2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学（理）（三）试题

2020 届百校联考高考百日冲刺金卷 全国Ⅰ卷·理数（三） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置. 3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.本试卷满分 150 分，测试时间 120 分钟. 5.考试范围：高考全部内容. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2.已知 是虚数单位， ，则 （ ） A． B． C． D． 3.设 是等差数列 的前 项和，且 ， ，则 （ ） A．2017 B．2019 C．4036 D．4038 4.如图，长方形内部的阴影部分为六个全等的小正三角形顶点连接组成的图形 ，在长方形内随机取一点， 则此点取自阴影部分 的概率是（ ） A． B． C． D． 5.已知 为坐标原点，双曲线 的右焦点为 ，点 分别在双曲线 的两条 { }| 2 2xA x= > { }2| ,B y y x x= = ∈R ( )RA B∩ = [0,1) (0,2) ( ,1]−∞ [0,1] i 1 11 2 2z i i − =   |z|= 1 5 5 5 1 25 5 25 nS { }na n 9 7 30S S− = 2 2a = 2019a = T T 1 8 1 4 1 2 2 3 O 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > F ,A B C渐近线上， 轴， ，四边形 为梯形，则双曲线 离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 7.函数 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 8.已知 ， ，设 ， ， ，则 ， ， 的 大小关系为（ ） A． B． C． D． 9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） AF x⊥ 0BO BA⋅ > 1ab = 2a bx = 2log ( )y a b= + 1z a b = + log 2x x log 2y y log 2z z log 2 log 2 log 2x y zx y z> > log 2 log 2 log 2y z xy z x> > log 2 log 2 log 2x z yx z y> > log 2 log 2 log 2y x zy x z> >A．31 B．39 C．47 D．60 10.已知圆 与抛物线 相交于 两点，且 ，若抛物线 上 存在关于直线 对称的相异两点 和 ，则线段 的中点坐标为（ ） A． B． C． D． 11.已知三棱柱 内接于一个半径为 的球，四边形 与 均为正方形， 分别是 的中点， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 12.设函数 在区间 上单调，且 ，当 时， 取到最大值 4，若将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍得到函数 的 图象，则函数 零点的个数为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题~第 23 题为 选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13.已知向量 ， ，且 ，则向量 在 方向上的投影为______. 14.已知 的展开式中含 项的系数为 ，则实数 ______. 15.已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，若 ， ，则满足 的最大正整数 的值为______. 16.某饮料厂生产 两种饮料.生产 1 桶 饮料，需该特产原料 100 公斤，需时间 3 小时；生产 1 桶 饮 料，需该特产原料 100 公斤，需时间 1 小时，每天 饮料的产量不超过 饮料产量的 2 倍，每天生产两种 饮料所需该特产原料的总量至多 750 公斤，每天生产 饮料的时间不低于生产 饮料的时间，每桶 饮料 2 2: 3O x y+ = 2: 2 ( 0)C y px p= > ,A B | | 2 2AB = C : 2 0l x y− − = P Q PQ (1, 1)− (2,0) 1 3,2 2  −   (1,1) 1 1 1ABC A B C− 3 1 1A ACC 1 1B BCC ,M N 1 1 1 1,A B AC 1 1 1 1 2C M A B= BM AN 3 10 30 10 7 10 70 10 ( ) sin cos ( 0)f x a x b xω ω ω= + > ,6 2 π π     2 2 3 6f f f π π π     = = −           12x π= ( )f x ( )f x ( )g x ( ) 3y g x x π= − + (2,1)a = ( , 1)( )b m m= − ∈R (2 )b a b⊥ −   a b 91x ax  −   3x 21 2 − a = { }na n nS 1 2 3 4· ·n nT a a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ … 7 2a = 10 16a = n nS T> n ,A B A B A B A B A的利润是每桶 饮料利润的 1.5 倍，若该饮料厂每天生产 饮料 桶， 饮料 桶时 利润最大， 则 ______. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.在 中， ， 为 上一点，且 ， . （Ⅰ）若 ， 为钝角，求 的长； （Ⅱ）若 ，求 的周长. 18.已知某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过 的包裹收费 10 元；重量超过 的包裹，在收费 10 元的基础上，每超过 （不足 ，按 计算）需再收 5 元.该快递公司承揽了一个工艺品厂家的全 部玻璃工艺品包裹的邮寄事宜，该厂家随机统计了 100 件这种包裹的两个统计数表如下： 表 1 包裹重量 包裹数 40 25 20 10 5 损坏件数 1 3 2 3 0 表 2 包裹重量 出厂价（元/件） 20 25 30 40 50 卖价（元/件） 60 65 70 90 110 （Ⅰ）估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值； （Ⅱ）将包裹重量落入各组的频率视为概率，该工艺品厂家承担全部运费，每个包裹只有一件产品，如果 客户收到有损坏品的包裏，该快递公司每件按其出厂价的 赔偿给厂家.现该厂准备给客户邮寄重量在区 间 和 内的工艺品各 1 件，求该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望. 19.如图，在三棱锥 中， 是等边三角形， ， ， 为三棱锥 外一点，且 为等边三角形. B A m B n ( )*,m n∈N m n+ = ABC△ 2 3AB = D BC 3BC BD= 2AD = 30B = ° ADB∠ CD sin 3 sin 3 BAD CAD ∠ =∠ ABC△ 1kg 1kg 1kg 1kg 1kg ( )kg (0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] ( )kg (0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] 90% (2,3] (3,4] A BCD− ABD△ BC CD⊥ 2BC CD= = E A BCD− CDE△（Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）若平面 平面 ，平面 平面 所成锐二面角的余弦值为 ，求 的长. 20.已知椭圆 的一个短轴端点为 ，过椭圆 的一个长轴端点作圆 的两条切线，且切线互相垂直. （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）过点 分别作出直线 交椭圆 于 两点，设这两条直线的斜率分别为 ，且 ，求圆 上一点 到直线 所过定点 的最小距离. 21.已知函数 的最大值为 . （Ⅰ）求函数 的解析式； （Ⅱ）若方程 有两个实根 ，且 ，求证： . 请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所 选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. 22.【选修 4—4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 的极坐标分别为 ， ， ，且 的 顶点都在圆 上，将圆 右平移 3 个单位长度后，得到曲线 . （Ⅰ）求曲线 的直角坐标方程； AC BD⊥ ABD ⊥ BCD ABD ECD 3 3 BE 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > (0,1)M 1C 2 2 2 2 :C x y b+ = 1C M ,MA MB 1C ,A B ,MA MBk k 4MA MBk k+ = 2C P AB Q ( ) ln ( )f x x ax a= − ∈R 1− ( )f x 1( ) 2 2f x x x = − − 1 2,x x 1 2x x< 1 2 1x x+ > xOy 1C 21 2 21 2 x t y t  = −  = + t x , ,A B C 4, 6 π    54, 6 π    34, 2 π    ABC△ 2C 2C 3C 3C（Ⅱ）设 ，曲线 与 相交于 两点，求 的值. 23.【选修 4—5：不等式选讲】 已知函数 . （Ⅰ）求不等式 的解集； （Ⅱ）若 ， ，对 ，不等式 恒成立，求 的最小值. 2020 届百校联考高考百日冲刺金卷 全国Ⅰ卷·理数（三）参考答案 1.D 【解析】 ， ， ，所 以 . 2.B 【解析】 ， . 3.C 【解析】由 ，得 ，所以 ，又 ，所以 ， ，所以 ，所以 . 4.B 【解析】设小三角形的边长为 1，每个小三角形的面积为 ，六个小三角形的面积之和为 ，又长方形的宽为 3，长为 ，所以长方形的面积为 ，故此点取自阴影部 分 的概率是 . 5.A 【 解 析 】 设 ， 所 以 ， 直 线 的 方 程 为 ， 直 线 的 方 程 为 ，解得 ， ，又直线 的方程为 ，则 ， ，又因为 ，所以 ， ， . 6.B 【解析】根据三视图，此几何体为一个半球挖去个正四棱锥后剩余的几何体，正四棱锥的底面边长为 (1,1)M 1C 3C ,P Q | | | |MP MQ⋅ ( ) |3 1| | 2 |f x x x= − + − ( ) 3f x  1m > 1n > x∀ ∈R 2 2 53log log ( )m n f x ⋅  mn { }| 2 2 { | 1}xA x x x= > = > R { | 1}A x x∴ =  { }2| , { | 0}B y y x x y y= = ∈ =R  ( )R { |0 1}B xA x∩ =   1 i i i(2 i) 1 2i2 1 2 i 5 51 i2 z + − += = = =−− 2 21 2 5| | 5 5 5z    = − + =       9 7 30S S− = 8 9 30a a+ = 12 15 30a d+ = 1 2a d+ = 2d = 1 0a = 0 2( 1) 2 2na n n= + − = − 2019 2 2019 2 4036a = × − = 3 4 3 3 36 4 2 × = 34 2 32 × = 6 3 T 3 3 12 46 3 = ( ,0)F c 2 2c a b= + OB by xa = − BF ( )by x ca = − ,2 2 c bcB a  −   2 2 c bcBO a  = − ⋅    OA by xa = , bcA c a     3,2 2 c bcBA a  =     0BO BA⋅ 1ab = 1a > 12a b∴ < 12a b∴ < 2 2log ( ) log 2 1a b ab+ > = 1 12a b a a bb + > + > + 2 1 log ( )a a bb ∴ + > + 1x∴ < 1z y> > log 2 1 log 2 1x xx = + < log 2 1 log 2 1y yy = + > log 2 1 log 2 1z zz = + > log 2y log 2z 2 2log logy z = log 2 log 2 log 2y z xy z x> > 0T = 1n = 8T = 2n = 8 4T = + 3n = 8 4 4T = + + 4n = 8 4 4 8T = + + + 5n = 8 4 4 8 0T = + + + + 6n = 8 4 4 8 +0 12T = + + + + 7n = 8 4 4 8 0 12 4T = + + + + + − 8n = 8 4 4 8 0 12 4 16T = + + + + + − + 9n = 8 4 4 8 0 12 4 16 8T = + + + + + − + − 10n = 8 4 4 8 0 12 4 16 8 20T = + + + + + − + − + 11n = 8 4 4 8 0 12 4 16 8 20 60T = + + + + + − + − + = ,A B x ,A B 2± 2 2 ( 0)y px p= > 2 2y x= ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y 2 1 1 2 2 2 2 2 , , y x y x  =  = ( )( ) ( )1 2 1 2 1 22y y y y x x− + = − 1 2 2 PQk y y ∴ = + ,P Q l 1PQk∴ = − 1 2 2y y+ = − 1 2 12 y y+∴ = − PQ l 1 2 1 2 2 12 2 x x y y+ +∴ = + = ∴ PQ (1, 1)− 1 1 1 1 2C M A B= AC BC⊥ 1 1A ABB 1AC BC CC= = 2 22 34 4 AC ACR = + = 2AC∴ = BC D , ,MN ND AD ,M N 1 1 1 1,A B AC 1 1 1 2MN B C∴  1 1 1 2BD B C MN BD∴ 四边形 为平行四边形，因此 ， （或其补角）为异面直线 与 所成的角. 因为 ，则 ， ， ，在 中，由余弦定理得 ，故异面直线 与 所成角的余弦值为 . 12.D 【解析】设 ， ，即 ，又 ， 为 的一条对称轴，且 ，则 为 的一个对称中心，由于 ，所以 与 为同一周期里相邻的对称轴和对称中心，则 ， .又 ， 且 ， 解 之 得 ， . 故 ， 由 图 象 变 换 可 得 ， . 因 为 在 处 的 切 线 斜 率 为 ， 又 在 处切线斜率不存在，即切线方程为 .所以 右侧 图象较缓，如图所示，同时 时， ，所以 的零点有 7 个. 13. 或 【 解 析 】 根 据 题 意 ， ， ， ， BDNM ND BM AND∴∠ BM AN 1 2AC BB BC= = = 6BM ND= = 5AN = 5AD = ADN△ 2 2 2 30cos 2 10 ND AN ADAND ND AN + −∠ = =⋅ BM AN 30 10 2 2( ) sin( )( 0)f x a b xω ϕ ω= + + > 1 2 2 6 2 2 Tπ π π π ω ω∴ − = ⋅ = 0 3ω<  2 2 3 6f f f π π π     = = −           2 72 3 2 12x π π π+ ∴ = = 2 2( ) sin( )f x a b xω ϕ= + + 2 6 2 3 π π π+ = ,03 π    2 2( ) sin( )f x a b xω ϕ= + + 0 3ω<  7 12x π= ,03 π    74 12 3T π π π = − =   2ω∴ = 2 2 4a b+ = 2 2sin cos12 12 12f a b π π π  = +   2a = 2 3b = ( ) 2sin2 2 3cos2 4sin 2 3f x x x x π = + = +   ( ) 4sin 3g x x π = +   ( ) 4sin 3g x x π = +   ,03 π −   4cos 43 3 3g π π π   ′ − = − + =       3y x π= + ,03 π −   3x π= − 3x π= − ( )g x 43x π+ > 16 3x π> − ( ) 3y g x x π= − + 2 2 10 2 2 (4 ,3)a b m− = −  (2 )b a b⊥ −    (4 ) 3 0m m∴ − − =或 ，所以向量 在 方向上的投影为 或 . 14.2 【 解 析 】 ， 所 以 由 ， 得 系 数 为 ， . 15.12 【 解 析 】 根 据 题 意 ， ， ， ， 所 以 ， 记 ， ， 由 题 意 ， 即 ， ， ， 因 此 只 需 ， ， ，由于 为整数，因此 最大为 的整数部分，即为 12. 16.7 【解析】设每天 两种饮料的生产数量分别为 桶， 桶，则有 则其表 示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数为 ，则 ， 表示直线在 轴上的截 距，因为 只取整数，所以当直线 经过点 即 ， 时， 取得最大值，则 . 17.【解析】（Ⅰ）在 中，由正弦定理得 ， ， 解得 ， 1m∴ = 3m = a b 1 2 2| | 2 a b b ⋅ = =    5 10 210 = 9 9 2 1 9 9 1 1C C r r r r r r rT x xax a − − +    = − = −       9 2 3 3r r− = ⇒ = 3 3 9 1 21C 2a  − = −   2a∴ = 7 2a = 10 16a = 2q∴ = 62n na −= ( ) 1 2 1 1 232 1 2 n n nS a a a − = + +…+ = − 2 1 32 n −= ( 11) 5 4 6 2 1 2 2 2 2 2 n n n n nT a a a − − − −= ⋅ ⋅…⋅ = ⋅ ⋅…⋅ = n nS T> ( 11) 2 5 2 1 22 n nn −− > 2( 11) 11 1052 22 1 2 2 n n n n n − − ++∴ − > = 2 11 10 22 2 1 v n n − + ∴ − > 2 11 10 2 n nn − +> 2 13 10 0n n∴ − + < 13 129 13 129 2 2n − +∴ < < n n 13 129 2 + ,A B x y 0, 0, 2 , 3 , 100 100 750 0, x y x y x y y x     + −      1.5z x y= + 1.5y x z= − + z y ,x y 1.5y x z= − + (4,3) 4m = 3n = z 7m n+ = ABD△ sin sin AB AD ADB B =∠ 2 3 2 sin sin30ADB ∴ =∠ ° 3sin 2ADB∠ =则 ， ， 所以 ， 所以 . （Ⅱ）由 ，得 ， 所以 ， 因为 ， ，所以 ， 由余弦定理得 ； ， ； ， 可得 ，所以 ， 故 的周长为 . 18.【解析】（Ⅰ）根据题意，设公司对每件包裹收取的快递费的平均值为 ， （元）. （Ⅱ）重量在 的产品数为 20，其损坏率为 .重量在 的产品数为 10，其损坏率为 ， 设重量在 的这件产品的利润记为 ， 则 ， ， 设重量在 的这件产品的利润记为 ， 则 ， ，所以 ， 则 ， ， ， ， 120ADB∠ = ° 30BAD∠ = ° 2AD BD= = 2 4CD BD= = 3BC BD= 1 2 BAD CAD S S =△ △ 1 sin 12 1 2sin2 BAD CAD AB AD BADS S AC AD CAD ⋅ ∠ = = ⋅ ∠ △ △ sin 3 sin 3 BAD CAD ∠ =∠ 2 3AB = 4AC = 2 2 2(2 ) 2 2 cosAC AD x AD x ADC= + − ⋅ ∠ 2 2 2 2 cosAB AD x AD x ADB= + − ⋅ ∠ 2 2 24 2 (2 ) 2 2 2 cosx x ADC= + − × ⋅ ∠ 2 2 2(2 3) 2 2 2 cosx x ADB= + − × ⋅ ∠ 42 3x = 42BC = ABC△ 2 3 4 42+ + x 40 10 25 15 20 20 10 25 5 30 15.75100x × + × + × + × + ×= = (2,3] 2 0.120 = (3,4] 3 0.310 = (2,3] X 1 70 30 20 20X = − − = 2 (30 20) 30 0.9 23X = − + + × = − ( ]3,4 Y 1 90 40 25 25Y = − − = 2 (40 25) 40 0.9 29Y = − + + × = − 45,2, 9, 52X Y+ = − − ( 45) 0.9 0.7 0.63P X Y+ = = × = ( 2) 0.1 0.7 0.07P X Y+ = = × = ( 9) 0.9 0.3 0.27P X Y+ = − = × = ( 52) 0.1 0.3 0.03P X Y+ = − = × =所以其分布列为： 利润 45 2 0.63 0.07 0.27 0.03 根据题意， . 19.【解析】（Ⅰ）取 的中点 ，连接 ，因为 是等边三角形，所以 ， 又因为 ，所以 ， 因为 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，故 . （Ⅱ）因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ， 且 ， ，故以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系， 取 的中点 ，连接 ， 同理可证 平面 ， ， ， 设 ， 则 ， ， ， ， ， ， 所以 ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 9− 52− P ( ) 45 0.63 2 0.07 9 0.27 52 0.03 24.5E X Y+ = × + × − × − × = BD O ,OC OA ABD△ AO BD⊥ BC CD= CO BD⊥ CO AO O∩ = BD ⊥ AOC AC ⊂ AOC |AC BD ABD ⊥ BCD ABD ∩ CBD BD= AO ⊥ BCD 2BD = 3AO = O OC x OD y OA z CD F ,OF EF CD ⊥ EOF 2 2OF = 6 2EF = EFO π θ∠ = − (0,0,0)O (1,0,0)C (0,1,0)D (0,0, 3)A (0, 1,0)B − 3 1 3 1 6cos , cos , sin2 2 2 2 2E θ θ θ + +    ( 1,1,0)CD = − 3 1 3 1 6cos , cos , sin2 2 2 2 2CE θ θ θ = − +     ECD ( , , )n x y z= 0, 0, CD n CE n  ⋅ = ⋅ =    令 ，则 . 因为平面 的一个法向量为 ， 所以 ， ， 所以 ， ， 所以 或 . 因为 为三棱锥 外一点， 所以 ， 所以 . 20.【解析】（Ⅰ）根据题意， ， 又过椭圆 的一个长轴端点所作的圆 的两条切线互相垂直，所以 ， 所以 ，故椭圆 的方程为 . （Ⅱ）①当直线斜率存在时，设直线 方程为 ， ， ， 代入椭圆 的方程得 ， 所以 ， ， 故 ， ， 0, 3 1 3 1 6cos cos sin 0,2 2 2 2 2 x y x y zθ θ θ − + = ∴     − + + + ⋅ =       1x = cos1,1, 2 sinn θ θ  = − ⋅    ABD (1,0,0)OC = 2 2 1 3|cos , | 3cos2 2 sin OC n θ θ 〈 〉 = = + ⋅   2 2 cos 1 sin 2 θ θ∴ = 3cos 3 θ = ± 6sin 3 θ = (1,1,1)E (0,0,1)E E A BCD− (1,1,1)E 6BE = 1b = 1C 2C 2sin45 2 b a ° = = 2a = 1C 2 2 12 x y+ = AB y kx m= + ( ),A AA x y ( ),B BB x y 1C 2 2 21 2 1 02 k x kmx m + + + − =   2 2 1 2 A B kmx x k −+ = + 2 2 1 1 2 A B mx x k −⋅ = + 1A MA A yk x −= 1B MB B yk x −=所以 所以 ， 将 代入 得： ，所以直线必过 . ②当直线 斜率不存在时， ， ， ， 解得 ，则直线 也过点 . 故 ， 从而点 到点 的最小距离为 . 21.【解析】（Ⅰ） 的定义域为 ， ， 当 时， ，即函 在 上单调递增，无最大值. 当 时，令 ，可得 ， 当 时， ；当 时， ， 故函数 在 上单调递增，在 上单调递减. 所以 ， 1 1A B MA MB A B y yk k x x − −+ = + ( )A B B A A B A B y x y x x x x x + − += ( )( 1) 22 2 41 A B A B m x x kmk kx x m − += + = − =+ 12 km = − ∴ 12 km = − y kx m= + 12 ky kx= + − 1 , 12Q − −   AB 2 , 1 2 tA t   −    2 , 1 2 tB t   − −    2 2 1 1 1 1 22 2 4MA MB t t k k t t t − − − − − + = + = − = 1 2t = − AB 1 , 12Q − −   21 5| 1 1 12 2PQ  − + − = −   P Q 5 12 − ( )f x (0, )+∞ 1( ) ( 0)f x a xx ′ = − > 0a 1( ) 0f x ax ′ = − > ( )f x (0, )+∞ 0a > 1( ) 0f x ax ′ = − = 1x a = 10 x a < < 1( ) 0axf x x −′ = > 1x a > 1( ) 0axf x x −′ = < ( )f x 10, a     1 ,a  +∞   max 1( ) ln 1f x f aa  = = − −  所以 ， . 故 . （Ⅱ）设 , 因为 是函数 的两个零点， 所以 ， . 两式相减，可得 ， 即 ，故 . 那么 ， . 令 ，其中 ， 则 . 构造函数 ，则 . 对于 ， 恒成立，故 ， 所以 ，即 ， 因为 ，可知 ， 故 . 22.【解析】（1）由 ， 可得点 的直角坐标为 ， ln 1 1a− − = − 1a∴ = ( ) lnf x x x= − 1 1( ) ( ) 2 ln 2( 0)2 2G x f x x x xx x  = − − − = + − >   1 2,x x 1( ) ln 22G x x x = + − 1 1 1ln 2 02x x + − = 2 2 1ln 2 02x x + − = 1 2 2 1 1 1ln 2 2 x x x x = − 1 1 2 2 2 1 ln 2 x x x x x x −= 1 2 1 2 1 2 2ln x xx x x x −= 1 2 1 1 2 1 2ln x xx x x − = 2 1 2 1 2 1 2ln x xx x x − = 1 2 xt x = 0 1t< < 1 2 1 111 2ln 2ln 2ln tt t tx x t t t − −−+ = + = 1( ) 2lnh t t tt = − − 2 2 ( 1)( ) th t t −′ = 0 1t< < ( ) 0h t′ > ( ) (1)h t h< 1 2ln 0t tt − − < 1 2lnt tt − < ln 0t < 1 12ln t t t − > 1 2 1x x+ > cosx ρ θ= siny ρ θ= A (2 3,2)A点 的直角坐标为 ， 点 的直角坐标为 . 设圆 的直角坐标方程为 ，代入 可得 ， ， 所以圆 的直角坐标方程为 ， 故曲线 的直角坐标方程为 . （Ⅱ）由（Ⅰ）联立曲线 可得 ， 整理可得， ， 所以 ， ， 所以 . 23.【解析】（Ⅰ）原不等式可化为 ， ①当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以 ； ②当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以 ； ③当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以 ， 综上所述，不等式的解集为 或 . （Ⅱ）因为 所以 . 由 恒成立知， 不等式 恒成立. B ( 2 3,2)B − C (0, 4)C − 2C 2 2 2( )x y m r+ − = ,A C 2 2 2 2 12 (2 ) ( 4 ) , , m r m r  + − =  − − = 0m∴ = 4r = 2C 2 2 16x y+ = 3C 2 2( 3) 16x y− + = 1 3,C C 2 2 2 21 3 1 162 2t t    − − + + =        2 3 2 11 0t t+ − = 1 2 3 2t t+ = − 1 2 11t t = − 1 2 1 2| | | | | | | 11MP MQ t t t t⋅ = ⋅ = − = |3 1| | 2 | 3x x− + − ≥ 1 3x 3 1 2 3x x− + + − ≥ 0x 0x ≤ 1 23 x< < 3 1 2 3x x− + −  1x ≥ 1 2x