 4x my= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )0 0,D x y原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 21 由 ，得 . ，则有 ， ， 由 ，得 ，由 ，可得 ， ， ， 综上，点 在定直线 上. 【点睛】 本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线上的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题. 22．设函数 ， 是函数 的导数. （1）证明： 在区间 上没有零点； （2）证明：在 上， . 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用不等式的基本性质可证得 对任意的 恒成立，进而可得出结论； （2）由 以及 ，只需证 对任意的 恒成立，通过构造函数 ，利用导数分析该函数在区间 上的单调性， 2 2 4 16 2 x my x y = + + = ( )2 23 8 10 0m y my+ + + = ( ) ( )2 2 28 40 3 0 5m m m∆ = − + > ⇒ > 1 2 2 8 3 my y m −+ = + 1 2 2 10 3y y m = + AM MBλ=  1 2y yλ− = AD DBλ= −  1 2 0 1 2 0 1 1 x xx y yy λ λ λ λ − = − − = − ( ) 21 21 2 1 1 2 0 1 2 1 2 2 1024 4 2 2 334 4 481 1 21 3 mmy myx x my my y mx y my y my λλ λ λ ×+ − +− += = = + = + = + =−− − ++ + 2 1 2 1 1 2 0 1 2 1 2 2 1022 2 53 81 21 3 y y y y y my y my y m my λ λ ×− += = = = = −−− ++ + D 3 2x = ( ) ( )2 cos sinf x x x x= + − ( )f x′ ( )f x ( )f x′ ,2 2 π π −   ( )0,x∈ +∞ ( ) 0f x > ( ) 0f x′ > ,2 2x π π ∈ −   ( ) ( ) sin2 cos 2 cos xf x x x x  = + − +  2 cos 0x+ > sin 02 cos xx x − >+ ( )0,x∈ +∞ ( ) sin 2 cos xF x x x = − + ( )0,+∞原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 22 结合单调性可证明出结论成立. 【详解】 （1） ， ， 当 时， ， 因此，函数 在区间 上没有零点； （2） ， 由 ，所以 恒成立，故只需证明 即可． 设 ， ， 故函数 在区间 上单调递增，所以 ． 所以当 时， ，即 . 【点睛】 本题考查利用导数证明函数不等式以及研究函数的零点问题，利用导数分析函数的单调性是解答的关键， 考查推理能力，属于中等题. ( ) ( )2 cos sinf x x x x= + − ( ) 2 sinf x x x∴ = −′ ,2 2x π π ∈ −   ( ) 2 sin 2 sin 2 2 02f x x x x x x π= − ≥ >′ − > − − > ( )y f x= ′ ,2 2 π π −   ( ) ( ) ( ) sin2 cos sin 2 cos 2 cos xf x x x x x x x  = + − = + − +  [ ]cos 1,1x∈ − 2 cos 0x+ > sin 02 cos xx x − >+ sin( ) 2 cos xF x x x = − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 1 cos 22cos 1 cos 2cos 31 0 2 cos 2 cos 2 cos xx x xF x x x x + ++ + += − = = + + ′ > + ( ) sin 2 cos xF x x x = − + ( )0,+∞ ( ) ( )0 0F x F> = 0x > ( ) 0F x > ( ) 0f x >