江西省重点中学盟校2020届高三下学期第一次联考数学（文）试题（含答案）

江西省重点中学盟校 2020 届高三下学期第一次联考 数学（文）试题 第 I 卷(选择题) 一.选择题:共 12 小题，满分 60 分,每小题 5 分. 1.设 ，则 Z 在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.命题"在△ABC 中，若 则 A=30°"的否命题是( ) A.在△ABC 中，若 则 A≠30° B.在△ABC 中，若 则 A=30° C.在△ABC 中，若 则 A≠30° D.在△ABC 中，若 A≠30°,则 3.设 则() A. a>c>b B.c>a>b C. a>b>c D. b>a>c 4 为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为 200 的调查样木，其 中城镇户籍与农村户籍各 100 人；男性 120 人，女性 80 人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生 育二胎的人数比例图，如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（ ） A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关 B.是否倾向选择生育二胎与性别有关 C.倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同 D.倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 5.在梯形 ABCD 中，己知 AB//CD, AB=2DC，点 P 在线段 BC 上，且 BP =2PC，则（） z i iz + = 1sin ,2A = 1sin ,2A = 1sin ,2A ≠ 1sin .2A ≠ 1sin 2A ≠ 0.3 2 1log 3, 2 log ,3a b cπ= = ⋅ =6.明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的"等程律".在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的 等比中项的方法,还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法.比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律 值成等比数列,则有 .据此,可得正 项等比数列 中, B. C. D. 7.已知 m，n 是两条不同的直线, α, β 是两个不同的平面,则下列结论正确的是() A.若 m⊥n，n||α,则 m⊥α B.若 m⊥α，n⊥β，α⊥β,则 m⊥n C.若 m∥n, n∥β,则 m∥β D.若 m⊂α,n⊂α, m∥β, n∥β,则 α∥β 8.已知函数 f(x)= Asin(ωx+φ) (其中 A>0, ω>0，00)的左、 右焦点分别为 C 上存在一点满足 且 p 到坐 标原点的距离等于双曲线 C 的虚轴长，则双曲线 C 的渐近线方程为____ 2 1 2y x= 045 1 2, ,l l 1l 2l 1 1 | | | |AB CD + 1 2. 4A + . 2 2B + 1 2. 2C + . 1 2D + 2. 2B . 2C 2 2 ln , 0 ( ) 3 , 02 x x x x f x x x x − >= − − ≤ 1.( ,2)2A 1 3. ( , )2 4B 1. ( ,1)3C 1.( ,1)2D , { | 3 9},xB x= < 2cos sin 2α α− = 2 2 2 2 1x y a b − = 1 2 ,F F 1 2 ,3F PF π∠ =16.正三棱锥 P-ABC，Q 为 BC 中点, AB=2,过 Q 的平面截三棱锥 P- ABC 的外接球所得截面的面积 范围为____ 三.解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答.第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答. 17. (12 分)己知等差数列 满足 且 是 的等比中项. (I)求数列 的通项公式; (II)设数列 数列 的前项和为 求使 成立的最大正整数 n 的值. 18.随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式某机构对“使用微信支付”的态度进行调查，随 机抽取了 50 人，他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表。 （I）若以“年龄 45 岁为分界点”，由以上统计数据完成下面 2×2 列联表，井判断是否有 99%的把握认为“使 用微信支付"的态度与人的年龄有关； 年龄不低于 45 岁的 人 年龄低于 45 岁的人 合计 赞成 不赞 成 合计 （II）若从年龄在[55,65）的被调查人中随机选取 2 人进行追踪调查，求 2 人中至少有 1 人不赞成使用微信 交流的概率. 参考数据： 2,PA = { }na 7 38 ,a a= + 3 1a − 1 51, 2a a+ − { }na * 1 1 ( ),n n n b n Na a + = ∈ { }nb ,nT 2 15nT > 1 2, ,F F 3 ,2 1 2AF F∆ 3.21. (12 分)设 h(x)= lnx. (1)若 g(x)=x(x-a)h(x)+x,且 x=1 为函数 g(x)的一个极值点,求函数 g(x)的单调递增区间: (II)若 f 且函数 f(x)的图象恒在 x 轴下方,其中 e 是自然对数的底数.求实数 m 的取 值范围. 选考题共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答。 如果多做,则按所做的第一题计分。 22. (10 分) 选修 44:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2sinθ,点 在 C 上,直线 l 经过点 且与直线 OA 垂直. (I)求直线 l 的极坐标方程; (II)已知点 P 在曲线 C 上运动(异于 O 点),射线 OP 交直线 l 于点 Q,求线段 PQ 的中点轨迹的极坐标方程. 23. (10 分) 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-2a|+|x|, a∈R. (I)若不等式 对∀x∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围, (II) 设实数 m 为(I)中 a 的最大值,若实数 x,y,z 满足 4x+2y+z=2m,求 的最小值. 江西省重点中学盟校 2020 届高三第一次联考数学文科试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C D C C C B C D B A D 二、填空题 1 2( ) ( ) ,x mh x x x e = − − + 0( , )4A πρ 0(2 )4,B πρ 2( )f x a≥ 2 2 2( )x y y z+ + +题号 13 14 15 16 答案 三、解答题 17、【解析】（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ， ，即 ，…………………………………………………………… 2 分 ， ，…………………………………………………………………… 3 分 是 ， 的等比中项， ，即 ， 解得 .…………………………………………………………………………………5 分 数列 的通项公式为 .……………………………………………………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 .……………………………… 7 分 ，…………………………………………………………10 分 由 ，得 .…………………………………………………………… 11 分 使得 成立的最大正整数 的值为 .………………………………………… 12 分 1 y x= ±     ππ 2 3， { }na d 7 3 4 8a a d− = = 2d = 3 11 3a a∴ − = + 15 62a a= +− 3 1a − 1 1a + 5 2a − ( ) ( ) ( )2 3 1 51 1 2a a a∴ − = + ⋅ − ( ) ( )( )2 1 1 1+3 = 1 6a a a+ + 1 3a = ∴ { }na 2 1na n= + ( )( )1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 2 2 1 2 3n n n b a a n n n n+  = = = − + + + +  1 2 1 2n nT b b b∴ = + +⋅⋅⋅+ = 1 1 1 1 1 1 3 5 5 7 2 1 2 3n n  − + − +⋅⋅⋅+ − + +  ( ) 1 1 1 2 3 2 3 3 2 3 n n n  = − = + +  ( ) 2 3 2 3 15 n n 2 5m < 1 2 8 5 mx x∴ + = − 2 1 2 4 4 5 mx x −= 1 2 0 4 2 5 x x mx +∴ = = − 0 0 5 my x m= + = 4 ,5 5 m mN  ∴ −   AM BM⊥ MN l⊥ MN l⊥ 5 1 140 15 mt m − × = − − − ×   3 5 mt = − AM BM⊥ 1 2 1 2 1y t y t x x − −⋅ = − 1 1y x m= + 2 2y x m= + ( )( ) ( )2 1 2 1 22 0x x m t x x m t+ − + + − = ( )2 2 22 4 4 8 8 05 5 5 m m m−    − + =       1m = ± 1m = 30, 5M  −   1m = − 30, 5M     故 轴上存在点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形.……12 分 21、【解析】（I） ， ， 由题意 ，所以 ，…………………………………………………2 分 所以 ， 令 ，得 或 ，…………………………………………………………3 分 当 时， ，当 时， ，当 时， ， 所以函数 的单调递增区间是 和 ；……………………………………5 分 （II）依题意， ， 即 在 上恒成立， 令 ， 则 .……………………………………………………6 分 对于 ， ，故其必有两个零点，且两个零点的积为 ， 则两个零点一正一负，设其中一个零点为 ， 则 ，即 ， y 30, 5M  ±   ABM∆ M ( ) ( )2 lnx a xg x xx −= + ( ) ( )ln' 12 x xg x x a a+ −− += ( )' 1 2 0g a= − = 2a = ( ) ( )( )' 1 2ln 1g x x x= − + ( )' 0g x = 1x = e e 0, ex e  ∈    ( )' 0g x > ,1ex e  ∈    ( )' 0g x < ( )1,x∈ +∞ ( )' 0g x > ( )g x 0, e e       ( )1,+∞ 1 2ln 0m x x x e − − + < 1 2ln 0x m xx e + − − > ( )0, ∞+ ( ) 1 2lnx m xxp x e = + − − ( ) 2 2 2 11' 1m x mx x x xp x − −= − − = 2 1y x mx= − − 2m 4 0∆ = + > 1− ( )0 0x ∈ + ∞, 2 0 0 1 0x mx− − = 0 0 1m x x = −且 在 上单调递减，在 上单调递增， 故 ，即 ，……………………………………8 分 令 ， 则 ， 当 时， ，当 时， ， 则 在 上单调递增，在 上单调递减， 又 ，故 ，……………………………………………………10 分 显然函数 在 上是关于 的单调递增函数，则 ， 故实数 的取值范围为 .……………………………………………………12 分 选做题 22、【解析】（I）由题知 ， ， 故点 的直角坐标为 ，由 知直线 的倾斜角为 ， 故直线 的直角坐标方程为 ，………………………………………………………3 分 所以其极坐标方程为 即 ；……………………5 分 ( )p x ( )00, x ( )0 ,x +∞ ( )0 0p x > 0 0 0 0 0 1 1 2ln 0x x xx x e  + − − − >    ( ) 1 1 2lnq x x x xx x e  = + − − −   ( ) 2 2 2 1 1 1' 1 1 ln 1q x xx x x    = − − + − −       2 11 ln xx  = − +   ( )0,1x∈ ( )' 0q x > ( )1,x∈ +∞ ( )' 0q x < ( )q x ( )0,1 ( )1,+∞ ( )1 0q q ee   = =   0 1 ,x ee  ∈   0 0 1m x x = − 1 ee     , 0x 1 1,m e ee e  ∈ − −   m 1 1,e ee e  − −   2, 4A π     2 2, 4B π     B ( )2,2 l OA⊥ l 3 4 π l 4x y+ = cos sin 4ρ θ ρ θ+ = sin 2 24 πρ θ + =  （II）由题知可设 ， ，其中 ， 则 中点的极坐标为 ，由 在曲线 上得 ，由 在直线 上得 ，故 中点的极坐标为 ， 所以 中点轨迹的极坐标方程为 .……………10 分 23、【解析】（I）因为 对 恒成立，则 ， 由绝对值三角不等式可得 ， 即 ，解得 . 故实数 的取值范围是 ；……………………………………………………………5 分 （II）由题意 ，故 ，………………………………………………6 分 由柯西不等式知， ， 所以 ，当且仅当 时等号成立 从而，最小值为 ，当且仅当 ， ， 时等号成立.………………10 分 ( )1,P ρ θ ( )2 ,Q ρ θ 30, 4 πθ  ∈   PQ 1 2 ,2 ρ ρ θ+     P C 1 2sinρ θ= Q l 2 2 2 sin 4 ρ πθ =  +   PQ 2sin , sin 4 θ θπθ      +   +     PQ 2 3sin 0 4sin 4 πρ θ θπθ  = + <