四川省高 2016 级高三 4 月月考
数学（文史类）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则集合 的真子集的个数是（ ）
A. 8 B. 7 C. 4 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
转化条件得 ，利用元素个数为 n 的集合真子集个数为 个即可得解.
【详解】由题意得 ，
， 集合 的真子集的个数为 个.
故选：D.
【点睛】本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.
2.已知点 , 的坐标分别为 ， ，若向量 对应复数 ，则复数 对应点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
求出向量 的坐标表示的复数 z，然后计算出复数 ，进而确定其对应点的位置．
【详解】∵点 Z1，Z2 的坐标分别为（1，0），（0，1），
，即 ，
，
复数 对应点位于第三象限，
故选：C．
【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示，复数的几何意义，是基础题．
3.为比较甲、乙两地某月 14 时的气温状况，随机选取该月中的 5 天，将这 5 天中 14 时的气温数据（单位：
{ }1,0,1,2A = − ( )( ){ }1 2 0B x x x= + − < A B
{ }0,1A B = 2 1n −
( )( ){ } { }1 2 0 1 2B x x x x x= + − < = − < <
∴ { }0,1A B = ∴ A B 22 1 3− =
1Z 2Z ( )1,0 ( )0,1 1 2Z Z z 2
z
1 2Z Z 2
z
1 2 ( 1,1)Z Z∴ = − 1z i= − +
2 2 11 iz i
∴ = = − −− +
∴ 2
z℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：
①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温；
②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温；
③甲地该月 14 时的平均气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差；
④甲地该月 14 时的平均气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差.
其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据茎叶图中数据，结合平均数与方差的计算公式即可求出结果，属于常考题型.
【详解】由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两地某月 14 时的气温抽取的样本温度分别为：
甲：26，28，29，31，31；乙：28，29，30，31，32；
所以，甲地该月 14 时的平均气温为： ；
乙地该月 14 时的平均气温为： ；故 ；即①正确；
又甲地该月 14 时温度的方差为：
乙地该月 14 时温度的方差为：
；
故 ；即④正确.
故选 B
【点睛】本题主要考查由茎叶图求数据的平均数与方差，熟记公式即可，属于常考题型.
4.已知偶函数 在 上单调递增，则对实数 ，“ ”是“ ”的（ ）
26+28+29+31+31= =295甲x
28+29+30+31+32= =305乙x x x甲 乙
( )f x [0, )+∞ a b、 >| |a b ( ) ( )f a f b>A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
本道题结合偶函数满足 以及单调递增关系,前后推导,即可.
【详解】结合偶函数的性质可得 ,而当 ,所以结合 在
单调递增,得到 ,故 可以推出 .举特殊例子,
,但是 ,故由 无法得到 ,故 是
的充分不必要条件,故选 A.
【点睛】本道题考查了充分不必要条件的判定,关键结合偶函数的性质以及单调关系,判定,即可,属于较容易
的题.
5.为了得到 的图象，只需把函数 的图象上所有的点（ ）
A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】
先 通 过 三 角 恒 等 变 换 化 简 所 求 函 数 ， 得 到 ， 再 利 用 诱 导 公 式 ，
，再结合图象变换规律，得出结论.
【详解】 ，
且
把函数 的图象上所有的点向左平移 个单位长度.
故选：C.
【点睛】主要考查三角函数的恒等变换，诱导公式，三角函数图象变换规律，属于基础题.
6.若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）
( ) ( )f x f x= −
( ) ( )f x f x= − ,a b a b a> − < < ( )f x
[ )0,+∞ ( ) ( ) ( )f a f a f b= − > a b> ( ) ( )f a f b>
( ) ( ) ( )3 3 1f f f− = > 3 1− < ( ) ( )f a f b> a b> a b>
( ) ( )f a f b>
2 23 3cos 1 sin2 2
x xy = + − sin3 1y x= +
2
π
2
π
6
π
6
π
cos3 1y x= +
cos3 sin(3 ) sin3( )2 6x x x
π π= + = +
2 23 3cos 1 sin cos3 12 2
x xy x= + − = +
cos3 sin(3 ) sin3( )2 6x x x
π π= + = +
∴ sin3 1y x= +
6
π
x y 2 2( 1) ( 1) 1x y− + − ≤ 2 2x y+A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
表示的是以 为圆心，以 1 为半径圆上及其圆的内部的点，
而 的几何意义是点 到原点的距离，则 的最小值为 ，
故选 A．
7.在 中，点 是线段 上任意一点， 是线段 的中点，若存在实数 和 ，使得
，则
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量 ， ，然后结合平面向量的运算法则即
可求得最终结果.
【详解】如图所示，因为点 D 在线段 BC 上，所以存在 ，使得 ，
因为 M 是线段 AD 的中点，所以：
，
又 ，所以 ， ，
所以 .
本题选择 D 选项.
【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减
或数乘运算．
2 1− 3 2 2− 2 1+ 3 2 2+
2 2( 1) ( 1) 1x y− + − ≤ (1 1)，
2 2x y+ 2 2( 0) ( 0)x y= − + − ( )x y， 2 2x y+ 2 1−
ABC D BC M AD λ µ
BM AB ACλ µ= + λ µ+ =
2 2−
1
2
1
2
−
BD BM
t R∈ ( )BD tBC t AC AB= = −
( ) ( ) ( )1 1 1 112 2 2 2BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC= + = − + − = − + +
BM AB ACλ µ= + ( )1 12 tλ = − + 1
2 tµ =
1
2
λ µ+ = −(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形
式，再通过向量的运算来解决．
8.已知双曲线 的离心率为 ，其一条渐近线被圆 截得的线
段长为 ，则实数 的值为（ ）
A. 3 B. 1 C. D. 2
【答案】D
【解析】
分析：由离心率公式，可得 a=b，求得渐近线方程，以及圆的圆心和半径，求得圆心到直线的距离，由弦长
公式，解方程可得所求值．
详解：由题可得：c= ，即有 a=b，渐近线方程为 y=±x，圆（x-m）2+y2=4（m＞0）的圆心为（m，0），
半径为 2，可得圆心到直线的距离为 d= ，则直线被圆截得的弦长为 ，解得 m=2（-2
舍去），故选 D．
点睛：本题考查双曲线的性质：渐近线方程和离心率，考查直线和圆相交的弦长公式的运用，考查运算能
力，属于中档题．
9.若正整数 除以正整数 后的余数为 ，则记为 ，例如 ．如图程序框图的
算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的 等于( )．
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 2 2 2( ) 4( 0)x m y m− + = >
2 2 m
2
2a
2
m 2
2 4 2 22
m− =
N m n (mod )N n m= 10 2(mod4)=
nA. 20 B. 21 C. 22 D. 23
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由已知中的程序框图得：该程序的功能是利用循环结构计算出并输出同时满足条件：①
被 3 除余 1，②被 5 除余 2，最小为两位数，所输出的 ，故选 C.
考点：程序框图.
【名师点睛】本题考查程序框图，属中档题；识别运行算法流程图和完善流程图是高考的热点.解答这一类
问题，第一，要明确流程图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行流程图，理解框图所解
决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答.对流程图的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强
化框图问题的实际背景.
10.已知四棱锥 中， 平面 ，底面 是边长为 2 的正方形， ， 为
的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
22n =
P ABCD− PA ⊥ ABCD ABCD 5PA = E
PC BE PD
13
39
− 13
39
15
5
− 15
5【分析】
由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用 即可得解.
【详解】 平面 ，底面 是边长为 2 的正方形，
如图建立空间直角坐标系，由题意：
， ， ， ， ，
为 的中点， .
， ，
，
异面直线 与 所成角的余弦值为 即为 .
故选：B.
【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.
11.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为 ，
三角形的面积 可由公式 求得，其中 为三角形周长的一半，这个公式也被
称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 ，则此三角形面积的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
cos , BE PDBE PD
BE PD
⋅=
⋅
PA ⊥ ABCD ABCD
∴
( )0,0,0A ( )2,0,0B ( )2,2,0C ( )0,0, 5P ( )0,2,0D
E PC ∴ 51,1, 2E
∴ 51,1, 2BE
= −
( )0,2, 5PD = −
∴
1
132cos , 3913 32
BE PDBE PD
BE PD
−⋅= = = −
⋅ ⋅
∴ BE PD cos ,BE PD 13
39
a b c， ，
S ( )( )( )S p p a p b p c= − − − p
12 8a b c+ = =，
4 5 4 15 8 5 8 15由题意，p＝10，S ，利用基本不等式，即可得出结论．
【详解】由题意，p＝10，
S 8 ，
∴此三角形面积的最大值为 8 ．
故选 C．
【点睛】本题考查三角形的面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．
12.若关于 的不等式 （其中 为自然对数的底数， ）恒成立，则 的
最大值为
A. 4 B. 5 C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
变量分离可得 ﹣ex+2＞m，构造新函数 h（x）= ﹣ex+2，（x＞0），研究其最值即可.
【详解】由题意可得： ﹣ex+2＞m
设 h（x）= ﹣ex+2，（x＞0），
则 h′（x）=ex+1﹣ex﹣e，
令 p（x）=h′（x）=ex+1﹣ex﹣e，则 p′（x）=ex+1﹣e，
当 x＞0 时，恒有 p′（x）＞0，∴函数 h′（x）在区间（0，+∞）为增函数，
∴h′（x）＞h′（0）=0，
∴函数 h（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
∴x＞0 时，h（x）＞h（0）=e+2≈4.72，
又 ﹣ ﹣ln ，
∴整数 m 的最大值为 4．
【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出
最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转
化为函数的最值问题.
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为 6 的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷 800 个
( )( )20 10 10a b= − −
( )( )( ) ( )( ) 10 1010 10 10 10 20 10 10 20 2
a ba b c a b
− + −= − − − = − − ≤ ⋅ = 5
5
x 1 2 22
x ee x m ex+ − + > + e 0,x m Z> ∈ m
1 2
2
x ee x+ − 1 2
2
x ee x+ −
1 2
2
x ee x+ −
1 2
2
x ee x+ −
1 12e
+
2
1
2 2
e × 1 4.852
≈点，已知恰有 200 个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是__________．
【答案】9
【解析】
【分析】
设阴影部分的面积为 S，根据题意，可得向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率 ，又由几
何概型得 ，则 ，即解得答案．
【详解】根据题意，设阴影部分的面积为 S，则正方形的面积为 36，
向正方形内随机投掷 800 个点，已知恰有 200 个点落在阴影部分内，
则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率 ，
而 ，则 ，
解可得，S=9；
故答案为：9．
【点睛】本题考查用模拟方法估计概率的大小，涉及几何概型的应用，模拟方法求面积一般针对不规则的
图形．
14.已知 是定义在 上的奇函数，且满足 ，当 时， ，则
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据 的周期和奇偶性计算得出结论．
【详解】 是定义在 R 上的奇函数，
，
，
1
4P =
36
SP = 1
36 4
S =
200 1
800 4P = =
36
SP = 1
36 4
S =
( )f x R ( ) ( )2 2f x f x− = + ( )2,0x∈ − ( ) 2xf x = −
( ) ( )1 4f f+ =
1
2
( )f x
( )f x
(0) 0f∴ =
( 2) ( 2)f x f x− = +的周期为 4，
，
由奇函数得 ，
.
故答案为： .
【点睛】本题考查了函数奇偶性与周期性的性质，属于中档题．
15.在三棱锥 中， ，侧棱 与底面 所成的角为 ，则该三棱锥外接
球的体积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
过点 P 作 PH⊥平面 ABC 于 H，可得∠PAH 是直线 PA 与底面 ABC 所成的角，得 ．由
PA=PB=PC，得外接球心 O 必定在 PH 上，连接 OA，可得△POA 是底角等于 30°的等腰三角形，从而得
到外接球的半径 R=OA=1，再用球的体积公式可得该三棱锥外接球的体积．
【详解】过点 P 作 PH⊥平面 ABC 于 H，
∵AH 是 PA 在平面 ABC 内的射影，
是直线 PA 与底面 ABC 所成 角，得 ，
中， ， ，
设三棱锥外接球的球心为 O，
∵PA=PB=PC，
∴P 在平面 ABC 内的射影 H 是 的外心
由此可得，外接球心 O 必定在 PH 上，连接 OA、OB、OC，
中，OP=OA，
的
( )f x∴
(4) (0) 0f f∴ = =
1 1(1) ( 1) 2 2f f −= − − = =
1(1) (4) 2f f∴ + =
1
2
P ABC− 3PA PB PC= = = PA ABC 60°
4
3
π
60PAH∠ = °
PAH∴∠ 60PAH∠ = °
Rt PAH∴
3cos60 2AH PA= ° = 3sin 60 2PH PA= ° =
ABC
POA∴∠OAP=∠OPA=30°，可得
∴三棱锥外接球的半径 R=OA=1
因此该三棱锥外接球的体积为 .
故答案为： .
【点睛】本题给出三棱锥的三条侧棱两两相等，在已知一条侧棱与底面所成角的情况下求外接球的体积，
着重考查了直线与平面所成角的定义、球内接多面体和球体积的求法等知识，属于中档题．
16.（云南省保山市 2018 届普通高中毕业生第二次市级统测）已知 是抛物线 ： 的焦点，点
的坐标为 ，点 是 上的任意一点，当 在点 时， 取得最大值；当 在点 时，
取得最小值，则 ， 两点间的距离为__________．
【答案】 .
【解析】
由抛物线的方程为 ，则点 的坐标为 ，
当 平行 轴时， 取得最大值，则 的坐标为 ；
当 三点共线，且点 在 之间时， 取得最小值，由点 的坐标为 ，则
的坐标为 ，所以 ．
故答案为 .
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 ,且 ， ， 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，若数列 前 项和为 ，证明： .
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
【分析】
3 3PA OA= =
34 4
3 3V Rπ π= =
4
3
π
F C 2 8y x= A
( )2,6 P C P 1P PF PA− P 2P
PF PA− 1P 2P
5 17
2
2 8y x= F (2 0)，
PA x | | | |PF PA− 1P 9 62
，
P F A， ， F P A， | | | |PF PA− A (2 6)， 2P
(2 4)−， 1 2
5 17
2PP =
5 17
2
{ }na n nS 10 110S = 1a 2a 4a
{ }na
{ }nb 2 1log 12 2 a
n n nb a b−⋅ = + { }nb n nT 1 13 nT≤ <
2na n=（1）设出等差数列的 公差 ，由等差数列的通项公式和求和公式，联立方程组，即可求得首项 和公
差 ，写出通项公式；
（2）由（1）可得 ，利用裂项相消求和方法，及数列的单调性即
可证明.
【详解】解：（1）由题意知：
解得 ，故数列 ；
（2）由（1）可知 ，
则
因 单调递增，所以 .
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、数列的单调性，考查了
推理能力与计算能力，属于中档题．
18.迈入 2018 年后，直播答题突然就火了.在 1 月 6 号的一场活动中，最终仅有 23 人平分 100 万，这 23 人
可以说是“学霸”级的大神.随着直播答题的发展，平台“烧钱大战”模式的可持续性受到了质疑，某网站
随机选取 1000 名网民进行了调查，得到的数据如下表：
男 女
认为直播答题模式可持续 360 280
认为直播答题模式不可持续 240 120
(1)根据表格中的数据，能否在犯错误不超过 的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系？
(2)已知在参与调查的 1000 人中，有 20%曾参加答题游戏瓜分过奖金，而男性被调查者有 15%曾参加游戏瓜
分过奖金，求女性被调查者参与游戏瓜分过奖金的概率.
参考公式： ．
为
{ }na d 1a
d
1 1 1 1
(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1nb n n n n
= = − − + − +
( ) ( )22
2 1 4 1 1 1
10 1
3
110 10 45 110
a a a a d a a d
S a d
= + = + ⇒ = + =
1 2a d= = 2na n=
1 1 1 1
(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1nb n n n n
= = − − + − +
1 1 1 1 1 1 1
2 1 3 3 5 2 1 2 1nT n n
= − + − + + − − +
1 112 2 1 2 1
n
n n
= − = + +
1
12 1 2
n
nT n
n
= =+ +
1 13 nT≤ <
0.5%
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +临界值表：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）见解析；（2）0.275
【解析】
【分析】
（1）根据列联表中数据计算 K2 的值，对照临界值得出结论；
（2）利用古典概型公式即可得到结果.
【详解】（1）依题意， 的观测值 ，
故可以在犯错误的概率不超过 0.5%的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系；
（2）由题意，参与答题游戏获得过奖励的人数共有 人；
其中男性被调查者获得过奖励的人数为 人，
故女性调查者获得过奖励人数为 人，记女性被调查者参与游戏瓜分过奖励为事件 ，
则 .
所以女性被调查者参与游戏瓜分过奖金的概率为 0.275.
【点睛】独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成 列联表；（2）根据公式
计算 的值；(3) 查表比较 与临界值的大小关系，作统计判断.
（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）
19.如图，已知四棱锥 底面为菱形，且 ， 是 中点．的
( )2
0P K k≥
0k
2K
( )21000 360 120 240 280 125 7.879600 400 640 360 12k
× × − ×= = >× × ×
1000 20% 200× =
600 15% 90× =
110 A
( ) 110 0.275400P A = =
2 2×
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b a d a c b d
−= + + + +
2K 2K
P ABCD− π
3ABC∠ = E DP（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ，求三棱锥 的体积．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】
【分析】
（1）连接 BD 交 AC 于 F，连接 EF，证明 EF∥PB 得到结论.
（2）先确定 AP⊥BP 且△ABC 为正三角形，取 AB 中点 M，连接 PM、CM，证明 PM⊥平面 ABCD，根据
得到答案.
【详解】（1）连接 BD 交 AC 于 F，连接 EF
∵四边形 ABCD 为菱形，∴F 为 AC 中点，那么 EF∥PB
又∵ 平面 ACE， 平面 ACE∴PB∥平面 ACE；
（2）由勾股定理易知 AP⊥BP 且△ABC 为正三角形，
∵E 为 DP 中点，∴ ，
取 AB 中点 M，连接 PM、CM，由几何性质可知 PM＝1， ，
又∵PC＝2，∴PC2＝PM2＋MC2，即 PM⊥MC，∵PM⊥AB，
∴PM⊥平面 ABCD，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查了线面平行，体积的计算，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
20.已知椭圆 的焦距为 ，点 在 上.
（I）求 的方程；
（II）过原点且不与坐标轴重合的直线 与 有两个交点 ，点 在 轴上的射影为 ，线段 的中
点为 ，直线 交 于点 ，证明：直线 的斜率与直线 的斜率乘积为定值.
PB ACE
2AP PB= = 2AB PC= = C PAE−
3 3
4
1
2C PAE P ACDV V− −=
EF ⊂ PB ⊄
1
2C PAE P ACDV V− −=
3CM =
1 1 31 2 33 2 3P ACDV − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 1 3
2 6C PAE P ACDV V− −= =
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 2 31, 2
C
C
l C ,A B A x M AM
N BN C P AB AP【答案】（I） （II）定值
【解析】
试题分析：（1）（I）由题意知， 的焦点坐标为 ，利用定义求解 的值，即可得到椭圆的标准方
程；
（II）设 ，则
由点 在椭圆 上得，两式相减得，得 ， .
因为 三点共线，所以 ，即可证得 为定值.
试题解析：
（I）由题意知， 的焦点坐标为 ，
， .
所以，椭圆 的方程为 .
（II）设 ，则
由点 在椭圆 上得， ，两式相减得， .
， .
因为 三点共线，所以 ，即 .
， 定值.
21.已知函数 ，函数 在点 处的切线斜率为 0.
为
2 2
14 3
x y+ = 1−
C ( )1 0± ， ,a b
( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2, , ,A x y P x y x x≠ ( ) 1
1 1 1, , ( , )2
yB x y N x− −
,A P C 1
1
1 1
3
32
2 4BN
y yk x x
= = ⋅ 1 2
1 2
BP
y yk x x
+= +
, ,B N P BN BPk k= AB APk K⋅
C ( )1 0± ，
2 2
2 3 3 5 32 2 0 42 2 2 2a = + + + = + = 3b =
C
2 2
14 3
x y+ =
( ) ( )( )1 1 2 2 1 2, , ,A x y P x y x x≠ ( ) 1
1 1 1, , , 2
yB x y N x − −
,A P C
12 12
22 22
14 3{
14 3
x y
x y
+ =
+ =
12 22
12 22
3
4
y y
x x
− = −−
1
1
1 1
3
32
2 4BN
y yk x x
= = ⋅ 1 2
1 2
BP
y yk x x
+= +
, ,B N P BN BPk k= 1 1 2
1 1 2
4
3
y y y
x x x
+= ⋅ +
1 1 2 1 2 1 2 12 12
1 1 2 1 2 1 2 12 12
4 4 13 x 3AB AP
y y y y y y y y yk K x x x x x x x x
− − + −∴ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = −− − + −
( ) 21ln 2f x x ax bx= − + ( )f x ( )( )1, 1f（1）试用含有 的式子表示 ，并讨论 的单调性；
（2）对于函数 图象上的不同两点 ， ，如果在函数 图象上存在点
，使得在点 处的切线 ，则称 存在“跟随切线”.特别地，当
时，又称 存在“中值跟随切线”.试问：函数 上是否存在两点 使得它存在“中值跟随切线”，若
存在，求出 的坐标，若不存在，说明理由.
【答案】（1） ，单调性见解析；（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意得 ，即可得 ；求出函数 的导数 ，再根据 、
、 、 分类讨论，分别求出 、 的解集即可得解；
（2）假设满足条件的 、 存在，不妨设 ， 且 ，由题意得
可得 ，令 （ ），构造函数
（ ），求导后证明 即可得解.
【详解】（1）由题可得函数 的定义域为 且 ，
由 ，整理得 .
.
（ⅰ）当 时，易知 ， ， 时 .
故 在 上单调递增，在 上单调递减.
（ⅱ）当 时，令 ，解得 或 ，则
①当 ，即 时， 在 上恒成立，则 在 上递增.
②当 ，即 时，当 时， ；
a b ( )f x
( )f x ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )f x
( ) ( )( )0 0 0 1 2M x y x x x∈, , M //l AB AB 1 2
0 2
x xx
+=
AB ( )f x ,A B
,A B
1b a= −
( )1 0f ′ = 1b a= − ( )f x ( ) ( )( )1 1ax xf x x
+ − +′ = 0a ≥
1 0a− < < 1a = − 1a < − ( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ <
A B ( )1 1A x y， ( )2 2B x y， 1 20 x x< <
1 2
2AB
x xfk
+= ′
1
21
12
2
2 1
ln
1
x
xx
xx
x
− =
+
1
2
xt x
= 0 1t< < ( ) ( )2 1ln 1
tg t t t
−= − +
0 1t< < ( ) 0g t <
( )y f x= ( )0 + ∞， ( ) 1f x ax bx
−′ = +
( )1 0f ′ = 1b a= −
( ) ( )( )1 11 1 1 ax xf x ax b ax ax x x
+ − += − + = − + − =′
0a ≥ ( )01x∈ ， ( ) 0f x′ > ( )1x∈ + ∞， ( ) 0f x′ <
( )y f x= ( )01， ( )1 + ∞，
0a < ( ) 0f x′ = 1x = 1x a
= −
1 1a
− = 1a = − ( ) 0f x′ ≥ ( )0 + ∞， ( )y f x= ( )0 + ∞，
1 1a
− > 1 0a− < < ( ) 101x a
∈ ∪ − + ∞ ， ， ( ) 0f x′ >当 时， .
所以 在 上单调递增， 单调递减， 单调递增.
③当 ，即 时，当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递增， 单调递减， 单调递增.
综上，当 时， 在 上单调递增，在 单调递减.
当 时， 在 及 上单调递增； 在 上单调递减.
当 时， 在 上递增.
当 时， 及 上单调递增； 在 上递减.
（2）满足条件的 、 不存在，理由如下：
假设满足条件的 、 存在，不妨设 ， 且 ，
则 ，
又 ，
由题可知 ，整理可得： ，
令 （ ），构造函数 （ ）.
则 ，
所以 在 上单调递增，从而 ，
所以方程 无解，即 无解.
在
11x a
∈ − ， ( ) 0f x′ <
( )y f x= ( )01， 11 a
− ， 1
a
， − + ∞
1 1a
− < 1a < − ( )10 1x a
∈ − ∪ + ∞ ， ， ( ) 0f x′ > 1 1x a
∈ − ， ( ) 0f x′ <
( )y f x= 10 a
− ， 1 1a
− ， ( )1 + ∞，
0a ≥ ( )y f x= ( )01， ( )1 + ∞，
1 0a− < < ( )y f x= ( )01， 1
a
， − + ∞
( )y f x= 11 a
− ，
1a = − ( )y f x= ( )0 + ∞，
1a < − ( )y f x= 10 a
− ， ( )1 + ∞， ( )y f x= 1 1a
− ，
A B
A B ( )1 1A x y， ( )2 2B x y， 1 20 x x< <
( )1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
ln ln 1 12AB
y y x xk a x x ax x x x
− −= = − + + −− −
( ) 1 2 1 2
0
1 2
2 12 2
x x x xf x f a ax x
+ + ′ = = − × + − +
′
( )ABk f x0
= ′
1
21 2 1 1 2
11 2 1 2 2 1 2
2
2 1
ln ln 2 22 ln
1
x
xx x x x x
xx x x x x x x
x
− − − = ⇒ = =− + + +
1
2
xt x
= 0 1t< < ( ) ( )2 1ln 1
tg t t t
−= − + 0 1t< <
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
11 4 0
1 1
tg t t t t t
−′ = − = >
+ +
( )g t ( )01， ( ) ( )1 0g t g< =
1 1 2
2 1 2
2 2ln x x x
x x x
−= + ( )ABk f x0
= ′综上，满足条件的 A、B 不存在.
【点睛】本题考查了导数的应用，考查了计算能力和转化化归思想，属于中档题.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
选修 4-4：坐标系与参数方程
22.在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数），以 为极点， 轴的非负半轴
为极轴建极坐标系，直线 的极坐标方程为
（Ⅰ）求 的极坐标方程；
（Ⅱ）射线 与圆 C 的交点为 与直线 的交点为 ，求 的范
围．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
【分析】
（1）圆 C 的参数方程消去参数能求出圆 C 的普通方程，再由 x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出 C 的极坐标方程；
（2）设 P（ρ1，θ1），则有 ρ1=4cosθ1，设 Q（ρ2，θ1），且直线 l 的方程是 ，由此能
求出|OP|•|OQ|的范围．
【详解】（1）∵圆 C 的参数方程为 为参数），
∴圆 C 的普通方程是（x﹣2）2+y2=4，
又 x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴圆 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ；
（2）设 P（ρ1，θ1），则有 ρ1=4cosθ1，
设 Q（ρ2，θ1），且直线 l 的方程是 ，
∴ ，
∴2≤|OP||OQ|≤3．
∴|OP|•|OQ|的范围是[2，3]．
【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段的积的取值范围的求法，考查极坐标方程、直角
坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
xoy C
2 2cos
2sin
x
y
α
α
= +
=
α O x
l (sin 3 cos ) 3.ρ θ θ+ =
C
1 1: ( )6 3OM
π πθ θ θ= ≤ ≤ ,O P l Q | | | |OP OQ⋅
4cos .ρ θ= [2,3]
( )sin 3cos 3ρ θ θ+ =
2 2 (2
x cos
y sin
α αα
= +
=
( )sin 3cos 3ρ θ θ+ =选修 4-5：不等式选讲
23.已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）记函数 的最小值为 ，若 均为正实数，且 ，求 的最小值.
【答案】（1） .（2） .
【解析】
【分析】
（1）由题意结合函数的解析式零点分段可得不等式的解集为 或 .
（2）由题意结合(1)中函数的解析式可得 ，结合柯西不等式的结论可得 的最小
值为 .
【详解】（1） ，
所以 等价于 或 或 ，
解得 或 ，所以不等式的解集为 或 .
（2）由（1）可知，当 时， 取得最小值 ，
所以 ，即 ，
由柯西不等式 ，
整理得 ，当且仅当 时，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力
和计算求解能力.
( ) 2 1 1f x x x= + + −
( ) 3f x ≥
( )f x m , ,a b c 1 22 a b c m+ + = 2 2 2a b c+ +
( , 1] [1, )−∞ − +∞
3
7
{ | 1x x ≥ 1}x ≤ −
1 322 2a b c+ + = 2 2 2a b c+ +
3
7
( )
3 , 1
12, 12
13 , 2
x x
f x x x
x x
≥
= + − <
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