2020 届百校联考高考百日冲刺金卷
全国 II 卷·理数（三）
注意事项：
1．本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．本试卷满分 150 分，测试时间 120 分钟．
5．考试范围：高考全部内容．
第 I 卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．已知集合 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 是虚数单位， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．在 中， ， ， 为 上一点，且 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
4．在正多边形中，只有三种形状能用来铺满一个平面图形而中间没有空隙，分别是正三角形、正方形、正
六边形，称之为“正多边形的镶嵌规律”．已知如图所示的多边形镶嵌的图形 ，在 内随机取一点，则此
点取自正方形的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
{ | }6M x N x= ∈ ≤ { }2,1,0,1,2A = − 2{ },B y y x x A= = ∈ MC B =
{ }2,5,6 { }2,3,6 { }2,3,5,6 { }0,2,3,5,6
i (2 ) 5(1 )z i i− = + z =
1 3i+ 1 3i− 1 3i− + 1 3i− −
ABC∆ 2 3AB = 4AC = D BC 3BC BD= 2AD = BC
42
3
42
2 4 42
T T
2
3
4 3
7 4 3+
7
7 4 3+
1
2 正视图 侧视图 俯视图
A． B． C． D．
6．已知 为坐标原点，双曲线 的右焦点为 ，点 ， 分别在双曲线 的
两条渐近线上， 轴， ，四边形 为梯形，则双曲线 离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图给出的是计算 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）
2 4 3
3
π + 2 12 3
3
π + 4 4 3
3
π + 4 12 3
3
π +
O
2 2
2 2: 1x yC a b
− = ( 0, 0)a b> > F A B C
AF x⊥ 0BO BA⋅ 1 C : 2 0l x y− − =
P Q PQ
( )1, 1− ( )2,0 1 3,2 2
−
( )1,1
1 1 1ABC A B C− 1 1A ACC 1 1B BCC 2 M N 1 1C B
1CC 0CA CB⋅ = BM AN
1
5
2
5
4
5
21
5
( ) sin cosf x a x b xω ω= + ( 0)ω > ,6 2
π π
2
2 3 6f f f
π π π = = −
12x
π= ( )f x 4 ( )f x 2
( )g x ( ) 3y g x x
π= − +
4 5 6 7第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第
22 题~第 23 题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分
13．已知向量 ， ，则 _________．
14．已知函数 在 处的切线方程为 ，则满足 的 的取
值范围为_________．
15．若 ，则 _________．
16．某饮料厂生产 ， 两种饮料．生产 桶 饮料，需该特产原料 公斤，需时间 小时；生产 桶
饮料，需该特产原料 公斤，需时间 小时，每天 饮料的产量不超过 饮料产量的 倍，每天生产两种
饮料所需该特产原料的总量至多 公斤，每天生产 饮料的时间不低于生产 饮料的时间，每桶 饮料
的利润是每桶 饮料利润的 倍，若该饮料厂每天生产 饮料 桶， 饮料 桶时 利润最大，
则 _________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．已知正项等比数列 满足 ， ，数列 的前 项和为 ，
（I）求 与 的通项公式；
（II）设 ，求数列 的前 项和 ．
18．已知某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过 的包裹收费 元；重量超过 的包裹，在收
费 元的基础上，每超过 （不足 ，按 计算）需再收 元．该快递公司承揽了一个工艺品厂家的
全部玻璃工艺品包裹的邮寄事宜，该厂家随机统计了 件这种包裹的两个统计数表如下：
表 1
包裹重量
包裹数
损坏件数
表 2
(2,1)a = (2, 1)b = − (2 )b a b⋅ − =
( ) ln( )f x a x= + ( )a R∈ ( )0,0 y x= ( )0 2 1f x≤ − ≤ x
3sin cos6 3
πα α + + = −
2cos 23
π α + =
A B 1 A 100 3 1 B
100 1 A B 2
750 A B A
B 1.5 A m B n ( )*,m n N∈
m n+ =
{ }na 1 2a = 2
3 7 32a a = { }nb n 2
nS n n= −
{ }na { }nb
,
,
n
n
n n
a nc b n
=
为偶数
为奇数 { }nc 2n 2nT
1kg 10 1kg
10 1kg 1kg 1kg 5
100
( )kg ( ]0,1 ( ]1,2 ( ]2,3 ( ]3,4 ( ]4,5
40 25 20 10 5
1 3 2 3 0包裹重量
出厂价（元 件）
卖价（元 件）
（I）估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值；
（II）将包裹重量落入各组的频率视为概率，该工艺品厂家承担全部运费，每个包裹只有一件产品，如果客
户收到有损坏品的包裹，该快递公司每件按其出厂价的 赔偿给厂家．现该厂准备给客户邮寄重量在区
间 和 内的工艺品各 件，求该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望．
19．如图，在三棱锥 中， 是等边三角形， ， ， 为三棱锥
外一点，且 为等边三角形．
（I）证明： ；
（II）若平面 平面 ，平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，求 的长．
20．在平面直角坐标系 中，椭圆 的四个顶点围成的四边形面积为 ，圆
经过椭圆 的短轴端点．
（I）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过椭圆 的右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆 相交于 ， 和 ， 四点，求四边形
面积的最小值．
21．已知函数 的最小值为 ．
（I）求 的解析式；
（II）若函数 有两个零点 ， ，且 ，求证： ．
请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方
框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题
的首题进行评分．
( )kg ( ]0,1 ( ]1,2 ( ]2,3 ( ]3,4 ( ]4,5
/ 20 25 30 40 50
/ 60 65 70 90 110
90%
( ]2,3 ( ]3,4 1
A BCD− ABD∆ BC CD⊥ 2BC CD= = E
A BCD− CDE∆
AC BD⊥
ABD ⊥ BCD ABD ECD 3
3 BE
xOy
2 2
2 2: 1x yE a b
+ = ( 0)a b> > 2 2
2 2: 1O x y+ = E
E
E E A C B D
ABCD
( ) ln( ) x af x ax x
−= − ( 0)a > 0
( )f x
1( ) ( ) 2g x f x mx
= − − 1x 2x 1 2x x< 1 2 1x x+ >22．【选修 4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 ， ， 的极坐标分别为 ， ， ，且
的顶点都在圆 上，将圆 向右平移 个单位长度后，得到曲线 ．
（I）求曲线 的直角坐标方程；
（II）设 ，曲线 与 相交于 ， 两点，求 的值．
23．【选修 4-5：不等式选讲】
已知函数 ．
（I）求不等式 的解集；
（II）若 ， ，对 ，不等式 恒成立，求 的最小值．
2020 届百校联考高考百日冲刺金卷
全国 II 卷·理数（三）答案
1．C 【解析】根据题意， ，所以 ．
2．B 【解析】
．
3．D 【解析】设 ，由余弦定理 ；
；
即 ； ，
可得 ，所以 ．
4．B 【解析】设小三角形的边长为 ，每个小三角形的面积为 ， 个小三角形的面积之和为
xOy 1C
21 2
21 2
x t
y t
= −
= +
t x
A B C 4, 6
π
54, 6
π
34, 2
π
ABC∆
2C 2C 3 3C
3C
( )1,1M 1C 3C P Q | | | |MP MQ⋅
( ) | 3 1| | 2 |f x x x= − + −
( ) 3f x ≥
1m > 1n > x∀ ∈ R 2 2
53log log ( )m n f x
⋅ ≥ mn
{ } { }2| , 0,1,4B y y x x A= = ∈ = { }2,3,5,6MC B =
5(1 ) 5(1 )(2 ) 1 32 5
i i iz ii
+ + += = = +−
1 3z i∴ = −
BD x= 2 2 2(2 ) 2 2 cosAC AD x AD x ADC= + − ⋅ ∠
2 2 2 2 cosAB AD x AD x ADB= + − ⋅ ∠
2 2 24 2 (2 ) 2 2 2 cosx x ADC= + − × ⋅ ∠ 2 2 2(2 3) 2 2 2 cosx x ADB= + − × ∠
42
3x = 42BC =
1 3
4 7， 又 长 方 形 的 长 为 ， 所 以 个 正 方 形 的 面 积 为 ， 所 以 此 点 取 自 正 方 形 的 概 率 是
．
5．A 【解析】结合三视图可得该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面边长为 ，高为 的正四棱
锥，上半部分是一个直径为 的半球，则该几何体的体积为： ．
6 ．A 【 解析 】 设 ， 所以 ， 直线 的 方程 为 ， 直线 的方 程 为
， 解 得 ， ， 又 直 线 的 方 程 为 ， 则 ，
，又因为 ，所以 ， ，
，
7．B 【解析】根据题意， 显然为偶函数，排除 C；
代入 ，则 ，排除 A，D．故选 B．
8．C 【解析】根据题意，可得 ， ， ，
， ， ，
， ， ，
， ．
9．B 【解析】因为 ，
，因为 ，
所以 ， ， ，A 中应为 ，
C 中 ， 大小不确定，D 中应为 ．
3 7 37 4 4
× = 1 3 3
3 4 3
7 3 7 4 33 4
=
++
2 3
2 3 22 1 2 4 31 2 33 3 3V
ππ += × + × × =
( ),0F c 2 2c a b= + OB by xa
= − BF
( )by x ca
= − ,2 2
c bcB a
− ,2 2
c bcBO a
= −
OA by xa
= , bcA c a
3,2 2
c bcBA a
=
0BO BA⋅ + +
tan x tan y 3 3x y
1 2
2 6 2 2
Tπ π π π
ω ω∴ − ≤ = ⋅ = 0 3ω< ≤
2
2 3 6f f f
π π π = = −
2
72 3
2 12x
π π
π+
∴ = = 2 2( ) sin( )f x a b xω ϕ= + +
2 6
2 3
π π
π+
= ,03
π
2 2( ) sin( )f x a b xω ϕ= + + 0 3ω< ≤ 7
12x
π=
,03
π
74 12 3T
π π π = − = 2ω∴ =
2 2 4a b+ = 2 2sin cos12 12 12f a b
π π π = + 2a = 2 3b =
( ) 2sin 2 2 3 cos2 4sin 2 3f x x x x
π = + = + ( ) 4sin 3g x x
π = + 因为 在 处的切线斜率为 ， 在
处切线斜率不存在，即切线方程为 ．
所以 右侧 图象较缓如图所示，同时 时， ，所以 的
零点有 个．
13． 【解析】根据题意， ， ．
14． 【解析】因为 ， ， ，所以 ， 是
上 的 增 函 数 ， 又 ， ， 所 以 ，
．
15． 【解析】由 ，展开化简可得 ，
所以 ．
16． 【解析】设每天 ， 两种饮料的生产数量分别为 桶， 桶，则有
则其表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数为 ，则 ， 表示直线在 轴
上的截距，因为 ， 只取整数，所以当直线 经过点 即 ， 时， 取得最大
值，则 ．
( ) 4sin 3g x x
π = + ,03
π − 4cos 43 3 3g
π π π ′ − = − + = 3y x
π= +
,03
π − 3x
π= −
3x
π= − ( )g x 43x
π+ > 16 3x
π> − ( ) 3y g x x
π= − +
7
1 2 (2,3)a b− = (2 ) 4 3 1b a b∴ ⋅ − = − =
[2, 1]e + 1( )f x a x
′ = +
1(0) 1f a
′∴ = = 1a∴ = ( ) ln(1 )f x x= + ( )f x
( 1, )− +∞ ( )0 0f = ( 1) ln( 1 1) 1f e e− = − + = 0 2 1x e≤ − ≤ −
2 1x e∴ ≤ ≤ +
7
9
3sin cos6 3
πα α + + = −
1sin 3 3
πα + = −
2
22 1 7cos 2 1 2sin 1 23 3 3 9
π πα α + = − + = − − =
7 A B x y
0, 0
2
3
100 100 750 0
x y
x y
x y
y x
≥ ≥
≤ ≥
+ − ≤
1.5z x y= + 1.5y x z= − + z y
x y 1.5y x z= − + ( )4,3 4m = 3n = z
7m n+ =17．【解析】（I）根据题意， ， ，
， ， ，所以 ，
因为 ， ，
又 ，所以 ．
（II）根据题意，数列 的奇数项构成一个等比数列，首项为 ，公比为 ；
数列 的偶数项构成一个等差数列，首项为 ，公差为 ，
所以 ；
故 ．
18．【解析】（I）根据题意，设公司对每件包裹收取的快递费的平均值为 ，
（元）．
（II）重量在 的产品数为 ，其损坏率为 ．
重量在 的产品数为 ，其损坏率为 ，
设重量在 的这件产品的利润记为 ，
则 ， ，
设重量在 的这件产品的利润记为 ，
则 ， ，
所以 ， ， ， ，
1 2a = 2 2
5 32a =
1 2a∴ = 5 32a = 2q∴ = 2n
na =
2
nS n n= − ( )2 2
1 [( 1) ( 1) 2 2n n nb S S n n n n n− ∴ = − = − − − − − = − ( 2)n ≥
1 1 0b S= = 2 2nb n= −
{ }nc 2 4
{ }nc 2 4
( ) 2 1
2
2
2 1 4 (2 4 2) 2 221 4 2 3
n n
n
n nT n
+− + − −= + = +−
2 1
2
2
2 22 3
n
nT n
+ −= +
x
40 10 25 15 20 20 10 25 5 30 15.75100x
× + × + × + × + ×= =
( ]2,3 20 2 0.120
=
( ]3,4 10 3 0.310
=
( ]2,3 X
1 70 30 20 20X = − − = 2 (30 20) 30 0.9 23X = − + + × = −
( ]3,4 Y
1 90 40 25 25Y = − − = 2 (40 25) 40 0.9 29Y = − + + × = −
45X Y+ = 2 9− 52−则 ， ，
，
所以其分布列为：
利润
根据题意， ．
19．【解析】（I）取 的中点 ，连接 ， ，
因为 是等边三角形，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，故 ．
（II）因为平面 平面 ，
平面 平面 ，
所以 平面 ，
且 ， ，
故以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，
取 的中点 ，连接 ， ，
同理可证 平面 ， ， ，
设 ，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
( 45) 0.9 0.7 0.63P X Y+ = = × = ( 9) 0.9 0.3 0.27P X Y+ = − = × =
( 52) 0.1 0.3 0.03P X Y+ = − = × =
45 2 9− 52−
P 0.63 0.07 0.27 0.03
( ) 45 0.63 2 0.07 9 0.27 52 0.03 24.5E X Y+ = × + × − × − × =
BD O OC OA
ABD∆ AO BD⊥
BC CD= CO BD⊥
CO AO O= BD ⊥ AOC
AC ⊂ AOC AC BD⊥
ABD ⊥ BCD
ABD CBD BD=
AO ⊥ BCD
2BD = 3AO =
O OC x OD y OA z
CD F OF EF
CD ⊥ EOF 2
2OF = 6
2EF =
EFO π θ∠ = −
(0,0,0)O (1,0,0)C (0,1,0)D (0,0, 3)A ( )0, 1,0B −
3 1 3 1 6cos , cos , sin2 2 2 2 2E θ θ θ + +
( 1,1,0)CD = − 3 1 3 1 6cos , cos , sin2 2 2 2 2CE θ θ θ = − +
ECD ( , , )n x y z=
0
0
CD n
CE n
⋅ = ⋅ =
，
令 ，则 ．
因为平面 的一个法向量为 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 或 ．
因为 为三棱锥 外一点，
所以 ，
所以 ．
20．【解析】（I）根据题意，四个顶点围成的四边形为菱形，其面积为 ， ，
因为圆 经过椭圆 的两个短轴端点，则 ，
所以 ， ，
故椭圆 的方程为 ．
（II）当直线 的斜率存在且不为零时，设直线 的方程为 ，
0
3 1 3 1 6cos cos sin 02 2 2 2 2
x y
x y zθ θ θ
− + =
∴ − + + + ⋅ =
1x = cos1,1, 2 sinn
θ
θ
= − ⋅
ABD (1,0,0)OC =
2
2
1 3| cos , | 3cos2 2 sin
OC n θ
θ
〈 〉 = =
+ ⋅
2
2
cos 1
sin 2
θ
θ∴ =
3cos 3
θ = ± 6sin 3
θ =
(1,1,1)E (0,0,1)E
E A BCD−
( )1,1,1E
6BE =
1 2 2 2 2 22 a b ab× × = = 2ab∴ =
2 2: 1O x y+ = E 1b =
2a = 1b =
E
2
2 12
x y+ =
AC AC ( 1)y k x= − ( 0)k ≠由 消去 得，
， ．
同理得， ．
令 ，则 ．
当直线 的斜率不存在时， ，
当直线 的斜率为零时， ， ，
， 四边形 面积的最小值为 ．
21．【解析】（I）由题意知，定义域为 ，
从而 ，令 ，由于 ，
则 ；
故当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故 ，所以 ， ，
故 ．
（II）根据题意， ，
因为 ， 是函数 的两个零点，
所以 ，
2
2
( 1)
12
y k x
x y
= − + =
y ( )2 2 2 22 1 4 2 2 0k x k x k+ − + − =
2
1 2 2
4
1 2
kx x k
∴ + = +
2
1 2 2
2 2
1 2
kx x k
−⋅ = +
( )2
2
2 2 1
| | 2 1
k
AC k
+
∴ = +
( )2
2
2 2 1
| | 2
k
BD k
+
= +
2 1k t+ =
2
4 16
1 1 92
S
t t
= ≥
+ −
AC 2AC = 2 2BD =
1 | | | | 22S AC BD∴ = × =
AC 2 2AC = 2BD =
1 | | | | 22S AC BD∴ = × =
162 9
> ∴ ABCD 16
9
( )0,+∞
2( ) x af x x
−′ = ( ) 0f x′ = 0a >
x a=
x a> ( ) 0f x′ > ( )f x
0 x a< < ( ) 0f x′ < ( )f x
min( ) ( ) 2lnf x f a a= = 2ln 0a = 1a∴ =
1 1( ) ln ln 1xf x x xx x
−= − = + −
1( ) ln 12g x x mx
= + − − ( 0)x >
1x 2x 1( ) ln 12g x x mx
= + − −
1
1
1ln 1 02x mx
+ − − = 2
2
1ln 1 02x mx
+ − − =两式相减，可得
即 ，故 ．
那么 ， ．
令 ，其中 ，
则 ，
构造函数 ，则 ．
对于 ， 恒成立，故 ，
即 ．
可知 ，故 ．
22．【解析】（I）由 ， 可得点 的直角坐标为 ，
点 的直角坐标为 ，
点 的直角坐标为 ．
设圆 的直角坐标方程为 ，代入 ， 可得 ， ， ，
所以圆 的直角坐标方程为 ，
故曲线 的直角坐标方程为 ．
（II）由（I）联立曲线 ， 可得 ，
整理可得 ，
1
2 2 1
1 1ln 2 2
x
x x x
= −
1 1 2
2 1 2
ln 2
x x x
x x x
−= 1 2
1 2
1
2
2ln
x xx x x
x
−=
1
2
1
1
2
1
2ln
x
xx x
x
−
=
2
1
2
1
2
1
2ln
x
xx x
x
−
=
1
2
xt x
= 0 1t< <
1 2
1 111
2ln 2ln 2ln
tt t tx x t t t
− −−+ = + =
1( ) 2lnh t t tt
= − −
2
2
( 1)( ) th t t
−′ =
0 1t< < ( ) 0h t′ > ( ) ( )1 0h t h< =
1 2ln 0t tt
− − <
1
12ln
t t
t
−
> 1 2 1x x+ >
cosx ρ θ= siny ρ θ= A ( )2 3,2A
B ( )2 3,2B −
C ( )0, 4C −
2C 2 2 2( )x y m r+ − = A C
2 2
2 2
12 (2 )
( 4 )
m r
m r
+ − =
− − =
0m∴ = 4r =
2C 2 2 16x y+ =
3C 2 2( 3) 16x y− + =
1C 3C
2 2
2 21 3 1 162 2t t
− − + + =
2 3 2 11 0t t+ − =所以 ，
所以 ．
23．【解析】（I）原不等式可化为 ，
①当 时，原不等式可化为 ，
解得 ，所以 ；
②当 时，原不等式可化为 ，
解得 ，所以 ；
③当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以 ，
综上所述，不等式的解集为 ．
（II）因为
所以 ．
由 恒成立知，
不等式 恒成立．
因为 ，
， ，当且仅当 时等号成立．
故 的最小值为 ．
1 2 3 2t t+ = − 1 2 11t t = −
1 2 1 2| | | | | | 11MP MQ t t t t⋅ = ⋅ = − =
| 3 1| | 2 | 3x x− + − ≥
1
3x ≤ 3 1 2 3x x− + + − ≥
0x ≤ 0x ≤
1 23 x< < 3 1 2 3x x− + − ≥
1x ≥ 1 2x≤ <
2x ≥ 3 1 2 3x x− − + ≥ 3
2x ≥ 2x ≥
{ | 0 1}x x x≤ ≥或
14 3, 3
1( ) 2 1, 23
4 3, 2
x x
f x x x
x x
− + ≤
= + <
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