2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷数学（理）（二）试题

2020 届百校联考高考百日冲刺金卷 全国Ⅱ卷•理数(二) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 且 ， 则 的非空真子集的个数为（ ） A、30 B、31 C、62 D、63 2.已知复数 满足： ，则 （ ） A、2 B、4 C、 D、5 3.已知 ， 则 （ ） A. B. C. D. 4.李冶，真定栾城(今河北省石家庄市栾城区)人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数 学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术(设未知数并列方程的方法)，用以研究直角三角形内切圆和旁切圆 的性质.李冶 所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多 于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何. 翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点 处，乙向东行走到 处，甲向南行走到 处，甲看到乙，便从 走 到 处，甲乙二人共行走 1600 步， 比 长 80 步，若按如图所示的程序框图执行求 ，则判断框 中应填入的条件为（ ） { | 6A x x= < }*x∈N A z (1 ) 1 3z i i⋅ + = + | |z = 5 3 1sin 2 3 π α + =   cosα = 1 3 1 3 − 2 2 3 2 2 3 − C Ｂ A A Ｂ AB AC AB A、 B、 C、 D、 5.已知袋中有 3 个红球， 个白球，有放回的摸球 2 次，恰 1 红 1 白的概率是 ，则 （ ） A、1 B、2 C、6 D、7 6.已知双曲线 ，圆 . 是双曲线 右支上的一个动点，以 为圆心作 圆 与圆 相外切，则以下命题正确的是（ ） A、 过双曲线 的右焦点 B、 过双曲线 的右顶点 C、 过双曲线 的左焦点 D、 过双曲线 的左顶点 7.在 中， ， ， ， 内有一点 ，满足： ， 且 ， ， ，则 的最小值为（ ） A、1 B、2 C、 D、 8.已知函数 的一条对称轴为 ，且 在 上单调，则 的最大值为（ ） A、 B、3 C、 D、 9. 已 知 椭 圆 的 上 顶 点 为 ， 右 焦 点 为 ， 延 长 交 椭 圆 于 点 . ，则椭圆 的离心率 （ ） A、 B、 C、、 D、 10.已知 ，其中 ，则 （ ） A.182 B. C. D. 11.某几何体三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（ ） 2 2 2 ?x z y+ = 2 2 2 ?x y z+ = 2 2 2 ?y z x+ = ?x y= n 12 25 n = 2 2 : 14 5 x yC − = 2 2 1 :( 3) 16F x y+ + = Q C Q Q 1F Q C Q C Q C Q C ABC 5AB = 3AC = 4BC = ABC O CO CB CAλ µ= +   0λ > 0µ > 4 3 2λ µ+ = CO 2 2 2 sin( )( 0, (0,2 ))y xω ϕ ω ϕ π= + > ∈ 6x π= − ( )f x 4, 3 ππ     ω 5 2 7 2 8 3 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > B F BF E C ( 1)BF FCλ λ= >  E e = 1 1 λ λ − + 1 1 λ λ − + 2 2 1 1 λ λ − + 2 2 1 1 λ λ − + 0 1(1 2 )n n nx a a x a x+ = + + + 0 1 243na a a+ +…+ = 0 1 2 1 2 3 1 na aa a n + + +…+ =+ 182 3 91 3 182 9 A、 B、 C、3 D、 12.已知函数 ， 为自然对数的底数). ,使得 成立，则 实数 的最小值为（ ） A、1 B、 C、2 D、 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13. 已知 是偶函数， 则 的解集为 . 14.已知 ， 满足线性约束条件 ，目标函数 的最大值为 2，则实数 的取值范 围是 . 15.已知点 ， ， 是圆 上一点，则 的最小值为 16.公路北侧有一幢楼，高为 60 米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点 处测得 楼顶的仰角为 45°， 行走 80 米到点 处， 测得仰角为 30°， 再行走 80 米到点 处， 测得仰角为 .则 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知数列 满足 ， ，且数列 是等差数列. (Ⅰ)求数列 的通项公式； (Ⅱ)求数列 的前 项和 . 18.如图， 在四棱锥 中， ， ， ， , 6 2 2 2 3 ln( ) a xf x x += ( ) e 1(exg x = − (0, )x∃ ∈ +∞ ( ) ( )f x g x a e ln 2 2( ) lg( )f x x x a x= + + (2 1) ( )f x f x−  x y 2 0 2 2 0 x y x kx y + −   − +    2z x y= − + k (0,0)O (4,0)A M 2 2:( 2) 1C x y− + = | | | | OM AM A B C θ tanθ = { }na 1 1 3a = 2 4 15a = { }4 1 n n a a − { }na { }na n nS P ABCD− 2PA AD= = 1AB BC CD= = = / /BC AD 90PAD °∠ =为锐角，平面 平面 . (Ⅰ) 证明： 平面 ； (Ⅱ) 求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值. 19.直线 过点 ， 且交抛物线 于 两点， . (Ⅰ)求 ； (Ⅱ)过点 的直线交抛物线于 两点，抛物线上是否存在定点 ，使直线 斜率之和为定 值，若存在，求出 点坐标，若不存在，说明理由. 20.某养鸡厂在荒山上散养天然土鸡，城里有 7 个饭店且每个饭店一年有 300 天需要这种土鸡， 饭店每天 需要的数量是 14~18 之间的一个随机数，去年 饭店这 300 天里每天需要这种土鸡的数量 (单位：只)的 统计情况如下表： 14 15 16 17 18 频数 45 60 75 60 60 这 300 天内(假设这 7 个饭店对这种土鸡的需求量一样)，养鸡厂每天出栏土鸡 只，送到城里 的这 7 个饭店，每个饭店 只，每只土鸡的的成本是 40 元，以每只 70 元的价格出售，超出饭店需求量的 部分以每只 元的价钱处理. (Ⅰ)若 ，求养鸡厂当天在 饭店得到的利润 (单位：元) 关于需求量 (单位：只， ) 的函 数解析式； (Ⅱ)以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率，若养鸡厂计划一天出栏 112 只或 119 只土鸡， 为了获取最大利润，你认为养鸡厂一天应该出栏 112 只还是 119 只? 21.已知函数 ， . PBA∠ PAB ⊥ PBD PA ⊥ ABCD PCD PAB l (4,0) 2 2 ( 0)y px p= > ,A B 90AOB °∠ = p ( 1,0)− ,M N Q ,MQ NQ Q A A x x 7 (14 18)a a  a 56 a− 16a = A y x x∈N 2 2 , 0( ) 4e 2 , 0 x xf x x x =   ∴ = 0k = ω 8 3 ( )0 0,C x y ( ) 0 0 0 0 (1 )cxc x cBF FC bb y y λ λ λλ λ λ  + = = − = ⇒ ⇒ − =  = −    E 2 2 2 2 (1 ) 1 1e λ λ λ + ⋅ + = 2 2 2 1 1 (1 ) 1e λ λ λ λ − −= =+ +. 10.B 【解析】令 .得； . 由于 ， 即 ， ∴ 令 ，解得 ， 令 ，得 11.C 【 解 析 】 该 几 何 体 嵌 入 棱 长 为 2 的 正 方 体 ， 即 四 面 体 ， 计 算 得 ： ，故最长的棱为 . 12.A 【 解 析 】 ， 化 为 ： ， ， . 令 ，则 . 故 为增函数. ， ， 1 1e λ λ −= + 1x = 3 243 5n n= ⇒ = ( ) 626 5 5 51 0 1 5 0 1 (1 2 ) (1 2 )2 6 2 6 a xa xx x a a x a x a x ′′′ ′   + = + = + + + = + + +           626 51 0 (1 2 ) 12 2 6 a xa xx a x ′′   + = + + +      626 51 0 (1 2 ) 12 2 6 a xa xx a x C + = + +…+ + 0x = 1 12C = x = 1 0 51 2 182 1 2 3 6 3 a aa a+ + +…+ = A BCD− 5, 2 2, 3, 6, 5AB AC AD BD CD= = = = = 3AD = ln e 1xa x x + − (0, )x∃ ∈ +∞ e ln ( )xa x x x xϕ− − = 1 1( ) ( 1)e 1 ( 1) ex xx x xx x ϕ′  = + − = + −   1( ) exh x x = − 2 1( ) e 0xh x x ′ = + > ( )h x 1 02h  ⇒ > ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 1( ) e ln 1xx x x x x x x xx ϕ ϕ = − − = ⋅ − − − = a 1 ,13      ( )f x 2( ) lg( )g x x a x= + + (0) 0 1g a= ⇒ = ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 10 0 0x x g x g x x g x< < ⇒ < < ⇒ < < ( )2 2x g x ( )f x (0, )+∞ 2(2 1) ( ) | 2 1| | | (2 1)f x f x x x x∴ − ⇔ − ⇔ −  2 1 13x x⇔   ( 1,2]− 2y x z= + 2z = 2 2 0x y− + = (0,2) 2 2 0x y− + = k ( 1,2]− 1 3 ( , )M x y 2 2 2 2 2 2 | | | | ( 4) OM x y AM x y += − + 2 2( 2) 1x y− + = 2 21 ( 2)y x= − − 2 2 | | 4 3 101| | 4 13 4 13 OM x AM x x −= = − +− + − + [1,3]x∈ 2 2 | | | | OM AM 1 9 | | | | OM AM 1 3 3 77 77 O OP 60OP = 60, 60 3OA OB= =由余弦定理得： ， ， 两式相加得： ， 则 ， 故 . 17.【解析】(I)设 ， 则 ， 故 ， 即 . (Ⅱ)由 得 18.【解析】(Ⅰ)作 于 ， 则由平面 平面 平面 . 2 2 2 2 cosOA AB OB AB OB ABO= + − ⋅ ∠ 2 2 2 2 cosOC BC OB BC OB OBC= + − ⋅ ∠ ( )2 2 2 2 22 30800OA OC AB OB OC+ = + ⇒ = 20 77OC = 60 3 77tan 7720 77 θ = = 4 1 n n n ab a = − 1 21, 2b b= = 1 1nb b n n= + − = 2 24 1 4 1 n n n a nn aa n = ⇒ =− − 2 2 2 1 1 1 1 1 114 1 4 4 1 4 8 2 1 2 1n na n n n n    = = + = + −   − − − +    1 1 1 1 1 1 1 4 8 1 3 3 5 2 1 2 1n nS n n = + − + − + + − − +  2 2(2 1) n n n += + AM PB⊥ M PAB ⊥ PBD AM⇒ ⊥ PBD AM BD⇒ ⊥取 中点为 ，则 又 为锐角， ∴点 不重合. 平面 ， 又因为 ， 所以 上平面 . (Ⅱ)取 中点 ，以点 为原点，以 方向分别为 轴、 轴、 轴正方向建立如图所示的 空间直角坐标系， 则 . 由(Ⅰ) 的证明知：平面 的法向量为 设平面 的一个法向量为 ， 则 ， 令 ， . 19.【解析】(Ⅰ)设 ， 则由 ， 设直线 ， 整理得 AD Q / / 1BC QD BQ CD QD= ⇒ = = = 90QA ABD °= ⇒ ∠ = PBA∠ ,M B DB AB DBDB AM ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ PAB DB PA⇒ ⊥ PA AD⊥ PA ⊥ ABCD AQ H A , ,HB AD AP   x y z 3 1 3 3(0,0,0), , ,0 , , ,0 , (0,2,0), (0,0,2)2 2 2 2A B C D P               PAB 3 3, ,02 2BD  = −     PCD ( , , )m x y z= 2 2 00 3 1 00 2 2 y zm PD x ym CD  − =⋅ = ⇒ − + =⋅ =    1 (1, 3, 3)x m= ⇒ = 3 3 3 72 2cos , 7| | | | 3 7 m BDm BD m BD − +⋅〈 〉 = = = ⋅ ⋅   ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 290 0 0 4 02 2 y yAOB x x y y y y y y pp p °∠ = ⇒ + = ⇒ ⋅ + = ⇒ + = : 4l x my= + 2 2y px= 2 22 8 0 4 8 0 2y pmy p p p p− − = ⇒ − = ⇒ =(Ⅱ)设 ， ，代入 整理得： ， ∴ 则 当且仅当 时，此式为定值， 解得 ， 故 或 20.【解析】(Ⅰ)当 时， ， 当 时， ， , 当 时， (Ⅱ)若出栏 112 只，则 ， 由(Ⅰ)知当 时， 记 表示养鸡厂当天在一个饭店获得的利润. 可取 420，450，480， ( ) ( ) ( )0 0, , , , ,M M N NQ x y M x y N x y : 1MN x ty= − 2 4y x= 2 4 4 0y ty− + = 4 , 4M N M Ny y t y y+ = = 0 N 0 0 NQ 22 00 N 0 4 4 M M MQ MM y y y y y yk k yyx x x x − − −+ = + = +− − − 0 2 2 0 4 4 N N y y y y − − 0 0 4 4 M Ny y y y = + =+ + ( ) ( ) ( )0 0 2 2 0 0 0 0 4 2 4 2 4 4 4 M N M N M N y y y y t y y y y y y y y t + + += =+ + + + ⋅ + 0 2 0 0 0 16 2 44 4 yt yy t y  +    ++    2 0 0 0 4 2 4 y y y += 0 2y = ± (1,2)Q (1, 2)− x a< 2(70 40) (56 40) ( ) (14 ) 16y x a a x a x a a= − + − − ⋅ − = + + − x a 30y a= ( )2 *(14 ) 16 , 30 , a x a a x ay x a x a  + + − 2 1( ) 2e xh x x a ′ = − + (0) 0h′ < (2e) 0h′ > (0,2e) ( )h x′ m (0, )m ( )h x ( , )m +∞ ( )h x 1(0) 0, ( ) (0) 0,h h m h xa = − < < < → +∞ ( )h x → +∞ ( , )m +∞ ( )h x ea < − ( )h x ea = − 1a > e 1a− <  ( )h x l 3 1 2 3 0x y− + − =椭圆 的直角坐标方程为： . (Ⅱ)将直线 的参数方程代入椭圆 的直角坐标方程整理得： ， 由题意得： ， 故 ’ 所以直线 的斜率为 23. 【解析】(I) ， 当且仅当 时取等， 故 最小值为 ， 或 (Ⅱ)由不等式解集的意义可知： 时， ，即 ，解得： 或 4. 时， 与 图象可知：不合题意舍去. 时，比较 与 图象， 由 与 解得： ， 即 m=6， 综上， . C 2 2 116 12 x y+ = l C ( )2 23 sin (12cos 8sin ) 32 0t tϕ ϕ ϕ+ + + − = 1 2 0t t+ = 312cos 8sin 0 tan 2kϕ ϕ ϕ+ = ⇒ = = − l 3 2 − | | | 2 | | ( ) ( 2) | | 2 |x a x x a x a− + − − − − = − ( )( 2) 0x a x− − ≤ ( )f x | 2 |a − | 2 | 3 5a a∴ − ⇔  1a − 2x = (2) 2f = | 2 | 2a− = 0a = 0a = ( )y f x= y x= 4a = ( )y f x= y x= y x= 2 6y x= − 6x = 4, 6a m= =