八年级数学下册第四章因式分解单元测试卷1（北师大版）

1 第四章因式分解单元测试卷 1 一．选择题（共 12 小题） 1．下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　） A．a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21 B．a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7） C．（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21 D．a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25 2．多项式 4x2﹣4 与多项式 x2﹣2x+1 的公因式是（　　） A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．（x﹣1）2 3．把多项式（x+1）（x﹣1）﹣（1﹣x）提取公因式（x﹣1）后，余下的部分是（　　） A．（x+1） B．（x﹣1） C．x D．（x+2） 4．下列多项式的分解因式，正确的是（　　） A．12xyz﹣9x2y2=3xyz（4﹣3xyz） B．3a2y﹣3ay+6y=3y（a2﹣a+2） C．﹣x2+xy﹣xz=﹣x（x2+y﹣z） D．a2b+5ab﹣b=b（a2+5a） 5．若 ab=﹣3，a﹣2b=5，则 a2b﹣2ab2 的值是（　　） A．﹣15 B．15 C．2 D．﹣8 6．计算（﹣2）2015+22014 等于（　　） A．22015 B．﹣22015 C．﹣22014 D．22014 7．下列因式分解正确的是（　　） A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B．x2+2x+1=x（x+2）+1 C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y） D．2x+4=2（x+2） 8．分解因式 a2b﹣b3 结果正确的是（　　） A．b（a+b）（a﹣b） B．b（a﹣b）2 C．b（a2﹣b2） D．b（a+b）2 9．把代数式 ax2﹣4ax+4a 分解因式，下列结果中正确的是（　　） A．a（x﹣2）2 B．a（x+2）2 C．a（x﹣4）2 D．a（x+2）（x﹣2） 10．已知甲、乙、丙均为 x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为 x2﹣4， 乙与丙相乘为 x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？（　　） A．2x+19 B．2x﹣19 C．2x+15 D．2x﹣15 11．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（　　） A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣4 12．n 是整数，式子 [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（　　）2 A．是 0 B．总是奇数 C．总是偶数 D．可能是奇数也可能是偶数 　 二．填空题（共 6 小题） 13．给出六个多项式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1；⑤x（x+1）﹣2（x+1）；⑥m2﹣mn+ n2．其中，能够分解因式的是　 　 （填上序号）． 14．如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式　 　． 15．若 a=49，b=109，则 ab﹣9a 的值为 　 　． 16．在实数范围内分解因式：x5﹣4x=　 　． 17．设 a=8582﹣1，b=8562+1713，c=14292﹣11422，则数 a，b，c按从小到大的顺序排列，结果是　 　＜　 　 ＜　 　． 18．已知 a，b，c 是△ABC 的三边，且满足关系式 a2+c2=2ab+2bc﹣2b2，则△ABC 是 　 　三角形． 　 三．解答题（共 10 小题） 19．把下列各式分解因式： （1）2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m） （2）﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3． (3)（x﹣1）（x﹣3）+1． (4)（x2+4）2﹣16x2． (5) x2+y2+2xy﹣1． （6）（x2y2+3）（x2y2﹣7）+37（实数范围内）． 20．已知 x2+y2﹣4x+6y+13=0，求 x2﹣6xy+9y2 的值． 21．先化简，再求值： （1）已知 a+b=2，ab=2，求 a3b+2a2b2+ab3 的值． （2）求（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x）的值，其中 x=2，y=1． 22．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．3 （1）已知多项式 2x3﹣x2+m 有一个因式是 2x+1，求 m 的值． 解法一：设 2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b）， 则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b 比较系数得 ，解得 ，∴ 解法二：设 2x3﹣x2+m=A•（2x+1）（A 为整式） 由于上式为恒等式，为方便计算了取 ， 2× =0，故 ． （2）已知 x4+mx3+nx﹣16 有因式（x﹣1）和（x﹣2），求 m、n 的值． 23．老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别对这个多项式进行描述，（甲）：这是一 个三次四项式； （乙）：常数项系数为 1；（丙）：这个多项式的前三项有公因式；（丁）：这个多项式分解因式 时要用到公式法；若这四个同学的描述都正确，请你构造两个同时满足这些描述的多项式，并将它 因式分解． 24．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4 进行因式分解的过程． 解：设 x2﹣4x=y， 原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步） =y2+8y+16 （第二步） =（y+4）2（第三步） =（x2﹣4x+4）2（第四步） （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　 　． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？　 　．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底， 请直接写出因式分解的最后结果　 　． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1 进行因式分解．4 　5 参考答案与解析 一．选择题 1．【分析】利用因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多 项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可． 解；A、a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21，不是因式分解，故 A 选项错误； B、a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7），是因式分解，故 B 选项正确； C、（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21，不是因式分解，故 C 选项错误； D、a2+4a﹣21=（a+2）2﹣25，不是因式分解，故 D 选项错误； 故选：B． 　 2．【分析】分别将多项式 4x2﹣4 与多项式 x2﹣2x+1 进行因式分解，再寻找他们的公因式． 解：∵4x2﹣4=4（x+1）（x﹣1），x2﹣2x+1=（x﹣1）2， ∴多项式 4x2﹣4 与多项式 x2﹣2x+1 的公因式是（x﹣1）． 故选：A． 　 3．【分析】原式变形后，提取公因式即可得到所求结果． 解：原式=（x+1）（x﹣1）+（x﹣1）=（x﹣1）（x+2）， 则余下的部分是（x+2）， 故选 D 　 4．【分析】A 选项中提取公因式 3xy； B 选项提公因式 3y；C 选项提公因式﹣x，注意符号的变化； D 提公因式 b． 解：A、12xyz﹣9x2y2=3xy（4z﹣3xy），故此选项错误； B、3a2y﹣3ay+6y=3y（a2﹣a+2），故此选项正确； C、﹣x2+xy﹣xz=﹣x（x﹣y+z），故此选项错误； D、a2b+5ab﹣b=b（a2+5a﹣1），故此选项错误； 故选：B． 　 5．【分析】直接将原式提取公因式 ab，进而分解因式得出答案．6 解：∵ab=﹣3，a﹣2b=5， a2b﹣2ab2=ab（a﹣2b）=﹣3×5=﹣15． 故选：A． 　 6．【分析】直接提取公因式法分解因式求出答案． 解：（﹣2）2015+22014 =﹣22015+22014 =22014×（﹣2+1） =﹣22014． 故选：C． 　 7．【分析】A、原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断； B、原式利用完全平方公式分解得到结果，即可做出判断； C、原式提取公因式得到结果，即可做出判断； D、原式提取公因式得到结果，即可做出判断． 解：A、原式=（x+2）（x﹣2），错误； B、原式=（x+1）2，错误； C、原式=3m（x﹣2y），错误； D、原式=2（x+2），正确， 故选 D 　 8．【分析】直接提取公因式 b，进而利用平方差公式分解因式得出答案． 解：a2b﹣b3 =b（a2﹣b2） =b（a+b）（a﹣b）． 故选：A． 　 9．【分析】先提取公因式 a，再利用完全平方公式分解即可． 解：ax2﹣4ax+4a， =a（x2﹣4x+4），7 =a（x﹣2）2． 故选：A． 　 10．【分析】根据平方差公式，十字相乘法分解因式，找到两个运算中相同的因式，即为乙，进一 步确定甲与丙，再把甲与丙相加即可求解． 解：∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2）， x2+15x﹣34=（x+17）（x﹣2）， ∴乙为 x﹣2， ∴甲为 x+2，丙为 x+17， ∴甲与丙相加的结果 x+2+x+17=2x+19． 故选：A． 　 11．【分析】各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可． 解：A、原式不能分解； B、原式=（x+y）2﹣2=（x+y+ ）（x+y﹣ ）； C、原式=（x+y）（x﹣y）+4（x+y）=（x+y）（x﹣y+4）； D、原式=x2﹣（y﹣2）2=（x+y﹣2）（x﹣y+2）， 故选 A 　 12．【分析】根据题意，可以利用分类讨论的数学思想探索式子 [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的 结果等于什么，从而可以得到哪个选项是正确的． 解：当 n 是偶数时， [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）= [1﹣1]（n2﹣1）=0， 当 n 是奇数时， [1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）= ×（1+1）（n+1）（n﹣1）= ， 设 n=2k﹣1（k 为整数）， 则 = =k（k﹣1）， ∵0 或 k（k﹣1）（k 为整数）都是偶数，8 故选 C． 　 二．填空题 13．【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 解：①x2+y2 不能因式分解，故①错误； ②﹣x2+y2 利用平方差公式，故②正确； ③x2+2xy+y2 完全平方公式，故③正确； ④x4﹣1 平方差公式，故④正确； ⑤x（x+1）﹣2（x+1）提公因式，故⑤正确； ⑥m2﹣mn+ n2 完全平方公式，故⑥正确； 故答案为：②③④⑤⑥． 　 14．【分析】直接利用矩形面积求法结合提取公因式法分解因式即可． 解：由题意可得：am+bm+cm=m（a+b+c）． 故答案为：am+bm+cm=m（a+b+c）． 　 15．【分析】原式提取公因式 a 后，将 a 与 b 的值代入计算即可求出值． 解：当 a=49，b=109 时，原式=a（b﹣9）=49×100=4900， 故答案为：4900． 　 16．【分析】原式提取 x，再利用平方差公式分解即可． 解：原式=x（x4﹣4）=x（x2+2）（x2﹣2）=x（x2+2）（x+ ）（x﹣ ）， 故答案为：x（x2+2）（x+ ）（x﹣ ） 　 17．【分析】运用平方差公式和完全平方公式进行变形，把其中一个因数化为 857，再比较另一个 因数，另一个因数大的这个数就大． 解：∵a=8582﹣1=（858+1）（858﹣1）=857×859， b=8562+1713=8562+856×2+1=（856+1）2=8572， c=14292﹣11422=（1429+1142）（1429﹣1142）=2571×287=857×3×287=857×861，9 ∴b＜a＜c， 故答案为：b、a、c． 　 18．【分析】先把原式化为完全平方的形式再求解． 解：∵原式=a2+c2﹣2ab﹣2bc+2b2=0， a2+b2﹣2ab+c2﹣2bc+b2=0， 即（a﹣b）2+（b﹣c）2=0， ∴a﹣b=0 且 b﹣c=0，即 a=b 且 b=c， ∴a=b=c． 故△ABC 是等边三角形． 故答案为：等边． 　 三．解答题 19．（1）【分析】直接提取公因式 2m（m﹣n），进而分解因式得出答案； 解：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m） =2m（m﹣n）[（m﹣n）+4m] =2m（m﹣n）（5m﹣n）； （2）【分析】直接提取公因式﹣4ab，进而分解因式得出答案． 解：﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3 =﹣4ab（2a﹣3b+a2b2）． 　 (3)【分析】首先利用多项式乘法计算出（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，再加上 1 后变形成 x2﹣4x+4， 然后再利用完全平方公式进行分解即可． 解：原式=x2﹣4x+3+1， =x2﹣4x+4， =（x﹣2）2． 　 (4)【分析】利用公式法因式分解． 解：（x2+4）2﹣16x2， =（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）10 =（x+2）2•（x﹣2）2． (5)【分析】将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而结合平方差公式分解因式得出即 可． 解：x2+y2+2xy﹣1 =（x+y）2﹣1 =（x+y﹣1）（x+y+1）． 　 (6)【分析】将 x2y2 看作一个整体，然后进行因式分解． 解：（x2y2+3）（x2y2﹣7）+37 =（x2y2）2﹣4x2y2+16 =（x2y24）2 =（xy+2）2（xy﹣2）2．　 20．【分析】已知等式左边利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出 x 与 y 的值，代入原式 计算即可得到结果． 解：∵x2+y2﹣4x+6y+13=（x﹣2）2+（y+3）2=0， ∴x﹣2=0，y+3=0，即 x=2，y=﹣3， 则原式=（x﹣3y）2=112=121． 　 　 21．【分析】（1）根据提公因式法，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案； （2）根据平方差公式，可化简整式，根据代数式求值，可得答案． 解：（1）原式=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2， 当 a+b=2，ab=2 时，原式=2×22=8； （2）原式=4x2﹣y2﹣（4y2﹣x2） =5x2﹣5y2， 当 x=2，y=1 时，原式=5×22﹣5×12=15． 　 22．【分析】设 x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2），对 x 进行两次赋值，可得出两个关于 m、n 的 方程，联立求解可得出 m、n 的值． 解：设 x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A 为整式），11 取 x=1，得 1+m+n﹣16=0①， 取 x=2，得 16+8m+2n﹣16=0②， 由①、②解得 m=﹣5，n=20． 　 23.【分析】根据分组法、提公因式法分解因式分解，可得答案． 解：x3﹣x2﹣x+1=x2（x﹣1）﹣（x﹣1）=（x﹣1）2（x+1） 4x3﹣4x2﹣x+1=4x2（x﹣1）﹣（x﹣1）=（x﹣1）（2x+1）（2x﹣1） 　 24.【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案； （2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可； （3）将（x2﹣2x）看作整体进而分解因式即可． 解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式； 故选：C； （2）该同学因式分解的结果不彻底， 原式=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4； 故答案为：不彻底，（x﹣2）4 （3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1 =（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1 =（x2﹣2x+1）2 =（x﹣1）4．