2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学（文）（二）试题

2020 届百校联考高考百日冲刺金卷 全国Ⅰ卷·文数（二） 第Ⅰ卷 一、选择题 1.已知集合 ，则 的非空真子集的个数为（ ） A.30 B.31 C.62 D.63 2.已知复数 满足： ，则 （ ） A.2 B.4 C. D.5 3. 为原点， ， ，则 点坐标为（ ） A. B. C. D. 4.袋中有 4 个球，3 个红色，1 个黑色，从中任意摸取 2 个，则恰为 2 个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 5.已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 6.双曲线 ： 的渐近线与圆 ： 相切，则双曲线 的渐近线方 程为（ ） A. B. C. D. 7.已知等差数列 的前 项和 满足： ，则 （ ） A. B. C. D. 8.李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋 元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和 旁切圆的性质.李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行， 多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几 { }*6 NA x x x= < ∈且 A z ( )1 1 3z i i⋅ + = + z = 5 ABCO□ ( )1, 2A − ( )2,3C B ( )3,1 ( )1, 5− − ( )1,5 ( )3, 1− − 1 3 2 3 1 4 1 2 3 1sin 2 3 π α + =   cosα = 1 3 1 3 − 2 2 3 2 2 3 − 1C ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 2C ( )2 22 1x y− + = 1C 1 2y x= ± 1 3y x= ± 2 2y x= ± 3 3y x= ± { }na n nS 37 23S S a− = 60S = 4a 30 7 a 5a 40 7 a何.翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点 处，乙向东行走到 处，甲向南行走到 处，甲看到乙，便从 走到 处，甲乙二人共行走 1600 步， 比 长 80 步，若按如图所示的程序框图执行求 ，则判断 框中应填入的条件为（ ） A. B. C. D. 9.已知函数 的图象在 上有且仅有两条对称轴，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10.已知： 在 上为增函数. ， ，则 ， 的 大小关系是（ ） A. B. C. D. ， 大小不能确定 11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（ ） A. B. C.3 D. C B A A B AB AC AB 2 2 2 ?x z y+ = 2 2 2 ?x y z+ = 2 2 2 ?y z x+ = ?x y= ( ) ( )sin 06f x x πω ω = + >   ( )0,π ω 31, 2     4 3,3 2      4 7,3 3      71, 3      ( ) 2 2 2 1, 1 , 1 x a xf x x a x  + − >=  + ≤ R ( )M f a= ( )4 4log 3 log 5N f= ⋅ ⋅ M N M N= M N> M N< M N 6 2 2 2 312.已知 则 （ ） A.1 B. C.2 D. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题 13.过 上一点 作曲线的切线，则切线方程为______. 14.已知 ， 满足线性约束条件 目标函数 的最大值为 2，则实数 的取值范围 是______. 15. 已 知 椭 圆 ： 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 ， ， 右 焦 点 与 抛 物 线 ： 的焦点重合.椭圆 与抛物线 交于 ， 两点， ， ， 三点共线，则椭圆 的离 心率为______. 16.数列 满足： ，且 恒成立，则 的最小 值为______. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.在 中， . （Ⅰ）求角 ； （Ⅱ）若 ，求 周长的最大值. 18.如图，在四棱锥 中， ， ， ， . 为 锐角，平面 平面 . （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ） 与平面 所成角的正弦值为 ，求三棱锥 的表面积. ( ) ( ) ( ) 12 , ,2 11 2 , ,2 x x f x f x f x x  ≤=   − − − > ( )2019f = 1− 2− 3 23y x x= − ( )2, 4− x y 2 0, 2, 2 0, x y x kx y + − ≥  ≤  − + ≥ 2z x y= − + k C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 1F 2F 2F E ( )2 2 0y px p= > C E A B A 2F B C { }na 1 2 132 5 3 1 2 n n aa a n + +⋅⋅⋅+ = −− ( )* 1 2 Nna a a m m+ +⋅⋅⋅+ ≤ ∈ m ABC△ tan2cos cos tan tan CA B A B = + C 3c = ABC△ P ABCD− 2AD = 1AB BC CD= = = //BC AD 90PAD∠ = ° PBA∠ PAB ⊥ PBD PA ⊥ ABCD AD PBD 2 4 P ABD−19.西部某贫困村，在产业扶贫政策的大力支持下，在荒山上散养优质鸡，城里有 7 个饭店且每个饭店一年 有 300 天需要这种鸡， 饭店每天需要的数量是 14～18 之间的一个随机数，去年 饭店这 300 天里每天需 要这种鸡的数量 （单位：只）如下表： 14 15 16 17 18 频数 45 60 75 60 60 这 300 天内，假定这 7 个饭店的情况一样，只探讨 饭店当天的需求量即可.这 300 天内，鸡厂和这 7 个饭 店联营，每天出栏鸡是定数 ，送到城里的这 7 个饭店，从饲养到送到饭店，每只鸡的成本 是 40 元，饭店给鸡厂结算每只 70 元，如果 7 个饭店用不完，即当天每个饭店的需求量 时，剩下的鸡 只能以每只 元的价钱处理. （Ⅰ）若 ，求鸡厂当天在 饭店得到的利润 （单位：元）关于 饭店当天需求量 （单位：只， ）的函数解析式； （Ⅱ）若 ，求鸡厂当天在 饭店得到的利润（单位：元）的平均值； （Ⅲ） 时，以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求鸡厂当天在 饭店得到的利 润大于 479 元的概率. 20.已知抛物线 上有两点 ， ，过 ， 作抛物线的切线交于点 ，且 . （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）斜率为 1 且过焦点的直线交抛物线于 ， 两点，直线 交抛物线于 ， 两点， 求四边形 面积的最大值. 21.已知函数 ， .且 与 的图象有一条斜率为 1 的公切线（ 为自然 对数的底数）. （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）设函数 ，讨论函数 的零点个数. 请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所 A A x x A ( )7 14 18a a≤ ≤ x a< 56 a− 15a = A y A x *Nx∈ 16a = A 17a = A ( )2 2 0x py p= > A B A B ( )2, 1Q − − 90AQB∠ = ° p M N ( )1y x c c= + < C D MNDC ( ) 2xf x e a= − ( ) xg x e b= − ( )f x ( )g x e b a− ( ) ( ) ( ) ln 2 1 2 2h x f x g x mx= − − + − ( )h x 2B选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. 22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆 的极坐标方程为 . （Ⅰ）当 时，把直线 的参数方程化为普通方程，把椭圆 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）直线 交椭圆 于 ， 两点，且 ， 中点为 ，求直线 的斜率. 23.【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 . （Ⅰ）若 恒成立，求实数 的取值范围； （Ⅱ） 的解集为 ，求 和 . 参考答案 1.A 【解析】 ，故子集个数为 ，非空真子集个数为 30. 2.C 【解析】 ，故 . 3.A 【解析】 ，故 . 4.D 【解析】设 3 个红球分别为 ， ， ，黑球为 .所有 2 个红球的取法有 3 种： ， ， .所有不同的 取法有 6 种： ， ， ， ， ， ，故所求概率为 . 5.B 【解析】 ，故 . 6.D 【 解 析 】 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 ， 点 到 渐 近 线 的 距 离 为 1 ， 即 xOy l 2 cos 1 sin x t y t ϕ ϕ = +  = + t x C 2 2 2 48 3cos 4sin ρ θ θ= + 3 πϕ = l C l C A B A B ( )2,1M l ( ) 2f x x a x= − + − ( ) 3f x ≥ a ( )f x x≤ [ ]2,m a m { }1,2,3,4,5A = 52 32= ( )( )1 3 11 3 21 2 i iiz ii + −+= = = ++ 5z = ( ) ( ) ( )1, 2 2,3 3,1OB OA OC= + = − + =   ( )3,1B a b c m ab ac bc ab ac bc am bm cm 3 1 6 2 = 3 3 3 1sin sin cos cos sin cos2 2 2 3 π π πα α α α + = + = − =   1cos 3 α = − 1C 0bx ay− = ( )2,0，即 . 7.B 【 解 析 】 ， . 8.A 【解析】由题知， ， ， ，由勾股定理可知 ，故选 A. 9.C 【解析】 ， ，则 ， .因为 的图象在 上有且仅有两条对称轴， 则 则 解得 . 10.B 【 解 析 】 由 题 意 ， ， 而 ，故 . 11.C 【解析】该几何体嵌入棱长为 2 的正方体，即四面体 ，计算得： ， ， ， ， .故最长的棱为 . 2 2 2 2 2 1 3b a b a b = ⇒ = + 3 3 b a = ( )24 37 37 23 24 25 37 24 3714 72 a aS S a a a a a a +− = + +⋅⋅⋅+ = ⋅ = + = ( )1 60 60 24 37 3060 302 7 a aS a a a += ⋅ = + = AC x= AB y= BC z= 2 2 2x z y+ = 6 2x k π πω π+ = + k Z∈ 3 k x π π ω + = k Z∈ ( ) sin 6f x x πω = +   ( )0,π ( ) ( ) ( ) 13 0, 3 0, 13 , 23 , k k k k π π ω π π ω π π πω π π πω  + − ≤   + >  + +    > +   ≤ + 4 7,3 3 ω  ∈   ( )221 2 1 1 1 0 1a a a a+ − ≥ + ⇒ − ≤ ⇒ = 2 2 4 4 4 4 4 log 3 log 5 log 16log 3 log 5 12 2 +   ⋅ < < =       ( ) ( ) ( )4 41 log 3 log 5f a f f= > ⋅ A BCD− 5AB = 2 2AC = 3AD = 6BD = 5CD = 3AD =12.B 【解析】 ， 即 ， 故 ， 故 . 13. 或 【解析】设切点坐标为 .①若 与 重合，则 .当 时， ，切线方 程 为 . ② 若 与 不 重 合 ， 则 ， 即 . 而 ， 故 原 式 化 为 ： ， 故 切 线 斜 率 为 ， 故 方 程 为 ： ，即 . 14. 【解析】目标函数化为 ， 时，可知：最优解在直线 上，而 在可行域内， 且满足 .故可知：实数 的取值范围是 . 15. 【 解 析 】 准 线 于 ， 则 . 四 边 形 是 正 方 形 ， 故 椭 圆 的 离 心 率 . 16.9 【 解 析 】 由 ， 得 ： . 两 式 相 减 得 ： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 1 2 1f x f x f x f x f x f x f x f x f x= − − − ⇒ + = − − = − − − − −   ( )2f x= − − ( ) ( )3f x f x+ = − ( ) ( ) ( )6 3f x f x f x+ = − + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02019 2016 3 3 2 1 1 0 1 0 2 1f f f f f f f f f= + = = − = − − = − = − = −   9 4 2 0x y+ − = 4y = − ( )0 0,x y ( )0 0,x y ( )2, 4− 23 6y x x′ = − 2x = 0k = 4y = − ( )0 0,x y ( )2, 4− 20 0 0 0 4 3 62 y x xx + = −− 3 2 20 0 0 0 0 3 4 3 62 x x x xx − + = −− ( )( )3 2 3 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 03 4 2 4 2 2x x x x x x x x− + = − − + = − − − 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 12 3 6 2 5 2 0 2x x x x x x x− − = − ⇒ − + = ⇒ = 3 934 4k = − = − ( )94 24y x+ = − − 9 4 2 0x y+ − = ( ]1,2− 2y x z= + 2z = 2 2 0x y− + = ( )0,2 2 2 0x y− + = k ( ]1,2− 2 1− AA′ ⊥ l A′ 2AA AF′ = 2 1A AF F′ C 1 2 1 2 1 2 1 2 1 F Fe AF AF = = = −+ + 1 2 132 5 3 1 2 n n aa a n + +⋅⋅⋅+ = −− 11 2 1 132 5 3 4 2 n n aa a n − −+ +⋅⋅⋅+ = −−， . 故 . 令 ， 则 . 两 式 相 减 得 ： ， 故 .而当 时， ，故 的最小值为 9. 17.【解析】（Ⅰ）由 . （Ⅱ） ， 当 时， 周长取最大值为 . 18.【解析】（Ⅰ）作 于 ， 则由平面 平面 平面 . 取 中点为 ， 则 . 又 为锐角， 点 与点 不重合. 平面 . 又 ， 与 为平面 内两条相交直线， 故 平面 . ( )1 23 1 2 n n a nn = ≥− 1 1 5 52 2 a a= ⇒ = 3 1, 2,2 5, 1, n n n na n − ≥∴ =   = 1 2 2 3 1 2 5 8 3 1 2 5 3 15 42 2 2 2 2 2n n n n na a a − −+ +⋅⋅⋅+ = + + +⋅⋅⋅+ = + + + 1 2 1 2 5 3 4 3 1 2 2 2 2n n n nS − − −= + +⋅⋅⋅+ + 2 3 1 1 2 5 3 4 3 1 2 2 2 2 2n n n nS + − −= + +⋅⋅⋅+ + 2 1 1 1 1 1 3 1 5 3 5 3 51 3 52 2 2 2 2 2 2n n n n n n nS S+ + − + + = + +⋅⋅⋅+ − = − ⇒ = −   1 2 3 54 9 92n n na a a S ++ +⋅⋅⋅+ = + = − < 5n = 5 3 5 59 82 × +− > m tan2cos cos tan tan CA B A B = + ( )tan 2cos cos tan tanC A B A B⇒ = + ( ) ( )2 sin cos cos sin 2sin 2sinA B A B A B C= + = + = ( )1cos 02 3C C C ππ⇒ = < < ⇒ = 2 2sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C = = = ⇒ = = = 22sin 2sin 3 2sin 2sin 33a b c A B A A π ⇒ + + = + + = + − +   3 12sin 2 cos sin 3 3sin 3 cos 3 2 3sin 3 3 32 2 6A A A A A A π   = + − + = + + = + + ≤      3A π= ABC△ 3 3 AM PB⊥ M PAB ⊥ PBD AM⇒ ⊥ PBD AM BD⇒ ⊥ AD Q // 1 90BC QD BQ CD QD QA ABD⇒ = = = = ⇒ ∠ = ° PBA∠ ∴ M B DB AB DBDB AM ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ PAB DB PA⇒ ⊥ PA AD⊥ DB AD ABCD PA ⊥ ABCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 平面 ， 故 即为 与平面 所成角， . 在 中， ， 故 ， ， ， . 而 ， 故所求表面积为： . 19.【解析】（Ⅰ）当 时， ， 当 时， ， ， ，得： . （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ， 300 天中，有 45 天的利润是 420 元/天，有 60 天的利润是 450 元/天，有 195 天的利润是 480 元/天， 所以鸡厂当天在 饭店得到的利润（单位：元）的平均值为 （元）. AM ⊥ PBD ADM∠ AD PBD 2 2 4 2 AM AMAD = ⇒ = Rt PAB△ 2 452AM PBA= ⇒ ∠ = ° 1PA = 1 2PABS =△ 1PADS =△ 3 2 2ABD AB BDS ⋅= =△ 2 3 690 2 2 2PBD PB BDPBD S ⋅ ×∠ = ° ⇒ = = =△ 1 3 6 3 3 612 2 2 2 + ++ + + = x a< ( ) ( )( ) ( ) 270 40 56 40 14 16y x a a x a x a a= − + − − − = + + − x a≥ 30y a= ( ) ( )2 *14 1 N6 , 30 , a x a a x ay x a x a  + + − ( ) ( )2ln 0 0h t h< = x → −∞ ( )h x → +∞ x → +∞ ( )h x → +∞ ( )2,lnt−∞ ( )2ln ,t +∞ ( )h x 1m = ( ) ( )12 12 x xh x e e ′ = + −   ( )h x ( )0 0h = ( )h x 0 1m< < ( ) ( )( )1 22 x xh x e t e t′ = − − 1 20t t< < 1m > ( )h x ( )2,lnt−∞ ( )2ln ,t +∞ ( )h x 0m = ( ) 2x xh x e e= − 1 08 m− < < 22 0t t m− − = 1 8 0m∆ = + > 1t 2t ( ) ( )( )1 22 x xh x e t e t′ = − − ( )1,lnt−∞ ( ) 0h x′ > ( )1 2ln ,lnt t ( ) 0h x′ < ( )2ln ,t +∞ ( ) 0h x′ > 1 2 1 2 1 2 1 1 102 4 20 t t t t t t  + = ⇒ < < <