2020届湘赣皖·长郡十五校高三联考第一次考试理科数学试卷

2020 届十五校联考第一次考试理科数学 C 第 1 页 共 9 页 2020 届湘赣皖·长郡十五校高三联考第一次考试 数学（理科）试卷 总分：150 分时量：120 分钟 考试时间：2020 年 4 月 8 日 16：00-18：00 得分： 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.若 为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为 1，图中复 平面内点 Z 表示复数 z，则表示复数 的点是（ ） A.E B.F C.G D.H 3.下图是国家统计局于 2020 年 1 月 9 日发布的 2018 年 12 月到 2019 年 12 月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作 对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019 年 2 月与 2018 年 2 月相比较称同比，2019 年 2 月与 2019 年 1 月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ） 2 }1{ |A x x= ≤ { }3 1| xB x= < ( )RAU B = { }0|x x < { | }0 1x x≤ ≤ { }1 0x x− ≤ < { 1}x x ≥ − i 2i z 2020 届十五校联考第一次考试理科数学 C 第 2 页 共 9 页 A.2019 年 12 月份，全国居民消费价格环比持平 B.2018 年 12 月至 2019 年 12 月全国居民消费价格环比均上涨 C.2018 年 12 月至 2019 年 12 月全国居民消费价格同比均上涨 D.2018 年 11 月的全国居民消费价格高于 2017 年 12 月的全国居民消费价格 4.自 2019 年 12 月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状 病毒具有很强的传染性.各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最 低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有 3 个不同的住户属在鄂 返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有 4 名医生，现要求这 4 名医生都要分配出去， 且每个住户家里都要有医生去检查登记，则分配方案共有（ ） A.12 种 B.24 种 C.36 种 D.72 种 5.△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ，则角 B 的大小为 （ ） A. B. C. D. 6.设 ， 分别是双曲线 的左、右焦点， 为坐标原点，以 为直 径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于 A，B 两点（A，B 位于 y 轴右侧），且四边形 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7.设 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 8.如图，在△ABC 中，AD⊥AB， ，且 ，则 （ ） 2 2a c bcosA+ = 2 3 π 3 π 6 π 5 6 π 1F 2F 2 2 2 1x ya − = 0a >（ ） O 1F 2F 2OAF B 0x y± = 3 0x y± = 3 0x y± = 3 0x y± = 1ln 2a = 1 25b −= − 1 2 2c log= c b a< < a c b< < c a b< < b a c< < BD xAB yAC= +   ( ),x y R∈ 12AC AD =   2x y+ = 2020 届十五校联考第一次考试理科数学 C 第 3 页 共 9 页 A.1 B. C. D. 9.不等式组 的解集记为 D，有下面四个命题： : ； : ； : ； : .其中的真命题是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 记 ， 为 数 列 的 前 n 项 和 ， 数 列 对 任 意 的 p ， 满 足 .若 ，则当 取最小值时，n 等于（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 11.已知函数 若 恒成立，则实数 a 的取值范围 是（ ） A. B. C. D. 12.已知 M 是函数 图象上的一点，过 M 作圆 的两条切线，切点 分别为 A，B，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 选择题答题卡 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 2 3 − 1 3 − 3 4 − 4 2 3 x y x y − ≥  + ≤ 1p ( ), ,2 5x y D y x∀ ∈ − ≤ 2p ( ), ,2 2x y D y x∀ ∈ − ≥ 3p ( ), ,2 2x y D y x∀ ∈ − ≤ 4p ( ), ,2 4x y D y x∀ ∈ − ≥ 1p 2p 2p 3p 1p 3p 2p 4p nS { }na { }na q N ∗∈ 13p q p qa a a+ = + + 3 7a = − nS ( ) ( ) 2 ln 2 , 1, 1, 1, x x f x x x  − ≤= − + > 0| ( |f x ax a− + ≥） [ 1 12 ]- ， [ ]0,1 [ ]0,2 [ )1,+∞ lnf x x=（ ） 2 2 2 0x y y+ − = MA MB   2 2 3− 1− 0 5 2 32 − 2020 届十五校联考第一次考试理科数学 C 第 4 页 共 9 页 答 案 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上. 13. 的展开式中， 的系数为 . 14.已知函数 ，曲线 与直线 相交，若存在相邻 两个交点间的距离为 ，则 可取到的最大值为 . 15.过 且斜率为 的直线 交抛物线 于 A，B 两点，F 为 C 的 焦点，若△MFB 的面积等于△MFA 的面积的 2 倍，则 p 的值为 . 16.若点 N 为点 M 在平面 a 上的正投影，则记 .如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD 一 : 中 ， 记 平 面 为 ， 平 面 ABCD 为 ， 点 P 是 线 段 上 一 动 点 , ， .给出下列四个结论： ① 为△ 的重心； ② ; ③当 时， ∥平面 ; ④ 当 三 棱 锥 的 体 积 最 大 时 ， 三 棱 外接球的表面积为 . 其中，所有正确结论的序号是 . 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. ( )( )42x y x y− + 3 2x y ( ) 0)(2 (f x sin xω ϕ ω= + >） y f x= （ ） 1y = 3 π ω 2 0M −（ ，） 2 3 l ( )2: 2 0C y px p= > ( )N f Mα= 1 1 1 1A B C D 1 1AB D β γ 1CC ( )1Q f f pβγ  =   ( )2Q f f pγβ  =   2Q 1 1AB D 1 2Q Q BD⊥ 4 5CP = 1PQ β 1 1D APB− 1 1D APB− 2π 2020 届十五校联考第一次考试理科数学 C 第 5 页 共 9 页 （一）必考题：共 60 分. 17.（本小题满分 12 分） 记数列 的前 n 项和为 ，，且 2n， ， 成等差数列 . （1）证明：数列 是等比数列，并求 的通项公式； （2）记 ，数列 的前 n 项和为 ，求 . 18.（本小题满分 12 分） 如图，平面四边形 ABCD 中，BC∥AD，∠ADC=90°，∠ABC=120°，E 是 AD 上的一点， AB=BC=2DE，F 是 EC 的中点，以 EC 为折痕把△DEC 折起，使点 D 到达点 P 的位置，且 PC⊥ BF. （1）证明：平面 PEC⊥平面 ABCE； （2）求直线 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值. { }na nS na 2 n nS a− ( )n N ∗∈ { 1}na + { }na 1 1n n n n ab a a + += { }nb nT nT 2020 届十五校联考第一次考试理科数学 C 第 6 页 共 9 页 19.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C： ，过 Q（ ，0）的直线 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且与 y 轴 相交于 P 点. （1）若 ，求直线 的方程； （2）设 A 关于 轴的对称点为 C，证明：直线 BC 过 轴上的定点. 20.（本小题满分 12 分） 某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年.如图所示，两 个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装. 2 2 16 2 x y+ = 4− l 3 2PA AQ=  l x x 2020 届十五校联考第一次考试理科数学 C 第 7 页 共 9 页 其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定 期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立）.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一 级滤芯每个 160 元，二级滤芯每个 80 元.若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每 个 400 元，二级滤芯每个 200 元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考 了根据 100 套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中表 1 是根 据 100 个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图 2 是根据 200 个二级过滤器更换 的滤芯个数制成的条形图. 以 100 个一级过滤器更换滤芯的频率代替 1 个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以 200 个二 级过滤器更换滤芯的频率代替 1 个二级过滤器更换滤芯发生的概率. （1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 16 的概率； （2）记 X 表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求 X 的分布列及数 学期望； （3）记 m，n 分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若 m+n=19，且 ，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值 为决策依据，试确定 m，n 的值. }9{8m∈ ， 2020 届十五校联考第一次考试理科数学 C 第 8 页 共 9 页 21.（本小题满分 12 分） 函数 ， ，且 恒成立. （1）求实数 a 的集合 M； （2）当 时，判断 图象与 图象的交点个数，并证明.（参考数据： ， 7） （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.若多做，则按所做的第一题 计分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，曲线 C 的参数方程为 ，以坐标原点 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ，直 线 交曲线 C 于 A，B 两点，P 为 AB 中点. ( )1(lnf x ax x= − +） ( ) sing x x= 0(f x ≥） a M∈ (f x） g x（ ） ln 2 0.69≈ 12 1.77e π − ≈ xOy ( )1 cos , 1 sin x t ty t = +  = + 为参数 O l 0 2 πθ α α = <