2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学（文）（一）试题

2020 届百校联考高考百日冲刺金卷 全国Ⅰ卷•文数（一） 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.设复数 ，则复数 的虚部为（ ） A. B. C. D. 3.为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在 学校进行抽样调查，则比较合适的 抽样方法为（ ） A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.不能确定 4.若双曲线 ： （ ， ）的离心率为 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5.执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件为 ，则输出 的值为（ ） A. B.2 C.－1 D.－2 6.《九章算术（卷第五）·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六 丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽 2 丈，长 7 丈；下底宽 8 尺，长 { }2| 4 3 0A x x x= − ≤ { }| 2 1B x y x= = − A B = 30, 4      ∅ 10, 2      1 3,2 4      4 2 7 3 iz i −= − z 17 29 − 17 29 1 29 − 1 29 A C 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > 13 3 C 2y x= ± 2 2y x= ± 2 3y x= ± 3 2y x= ± 2019n < A 1 24 丈，深 6 丈 5 尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为（ ）（注：1 丈 尺.） A.45000 立方尺 B.52000 立方尺 C.63000 立方尺 D.72000 立方尺 7.记单调递减的等比数列 的前 项和为 ，且 ，若 ，则数列 的公比为（ ） A. B. C. D. 8.图中小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 9.设函数 ，则函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10.设抛物线 ： （ ）的焦点 到其准线 的距离为 2，点 ， 在抛物线 上，且 ， ， 三点共线，作 ，垂足为 ，若直线 的斜率为 4，则 （ ） A. B. C. D. 11.记等差数列 的前 项和为 ，且 ， .若 成等比数列，则 （ ） A.13 B.15 C.17 D.19 12.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10= { }na n nS 3 76 9S = 2 8 3a = { }na 1 2 1 3 2 3 3 4 104 8 5 2π+ + 104 4 5 ( 2 2)π+ + − 104 8 5 ( 2 2)π+ + − 104 8 5 (2 2 2)π+ + − | | 2( ) e 5cosxf x x x= − − ( )f x C 2 2y px= 0p > F l A B C A B F BE l⊥ E EF | |AF = 17 8 9 8 17 16 33 16 { }na n nS 4 6 18a a+ = 11 121S = 2 143 , , ma a S ma = 4sin 5a = 4 3sin3 4b = 4 3cos3 4c = a b c a b c< < b c a< < a c b< < b a c< C C′ A B ( 6,0)D − ABD∆ ( ) | 1| | 3 5|f x x x= − + + ( ) 8f x > x 2( ) 2 | 3 5|f x m x x+ ≤ + + R m { }2 3| 4 3 0 | 0 4A x x x x x = − ≤ = ≤ ≤   { } 1| 2 1 | 2B x y x x x = = − = ≥   1 3,2 4A B  =    4 2 (4 2 )(7 3 ) 7 3 (7 3 )(7 3 ) i i iz i i i − − += =− − + 28 12 14 6 34 2 17 1 58 58 29 29 i i i i + − + −= = = − z 1 29 − 2 2 131 3 c be a a = = + = 2 2 131 9 b a + = 2 2 4 9 b a = 2 3 b a = C 2 3y x= ±5.B【解析】执行如图所示的程序框图，第一次， ， ； 第二次， ， ； 第三次， ， ； 第四次， ， ；…； 第二零一八次， ， ，此时输出 的值为 2. 6.B【解析】进行分割如图所示，故 立方尺. 7.C【解析】依题意， ，即 ， 解得 或 ，因为数列 单调递减，且 ，故 . 8.D【解析】由三视图可知，该几何体由一个四棱柱 和两个四分之一圆锥拼接而成，故表面积 . 9.B【解析】依题意，函数 的定义域为 ，关于原点对称， 且 ， 故函数 为偶函数，图象关于 轴对称，排除 C； 当 时， ，排除 D； ，排除 A. 1A = − 2n = 2A = 3n = 1 2A = 4n = 1A = − 5n = 2A = 2019n = A ( ) 1 1 2 A A MNE AMN DPQ D PQFD BCGH ADFEV V V V V− − − −= + + + 1 1 (8 20) 652 15 6 65 2 65 15 8 403 2 2 52000 + × = × × × × × + × × × + × =   1 2 3 76 9a a a+ + = 8 8 8 76 3 3 3 9qq + + = 2 3q = 3 2q = { }na 2 0a > 2 3q = (4 6) 4 2 4 4 4 6 4 2 52S + ×= × + × + × + × 21 1 14 4 2 4 2 2 2 2 22 2 2 π π+ × − × × +     × × × + × × × 40 16 24 8 5 16 2 8 2 2π π= + + + + − + + 104 8 5 (2 2 2)π= + + − ( )f x R | | 2( ) e 5cos( ) ( )xf x x x−− = − − − − | | 2e 5cos ( )x x x f x= − − = ( )f x y x → +∞ ( )f x → +∞ 2 2 2 2e 5cos e 02 2 2 2f π ππ π π π       = − − = − >              10.C【解析】依题意，抛物线 ： ，则 ； 设 ， ，则 ； 因为 ，解得 ，故 ， ， 即 ，故 ①， 而 ②，联立①②，解得 ， 则 ，则 . 11.C【解析】因为 ，所以 ，故 ， ， 则 ，因此 ， 故 ， ， ∵ 成等比数列， ∴ ，即 ，解得 ，故 . 12.A【解析】因为 ，故 ， 故 ； 令 ，故 ， 令 ，故 ， 故当 时， ， ，即 ， 故 在 上单调递减，故 ， 故 ，则 . 13.－12【解析】依题意， ， 因为 ，所以 ， 故 ，即 . 14. 【解析】令 ，故 ， C 2 4y x= (1,0)F ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )21,E y− 2 41 1EF yk = =− − 2 8y = − (16, 8)B − AF BFk k= 1 1 00 ( 8) 1 16 1 y x −− − =− − 1 115 8 8y x− = − 2 1 14y x= 1 1 2y = 2 1 1 1 4 16 yx = = 1 17| | 116 16AF = + = 11 121S = 611 121a = 6 11a = 4 7a = 6 4 26 4 a ad −= =− 1 4 13a a d= − = 1 ( 1) 2 2 1na n n= + − × = − 2(1 2 1) 2n n nS n + −= = 2 143 , , ma a S 2 2 143 ma S a⋅ = 2 29 27m = 9m = 9 17a = 3 4 4 π< 3 3sin cos4 4 < 4 3 4 3sin cos3 4 3 4b c= < = sin( ) xf x x = 2 cos sin( ) x x xf x x −′ = ( ) cos sing x x x x= − ( ) cos sin cos sing x x x x x x x′ = − − = − [ ]0,x π∈ ( ) 0g x′ ≤ ( ) (0) 0g x g≤ = ( ) 0f x′ ≤ sin( ) xf x x = [ ]0,π 4 3 5 4 4sin sin sin3 4 4 5 5 > > b a> a b c< < 2 (4,10) (1, ) (5,10 )m n λ λ+ = + = +  (2 )m m n⊥ +   (2 ) 0m m n⋅ + =   5 2 5 (10 ) 0λ× + × + = 12λ = − 9 5 4 4 n − ( )1 5n na aλ λ+ + = + 1 5 4n na a λ+ = +则 ，故 ，故 ， 即 ，即数列 是以 为首项， 5 为公比的等比数列，故 ， 即 . 15. 【解析】依题意， ， 故当 时， ， ， 此时 ，则 ， 故函数 在 上的取值范围为 . 16. 【解析】依题意， ， 因为 为奇函数，图象关于原点对称， 故 的图象关于 对称， 因为 ，故点 为曲线 的对称中心， 即点 的坐标为 . 17.【解析】（Ⅰ）因为 ， 且 ， 联立两式，解得 ， ， 4 9λ = − 9 4 λ = − 1 9 954 4n na a+  − = −   1 9 4 59 4 n n a a + − = − 9 4na −   5 4 − 19 5 54 4 n na −− = − ⋅ 19 5 9 554 4 4 4 n n na −= − ⋅ = − [ ]6,3− 2( ) 6 3sin cos 6sin 3f x x x x= − + 3 3sin 2 3cos2 6sin 2 6x x x π = + = +   2 x π π≤ ≤ 2 2xπ π≤ ≤ 7 1326 6 6x π π π≤ + ≤ 11 sin 2 6 2x π − ≤ + ≤   6 ( 3)f x− ≤ ≤ ( )f x ,2 π π     [ ]6,3− (2,3) 3 2( ) 6 11 3f x x x x= − + − 3( 2) ( 2) 3x x= − − − + 3y x x= − 3( ) ( 2) ( 2)+3f x x x= − − − (2,3) | | | |MN NP= N ( )y f x= N (2,3) sintan 2 2cos AMBAMB AMB ∠∠ = = −∠ 2 2sin cos 1AMB AMB∠ + ∠ = 2 2sin 3AMB∠ = 1cos 3AMB∠ = −故 ， 由正弦定理 ， 所以 . （Ⅱ）因为 ， 故 ， 所以 ， 在 中，由正弦定理 ， 故 ， 在 中，由余弦定理 ， 得 ， 解得 或 （舍去）. 所以 的面积 . 18.【解析】（Ⅰ）取线段 的中点 ，连接 ， ， 下面证明 平面 ： 因为 ，故 ， 又 ， 故四边形 为正方形，故 ， 又 平面 ， 平面 ， 故 平面 . （Ⅱ）因为 ， ， sin sin( )ABM AMB A∠ = ∠ + 2 2 2 1 2 4 2 3 2 3 2 6 −= × − × = sin sin AM AB ABM AMB =∠ ∠ sin 12sin 2 AB ABMAM AMB ⋅ ∠= = −∠ AMB CMB π∠ + ∠ = 1cos cos( ) cos 3CMB AMB AMBπ∠ = − ∠ = − ∠ = 2 2sin 3CMB∠ = ABM∆ sin sin BM AB A AMB = ∠ sin 3 sin 2 AB ABM AMB ⋅= =∠ BCM∆ 2 2 2 2 cosBC BM CM BM CM CMB= + − ⋅ ⋅ ∠ 217 9 3 124 4 2 3CM CM= + − × × × 2CM = 1CM = − BCM∆ 1 1 3 2 2sin 2 22 2 2 3S BM CM CMB= ⋅ ⋅ ∠ = × × × = AB E DE PE //BC PDE 90ABC BCD∠ = ∠ = ° //AB CD 1DC EB= = EBCD //BC DE BC ⊄ PDE DE ⊂ PDE //BC PDE BC PD⊥ BC CD⊥所以 平面 ， 又因为 平面 ， 所以平面 平面 ， 平面 平面 ， 在平面 内过点 作 直线 于点 ， 则 平面 ， 在 和 中， 因为 ， 所以 ， 又由题知 ，所以 ， 由已知求得 ，所以 ， 连接 ，则 ， 又求得 的面积为 ， 所以由 ，得点 到平面 的距离为 . 19.【解析】（Ⅰ）依题意，完善表（1）如下所示 愿意使用新能源租赁汽车 不愿意使用新能源租赁汽车 总计 男性 800 200 1000 女性 400 600 1000 总计 1200 800 2000 故 ， 故有 99.9%的把握认为市民对这款新能源租赁 汽车的使用态度与性别有关. （Ⅱ）依题意，表（2）中的数据整理如下： 时间 （分钟） 频数 150 200 100 50 BC ⊥ PCD BC ⊂ ABCD PCD ⊥ ABCD PCD  ABCD CD= PCD P PF ⊥ CD F PF ⊥ ABCD Rt PFA∆ Rt PFD∆ PA PD= 2 2 2 2AF PA PF PD PF DF= − = − = 45FDA∠ = ° AF FD⊥ 2AD = 1AF FD PF= = = BD 1 11 13 3P ABDV − = × × = PAD∆ 3 2 B APD P ABDV V− −= B PAD 2 3 3 2 2 2000 (800 600 200 400) 333.33 10.8281000 1000 1200 800K × × − ×= ≈ >× × × t ( ]20,30 ( ]30,40 ( ]40,50 ( ]50,60频率 0.3 0.4 0.2 0.1 故所求平均使用时间为 （分钟）. （Ⅲ）当 时， ， 当 时， ， 得： 当 时， ， 当 时， ， 令 ，解得 ， 故当 时，使用新能源租赁汽车上班更加合算， 当 时，使用滴滴打车上班更加合算； 当 时，两种方案情况相同. 20.【解析】（Ⅰ）因为 ， 故 ， 故点 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长为 4 的 椭圆（不包含长轴的端点）， 故点 的轨迹 的方程为 （ ）. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，设直线 的方程为： ， ， ， 联立 消去 得 ， ∴ 25 0.3 35 0.4 45 0.2 55 0.1 36× + × + × + × = 30 45t≤ ≤ 0.12 20y t= + 45 60t< ≤ 0.12 45 0.20( 45) 20 0.2 16.4y t t= × + − + = + 0.12 20,30 45, 0.2 16.4,45 60, t ty t t + ≤ ≤=  + < ≤ 30 45t≤ ≤ 23.6 25.4y≤ ≤ 45 60t< ≤ 25.4 28.4y< ≤ 0.2 16.4 27t + = 53t = 30 53t≤ < 53 60t< ≤ 53t = 2| |PQ QF= 1 2 1 1 1 2| | 4 | | 2QF QF QF QP PF F F+ = + = = > = Q 1F 2F Q E 2 2 14 3 x y+ = 2x ≠ ± 1( 1,0)F − MN 1x ky= − ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 2 2 1, 1,4 3 x ky x y = − + = x ( )2 24 3 6 9 0k y ky+ − − = 1 2 2 1 2 2 6 ,3 4 9 ,3 4 ky y k y y k  + = +  = − +∴ ， 令 ，则 ，∴ ， 令 ，则 ， 当 时， ， 在 上单调递增， ∴ ，当 时取等号， 即当 时， 面积的最大值为 3. 21.【解析】（Ⅰ）依题意， ， ， 故 ，而 ， 故所求切线方程为 ， 即 . （Ⅱ）依题意， ， 故 ， 显然 ，令 ，解得 或 ， 因为极大值 ，故 ， 此时，函数 ， 所以 . 令 ，得 ， 当 变化时， ， 变化情况如下表： 2 2 1 2 1 2 2 1 12 1 2 3 4F MN kS F F y y k∆ += ⋅ ⋅ − = + 2 1k t+ = 1t ≥ 2 12 13 F MNS t t ∆ = + 1( ) 3f t t t = + 2 1( ) 3f t t ′ = − [ )1,t ∈ +∞ ( ) 0f t′ > 1( ) 3f t t t = + [ )1,+∞ 2 12 313 F MNS t t ∆ = ≤ + 1t = 0k = 2F MN∆ (0, )x∈ +∞ ( ) 2 ln 2 lnf x x x x x x x′ = + − = (e) 2ef ′ = 2 2 21 1(e) e e e2 2f = − = 21 e 2e( e)2y x− = − 232 2y ex e= − 2 21( ) ln (1 ln )2g x x x x ax x= − + − ( ) (2 )lng x x a x′ = − 0a > ( ) 0g x′ = 2 ax = 1x = (1)M g= 2a > 2 23( ) ln2 4 2 8 a a aN h a g a = = = − +   1( ) ln 12 2 ah a a ′ = − −   1( ) ln 1 02 2 ah a a ′ = − − =   2ea = a ( )h a′ ( )h a a (2,2 )e 2e (2 , )e +∞+ 0 － ↗ 极大值 ↘ 所以函数 的最大值为 . 22.【解析】（Ⅰ）依题意，曲线 的普通方程为 ，即 ， 把公式 代入可得： ， 故曲线 的极坐标方程为 ， 设 ，则 ， 则有 ， 故点 的轨迹 的极坐标方程为 . （Ⅱ）曲线 （ ）的极坐标方程为 （ ）， 到曲线 的距离为 ， 曲线 与曲线 交点 ， 曲线 与曲线 交点 ， ∴ ， 故 的面积 . 23.【解析】（Ⅰ）依题意， ， 当 时，原式化为 ， 解得 ，故 ， ( )h a′ ( )h a ( )h a 2e(2e) 2h = C 2 2( 3) 9x y+ − = 2 2 6 0x y y+ − = cos sin x y ρ α ρ α =  = 2 6 sinρ ρ α= C 6sinρ α= ( , )N ρ ϕ , 2M πρ ϕ −   6sin 6cos2 πρ ϕ ϕ = − = −   N C′ 6cosρ ϕ= − 3 3y x= − 0y > 5 6 πθ = 0ρ > D 5 6 πθ = 6sin 36d π= = 5 6 πθ = C 53, 6A π     5 6 πθ = C′ 53 3, 6B π     | | 3 3 3AB = − ABD∆ 1 9 3 9| |2 2S AB d −= × × = | 1| | 3 5| 8x x− + + > 5 3x < − 1 3 5 8x x− − − > 3x < − 3x < −当 时，原式化为 ， 解得 ，故无解， 当 时，原式化为 ， 解得 ，故 ， 综上所述，不等式 的解集为 . （Ⅱ）依题意， ， 则 ， 即 ， 即 则只需 解得 ， ∴实数 的取值范围是 . 5 13 x− ≤ ≤ 1 3 5 8x x− + + > 1x > 1x > 1 3 5 8x x− + + > 1x > 1x > ( ) 8f x > ( , 3) (1, )−∞ − +∞ 2| 1| | 3 5| 2 | 3 |5x x m x x− + + + ≤ + + 2| 1| 2x x m− ≤ − 2 22 1 2x m x x m− + ≤ − ≤ − 2 2 2 ( 1) 0, 2 (1 ) 0, x x m x x m  + − + ≥  − + − ≥ 1 8( 1) 0, 1 8(1 ) 0, m m + + ≤  − − ≤ 9 8m ≤ − m 9, 8  −∞ −  