2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学（理）（二）试题

2020 届百校联考高考百日冲刺金卷 全国Ⅰ卷·理数（二） 第Ⅰ卷 一、选择题 1.已知集合 ，则 的非空真子集的个数为（ ） A.30 B.31 C.62 D.63 2.已知复数 满足： ，则 （ ） A.2 B.4 C. D.5 3.已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 4.李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋 元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和 旁切圆的性质.李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行， 多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几 何.翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点 处，乙向东行走到 处，甲向南行走到 处，甲看到乙，便从 走到 处，甲乙二人共行走 1600 步， 比 长 80 步，若按如图所示的程序框图执行求 ，则判断 框中应填入的条件为（ ） A. B. C. D. { }*6 NA x x x= < ∈且 A z ( )1 1 3z i i⋅ + = + z = 5 3 1sin 2 3 π α + =   cosα = 1 3 1 3 − 2 2 3 2 2 3 − C B A A B AB AC AB 2 2 2 ?x z y+ = 2 2 2 ?x y z+ = 2 2 2 ?y z x+ = ?x y=5.甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5 局 3 胜制，每局甲赢的概率是 ，乙赢的概率是 ，则甲以 获胜 的概率是（ ） A. B. C. D. 6.双曲线 ： 的渐近线与圆 ： 相切，则双曲线 的渐近线方 程为（ ） A. B. C. D. 7.已知向量 ， ， ，则向量 与 的夹角为（ ） A.45° B.60° C.90° D.120° 8.已知函数 的图象在 上有且仅有两条对称轴，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9.当 时，不等式 恒成立，则实数 的最大值为（ ） A.1 B. C. D. 10.已知 ，其中 ，则 （ ） A.182 B. C. D. 11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（ ） A. B. C.3 D. 12.已知函数 ，若 ， ，使得 ，则实数 2 3 1 3 3:1 8 27 16 27 16 81 32 81 1C ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 2C ( )2 22 1x y− + = 1C 1 2y x= ± 1 3y x= ± 2 2y x= ± 3 3y x= ± 1a = 2b = 2 3 2a b a b+ = −    a b ( ) ( )sin 06f x x πω ω = + >   ( )0,π ω 31, 2     4 3,3 2      4 7,3 3      71, 3      1 20 x x m< < < 2 1 1 2 x xx x< m e 1 e e ( ) 0 11 2 n n nx a a x a x+ = + +⋅⋅⋅+ 0 1 243na a a+ +⋅⋅⋅+ = 0 1 2 1 2 3 1 na aa a n + + +⋅⋅⋅+ =+ 182 3 91 3 182 9 6 2 2 2 3 ( ) ( )lnf x x a= − 1x∃ ( )2 ,x a∈ +∞ ( ) ( )2 2 1 2 2 1 4x f x x f x− + − =       a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题 13.已知 是偶函数，则 的解集为______. 14.已知 ， 满足线性约束条件 目标函数 的最大值为 2，则实数 的取值范围 是______. 15.已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线交椭圆 于 ， 两点，且 .圆 与 的延长线， 的延长线，直线 都相切，则圆 的半径为______. 16.在平面四边形 中， ， ， ， ，则四边形 面积的最大值为 ______. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知数列 满足： ， . （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）求证： . 18. 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， ， ， ， . 为锐角，平面 平面 . （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值. ( , 2 1−∞ −  2, 2  −∞   ( , 2−∞  ( ],2−∞ ( ) ( )2lgf x x x a x= + + ( ) ( )2 1f x f x− ≤ x y 2 0, 2, 2 0, x y x kx y + − ≥  ≤  − + ≥ 2z x y= − + k C 2 2 12 x y+ = 1F 2F 2F C A B 1 90AF B∠ = ° M 1F A 1F B AB M ABCD 5AB = 6BC = 7CD = 8DA = ABCD { }na 1 1a = ( )( )1 2 2 3 1 1 1 23n na a a a a a n n n++ +⋅⋅⋅+ = + + { }na 1 2 2 3 1 1 1 1 1 n na a a a a a + + +⋅⋅⋅+ < P ABCD− 2PA AD= = 1AB BC CD= = = //BC AD 90PAD∠ = ° PBA∠ PAB ⊥ PBD PA ⊥ ABCD PCD PAB19. 已知抛物线 上有两点 ， ，过 ， 作抛物线的切线交于点 ，且 . （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）斜率为 1 且过焦点的直线交抛物线于 ， 两点，直线 交抛物线于 ， 两点， 求四边形 面积的最大值. 20.某养鸡厂在荒山上散养天然土鸡，城里有 7 个饭店且每个饭店一年有 300 天需要这种土鸡， 饭店每天 需要的数量是 14～18 之间的一个随机数，去年 饭店这 300 天里每天需要这种土鸡的数量 （单位：只） 的统计情况如下表： 14 15 16 17 18 频数 45 60 75 60 60 这 300 天内（假设这 7 个饭店对这种土鸡的需求量一样），养鸡厂每天出栏土鸡 只，送到 城里的这 7 个饭店，每个饭店 只，每只土鸡的成本是 40 元，以每只 70 元的价格出售，超出饭店需求量 的部分以每只 元的价钱处理. （Ⅰ）若 ，求养鸡厂当天在 饭店得到的利润 （单位：元）关于需求量 （单位：只， ） 的函数解析式； （Ⅱ）以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率，若养鸡厂计划一天出栏 112 只或 119 只 土鸡，为了获取最大利润，你认为养鸡厂一天应该出栏 112 只还是 119 只？ 21.已知函数 ， .且 与 的图象有一条斜率为 1 的公切线（ 为自然 对数的底数）. （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）设函数 ，讨论函数 的零点个数. 请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所 选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. 22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆 的极坐标方程为 . ( )2 2 0x py p= > A B A B ( )2, 1Q − − 90AQB∠ = ° p M N ( )1y x c c= + < C D MNDC A A x x ( )7 14 18a a≤ ≤ a 56 a− 16a = A y x *Nx∈ ( ) 2xf x e a= − ( ) xg x e b= − ( )f x ( )g x e b a− ( ) ( ) ( ) ln 2 1 2 2h x f x g x mx= − − + − ( )h x 2B xOy l 2 cos 1 sin x t y t ϕ ϕ = +  = + t x C 2 2 2 48 3cos 4sin ρ θ θ= +（Ⅰ）当 时，把直线 的参数方程化为普通方程，把椭圆 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）直线 交椭圆 于 ， 两点，且 ， 中点为 ，求直线 的斜率. 23.【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 . （Ⅰ）若 恒成立，求实数 的取值范围； （Ⅱ） 的解集为 ，求 和 . 参考答案 1.A 【解析】 ，故子集个数为 ，非空真子集个数为 30. 2.C 【解析】 ，故 . 3.B 【解析】 ，故 . 4.A 【解析】由题知， ， ， ，由勾股定理可知 ，故选 A. 5.A 【解析】第 4 局甲胜，且前 3 局胜 2 局，故所求概率为 . 6.D 【 解 析 】 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 ， 点 到 渐 近 线 的 距 离 为 1 ， 即 ，即 . 7.B 【解析】如图， ， ，则 ， ， .故 .在 中，由余弦定理得： ，故 . 3 πϕ = l C l C A B A B ( )2,1M l ( ) 2f x x a x= − + − ( ) 3f x ≥ a ( )f x x≤ [ ]2,m a m { }1,2,3,4,5A = 52 32= ( )( )1 3 11 3 21 2 i iiz ii + −+= = = ++ 5z = 3 3 3 1sin sin cos cos sin cos2 2 2 3 π π πα α α α + = + = − =   1cos 3 α = − AC x= AB y= BC z= 2 2 2x z y+ = 2 2 3 2 2 1 8 3 3 3 27P C  = ⋅ ⋅ =   1C 0bx ay− = ( )2,0 2 2 2 2 2 1 3b a b a b = ⇒ = + 3 3 b a = 2OA a=  OB b=  OA OB=  2a b OC+ =   2a b BA− =   3OC AB=  OAC△ 120OAC∠ = ° 60AOB∠ = °8.C 【解析】 ， ，则 ， .因为 的图象在 上有且仅有两条对称轴， 则 则 解得 . 9.B 【 解 析 】 由 题 意 得 ， ， 化 简 得 ， 故 在 上 为 增 函 数 . ，故 的最大值为 . 10.B 【 解 析 】 令 ， 得 ： . 由 于 ， 即 ， . 令 ， 解 得 ，令 ，得 . 11.C 6 2x k π πω π+ = + k Z∈ 3 k x π π ω + = k Z∈ ( ) sin 6f x x πω = +   ( )0,π ( ) ( ) ( ) 13 0, 3 0, 13 , 23 , k k k k π π ω π π ω π π πω π π πω  + − ≤   + >  + +    > +   ≤ + 4 7,3 3 ω  ∈   2 1 1 2ln lnx x x x< 1 2 1 2 ln lnx x x x < ( ) ln xf x x = ( )0,m ( ) 2 1 ln 0 0xf x x ex −′ = ≥ ⇒ < ≤ m e 1x = 3 243 5n n= ⇒ = ( ) ( ) ( ) 6 62 5 5 51 0 1 5 0 1 21 1 22 6 2 6 x a xa xx a a x a x a x ′ ′′ +   ′⋅ = + = + +⋅⋅⋅+ = + +⋅⋅⋅+           ( )6 62 51 0 1 2 12 2 6 x a xa xa x ′ ′ +  = + +⋅⋅⋅+        ( )6 62 51 0 1 2 12 2 6 x a xa xa x C +∴ = + +⋅⋅⋅+ + 0x = 1 12C = 1x = 0 51 2 182 1 2 3 6 3 a aa a+ + +⋅⋅⋅+ =【解析】该几何体嵌入棱长为 2 的正方体，即四面体 ，计算得： ， ， ， ， .故最长的棱为 . 12.A 【解析】令 ，则 为两点 ， 距离 的平方.画出 与 的图象.设 ， ，两函数图象在 ， 处的切线斜 率 都 为 1 ， . 当 时 ， 可 知 为 最 小 值 . 即 ， 解 得 ，当 时，显然成立，故 . 13. 【 解 析 】 是 偶 函 数 ， 故 为 奇 函 数 ， . 对 ， 即 在 上 为 增 函 数 . . 14. 【解析】目标函数化为 ， 时，可知：最优解在直线 上，而 在可行域内， 且满足 .故可知：实数 的取值范围是 . 15. 【解析】设 分别切 ， 延长线， 延长线于 ， ， ，则四边形 是正方形.而 ， ， 故 . 16. A BCD− 5AB = 2 2AC = 3AD = 6BD = 5CD = 3AD = ( )2t f x= ( ) ( ) ( )2 2 1 2 1 2 2 1,S x x x f x x f x= − + −       ( )( )1 1,x f x ( ), tt e a+ ( )y f x= xy e a= + ( )1 ,0A a+ ( )0,1B a+ A B 1ABk = − 1a > − 2AB ( )1 2,S x x ( ) 2 4 2 1a ≥ +  1 2 1a− < ≤ − 1a ≤ − 2 1a ≤ − 1 ,13      ( )f x ( ) ( )2lgg x x a x= + + ( )0 0 1g a= ⇒ = ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 20 0 0x x g x g x x g x x g x< < ⇒ < < ⇒ < < ( )f x ( )0,+∞ ( ) ( ) ( )2 2 12 1 2 1 2 1 13f x f x x x x x x∴ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤ ( ]1,2− 2y x z= + 2z = 2 2 0x y− + = ( )0,2 2 2 0x y− + = k ( ]1,2− 2 2 M AB 1F A 1F B P Q R 1F RMQ 1 1F R F B BP= + 1 1FQ F A AP= + 1 1 1 1 14 4 2 2 2MF R FQ F A F B AB a F R r+ = + + = = ⇒ = = 4 105【解析】在 中， ①.在 中， ② . 由 ① ② 得 ： （ * ） ， （**）.（*）（**）两式平方相加得： ， ， 的 最 大 值 为 . 17.【解析】（Ⅰ）由 （*）得： （**），两式相减得： . 当 时， 满足此式，故对 ，有 ，化为： . 令 ，则 ，且 与 相减得： ， ， 故 ，即 ， 故 为奇数时， .又 ， 故 ， 故 为偶数时， ，故 . （ Ⅱ ） . 18.【解析】（Ⅰ）作 于 ，则由平面 平面 平面 . 取 中点为 ，则 . 又 为锐角， 点 ， 不重合. 平面 ， 又因为 ，所以 平面 . ABD△ 2 2 25 8 2 5 8cosBD A= + − × × CBD△ 2 2 26 7 2 6 7cosBD C= + − × × 21cos 20cos 1C A− = − 1 15 8sin 6 7sin 21sin 20sin2 2ABCD ABCDS A C C A S= × × + × × ⇒ + = ( )2 2 221 20 840cos 1 ABCDA C S+ − + = + 2 2 21 21 20 840 1681ABCDS∴ + ≤ + + = ABCDS∴ 1680 4 105= ( )( )1 2 2 3 1 1 1 23n na a a a a a n n n++ +⋅⋅⋅+ = + + ( ) ( )1 2 2 3 1 1 1 13n na a a a a a n n n−+ +⋅⋅⋅+ = − + ( )( )1 1 2n na a n n n+ = + ≥ 1n = 1 2 2a a = *Nn∈ ( )1 1n na a n n+ = + 1 11 n na a n n +⋅ =+ n n ab n = 1 1b = 1 1n nb b + = 1 1n nb b− = ( )1 1 0n n nb b b+ −− = 0nb ≠ 1 1n nb b+ −= 2 1 2 3 1 1k kb b b− −= = ⋅⋅⋅ = = n 1n nb a n= ⇒ = 2 1b = 2 2 2 2 1k kb b b−= = ⋅⋅⋅ = = n 1n nb a n= ⇒ = na n= ( )1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 11 2 2 3 1 2 2 3 1 1n na a a a a a n n n n n+ + +⋅⋅⋅+ = + +⋅⋅⋅+ = − + − +⋅⋅⋅+ − = − ⇒ − < < MNDC 1 1 2 2 c c− −= ( ) ( )( )1 18 4 2 1 1 2 2 2 12 2MNDC cS c c c −= × + × + × = − + + 1 c t+ = ( )( ) ( )( )22 2 2 2 0, 2MNDCS t t t= − + ∈ ( )( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2 6 4 2 4 6 2 3S t t t t t t t  ′ = − + + − ⋅ = − − + = − + −    20, 3       0S′ > 2 , 23       0S′ < 2 3t = S 128 2 27 x a< ( ) ( ) ( ) ( ) 270 40 56 40 14 16y x a a x a x a a= − + − − ⋅ − = + + − x a≥ 30y a= ( ) ( )2 *14 1 N6 , 30 , a x a a x ay x a x a  + + − 1t 2t ( ) ( )( )1 22 x xh x e t e t′ = − − ( )1,lnt−∞ ( ) 0h x′ > ( )1 2ln ,lnt t ( ) 0h x′ < ( )2ln ,t +∞ ( ) 0h x′ > 1 2 1 2 1 2 1 1 102 4 20 t t t t t t  + = ⇒ < < <