2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷数学（文）（三）试题

2020 届百校联考高考百日冲刺金卷 全国 II 卷·文数（三） 注意事项： 1．本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．本试卷满分 150 分，测试时间 120 分钟． 5．考试范围：高考全部内容． 第 I 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．已知集合 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知 是虚数单位， ，则复数 的共轭复数为（ ） A． B． C． D． 3．已知 为坐标原点，椭圆 ，过右焦点 的直线 轴，交椭圆 于 ， 两点，且 为直角三角形，则椭圆 的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．如图，长方形内部的阴影部分为六个全等的小正三角形顶点连接组成的图形 ，在长方形内随机取一点， 则此点取自阴影部分 的概率是（ ） A． B． C． D． 5．在 中， ， ， 为 上一点，且 ， ，则 的长为（ ） { | }6M x N x= ∈ ≤ { }2,1,0,1,2A = − 2{ },B y y x x A= = ∈ MC B = { }2,5,6 { }2,3,6 { }2,3,5,6 { }0,2,3,5,6 i (2 ) 5(1 )z i i− = + z 1 3i+ 1 3i− 1 3i− + 1 3i− − O 2 2 2 2: 1x yC a b + = ( 0)a b> > F l x⊥ C A B AOB∆ C 1 5 2 − + 1 3 2 − + 1 2 1 5 2 − − T T 1 8 1 4 1 2 2 3 ABC∆ 2 3AB = 4AC = D BC 3BC BD= 2AD = BCA． B． C． D． 6 ． 已 知 函 数 的 图 象 经 过 ， 周 期 为 ， 且 对 恒成立，则函数 在区间 上的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 正视图 侧视图 俯视图 A． B． C． D． 8．函数 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 9．已知大于 的实数 ， 满足 ，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 42 3 42 2 4 42 ( ) sin( )f x A xω ϕ= + 0, 0,0 2A πω ϕ > > < = − − − ≤ | ( ) |f x mx≥ m [2 2 2,2]− [2 2 2,1]− [2 2 2, ]e− [2 2 , ]e e− (2,1)a = (2, 1)b = − (2 )b a b⋅ − =   3sin cos6 3 πα α + + = −   2cos 23 π α + =   ( ) ln( )f x a x= + ( )( )0, 0f y x= ( )0 2 1f x≤ − ≤ x A B 1 A 100 3 1 B饮料，需该特产原料 公斤，需时间 小时，每天 饮料的产量不超过 饮料产量的 倍，每天生产两种 饮料所需该特产原料的总量至多 公斤，每天生产 饮料的时间不低于生产 饮料的时间，每桶 饮料 的利润是每桶 饮料利润的 倍，若该饮料厂每天生产 饮料 桶， 饮料 桶时 利润最大， 则 _________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．已知正项等比数列 满足 ， ，数列 的前 项和为 ， ． （I）求 的通项公式与 ； （II）设 ，求数列 的前 项和 ． 18． 年中央电视台在周日晚上推出的一档新的综艺节目，为了解节目效果，一次节目结束后，现随机 抽取了 名观众（含 名女性）的评分（百分制）进行分析，分别得到如图所示的两个频率分布直方 图． 女性观众 男性观众 （I）计算女性观众评分的中位数与男性观众评分的平均分； （II）若把评分低于 分定为“不满意”，评分不低于 分定为“满意”． （i）试比较男观众与女观众不满意的概率，并说明理由； （ii）完成下列 列联表，并回答是否有 的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关． 女性观众 男性观众 合计 “满意” “不满意” 合计 参考数据： 100 1 A B 2 750 A B A B 1.5 A m B n ( )*,m n N∈ m n+ = { }na 1 2a = 2 3 7 32a a = { }nb n nS 2 2nb n= − { }na nS 1 1 n n n c a S + = + { }nc n nT 2019 500 200 70 70 2 2× 95% 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + ( )2P K k≥ 0.05 0.010 0.00119 ． 如 图 ， 在 三 棱 锥 中 ， 是 等 边 三 角 形 ， 平 面 平 面 ， ， ， 为三棱锥 外一点，且 为等边三角形． （I）证明： ； （II）若 平面 ，求点 到平面 的距离． 20．已知圆 与抛物线 相交于 ， 两点，且 ． （I）求抛物线 的方程； （ II ） 若 抛 物 线 与 直 线 相 交 于 ， 两 点 ， 为 抛 物 线 的 焦 点 ， 若 ，求直线 与圆 相交所得的弦长． 21．已知函数 的最小值为 ． （I）求 的解析式； （II）若函数 有两个零点 ， ，且 ，求证： ． 请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方 框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题 的首题进行评分． 22．【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 ， ， 的极坐标分别为 ， ， ，且 的顶点都在圆 上，将圆 向右平移 个单位长度后，得到曲线 ． k 3.841 6.635 10.828 A BCD− ABD∆ ABD ⊥ BCD BC CD⊥ 2BC CD= = E A BCD− CDE∆ AC BD⊥ AE ⊥ CDE E BCD 2 2: 9O x y+ = 2: 2C y px= ( 0)p > G H 4 2GH = C C : ( 2)l y k x= + ( 0)k > A B F C 2FA FB= l O ( ) ln( ) x af x ax x −= − ( 0)a > 0 ( )f x 1( ) ( ) 2g x f x mx = − − 1x 2x 1 2x x< 1 2 1x x+ > xOy 1C 21 2 21 2 x t y t  = −  = + t x A B C 4, 6 π     54, 6 π     34, 2 π     ABC∆ 2C 2C 3 3C（I）求曲线 的直角坐标方程； （II）设 ，曲线 与 相交于 ， 两点，求 的值． 23．【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 ． （I）求不等式 的解集； （II）若 ， ，对 ，不等式 恒成立，求 的最小值． 2020 届百校联考高考百日冲刺金卷 全国 II 卷·文数（三）答案 1．C 【解析】根据题意， ，所以 ． 2．B 【解析】 ． 3．A 【解析】根据题意， ，所以 ， ， ， ， 解得 或 （舍）． 4．B 【解析】设小三角形的边长为 ，每个小三角形的面积为 ，六个小三角形的面积之和为 ，又长方形的宽为 ，长为 ，所以长方形的面积为 ， 故此点取自阴影部分 的概率是 ． 5．D 【解析】设 ，由余弦定理 ； ； 即 ； ， 可得 ，所以 ． 3C ( )1,1M 1C 3C P Q | | | |MP MQ⋅ ( ) | 3 1| | 2 |f x x x= − + − ( ) 3f x ≥ 1m > 1n > x∀ ∈ R 2 2 53log log ( )m n f x ⋅ ≥ mn { } { }2| , 0,1,4B y y x x A= = ∈ = { }2,3,5,6MC B = 5(1 ) 5(1 )(2 ) 1 32 5 i i iz ii + + += = = +− 1 3z i∴ = − 22| | bAB a = 2bc a = 2b ac∴ = 2 2a c ac∴ − = 2 1 0e e∴ + − = 1 5 2e − += 1 5 2e − −= 1 3 4 3 3 36 4 2 × = 3 34 2 32 × = 6 3 T 3 3 12 46 3 = BD x= 2 2 2(2 ) 2 2 cosAC AD x AD x ADC= + − ⋅ ∠ 2 2 2 2 cosAB AD x AD x ADB= + − ⋅ ∠ 2 2 24 2 (2 ) 2 2 2 cosx x ADC= + − × ⋅ ∠ 2 2 2(2 3) 2 2 2 cosx x ADB= + − × ∠ 42 3x = 42BC =6．C 【解析】由题意，可得函数的周期 ， ， 又 ， ， ， 又 ， 所 以 ， 当 时 ， ， ， ， 所以 ，所以 ． 7．A 【解析】结合三视图可得该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面边长为 ，高为 的正四棱 锥，上半部分是一个直径为 的半球，则该几何体的体积为： ． 8．B 【解析】根据题意， 显然为偶函数，排除 C； 代入 ，则 ，排除 A，D．故选 B． 9．B 【解析】因为 ， ，因为 ， 所以 ， ， ，A 中应为 ， C 中 ， 大小不确定，D 中应为 ． 10．C 【解析】根据题意，可得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 11．B 【解析】根据 ，可知 ，取 中点 ，连接 ，再取 的中点 ，连 接 ，则 ，同理可证 ，所以 为异面直线 与 所成的角（或其补角）．又 2ππ ω= 2ω∴ = 2 6 2k π πϕ π× + = + k Z∈ 6k πϕ π∴ = + k Z∈ 0 2 πϕ< < 6 πϕ = 0x = ( ) 10 8f = 1sin 6 8A π∴ = 1 4A∴ = 1( ) sin 24 6f x x π ∴ = +   72 ,6 6 6x π π π + ∈   1 1( ) ,8 4f x  ∈ −   2 3 2 3 22 1 2 4 31 2 33 3 3V ππ += × + × × = ( )2 | |( ) 2 | | xf x x x e= − 1x = (1) 1f e= − < − 2 1log (2 ) 1 log 2 1 logx xx x = + = + 3 1log (3 ) 1 log 3 1 logy yy y = + = + log (2 ) log (3 )x yx y= 2 3 1 11 1log logx y + = + 2 3log logx y∴ = 1 x y∴ < < 2 2 1 1 1 1x y >+ + tan x tan y 3 3x y< 2i = 1 1 2 4T = − 6i = 1 1 1 1 2 4 6 8T = − + − 10i = 1 1 1 1 1 1 2 4 6 8 10 12T = − + − + − 14i = 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 6 8 10 12 14 16T = − + − + − + −  4038i = 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 6 8 10 12 4038 4040T = − + − + − + − 0CA CB⋅ =  AC BC⊥ BC D 1C D CD E EN 1/ /EN C D 1/ /BM C D ANE∠ BM AN， 根 据 勾 股 定 理 ， ， ， ， 在 中 ， 由 余 弦 定 理 得 ，故异面直线 与 所成角的余弦值为 ． 12．A 【解析】作出函数 的图象如图所示；当 时；令 ， 即 ， 令 ， 即 ， 解 得 ， 结 合 图 象 可 知 ， ； 当 时 ， 令 ， 则 此 时 ， 相 切 ， 设 切 点 ， 则 解得 ，观察可知，实数 的取值范围为 ． 13． 【解析】根据题意， ， ． 14． 【解析】由 ，展开化简可得 ， 所以 ． 15． 【解析】因为 ， ， ，所以 ， 是 上 的 增 函 数 ， 又 ， ， 所 以 ， ． 16． 【解析】设每天 ， 两种饮料的生产数量分别为 桶， 桶，则有 则其表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数为 ，则 ， 表示直线在 轴 1CN = 5AN = 5 2EN = 17 2AE = AEN∆ 2 2 2 2cos 2 5 AN EN AEANE AN EN + −∠ =⋅ BM AN 2 5 | ( ) |f x 0x ≤ 2 2 2x x mx+ + = 2 (2 ) 2 0x m x+ − + = 0∆ = ( )22 8 0m− − = 2 2 2m = ± 2 2 2m = − 0x > 2 1xe mx− = ( ) 2 1xf x e= − ( )h x mx= ( )02 0 , 1xx e − 0 0 2 0 2 1 2 x x e mx e m  − =  = 2m = m 2 2 2,2−   1 2 (2,3)a b− = (2 ) 4 3 1b a b∴ ⋅ − = − =  7 9 3sin cos6 3 πα α + + = −   1sin 3 3 πα + = −   2 22 1 7cos 2 1 2sin 1 23 3 3 9 π πα α     + = − + = − − =           [2, 1]e + 1( )f x a x ′ = + 1(0) 1f a ′∴ = = 1a∴ = ( ) ln(1 )f x x= + ( )f x ( 1, )− +∞ ( )0 0f = ( 1) ln( 1 1) 1f e e− = − + = 0 2 1x e≤ − ≤ − 2 1x e∴ ≤ ≤ + 7 A B x y 0, 0 2 3 100 100 750 0 x y x y x y y x ≥ ≥  ≤ ≥  + − ≤ 1.5z x y= + 1.5y x z= − + z y上的截距，因为 ， 只取整数，所以当直线 经过点 即 ， 时， 取得最大 值，则 ． 17．【解析】（I）根据题意， ， ， ， ， ，所以 ， 因为 ，数列 为公差 ，首项为 的等差数列， ． （II）根据题意， 所以 18．【解析】（I）根据题意，设女性观众评分的中位数为 ， ， ． 男性观众评分的平均数为 ． （II）（i）男性观众不满意的概率大， 记 表示事件：“女性观众不满意”； 表示事件：“男性观众不满意”，由直方图得 的估计值为 ， 的估计值为 ， 所以男性观众不满意的概率大． （ii）列联表如下图： 女性观众 男性观众 合计 x y 1.5y x z= − + ( )4,3 4m = 3n = z 7m n+ = 1 2a = 2 2 5 32a = 1 2a∴ = 5 32a = 2q∴ = 2n na = 2 2nb n= − { }nb 2 0 2(0 2 2) 2n n nS n n + −∴ = = − 1 1 12 2( 1) 1 1 1 n n n n n c a S nn n n+ = + = + + −= ++ ( ) 12 1 2 1 1 1 1 1 11 2 11 2 2 2 3 1 1 n n nT n n n + −      = + − + − + + − = − −     − + +      x 10 0.01 10 0.02 ( 70) 0.04 0.5x× + × + − × = 75x∴ = 55 0.15 65 0.25 75 0.3 85 0.2 95 0.1 73.5× + × + × + × + × = AC BC ( )AP C (0.01 0.02) 10 0.3+ × = ( )BP C (0.015 0.025) 10 0.4+ × =“满意” “不满意” 合计 所以 故有 的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关． 19．【解析】（I）取 的中点 ，连接 ， ， 因为 是等边三角形，所以 ， 又因为 ，所以 ， 因为 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，故 ． （II）因为平面 平面 ， 平面 平面 ， 所以 平面 ， 且 ， ， 取 的中点 ，连接 ， ， 同理可证 平面 ， 平面 ， ， ， ， 共面， 所以平面 平面 ，作 垂直 于点 ，则 平面 ， 故点 到平面 的距离即为 ， 又 平面 ，所以 ， ， 所以 ， ， ， ． 由 140 180 320 60 120 180 200 300 500 2 2 500 (140 120 180 60) 5.208 3.841200 300 320 180K × × − ×= ≈ >× × × 95% BD O OC OA ABD∆ AO BD⊥ BC CD= CO BD⊥ CO AO O= BD ⊥ AOC AC ⊂ AOC AC BD⊥ ABD ⊥ BCD ABD  CBD CD= AO ⊥ BCD 2BD = 3AO = CD F OF EF CD ⊥ EOF CD ⊥ AOF A∴ O F E BCD ⊥ OFE EH OF H EH ⊥ BCD E BCD EH AE ⊥ CDE AE EF⊥ AE EC⊥ 2 2OF = 6 2EF = 14 2AF = 2AE = sin sin( )EFO AFO AFE∠ = ∠ + ∠ sin cos cos sinAFO AFE AFO AFE= ∠ ∠ + ∠ ∠所以 ． 20．【解析】（I）因为 ， 关于 轴对称，所以 ， 的纵坐标为 ，横坐标为 ， 代入 ，可得 ． （II）设抛物线 的准线为 ， 直线 恒过定点 ， 如图过 ， 分别作 于 ， 于 ，由 ，则 点 为 的中点，连接 ，则 ， ，点 的横坐标为 ． 点 的坐标为 ， ， ， 所以直线 的方程为 ， 所以 到直线 的距离为 所以弦长为 ． 21．【解析】（I）由题意知，定义域为 ， 从而 ，令 ，由于 ， 则 ； 故当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 故 ，所以 ， ， 6 2 3 2 6 3 3 2 7 7EH + += × = G H x G H 2 2± 1 2 2y px= ( )0p > 2 8y x= 2: 8C y x= : 2l x = − ( 2)y k x= + ( 0)k > ( )2,0P − A B AM l⊥ M BN l⊥ N | | 2 | |FA FB= | | 2 | |AM BN= B AP OB 1| | | |2OB AF= OB BF∴ = B 1 ∴ B (1, 2 2)± 2 2 0 2 2 1 ( 2) 3k ± − ±∴ = =− − 0k > 2 2 3k∴ = l 2 2 3 4 2 0x y− + = O l 4 2 17 2 2 4 2 22 172 3 1717  − =    ( )0,+∞ 2( ) x af x x −′ = ( ) 0f x′ = 0a > x a= x a> ( ) 0f x′ > ( )f x 0 x a< < ( ) 0f x′ < ( )f x min( ) ( ) 2lnf x f a a= = 2ln 0a = 1a∴ =故 ． （II）根据题意， ， 因为 ， 是函数 的两个零点， 所以 ， 两式相减，可得 即 ，故 ． 那么 ， ． 令 ，其中 ， 则 ， 构造函数 ，则 ． 对于 ， 恒成立，故 ， 即 ． 可知 ，故 ． 22．【解析】（I）由 ， 可得点 的直角坐标为 ， 点 的直角坐标为 ， 点 的直角坐标为 ． 设圆 的直角坐标方程为 ，代入 ， 可得 ， ， ， 1 1( ) ln ln 1xf x x xx x −= − = + − 1( ) ln 12g x x mx = + − − ( 0)x > 1x 2x 1( ) ln 12g x x mx = + − − 1 1 1ln 1 02x mx + − − = 2 2 1ln 1 02x mx + − − = 1 2 2 1 1 1ln 2 2 x x x x = − 1 1 2 2 1 2 ln 2 x x x x x x −= 1 2 1 2 1 2 2ln x xx x x x −= 1 2 1 1 2 1 2ln x xx x x − = 2 1 2 1 2 1 2ln x xx x x − = 1 2 xt x = 0 1t< < 1 2 1 111 2ln 2ln 2ln tt t tx x t t t − −−+ = + = 1( ) 2lnh t t tt = − − 2 2 ( 1)( ) th t t −′ = 0 1t< < ( ) 0h t′ > ( ) ( )1 0h t h< = 1 2ln 0t tt − − < 1 12ln t t t − > 1 2 1x x+ > cosx ρ θ= siny ρ θ= A ( )2 3,2A B ( )2 3,2B − C ( )0, 4C − 2C 2 2 2( )x y m r+ − = A C 2 2 2 2 12 (2 ) ( 4 ) m r m r  + − =  − − = 0m∴ = 4r =所以圆 的直角坐标方程为 ， 故曲线 的直角坐标方程为 ． （II）由（I）联立曲线 ， 可得 ， 整理可得 ， 所以 ， 所以 ． 23．【解析】（I）原不等式可化为 ， ①当 时，原不等式可化为 ， 解得 ，所以 ； ②当 时，原不等式可化为 ， 解得 ，所以 ； ③当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以 ， 综上所述，不等式的解集为 ． （II）因为 所以 ． 由 恒成立知， 不等式 恒成立． 因为 ， ， ，当且仅当 时等号成立． 故 的最小值为 ． 2C 2 2 16x y+ = 3C 2 2( 3) 16x y− + = 1C 3C 2 2 2 21 3 1 162 2t t    − − + + =          2 3 2 11 0t t+ − = 1 2 3 2t t+ = − 1 2 11t t = − 1 2 1 2| | | | | | 11MP MQ t t t t⋅ = ⋅ = − = | 3 1| | 2 | 3x x− + − ≥ 1 3x ≤ 3 1 2 3x x− + + − ≥ 0x ≤ 0x ≤ 1 23 x< < 3 1 2 3x x− + − ≥ 1x ≥ 1 2x≤ < 2x ≥ 3 1 2 3x x− − + ≥ 3 2x ≥ 2x ≥ { | 0 1}x x x≤ ≥或 14 3, 3 1( ) 2 1, 23 4 3, 2 x x f x x x x x − + ≤ = + <