2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷数学（文）（二）试题

2020 届百校联考高考百日冲刺金卷 全国Ⅱ卷•文数(二) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 且 ， 则 的非空真子集的个数为（ ） A、30 B、31 C、62 D、63 2.已知复数 满足： ，则 （ ） A、2 B、4 C、 D、5 3.若正六边形 边长为 2，中心为 ， 则 （ ） A、2 B、 C、4 D、 4.从集合 中任取 2 个数，和为偶数的概率为（ ） A、 B、 C、 D、 5.在 上，满足方程 的 值为（ ） A、 B、 C、 D、 6.双曲线： 左、右焦点分别为 ，过 且垂直于 轴的直线交双曲线于 两点， ，则一条渐近线斜率为（ ） A、 B、 C、 D、 7.递减的等差数列 满足： ，且 分别是某等比数列的第 1，2，4 项，则 的通项公式 为（ ） A、 B、 C、 D、 8. 李冶，真定栾城(今河北省石家庄市栾城区)人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数 学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术(设未知数并列方程的方法)，用以研究直角三角形内切圆和旁切圆 的性质.李冶 所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多 于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何. { | 6A x x= < }*x∈N A z (1 ) 1 3z i i⋅ + = + | |z = 5 ABCDEF O | |EB OD CA+ + =   2 3 4 3 {1,2,3,4,5}A = 1 5 2 5 3 5 1 3 ,2 2 π π −   3sin 2 cos2 2x x π π   + = +       x 3 π 3 π± 6 π 6 π± 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1 2,F F 2F x ,A B 1 90AF B °∠ = 2 2 3+ 2 2 2+ 2 2 3+ 2 2 2+ { }na 1 1a = 1 2 8, ,a a a { }na 5 4n− 4 3n− 3 2n− 2 1n −翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点 处，乙向东行走到 处，甲向南行走到 处，甲看到乙，便从 走 到 处，甲乙二人共行走 1600 步， 比 长 80 步，若按如图所示的程序框图执行求 ，则判断框 中应填入的条件为（ ） A、 B、 C、 D、 9.已知 ，则 在 上的所有解的和为（ ） A、 B、 C、 D、 10.奇函数 满足：对任意 ，都有 ，在 上， ，则 A、 B、 C、 D、 11.某几何体三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（ ） A、 B、 C、3 D、 C Ｂ A A Ｂ AB AC AB 2 2 2 ?x z y+ = 2 2 2 ?x y z+ = 2 2 2 ?y z x+ = ?x y= 2( ) sin 2 5f x x π = +   2( ) 3f x = [0,2 )π 6π 29 5 π 26 5 π 21 5 π ( )f x x∈R (2 ) ( )f x f x− = (0,1) ( ) 2xf x = ( )2log 2019f = 2019 1024 − 2019 1024 2019 2048 − 2019 2048 6 2 2 2 3 (12)已知 ，则 （ ） A、1 B、-1 C、2 D、-2 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13.已知 ，曲线 上存在两点 ，使以 为切点的切线相互垂 直，则实数 的取值范围是 . 14.已知 ， 满足线性约束条件 ，目标函数 的最大值为 2，则实数 的取值范 围是 . 15.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，右焦点 与抛物线 的焦点重合.椭圆 与抛物线 交于 两点， 三点共线，则椭圆 的离心率为 . 16.自然奇数列 排成以下数列， 若第 行有 个数，则前 行数字的总和为 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.在 中， ，且 . (Ⅰ) 求 ； (Ⅱ) 若 ，求 的周长. 18.如图， 在四棱锥 中， ， ， ， , 为锐角，平面 平面 . (Ⅰ) 证明： 平面 ； 12 , 2( ) 1( 1) ( 2), 2 x x f x f x f x x  =   − − − >  (2019)f = 3 2( ) 3 (0 2)f x x x ax x= − + < < ( )y f x= ,A B ,A B a x y 2 0 2 2 0 x y x kx y + −   − +    2z x y= − + k 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1 2,F F 2F 2: 2 ( 0)E y px p= > C E ,A B 2, ,A F B C { }na n 12n− n ABC 2a b c+ = 3 cos 2 cos 2 cosc C a B b A− = cosC 3 5 2ABCS =  ABC P ABCD− 2PA AD= = 1AB BC CD= = = / /BC AD 90PAD °∠ = PBA∠ PAB ⊥ PBD PA ⊥ ABCD(Ⅱ) 与平面 所成角的正弦值为 ，求三棱锥 的表面积. 19.西部某贫困村，在产业扶贫政策的大力支持下，在荒山上散养优质鸡，城里有 7 个饭店且每个饭店一年 有 300 天需要这种鸡， 饭店每天需要的数量是 14~18 之间的一个随机数，去年 饭店这 300 天里每天需 要这种鸡的数量 (单位：只)如下表： 14 15 16 17 18 频数 45 60 75 60 60 这 300 天内，假定这 7 个饭店的情况一样，只探讨 饭店当天的需求量即可.这 300 天内，鸡厂和这 7 个饭 店联营，每天出栏鸡是定数 ，送到城里的这 7 个饭店，从饲养到送到饭店，每只鸡的成本是 40 元，饭店给鸡厂结算每只 70 元，如果 7 个饭店用不完，即当天每个饭店的需求量 时，剩下的鸡只 能以每只 元的价钱处理. (Ⅰ)若 ，求鸡厂当天在 饭店得到的利润 (单位：元)关于 饭店当天需求量 (单位：只， )的函数解析式； (Ⅱ)若 ，求鸡厂当天在 饭店得到的利润(单位：元)的平均值； (Ⅲ) 时，以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求鸡厂当天在 饭店得到的利润 大于 479 元的概率. 21.已知： 仅有 1 个零点. (Ⅰ)求实数 的取值范围； (Ⅱ)证明： . 22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系 中， 直线 的参数方程为 为参数) ， 以坐标原点为极点， 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆 的极坐标方程为 AD PBD 2 4 P ABD− A A x x A 7 (14 18)a a  x a< 56 a- 15a = A y A x x∈N 16a = A 17a = A ( ) e 1xf x ax= − − a 2e e e ln 1x x xx x x x− − > + xOy l 2 cos (1 sin x t ty t ϕ ϕ = +  = + x C 2 2 2 48 3cos 4sin ρ θ θ= +(Ⅰ)当 时，把直线 的参数方程化为普通方程，把椭圆 的极坐标方程化为直角坐标方程； (Ⅱ)直线 交椭圆 于 ， 两点，且 ， 中点为 ，求直线 的斜率. 23.【选修 4 一 5：不等式选讲】 已知函数 . (Ⅰ)若 恒成立，求实数 的取值范围； (Ⅱ) 的解集为 ，求 和 . 2020 届百校联考高考百日冲刺金卷 全国Ⅱ卷•文数(答案解析) (二) 1.A 【解析】 ，故子集个数为 ，非空真子集个数为 30. 2.C 【解析】 ，故 . 3.B 【解析】 ， 易求得 . 4.B 【解析】和为偶数的取法有 4 种： ， 所有取法有 10 种： ， 故所求概率为 5.C 【解析】 ， 故 . 化为 ， 3 πϕ = l C l C A B A B 0 (2,1)M l ( ) | | | 2 |f x x a x= − + − ( ) 3f x  a ( )f x x [2, ]m a m {1,2,3,4,5}A = 52 32= 1 3 (1 3 )(1 ) 21 2 i i iz ii + + −= = = ++ | | 5z = EB OD CA EB BC CA EA+ + = + + =      | | 2 3EA = 2 4 13( ) ( ) ( ) ( )15 3 5，，，，，，， ( ) ( ) ( ) ( ) (1 2 13 1 4 15 2 3 2) ( ) (4 2 5 3 4 3 5 4 5) ( ) ( ) ( )，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 4 2 10 5 = 3sin 2 cos2 ,cos sin2 2x x x x π π   + = + =       cos2 sinx x= 22sin sin 1 0x x+ − =解得 或-1(舍去)， 故 6.D 【解析】求得： ， 故由 得： . 两边平方整理得 ， 故 ， 故 . 7.A 【解析】设 公差为 ，等比数列公比为 ，则 1 化为 ，而 ，故得 ，故 a . 8. A 【解析】由题知， ， 由勾股定理可知 ，故选 A. 9.D 【解析】 是 的 2 个周期. 在 ， 上各有两解，分别为 . 由 求得： 对称轴： 由 可得 故 10.A 【解析】 ，得： , 故 1sin 2x = 6x π= 2 2 bAF a = 1 90AF B °∠ = 2 1 2 2 2 bF F AF c a = ⇒ = 4 2 2 44 4 0b a b a− − = 4 2 2 4 4 0 2 2 2b b b a a a      − ⋅ − = ⇒ = +           2 2 2b a = + { }na d q 3 3.1 7 (1 )d q d q d+ = + = = + ( )2 3 4 0d d d+ − = 0d < 4d = − 5 4na n= − , ,AC x AB y BC z= = = 2 2 2x z y+ = [0,2 )π ( )f x ( )f x (0, )π [ ,2 )π π 1 2 3 4, , ,x x x x 22 5 2x k π ππ+ = + ( )f x 2 20 kx π π= + 2 2(0) sin 5 3f π= > 1 2 3 4 32 ), 22 20 2 20x x x x π π π π  + = ⋅ + + = ⋅ +     1 2 3 4 21 5x x x x π+ + + = (2 ) ( ) ( )f x f x f x− = = − − (2 ) ( )f t f t+ = − (4 ) (2 ) ( )f t f t f t+ = − + =故函数周期为 ， 故 = 11. .C 【 解 析 】 该 几 何 体 嵌 入 棱 长 为 2 的 正 方 体 ， 即 四 面 体 ， 计 算 得 ： ，故最长的棱为 . 12.B 【解析】 ， 即 . 故 ， 故 . 13. 【解析】 的值域为 . 由题意： ， ， 2 4. 10 log 2019 11< < ( ) ( ) )2 2 2log 2019 log 2019 12 (12 log 2019f f f= − = − − ( )22 12 log 2019f  = − − −  ( )2log 2019 10f− − 2log 2019 102 −= − 2019 1024 = − A BCD− 5, 2 2, 3, 6, 5AB AC AD BD CD= = = = = 3AD = ( ) ( 1) ( 2) ( 1)f x f x f x f x= − − − ⇒ + ( ) ( 1) [ ( 1) ( 2)] ( 1)f x f x f x f x f x= − − = − − − − − ( 2)f x= − − ( 3) ( )f x f x+ = − ( 6) ( 3) ( )f x f x f x+ = − + = (2019) (2016 3) (3) (2) (1) [ (1) (0)]f f f f f f f= + = = − = − − 0(1) (0) 2 1f f= − = − = − 3 5 3 5 2 2a − +< < 2( ) 3 6f x x x a′ = − + [ 3, )a a− 1 2, [ 3, )k k a a∃ ∈ − 1 2 1k k = −故只须 ， 解得 14. 【解析】目标函数化为 ， 时，可知：最优解在直线 上，而 在可行域内， 且满足 . 故可知：实数 的取值范围是 . 15. 【解析】 准线 于 ，则 . 四边形 是正方形， 故椭圆 的离心率 16. 【解析】第 行共有 个，第 1 个数字为 ，最后一个为 .可知： 前 n 行数的个数 ， 故前行数字总和为： . 17.【解析】(Ⅰ) (Ⅱ) 故 故 . 18.【解析】(Ⅰ)作 于 ，则由平面 平面 平面 . ( 3) 1a a− < − 3 5 3 5 2 2a − +< < ( 1,2]− 2y x z= + 2z = 2 2 0x y− + = (0,2) 2 2 0x y− + = k ( 1,2]− 2 1− AA′ ⊥ l A′ 2AA AF′ = 2 1A AF F′ C 1 2 1 2 1 2 1 2 1 F Fe AF AF = = = −+ + ( )2 2 1n − n 12n− 2 1n − 12 3n+ − 1 11 2 2 2 1n n−+ + + = − ( ) ( )1 21 2 3 2 1 2 12 n n n ++ − ⋅ − = − 3 cos 2 cos 2 cos 3sin cos 2(sin cos sin cos )c C a B b A C C B A A B− = ⇒ = + = 22sin( ) 2sin cos 3A B C C+ = ⇒ = 1 5 3 5sin 92 6 2ABCS ab C ab ab= = = ⇒ =  2 2 2 2 2 2 24 102 cos ( ) 4 30 103 3c a b ab C a b ab a b ab c c= + − ⋅ = + − = + − = − ⇒ = 3 3 10a b c c+ + = = AM PB⊥ M PAB ⊥ PBD AM⇒ ⊥ PBD AM BD⇒ ⊥ 取 中点为 ，则 又 为锐角， ∴点 不重合. 平面 ， 又因为 ， 所以 上平面 . (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知： 平面 ， 故 即为 与平面 所成角， ， 在 中， 故 ， 而 故所求表面积为： 19.【解析】(I)当 时， 当 时， ， AD Q / / 1BC QD BQ CD QD= ⇒ = = = 90QA ABD °= ⇒ ∠ = PBA∠ ,M B DB AB DBDB AM ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ PAB DB PA⇒ ⊥ PA AD⊥ PA ⊥ ABCD AM ⊥ PBD ADM∠ AD PBD 2 2 4 2 AM AMAD = ⇒ = Rt PAB 2 452AM PBA °= ⇒ ∠ = 11, , 12PAB PADPA S S= = =   3 2 2ABD AB BDS ⋅= =  2 390 2 2FBD PB BDPBD S° ⋅ ×∠ = ⇒ = =  6 2 = 1 3 6 3 3 612 2 2 2 + ++ + + = x a< 2(70 40) (56 40)( ) (14 ) 16y x a a x a x a a= − + − − − = + + − x a 30y a= ( )2 *(14 ) 16 , 30 , a x a a x ay x a x a  + + − (ln )f a ( )f x (0) 0f = ln 0, 1a a= = a ( ,0] {1}−∞ ∪ ( )2e e e ln e e lnx x x x xx x x x x x− − = − − ( ) e lnxg x x x x= − − 1 1( ) ( 1)e 1 ( 1) ex xg x x xx x ′  = + − − = + −   1( ) exh x x = − 2 1 1( ) e 0, 0, (1) 02 xh x h hx ′  = + > < >   ( )h x 0x 0 0 0 0 1e lnx x xx = ⇒ = − ( )0 0g x′ = ( )g x ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0e ln 1 1xg x x x x x x= − − = − − − = e ln 1xx x x− −  e 1x x + ( )ln 1x xe xe x x x− − +故 22.【解析】(Ⅰ)直线 的普通方程为： ； 椭圆 的直角坐标方程为： . (Ⅱ)将直线 的参数方程代入椭圆 的直角坐标方程整理得： ， 由题意得： ， 故 ’ 所以直线 的斜率为 23. 【解析】(I) ， 当且仅当 时取等， 故 最小值为 ， 或 (Ⅱ)由不等式解集的意义可知： 时， ，即 ，解得： 或 4. 时， 与 图象可知：不合题意舍去. 时，比较 与 图象， 由 与 解得： ， 即 m=6， 综上， . 2e e e ln 1x x xx x x x− − > + l 3 1 2 3 0x y− + − = C 2 2 116 12 x y+ = l C ( )2 23 sin (12cos 8sin ) 32 0t tϕ ϕ ϕ+ + + − = 1 2 0t t+ = 312cos 8sin 0 tan 2kϕ ϕ ϕ+ = ⇒ = = − l 3 2 − | | | 2 | | ( ) ( 2) | | 2 |x a x x a x a− + − − − − = − ( )( 2) 0x a x− − ≤ ( )f x | 2 |a − | 2 | 3 5a a∴ − ⇔  1a − 2x = (2) 2f = | 2 | 2a− = 0a = 0a = ( )y f x= y x= 4a = ( )y f x= y x= y x= 2 6y x= − 6x = 4, 6a m= =