2020年中原金科大联考高三4月质量检测数学（文）试题(解析版）

2020 年“中原.金科”大联考高三 4 月质量检测 数学(文科) 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{x|x2≤4}，则 A∩B＝（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C． {1，2，3} D．{1，2} 2．复数 z 满足 iz＝2+3i（i 为虚数单位），则在复平面内 z 的共轭复数푧所对应的点为（　　） A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣2，3） D．（2，3） 3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为 50%，甲不输的概率为 80%，则甲、乙下成平局的概 率为（　　） A．60% B．50% C．30% D．10% 4．sin75°cos75°的值是（　　） A．1 4 B． 3 2 C．1 2 D． 3 4 5．“lna＝lnb”是“2a＝2b”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若 → 푎 = （3，1）， → 푏 = （1，t），（ → 푎 + → 푏）∥ → 푎，则 t＝（　　） A．2 3 B． ― 2 3 C． ― 1 3 D．1 3 7．要得到函数 y＝sin（2x + 휋 4）的图象，只需将函数 y＝cos（휋 2 ― 2x）的图象（　　）[来源:学#科#网 Z#X#X#K] A．向左平移휋 4个单位 B．向右平移휋 4个单位 [ C．向左平移휋 8个单位 D．向右平栘휋 8个单位 8．某单位为了了解用电量 y（度）与气温 x（℃）之间的关系，随机统计了某 4 天的用电量 与当天气温，并制作了对照表： 气温 x（℃） ﹣1 10 13 18 用电量（度） 64 38 34 24由表中数据得线性回归方程푦 = ― 3x+a，预测当气温为﹣4℃时用电量度数为（　　） A．65 B．67 C．78 D．82 9．某船从 A 处向东偏北 30°方向航行 3千米后到达 B 处，然后朝西偏南 60°的方向航行 2 千米到达 C 处，则 A 处与 C 处之间的距离 为（　　） A．1 千米 B．2 千米 C．3 千米 D．6 千米 10．设 m 为一条直线，α，β 为两个不同的平面，则下列命题 正确的是（　　） A．若 m∥α，α∥β，则 m∥β B．若 m∥α，α⊥β，则 m⊥β C．若 m⊥α，α∥β，则 m⊥β D．若 m⊥α，α⊥β，则 m∥β 11．已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x+3）＝f（x），当 x∈（0，1]时，f（x）＝ 2x+lnx，则 f（2021）＝（　　）[ A．﹣2 B．2 C． ― 1 2 D．1 2 12．双曲线푦2 푎2 ― 푥2 푏2 = 1（a＞0，b＞0）的上焦点为 F1（0，2 2），点 A 的坐标为（1，0）， 点 P 为双曲线下支上的动点，且△APF1 周长的最小值为 8，则双曲线的离心率为（　　） A． 2 B． 3 C．2 D．2 2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．高一、高二、高三三个年级共有学生 1800 人，其中高一共有学生 800 人，现用分层抽 样的方法抽取 90 人作为样本，则应抽取高一学生为　 　人． 14．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c．若 b＝1，c= 3，∠C = 휋 3，则△ ABC 的面积为　 　． 15．若 x，y 满足约束条件{푥 + 푦 ― 3 ≥ 0 푥 ― 푦 ≥ 0 푥 ≤ 3 ，则 2x+y 的最小值为　 　． 16．在矩形 ABCD 中，已知 AB＝3，BC＝6，E 为 AC 上一点． （1）若 → 퐴퐸 = 1 3 → 퐴퐶，则 ED＝　 　； （2）若 → 퐵퐸• → 퐴퐶 = 0，则 ED＝　 　． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共 60 分． 17．已知等比数列{an}的首项 a1＝2，且 a2、a3+2、a4 成等差数列．（1）求{an}的通项公式； （2）若 bn＝log2an，求数列{ 1 푏푛푏푛+1 }的前 n 项和 Tn． 18．为了践行习总书记提出的“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念，我 市在经济速发展同时，更注重城市环境卫生的治理，经过几年的治理，市容市貌焕然一 新，为了调查市民对城区环境卫生的满意程度，研究人员随机抽取了 1000 名市民进行调 查，并将满意程度统计成如图所示的频率分布直方图，其中 a＝2b． （1）求 a，b 的值； （2）若按照分层抽样的方式从[50，60），[60，70）中随机抽取 5 人，再从这 5 人中随机 抽取 2 人，求至少有 1 人的分数在[50，60）的概率． 19． 如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝t，D 为线 段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点． （1）求证：PA⊥BD； （2）当 PA∥平面 BDE 时，若三棱锥 E﹣BCD 的体积为1 3，求 t 值． 20．已知函数 f（x）＝（x2+a）ex﹣a（x+1）． （1）当 a＝0 时，求函数 f（x）在（1，f（1））处的切线方程； （2）若 a≥﹣2，证明：当 x≥0 时，f（x）≥0． 21．已知椭圆푥2 푎2 + 푦2 푏2 = l（a＞b＞ 0）的左、右焦点分别为 F1，F2，四个顶点恰好构成了一 个边长为 3且面积为 2 2的菱形．（1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线 l1，l2 过右焦点 F2，且它们的斜率乘积为 ― 1 2，设 l1，l2 分别与椭圆交于 点 A，B 和 C，D，AB 的中点为 M，CD 的中点为 N，求△OMN 面积的最大值． (二)选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为{푥 = 2 + 푐표푠훼 푦 = 푠푖푛훼 （α 为参数），以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为휌푐표푠 (휃 ― 휋 4) = 1． （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；[ （2）设直线 l 与 x 轴的交点为 A，与 y 轴的交点为 B，P 是曲线 C 上一点，求△PAB 面 积的最大值． 23．[选修 4-5：不等式选讲] 已知 f（x）＝|ax﹣3|，不等式 f （x）≤6 的解集是{x|﹣1≤x≤3}． （1）求 a 的值； （2）若푓(푥) + 푓( ― 푥) 3 ＜k 存在实数解，求实数 k 的取值范围．一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．∵A＝{1，2，3}，B＝{x|x2≤4}＝{x|﹣2≤x≤2}， ∴A∩B＝{1，2}， 故选：D 2．由 iz＝2+3i，得 z = 2 + 3푖 푖 = (2 + 3푖)( ― 푖) ― 푖2 = 3 ― 2푖， ∴푧 = 3 + 2푖， ∴在复平面内z 的共轭复数푧所对应的点为（3，2）． 故选：B． 3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为 50%，甲不输的概率为 80%， 则甲、乙下成平局的概率为：80%﹣50%＝30%． 故选：A． 4．sin75°•cos75° = 1 2sin150° = 1 4． 故选：C． 5．lna＝lnb⇒a＝b＞0⇒2a＝2b， 而 2a＝2b⇒a＝b∈R，推不出 lna＝lnb， 故“lna＝lnb”是“2a＝2b”的充分而不必要条件， 故选：A． 6．若 → 푎 = （3，1）， → 푏 = （1，t），（ → 푎 + → 푏）∥ → 푎，则 → 푎 + → 푏 = （4，1+t）， 则 3（1+t）＝4×1， 解得 t = 1 3， 故选：D． 7．要得到函数 y＝sin（2x + 휋 4）的图象， 只需将函数 y＝cos（휋 2 ― 2x）＝sin2x 的图象向左平移휋 8个单位即可， 故选：C． 8．푥 = ―1 + 10 + 13 + 18 4 = 10，푦 = 64 + 38 + 34 + 24 4 = 40， 把样本中 心点（10，40）代入푦 = ― 3x+a，得 40＝﹣3×10+a，所以 a＝70，即푦 = ― 3x+70， 当 x＝﹣4 时，푦 = ― 3×（﹣4）+70＝82， 故选：D． 9．如图所示， △ABC 中，AB = 3，BC＝2，∠ABC＝60°﹣30°＝30°， 由余弦定理可得 AC2＝AB2+BC2﹣2•AB•BC•cos∠ABC＝3+4﹣2 × 3 × 2 × 3 2 = 1， 解得 AC＝1， 所以 A 处与 C 处之间的距离为 1 千米． 故选：A． 10．由 m 为一条直线，α，β 为两个不同的平面，知： 在 A 中，若 m∥α，α∥β，则 m∥β 或 m⊂β，故 A 错误； 在 B 中，若 m∥α，α⊥β，则 m 与 β 相交、平行或 m⊂β，故 B 错误； 在 C 中，若 m⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得 m⊥β，故 C 正确； 在 D 中，若 m⊥α，α⊥β，则 m 与 β 相交、平行或 m⊂β，故 D 错误． 故选：C． 11．依题意，函数 f（x）的周期为 3，故 f（2021）＝f（3×673+2）＝f（2）， 又 f（2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（2+ln1）＝﹣2， ∴f（2021）＝﹣2． 故选：A． 12．双曲线푦2 푎2 ― 푥2 푏2 = 1（a＞0，b＞0）的上焦点为 F1（0，2 2），点 A 的坐标为（1，0）， |AF1| = 8 + 1 = 3，三角形 APF1 的周长的最小值为 8，可得|PA|+|PF1|的最小值为 5， 又 F2 为双曲线的左焦点，可得|PF1|＝|PF2|+2a， 当 A，P，F2 三点共线时，|PA|+|PF1|取得最小值，且为|AF2|＝3， 即有 3+2a＝5，即 a＝1，c＝2 2， 可得 e = 푐 푎 = 2 2． 故选：D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．高一、高二、高三三个年级共有学生 1800 人，其中高一共有学生 800 人， 现用分层抽样的方法抽取 90 人作为样本， 则应抽取高一学生为 90 × 800 1800 = 40． 故答案为：40． 14．由余弦定理可得，cos 1 3휋 = 푎2 + 푏2 ― 푐2 2푎푏 = 푎2 + 1 ― 3 2푎 ， 整理可得，a2﹣a﹣2＝0， 解可得 a＝2， 则 S△ABC = 1 2푎푏푠푖푛퐶 = 1 2 × 2 × 1 × 3 2 = 3 2 ． 故答案为： 3 2 ． 15．解：由约束条件得如图所示的三角形区域， 令 2x+y＝z，y＝﹣2x+z， 显然当平行直线过点 A（3 2，3 2）时， z 取得最小值为：3 + 3 2 = 9 2； 故答案为：9 2．16．以点 B 为原点，BC 为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则： B（0，0），A（0，3），C（6，0），D（6，3），设 E（x，y）， （1） → 퐴퐸 = (푥，푦 ― 3)， → 퐴퐶 = (6， ― 3)， ∴(푥，푦 ― 3) = 1 3(6， ― 3) = (2， ― 1)， ∴{푥 = 2 푦 ― 3 = ―1，解得{푥 = 2 푦 = 2， ∴퐸(2，2)， → 퐸퐷 = (4，1)， ∴퐸퐷 = 17； （2）∵ → 퐵퐸 ⋅ → 퐴퐶 = 0， ∴ → 퐵퐸 ⊥ → 퐴퐶，且퐴퐶 = 3 5，푐표푠∠퐵퐶퐴 = 6 3 5 = 2 5， ∴퐸퐶 = 6 × 2 5 = 12 5，且 CD＝3，푐표푠∠퐷퐶퐸 = 3 3 5 = 1 5， ∴在△CDE 中，根据余弦定理得：DE2＝EC2+CD2﹣2EC•CD•cos∠DCE = 144 5 +9 ― 2 × 12 5 × 3 × 1 5 = 117 5 ， ∴퐷퐸 = 3 65 5 ． 故答案为： 17， 3 65 5 ．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共 60 分． 17．（1）等比数列{an}的首项 a1＝2，公比设为 q， a2、a3+2、a4 成等差数列，可得 a2+a4＝2（a3+2）， 即有 2q+2q3＝2（2q2+2），解得 q＝2． 则 an＝a1qn﹣1＝2n； （2）bn＝log2an＝log22n＝n， 则 1 푏푛푏푛+1 = 1 푛(푛 + 1) = 1 푛 ― 1 푛 + 1， 前 n 项和 Tn＝1 ― 1 2 + 1 2 ― 1 3 +⋯ + 1 푛 ― 1 푛 + 1 = 1 ― 1 푛 + 1 = 푛 푛 + 1． 18．（1）由频率分布直方图得： （0.01+a+b+0.035+0.01）×10＝1，∴a+b＝0 .045， 又 a＝2b，解得 a＝0.030，b＝0.015． （2）∵[50，60），[60，70）两段频率比为 0.1：0.15＝2：3， ∴按照分层抽样的方式从[50，60），[60，70）中随机抽取 5 人， 分数在[50，60）中抽取 2 人，记为 a1，a2， 分数在[60，70）中抽取 3 人，记为 b1，b2，b3， ∴从这 5 人中随机抽取 2 人的所有情况为： （a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2）， （a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共 10 个， 其中，至少有 1 人的分数在[50，60）包含的基本事件有 7 个，∴至少有 1 人的分数在[50，60）的概率 P = 7 10． 19．（1）在三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，AB∩BC＝B， ∴PA⊥平面 ABC， ∵BD⊂平面 ABC，∴PA⊥BD． （2）解：∵PA∥平面 BDE，平面 PAC∩平面 BDE＝DE， ∴PA∥DE， ∵D 是 AC 中点，∴DE = 1 2푃퐴 = 푡 2，BD＝DC = 2 2 t， 由（1）知 PA⊥平面 ABC，∴DE⊥平面 BCD， ∵三棱锥 E﹣BCD 的体积为1 3， ∴三棱锥 E﹣BCD 的体积푉 = 1 3푆△퐵퐶퐷 ⋅ 퐷퐸 = 1 6 × 퐵퐷 × 퐷퐶 × 퐷퐸 = 1 3， 解得 t＝2． 20．（1）解：当 a＝0 时，f（x）＝x2•ex，f′（x）＝（x2+2x）•ex， f′（1）＝3e，f（1）＝e， ∴函数 f（x）在（1，f（1））处的切线方程 y﹣e＝3e（x﹣1）， 即 3ex﹣y﹣2e＝0；[来源:Z+xx+k.Com] （2）证明：f′（x）＝（x2+2x+a）ex﹣a， 令 g（x）＝（x2+2x+a）ex﹣a，则 g′（x）＝（x2+4x+a+2）ex， ∵a≥﹣2，∴当 x≥0 时，（x2+4x+a+2）ex≥（x2+4x）ex≥0，即 g′（x）≥0． ∴g（x）在[0，+∞）上是增函数，故 g（x）≥g（0）＝0，即 f′（x）≥0， ∴f（x）在[0，+∞）上是增函数， ∴f（x）≥f（0）＝0，即 f（x）≥0． 故若 a≥﹣2，则当 x≥0 时，f（x）≥0． 21．（1）由题可知，{1 2 × 2푎 × 2푏 = 2 2 푎2 + 푏2 = 3 ，解得{푎 = 2 푏 = 1 ，故椭圆的标准方程为푥2 2 + 푦2 = 1． （2）设直线 l1 的方程为 y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立{푦 = 푘(푥 ― 1) 푥2 2 + 푦2 = 1 ，消去 y 得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0， 所以푥1 + 푥2 = 4푘2 1 + 2푘2， 因为 AB 的中点为 M，所以푥푀 = 푥1 + 푥2 2 = 2푘2 1 + 2푘2，푦푀 = ―푘 1 + 2푘2， 因为直线 l1 的斜率为 k，且 l1 与 l2 的斜率乘积为 ― 1 2，所以直线 l2 方程为푦 = ― 1 2푘(푥 ― 1)， 同理可得，푥푁 = 1 1 + 2푘2，푦푁 = 푘 1 + 2푘2， 所以푀( 2푘2 1 + 2푘2， ―푘 1 + 2푘2)，푁( 1 1 + 2푘2， 푘 1 + 2푘2)， 所以 MN 的中点为푇( 1 2，0)． 因此푆△푂푀푁 = 1 2|푂푇| ⋅ |푦푀 ― 푦푁| = 1 4 ⋅ | 2푘 1 + 2푘2| = 1 2 × |푘| 1 + 2푘2 = 1 2 × 1 1 |푘| + 2|푘| ≤ 2 8 ． 当且仅当2|푘| = 1 |푘|，即푘 =± 2 2 时取等号， 故△OMN 面积的最大值为 2 8 ． (二)选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（1）曲线 C 的参数方程为{푥 = 2 + 푐표푠훼 푦 = 푠푖푛훼 （α 为参数）， 转换为直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝1． 直线 l 的极坐标方程为휌푐표푠(휃 ― 휋 4) = 1．转换为直角坐标方程为 x+y ― 2 = 0． （2）由于 x+y ― 2 = 0，所以，根据题意知：A（ 2，0），B（0， 2）， 所以|AB|＝2． 点 P（2+cosα，sinα）到直线 l 的距离 d= |2 + 푐표푠훼 + 푠푖푛훼 ― 2| 2 = | 2 ― 1 + 푠푖푛(훼 + 휋 4)|， 当 sin（α + 휋 4）＝1 时，푑푚푎푥 = 2， 所以三角形的面积的最大值为1 2 × 2 × 2 = 2．23．[选修 4-5：不等式选讲] （1）由|ax﹣3|≤6，得﹣6≤ax﹣3≤6，即﹣3≤ax≤ 9， 当 a＝0 时，x∈R，不合题意； 当 a＞0 时， ― 3 푎 ≤ 푥 ≤ 9 푎，则{ ― 3 푎 = ―1 9 푎 = 3 ，解得 a＝3，符合题意； 当 a＜0 时，9 푎 ≤ 푥 ≤ ― 3 푎，则{9 푎 = ―1 3 푎 = 3 ，无解； 综上，a＝3； （2）因为푓(푥) + 푓( ― 푥) 3 = |3푥 ― 3| + |3푥 + 3| 3 = |푥 ― 1| + |푥 +1| ≥ |푥 ― 1 ― (푥 +1)| = 2， 要使푓(푥) + 푓( ― 푥) 3 ＜k 存在实数解，只需 k＞2， ∴实数 k 的取值范围为（2，+∞）．