湖南省益阳市2020年下学期高三复学摸底考试理科数学试题（word版含答案）

湖南省益阳市 2020 年下学期高三复学摸底考试 (理科)数学试题 第 I 卷(选择题，共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知集合 ,则 M∩N=() A. B.(-2,0) C.(-2,1) D.(0,1) 2.设 i 为虚数单位,若复数 是纯虚数，则实数 a 的值为() A.4 B.1 C.-1 D.-4 3.已知 则() A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.a>c>b 4.函数 f(x)=x|x|-sin2x 的大致图象是() 5.设等差数列 的前 n 项和为 若 ，则公差 d 的值为() A.-4 B.-2 C.2 D.4 6.若 的展开式中 的系数为 8,则实数 a 的值为() C.-1 D.1 7.两个非零向量 满足 则向量 与 的夹角为() 8.执行如右图所示的程序框图，在可行域内任取一有序数对(x,y),那么该数对能输出的概率为() 1{ | 1}, { | 1| 1}M x N x xx = < = + < ∅ 17 ( )4a a Ri − ∈− 0.1 3 2 2 3(tan ) , log 2, log (cos ),5 7a b c π π= = = { }na ,nS 4 5 72, 14a S S+ = = 2 4(1 )(2 )ax x+ − 3x 1. 2A 1. 2B − ,a b | | | | 2 | |,a b a b b+ = − =    a b+  a . 6A π . 3B π 2. 3C π 5. 6D π . 8A π . 4B π . 6C π . 2D π9.将函数 y=cos(2x+φ)的图像向右平移 个单位长度，得到的函数为奇函数,则|φ|的最小值为() 10.双曲线 的右焦点为 F,P 是双曲线上一点，点 M 满足 则|MP|的最 小值为() A.3 B.2 11.在棱长为 2 的正方体 中，P 为线段 的中点，若三棱锥 P-ABC 的四个顶点都 在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为() A.12π B.10π 12.已知函数 kx+2,若函数 F(x)=f(x)-g(x)在[0,+∞)上有且仅有两个 不同的零点，则实数 k 的取值不可能为() D.-1 第 II 卷(非选择题，共 90 分) 二、填空题:(本题共 4 小题。每小题 5 分，共 20 分) 13.设曲线 y=a(x-1)-lnx 在点(1,0)处的切线方程为 y=3x-3,则 a=____ 14.函数 的最大值等于____ 15.设等比数列 满足 则 的最大值为___ 3 π .12A π . 6B π . 3C π 5. 6D π 2 2 19 16 x y− = | | 1, 0,MF MF MP= ⋅ =  . 3C . 2D 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1A D 41. 4C π 21. 2D π 22 ,0 2( ) , ( ) 2 ( 2), 2 x x xf x g x f x x  − ≤ 0)与抛物线 C: 相交于 A,B 两点,F 为 C 的焦点,若|FA|=2|FB|,则 k=____ 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17.(本小题满分 12 分) △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (1)求角 A; (2)若 a=2,求△ABC 面积的取值范围. 18(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 中， O⊥平面 (1)求证: (2)若 直线 与平面 所成的角为 30°,求二面角 的余弦值. 19.(本小题满分 12 分) 某景点共有 999 级台阶，寓意长长久久.游客甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台 阶，无其它可能。若甲每步上一个台阶的概率为 每步上两个台阶的概率也为 为了简便描述问题，我 们约定，甲从 0 级台阶开始向上走，一步走一个台阶记 1 分,一步走两个台阶记 2 分，记甲登上第 n 个台阶 的概率为 其中 n∈N*，且 n≤999. (1)甲走 3 步时所得分数为 X，求 X 的分布列和数学期望; (2)证明:当 且 n≤998 时，数列 是等比数列，并求甲登上第 100 级台阶的概率 . 2 8x y= 2( cos ) 3 ,c a B b− = 1 1 1ABC A B C− 1 1 1, ,BC BB BC B C O A= ∩ = 1 1 .BB C C 1 ;AB B C⊥ 1 60 ,B BC °∠ = 1 1A B 1 1BB C C 1 1 1A B C A− − 1 ,2 1 .2 ,nP *,n∈ N { 1 }n nP P+ − 100P20.(本小题满分 12 分) 已知 A,B 分别在 x 轴,y 轴上运动,|AB|=3,点 P 在线段 AB 上，且|BP|=2|PA|。 (1)求点 P 的轨迹Γ的方程 (2)直线 l 与Γ交于 M,N 两点，Q(0,-1),若直线 的斜率之和为 2，直线 l 是否恒过定点?若是， 求出定点坐标;若不是，请说明理由。 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 (1)当 a=0 时,求 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若函数 f(x)在 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围; (3)证明:当 x>0 时,不等式 1 成立. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.[选修 4-4 坐标系与参数方程](10 分) 已知在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数),直线 l 的参数方程为 (t 为参数) (1)若 m=1,求曲线 C 与直线 l 的两个交点之间的距离; (2)若曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 求 m 的值. 23.[选修 4-5 不等式选讲](10 分) 已知函数 f(x)=|x+t|+|x-1|-2,t∈R. (1)当 t=1 时，解不等式 f(x)≥2; (2)若不等式，f(x)-t-2≥0 恒成立,求实数 t 的取值范围. ,QM QN 2( ) ( 1)xf x e x a x= − + + 2 (4 2 ) 1 ln ln 22 xe e x xx + − − ≥ + + 2cos 3sin x y θ θ = = 2 1 x m t y t = −  = + 2 5,益阳市 2020 年上期高三复学摸底考试 理科数学参考答案及评分标准 一、单项选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．B 2．A 3．A 4．A 5．C 6．B 7．A 8．B 9．B 10．C 11. C 12. A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13． 4 14． 9 15. 1024 16. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必 须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 18、解: 3 2 4 [ ] 17 1 2 cos ) 3 2 sin sin cos ) 3 sin 2 sin( ) sin cos 3 sin 2 cos sin 3 sin 4 sin 0 3cos 2 0 (66 c B b C A B B A B A B B A B B B A A A π π − = − = ∴ + − = = ………… ≠ ∴ = < < ∴ = …………   、解: （ ）由（ 及正弦定理得 （ 即： （ 分） 又 分） ( ] 分）（面积的取值范围为△ 分） 由余弦得：）（ △ 1232,0 324 1sin2 1 10()32(4 32 4 )32(326cos2 ,22 22 ………+∴ +≤== …………+= − ≤∴ −=−≥−+ = ABC bcAbcS bc bcbcbcbccb a ABC π 19 解：(1)由题可得 的所有可能取值为 ， ， ， , -------------（4 分） --------------(6 分) 分）（ 分）（平面 分）（ 是菱形。四边形 分） 平面）证明：（ 5 4 2 1( 1 1 11 1 11 11 1 1 11 ……………⊥∴ ……⊥∴ = …………⊥∴ ∴ = …………⊥∴ ⊥ ABBC ABCCB OBCAO CBBC CCBB BBBC CBAO CCBBAO    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 30 30 30 6 2, 2, 3 1 , , , , 7 (0,0,0), ( 3,0,0), (0,1,0), (0,0,1), ( 3,0,0), ( 3,1,1) A B BB C C A B AB AB BB C C AO BB C C ABO BC B C BO OA O OB OB OA x y z O B B A C A ° ∴ ° ⊥ ∴∠ = °………… = = = = …… − −   （ ） 与平面 所成角为 ∥ 与平面 所成角为 平面 （ 分） 令 则 ， 以 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系 （ 分） 则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 ( , , ) (0,1, 1), ( 3,1,0) 0 , 1, (1, 3, 3) 9 3 0 ( , , ) 0 3 0 AB C n x y z AB C B n AB y z x n n C B x y B C A n x y z n A B x n C B = = − =  ⋅ = − = = = − − …… ⋅ = + = =  ⋅ = − ⋅ =             设平面 的一个法向量为 令 解得 （ 分） 设平面 的一个法向量为 即 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 0 1 (1, 3, 3) 10 3 0 1cos , 117 1 7 z x n x y n nn n n n A B C A  = = = − …… + = ⋅= = …… ⋅ ∴ − −       令 ，解得 （ 分） （ 分） 二面角 的余弦值为 X 3 4 5 6 31 1( 3) ( )2 8P X = = = 1 3 3 1 3( 4) ( )2 8P X C= = = 2 3 3 1 3( 5) ( )2 8P X C= = = 31 1( 6) ( )2 8P X = = = 1 3 3 1 9( ) 3 4 5 68 8 8 8 2E X = × + × + × + × = P 3 4 5 6 X 1 8 3 8 3 8 1 8( )2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 , ), 2 3( ,0), (0,3 )2 3 3 3 9, 12 4 1------------4 2 , ), ( , ) 4 4 4 1) 8 4 4 0 6 P x y P AB BP PA xA B y AB x xy y xP y M x y N x y l l y kx m x y k x kmx m y kx m = ∴ =  ∴ + = + =   ∴ + = = +  + = + + + − = …… = +   20解：（）设（ 点 在线段 上，且 即 点 的轨迹方程为： （4分） （ ）设 （ 当 的斜率存在时，设 ： 得（ （ 分） 2 2 2 2 2 2 1 2 1 22 2 8 ) 4 4 1)(4 4) 0, 4 1 0 8 4 4, 74 1 4 1 km k m k m km mx x x xk k ∴ = − + − > − + > ++ = − = …………+ + △ （ （ 即 （ 分） (2)由题可知： --------------(8 分) 所以 又 ， ，所以 ， 所以 是以 为首项， 为公比的等比数列． ∴ --------------(10 分) ∴ = ------(12 分) 2 12 1 2 1 n n nP P P+ + += 2 1 1 1 ( )2n n n nP P P P+ + +− = − − 1 1 2P = 2 2 1 1 3( )2 2 4P = + = 2 1 1 04P P− = ≠ 1{ }n nP P+ − 1 4 1 2 − 1 1 1 1( )4 2 n n nP P − + − = − 100 100 99 99 98 2 1 1( ) ( ) ( )P P P P P P P P= − + − + + − + 98 97 11 1 1 1 1[( ) ( ) ( ) 1]4 2 2 2 2 = − + − + + − + + 1001 123 2   +     21 解：(1) 时， ，∴ ……………………1 分 ∴ ， ∴切线方程为 ……………………………………3 分 (2)由题可知 在 R 上恒成立……………………4 分 ∴ 恒成立 设函数 ，则 令 当 时 ，当 时 ∴ 在 单调递减，在 单调递增………………5 分 ∴ …………………………………………6 分 ∴ ∴a 的取值范围是 ………………7 分 (3)首先证明：当 时， . 设 ，则 . 易得： 单调递减，在 单调递增. 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 ( 1)( ) ( 1)22 2, 2 21 1 9 1 4 1 0, 0, 1 1,1 10 , 1 1 1 1 2 2 QM QN y y x x m x x m kmk kx x m m k m k k m l y kx k l x x y y y y y y x x x x x + +∴ + = + + +∴ + = − =− ∴ = − ………… = − − + > > = + − ………… = = − + + − + +∴ + = + = = ∴ 直 线 ， 斜 率 之 和 为 即 （ 分 ） 时 ， 满 足 即 △ 符 合 题 意 此 时 ： 恒 过 定 点 （ ） （ 分 ） 当 斜 率 不 存 在 时 ， 2 1, 1, 1,1 1,1 12 x l x l = = …… 此 时 ： 恒 过 定 点 （ ） 综 上 ， 直 线 恒 过 定 点 （ ） （ 分 ） 0a = 2( ) xf x e x= − ( ) 2xf x e x′ = − (1) 2f e′ = − (1) 1f e= − ( 2) 1y e x= − + ( ) 2 0xf x e x a′ = − + ≥ 2xe x a− −≥ ( ) 2xg x e x= − ( ) 2xg x e′ = − ( ) 0 ln 2g x x′ = =得 ln 2x < ( ) 0g x′ < ln 2x > ( ) 0g x′ > ( )g x ( , ln 2)−∞ (ln 2, )+ ∞ min( ) (ln 2) 2 2ln 2g x g= = − 2 2ln 2 , a− −≥ [2ln 2 2, )− + ∞ 0a = ( ) ( 2) 1f x e x− +≥ ( ) ( ) ( 2) 1h x f x e x= − − − ( ) 2 2, ( ) 2x xh x e x e h x e′ ′′= − − + = − ( ) (0, ln 2)h x′ 在 (ln 2, )+ ∞ 1又 . 所以存在 使得 . ∴当 时 ，当 时 当 时 . ∴ 在 单调递增，在 单调递减 ∵ ，∴ 都成立 即 时 恒成立………………10 分 即： ，变形得： 设 k(x)=x-1-lnx, (x)=1- , , ∵当 x 时， (x)0， ∴ , ∴ ，即 ∴ 将 x 替换成 2x 得： ………12 分 (0) 3 0, (1) 0, 0 ln 2 1, (ln 2) 0h e h h′ ′ ′= − > = < < ∴ < 0 (0, ln 2)x ∈ 0( ) 0h x′ = 0(0, )x x∈ ( ) 0h x′ > 0( , 1)x x∈ ( ) 0h x′ < (1, )x∈ + ∞ ( ) 0h x′ > ( )h x 0(0, ), (1, )x + ∞ 0( , 1)x (0) (1) 0h h= = ( ) 0 (0, )h x + ∞在≥ 0a = ( ) ( 2) 1( 0)f x e x x− + >≥ 2 ( 2) 1xe x e x− − +≥ ( 2) 1xe e x xx − − − ≥ ln 1x x −≤ ln 1x x +≥ (2 ) 1 ln 1 xe e x xx + − − +≥ 2 (4 2 ) 1 ln ln 2 12 xe e x xx + − − + +≥ -1 1 2 12 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 : 2 3 0, : 14 3 2 3 4 6 3 03 4 12 1 ( ) 4 1 3 3 1051 ( ) 4 42 2 4 4 2 2 2 0 2cos , 3sin ) 2cos x ym l x y C y x x xx y C l k x x x x l x y m C l d θ θ θ = + − = + = = − − − = + = + + −    = + − − × − = …………       + − − = = 22解：（）若 ， 椭圆 联立 得 曲线 与直线 两交点间距离为： （ 分） （ ）直线 的普通方程为： 故曲线 上的点（ 到直线 的距离 max max 4sin 22 3sin 2 6 6 5 5 4 22 2 5, 4 5 4 22 2 5, 8 5 4 8----------- mm mm d m mm d m m m πθθ  + − − + − −  = …… + +≥ − = = = − −< − = = = − = = − （ 分） 当 时， 解得 当 时， 解得 综上， 或 （10分） 2 2, 1 1 1 ( ) 1 1 2 0, 1 1 3 2 2, 1 ( ) 2 2 2 (2) ( ) 2 ( ) ( ) 2 1 2 7 1 4, ( ) 2 0 5 2 5 102 x x t f x x x x x x f x x x f x x t x t x t x t t t t f x t t t − − ≤ − = = + + − − = − < < ………  − ≥ ≥ ≥ ≤ − = + + − − ≥ + + − − = + − …… + ≥ + − − ≥ ≤ −  −∞ − …………   23解：（）当 时， （ 分） 由 得： 或 （ 分） 只要 不等式 恒成立 解得 综上，实数 的取值范围是 ， （ 分）