2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学（文）（三）试题

2020 届百校联考高考百日冲刺金卷 全国Ⅰ卷·文数（三） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置. 3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.本试卷满分 150 分，测试时间 120 分钟. 5.考试范围：高考全部内容. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2.已知 是虚数单位， ，则复数 所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.已知 为坐标原点椭圆 ，过右焦点 的直线 轴，交椭圆 于 两点， 且 为直角三角形，则椭圆 的离心率为（ ） A． B． C． D． 4.如图，长方形内部的阴影部分为六个全等的小正三角形顶点连接组成的图形 ，在长方形内随机取一点， 则此点取自阴影部分 的概率是（ ） A． B． C． D． { }| 2 2xA x= > { }2| ,B y y x x= = ∈R ( )RA B∩ = [0,1) (0,2) ( ,1]−∞ [0,1] i 1 11 2 2z i i − =   z O 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > F l x⊥ C ,A B AOB△ C 1 5 2 − + 1 3 2 − + 1 2 1 5 2 − − T T 1 8 1 4 1 2 2 35.在 中， ， ， 为 上一点，且 ， ，则 的长为（ ） A． B． C．4 D． 6.已知 的最大值为 ，将 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍得到的函数解析式为（ ） A． B． C ． D． 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 8.函数 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 9.已知 ， ，设 ， ， ，则 ， ， 的 大小关系为（ ） A． B． C． D． ABC△ 2 3AB = 4AC = D BC 3BC BD= 2AD = BC 42 3 42 2 42 ( ) sin2 cos2f x a x b x= + 412f π  =   ( )f x 4sin 2 3y x π = +   4sin 3y x π = +   14sin 2 3y x π = +   4sin 4 3y x π = +   2 3 3 π − 2 2 3 π − 2 3 π 4 1 3 π − ( )2 | |( ) 2 | | xf x x x e= − 0a b> > 1ab = 2a bx = 2log ( )y a b= + 1z a b = + log 2x x log 2y y log 2z z log 2 log 2 log 2x y zx y z> > log 2 log 2 log 2y z xy z x> > log 2 log 2 log 2x z yx z y> > log 2 log 2 log 2y x zy x z> >10.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A．31 B．39 C．47 D．60 11.已知三棱柱 内接于一个半径为 的球，四边形 与 均为正方形， 分别是 的中点， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 12.已知函数 若 恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题~第 23 题为 选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13.已知向量 ， ，且 ，则 ______. 14.若 ，则 ______. 15.已知圆 与直线 相交所得圆的弦长是 ，若过点 作圆 的切线，则切线长为_______. 16.某饮料厂生产 两种饮料.生产 1 桶 饮料，需该特产原料 100 公斤，需时间 3 小时；生产 1 桶 饮 料，需该特产原料 100 公斤，需时间 1 小时，每天 饮料的产量不超过 饮料产量的 2 倍，每天生产两种 饮料所需该特产原料的总量至多 750 公斤，每天生产 饮料的时间不低于生产 饮料的时间，每桶 饮料 的利润是每桶 饮料利润的1.5倍，若该饮料厂每天生产 饮料 桶， 饮料 桶时 利润最大， 1 1 1ABC A B C− 3 1 1A ACC 1 1B BCC ,M N 1 1 1 1,A B AC 1 1 1 1 2C M A B= BM AN 3 10 30 10 7 10 70 10 2 2 e 1, 0,( ) 2 2, 0, x xf x x x x  − >= − − −  | ( ) |f x mx m [2 2 2,2]− [2 2 2,1]− [2 2 2,e]− [2 2 e,e]− (2,1)a = ( , 1)b m= − (2 )b a b⊥ −   a b⋅ =  3sin cos6 3 πα α + + = −   2cos 23 π α + =   2 2: 2 0( 0)M x y ay a+ − = > 0x y+ = 2 2 (3,0)A M ,A B A B A B A B A B A m B n ( )*,m n∈N则 ______. 三、解答题：解答应写出文字说明，证眀过程或演算步骤. 17.已知正项等比数列 满足 ， ，数列 的前 项和 . （Ⅰ）求数列 与 的通项公式； （Ⅱ）设 求数列 的前 项和 . 18.2019 年中央电视台在周日晚上推出的一档新的综艺节目，为了解节目效果，一次节目结束后，现随机抽 取了 500 名观众（含 200 名女性）的评分（百分制）进行分析，分别得到如图所示的两个频率分布直方图. （Ⅰ）计算女性观众评分的中位数与男性观众评分的平均分； （Ⅱ）若把评分低于 70 分定为“不满意”，评分不低于 70 分定为“满意”. （ⅰ）试比较男观众与女观众不满意的概率，并说明理由； （ⅱ）完成下列 列联表，并回答是否有 的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关. 女性观众 男性观众 合计 “满意” “不满意” 合计 参考数据： 0.05 0.010 0.001 3.841 6363 10.828 19. 如 图 ， 在 三 棱 锥 中 ， 是 等 边 三 角 形 ， 平 面 平 面 ， ， 为三棱锥 外一点，且 为等边三角形. m n+ = { }na 1 2a = 2 3 7 32a a = { }nb n 2 nS n n= − { }na { }nb , , , n n n a nc b n =   为奇数, 为偶数 { }nc n nT 2 2× 95% 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + ( )2P K k k A BCD− ABD△ ABD ⊥ BCD BC CD⊥ 2BC CD= = E A BCD− CDE△（Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）若 平面 ，求点 到平面 的距离. 20.已知抛物线 的焦点为 ，圆 与抛物线 相交于 两点，且 . （Ⅰ）若 为抛物线 上三点，若 为 的重心，求 的值； （Ⅱ）抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 和 ，求圆 上一点 到线段 的 中点 的最大距离. 21.已知函数 . （1）当 时，比较 ， ， 的大小； （Ⅱ）当 时，若方程 在 上有且只有一个解，求 的值. 请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所 选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. 22.【选修 4—4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 的极坐标分别为 ， ， ，且 的 顶点都在圆 上，将圆 右平移 3 个单位长度后，得到曲线 . （Ⅰ）求曲线 的直角坐标方程； AC BD⊥ AE ⊥ CDE E BCD 2: 2 ( 0)C y px p= > F 2 2: 3O x y+ = C ,M N | | 2 2MN = , ,A B E C F ABC△ | | | | | |FA FB FE+ +   C : 2 0l x y− − = P Q O G PQ H ( ) lnf x x x= − 1 2x< < ln x x 2ln x x     2 2 ln x x 10 2m<  2( ) 2 1f x mx mx m= − + + (0, )+∞ m xOy 1C 21 2 21 2 x t y t  = −  = + t x , ,A B C 4, 6 π    54, 6 π    34, 2 π    ABC△ 2C 2C 3C 3C（Ⅱ）设 ，曲线 与 相交于 两点，求 的值. 23.【选修 4—5：不等式选讲】 已知函数 . （Ⅰ）求不等式 的解集； （Ⅱ）若 ， ，对 ，不等式 恒成立，求 的最小值. 2020 届百校联考高考百日冲刺金卷 全国Ⅰ卷·文数（三）参考答案 1.D 【解析】 ， ， ，所 以 . 2.B 【解析】 . 3.A 【解析】根据题意， ，所以 ， ， ， ，解得 或 （舍）. 4.B 【解析】设小三角形的边长为 1，每个小三角形的面积为 ，六个小三角形的面积之和为 ，又长方形的宽为 3，长为 ，所以长方形的面积为 ，故此点取自阴影部 分 的概率是 . 5.D 【 解 析 】 设 ， 由 余 弦 定 理 ； ； 即 ； ，可得 ，所以 . (1,1)M 1C 3C ,P Q | | | |MP MQ⋅ ( ) |3 1| | 2 |f x x x= − + − ( ) 3f x  1m > 1n > x∀ ∈R 2 2 53log log ( )m n f x ⋅  mn { }| 2 2 { | 1}xA x x x= > = > R { | 1}A x x∴ =  { }2| , { | 0}B y y x x y y= = ∈ =R  ( )R { |0 1}B xA x∩ =   1 i i i(2 i) 1 2i2 1 2 i 5 51 i2 z + − += = = =−− 22| bAB a = 2bc a = 2b ac∴ = 2 2a c ac∴ − = 2 1 0e e∴ + − = 1 5 2e − += 1 5 2 − − 3 4 3 3 36 4 2 × = 34 2 32 × = 6 3 T 3 3 12 46 3 = BD x= 2 2 2(2 ) 2 2 cosAC AD x AD x ADC= + − ⋅ ∠ 2 2 2 2 cosAB AD x AD x ADB= + − ⋅ ∠ 2 2 24 2 (2 ) 2 2 2 cosx x ADC= + − × ⋅ ∠ 2 2 2(2 3) 2 2 2 cosx x ADB= + − × ⋅ ∠ 42 3x = 42BC =6.B 【解析】设 ， ，且 ，解之 得 ， .故 ，将 图象上所有点的横坐标伸 长为原来的 2 倍，得到 . 7.B 【解析】根据三视图，此几何体为一个半球挖去个正四棱锥后剩余的几何体，正四棱锥的底面边长为 ，高为 1，所以四棱锥的体积为 ，半球的体积为 ，故该几何体的 体积为 . 8.B 【解析】根据题意， 显然为偶函数，排除 C；代入 ，则 ， 排除 A，D．故选 B． 9.B 【解析】因为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 因 为 ， ， ， 则 只 要 比 较 ， 的 大 小 即 可 ， ， ，所以 . 10.D 【解析】根据题意， ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ，故 输出的结果为 . 11.B 【 解 析 】 根 据 ， 可 知 ， 球 心 应 为 四 边 形 的 中 心 ， 又 因 为 ， 所 以 球 半 径 为 ， . 取 中 点 ， 连 接 ， 分别是 的中点， .又 ， ，则 四边形 为平行四边形，因此 ， （或其补角）为异面直线 与 所成的角. 2 2( ) sin(2 )f x a b x ϕ= + + 2 2 4a b+ = 2 2sin cos12 12 12f a b π π π  = +   2a = 2 3b = ( ) 2sin2 2 3cos2 4sin 2 3f x x x x π = + = +   ( )f x 4sin 3y x π = +   2 1 22 2 13 3 × × × = 32 213 3 ππ× × = 2 2 3 π − ( )2 | |( ) 2 | | xf x x x e= − 1x = (1) 1f e= − < − 0a b> > 1ab = 1a > 12a b∴ < 12a b∴ < 2 2log ( ) log 2 1a b ab+ > = 1 12a b a a bb + > + > + 2 1 log ( )a a bb ∴ + > + 1x∴ < 1z y> > log 2 1 log 2 1x xx = + < log 2 1 log 2 1y yy = + > log 2 1 log 2 1z zz = + > log 2y log 2z 2 2log logy z = log 2 log 2 log 2y z xy z x> > 0T = 1n = 8T = 2n = 8 4T = + 3n = 8 4 4T = + + 4n = 8 4 4 8T = + + + 5n = 8 4 4 8 0T = + + + + 6n = 8 4 4 8 +0 12T = + + + + 7n = 8 4 4 8 0 12 4T = + + + + + − 8n = 8 4 4 8 0 12 4 16T = + + + + + − + 9n = 8 4 4 8 0 12 4 16 8T = + + + + + − + − 10n = 8 4 4 8 0 12 4 16 8 20T = + + + + + − + − + 11n = 8 4 4 8 0 12 4 16 8 20 60T = + + + + + − + − + = 1 1 1 1 2C M A B= AC BC⊥ 1 1A ABB 1AC BC CC= = 2 22 34 4 AC ACR = + = 2AC∴ = BC D , ,MN ND AD ,M N 1 1 1 1,A B AC 1 1 1 2MN B C∴  1 1 1 2BD B C MN BD∴  BDNM ND BM AND∴∠ BM AN因为 ，则 ， ， ，在 中，由余弦定理得 ，故异面直线 与 所成角的余弦值为 . 12.A 【解析】作出函数 的图象如图所示；当 时；令 ，即 ， 令 ， 即 ， 解 得 ， 结 合 图 象 可 知 ， ； 当 时 ， 令 ，则此时 ， 相切，设切点 ，则 解得 ，观察可知，实数 的取值范围为 . 13.1 或 5 【解析】根据题意， ， ， ，解得 或 ，所以 或 5. 14. 【 解 析 】 由 展 开 化 简 可 得 ， 所 以 . 15.3 【解析】由题知圆 ，圆心 到直线 的距离 ，所 以 ， 解 得 . 故 圆 的 方 程 为 . 所 以 切 线 长 为 . 1 2AC BB BC= = = 6BM ND= = 5AN = 5AD = ADN△ 2 2 2 30cos 2 10 ND AN ADAND ND AN + −∠ = =⋅ BM AN 30 10 | ( ) |f x 0x 2 2 2x x mx+ + = 2 (2 ) 2 0x m x+ − + = 0∆ = 2(2 ) 8 0m− − = 2 2 2m = ± 2 2 2m = − 0x > 2 1xe mx− = 2( ) 1xf x e= − ( )h x mx= ( )02 0, 1xx e − 0 0 2 0 2 1 2 , , x x e mx e m  − =  = 2m = m [2 2 2,2]− 2 (4 ,3)a b m− = −  (2 )b a b⊥ −    (4 ) 3 0m m∴ − − = 1m = 3m = 1a b⋅ =  7 9 3sin cos6 3 πα α + + = −   1sin 3 3 πα + = −   2 22 1 7cos 2 1 2sin 1 23 3 3 9 π πα α     + = − + = − − =           2 2 2: ( ) ( 0)M x y a a a+ − = > (0, )a 0x y+ = 2 ad = 2 22 2 22 aa − = 2a = M 2 2( 2) 4x y+ − = 2 2(3 0) (0 2) 4 3− + − − =16.7 【解析】设每天 两种饮料的生产数量分别为 桶， 桶，则有 则其表 示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数为 ，则 ， 表示直线在 轴上的截 距，因为 只取整数，所以当直线 经过点 即 ， 时， 取得最大值，则 . 17.【解析】（Ⅰ）根据题意， ， ， ， ，故 ， 所以 ， 因为 ， ， 又 ，所以 . （Ⅱ）根据题意，数列 的奇数项构成一个等比数列，首项为 2，公比为 4， 数列 的偶数项构成一个等差数列，首项为 2，公差为 4， 所以当 为偶数时， ， 当 为奇数时， ， ,A B x y 0, 0, 2 , 3 , 100 100 750 0, x y x y x y y x     + −      1.5z x y= + 1.5y x z= − + z y ,x y 1.5y x z= − + (4,3) 4m = 3n = z 7m n+ = 1 2a = 2 2 5 32a = 1 2a∴ = 5 32a = 2q = 2n na = 2 nS n n= − ( )2 2 1 ( 1) ( 1) 2 2( 2)n n nb S S n n n n n n−  ∴ = − = − − − − − = −   1 1 0b S= = 2 2nb n= − { }nc { }nc n 2 2 12 1 4 (2 2 2) 2 22 1 4 2 2 3 n n n n n nT +  −  + − − = + = +− n 1 2 2 2 1 12 1 4 (2 2 4) 2 2 ( 1)2 21 4 2 3 2 n n n n n n n n nT T c − + −   −−  + − − − = + = + + = +−故 18.【解析】（Ⅰ）根据题意，设女性观众评分的中位数为 ， ， 男性观众评分的平均数为 （Ⅱ）（ⅰ）男性观众不满意的概率大， 记 表示事件：“女性观众不满意”； 表示事件：“男性观众不满意”， 由直方图得 的估计值为 ， 的估计值为 ， 所以男性观众不满意的概率大. （ⅱ）列联表如下图： 女性观众 男性观众 合计 “满意” 140 180 320 “不满意” 60 120 180 合计 200 300 500 所以 ， 故有 的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关. 19.【解析】（Ⅰ）取 的中点 ，连接 ， 因为 是等边三角形，所以 ， 又因为 ，所以 , 因为 ，所以 平面 , 因为 平面 ，故 . 2 2 2 1 2 2 ( 1) , ,3 2 2 2 , .2 3 n n n n n T n n + +  − −+=  − + 为奇数 为偶数 x 10 0.01 10 0.02 ( 70) 0.04 0.5x× + × + − × = 75x∴ = 55 0.15 65 0.25 75 0.3 85 0.2 95 0.1 73.5× + × + × + × + × = AC BC ( )AP C (0.01 0.02) 10 0.3+ × = ( )BP C (0.015 0.025) 10 0.4+ × = 2 2 500 (140 120 180 60) 5.208 3.841200 300 320 180K × × − ×= ≈ >× × × 95% BD O ,OC OA ABD△ AO BD⊥ BC CD= CO BD⊥ CO AO O∩ = BD ⊥ AOC AC ⊂ AOC AC BD⊥（Ⅱ）因为平面 平面 ， 平面 平面 ， 所以 平面 ， 且 ， ， 取 的中点 ，连接 ， 同理可证 平面 ， 平面 ， 共面， 所以平面 平面 ，作 垂直 于点 ，则 平面 ， 故点 到平面 的距离即为 ， 又 平面 ，所以 ， ， 所以 ， ， ， ， 由 ， 所以 . 20.【解析】（Ⅰ）因为 关于 轴对称，所以 的纵坐标为 ，横坐标为 1， 代入 ，可得 ， 依题意，设点 ， ， ， 又焦点 ， ABD ⊥ BCD ABD ∩ CBD CD= AO ⊥ BCD 2BD = 3AO = CD F ,OF EF CD ⊥ EOF CD ⊥ AOF , , ,A O F E∴ BCD ⊥ OFE EH OF H EH ⊥ BCD E BCD EH AE ⊥ CDE AE EF⊥ AE EC⊥ 2 2OF = 6 2EF = 14 2AF = 2AE = sin sin( )EFO AFO AFE∠ = ∠ + ∠ sin cos cos sinAFO AFE AFO AFE= ∠ ∠ + ∠ ∠ 2 3 2 7 += 6 2 3 2 6 3 3 2 7 7EH + += × = ,M N x ,M N 2± 2 2 ( 0)y px p= > 2 2y x= ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )3 3,E x y 1 ,02F    所以 ， 则 . （Ⅱ）设点 ， .则 则 ， ， 又 关于直线 对称， ， 即 ， ， 又 的中点一定在直线 上， ， 线段 的中点 坐标为 ， 故 从而 到 的最大距离为 . 21.【解析】（Ⅰ）函数 的定义域为 ， ， 令 ，得 ， 令 ，得 ， 所以函数 的单调递减区间为 ， 函数 的单调递增区间为 . 所以 ， 所以 ，即 ， 1 2 3 1 33 2 2x x x+ + = × = ( )1 2 3 1 2 3 1 1 1 3 3 3| | | | | | 32 2 2 2 2 2FA FB FE x x x x x x   + + = + + + + + = + + + = + =          ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y 2 1 1 2 2 2 2 2 , , y x y x  =  = ( )( ) ( )1 2 1 2 1 22y y y y x x− + = − 1 2 2 PQk y y ∴ = + ,P Q l 1PQk∴ = − 1 2 2y y+ = − 1 2 12 y y+∴ = − PQ l 1 2 1 2 2 12 2 x x y y+ +∴ = + = ∴ PQ H (1, 1)− 2 2| | ( 1) ( 1) 3 2 3GH ≥ − + − + = + G H 2 3+ ( )f x (0, )+∞ 1 1( ) 1 xf x x x −′ = − = 1 1( ) 1 0xf x x x −′ = − = > 1x > 1 1( ) 1 0xf x x x −′ = − = < 0 1x< < ( )f x (0,1) ( )f x (1, )+∞ ( ) ln (1) 1 0f x x x f= − > = > ln 0x x> > ln1 0x x > >所以 ； 又因为 ， 所以 （Ⅱ）设 ， 则 在 上有且只有一个零点， 又 ，故函数 有零点 ， ， 当 时， ， 又 不是常数函数，故 在 上单调递增， 函数 有且只有一个零点 ，满足题意 当 时，由 ，得 或 ，且 ， 由 ，得 或 ， 由 ，得 ， 故当 在 上变化时， ， 的变化情况如下表： 1 + 0 - 0 + 极大值 极小值 根据上表知 ， 2ln lnx x x x   2 2 2 ln ln lnx x x x x x   < ( ) 0g x′ > 0 1x< < 1 2x m > ( ) 0g x′ < 11 2x m < < x (0, )+∞ ( )g x′ ( )g x x (0,1) 11, 2m     1 2m 1 ,2m  +∞   ( )g x′ ( )g x 1 02g m      1 ,2m  +∞   ( )g x 1 2m = cosx ρ θ= siny ρ θ= A (2 3,2)A B ( 2 3,2)B − C (0, 4)C − 2C 2 2 2( )x y m r+ − = ,A C 2 2 2 2 12 (2 ) ( 4 ) , , m r m r  + − =  − − = 0m∴ = 4r = 2C 2 2 16x y+ = 3C 2 2( 3) 16x y− + = 1 3,C C 2 2 2 21 3 1 162 2t t    − − + + =        2 3 2 11 0t t+ − = 1 2 3 2t t+ = − 1 2 11t t = − 1 2 1 2| | | | | | | 11MP MQ t t t t⋅ = ⋅ = − = |3 1| | 2 | 3x x− + − ≥ 1 3x 3 1 2 3x x− + + − ≥ 0x 0x ≤ 1 23 x< < 3 1 2 3x x− + −  1x ≥ 1 2x