2020年吉林省长春市中考数学评价检测试卷（十二）解析版

2020 年吉林省长春市中考数学评价检测试卷（十二） 一．选择题（共 8 小题） 1．在 0、﹣1.5、﹣2、 这四个数中，属于负分数的是（　　） A．0 B． C．﹣1.5 D．﹣2 2．“天文单位”是天文学中测量距离的基本单位，1 天文单位约等于 149 600 000 千米，149 600 000 这个数用科学记数法表示为（　　） A．1 496×105 B．1 496×108 C．1.496×105 D．1.496×108 3．下面几何体中，主视图与俯视图都是矩形的是（　　） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（　　） A．x2•x3＝x6 B．x2+x2＝2x4 C．（﹣3a3）•（﹣5a5）＝15a8 D．（﹣2x）2＝﹣4x2 5．把不等式组 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 6．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中 记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算， 算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图表所示：表示一个多位数时，像阿拉伯数字一样， 把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位 数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，例如 6613 用算筹表示就是： ，则 5288 用算筹式可表示为（　　）A． B． C． D． 7．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，按以下步骤作图： ①以点 B 为圆心，以小于 BC 的长为半径画弧，分别交 AB、BC 于点 E、F； ②分别以点 E、F 为圆心，以大于 EF 的长为半径画弧，两弧相交于点 G； ③作射线 BG，交 AC 边于点 D，若 BC＝4，AB＝5，则 S△ABD（　　） A．3 B． C．6 D． 8．如图，函数 y＝ （k＞0）的图象经过矩形 OABC 的边 BC 的中点 E，交 AB 于点 D，若 四边形 ODBC 的面积为 6，则 k 的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 二．填空题（共 6 小题） 9．分解因式：8a3﹣2a＝　 　．10．如果关于 x 的方程 2x2﹣3x+k＝0 有两个相等的实数根，那么实数 k 的值是　 　． 11．如图，在山坡 AB 上种树，已知∠C＝90°，∠A＝α，相邻两树的坡面距离 AB 为 m 米， 则相邻两树的水平距离 AC＝　 　米． 12．如图，过点 N（0，﹣1）的直线 y＝kx+b 与图中的四边形 ABCD 有不少于两个交点， 其 A（﹣2，3）、B（﹣1，1）、C（﹣4，1）、D（﹣4，3），则 k 的值可以是　 　．（写 出一个满足条件的值即可）． 13．如图，平行四边形 ABCD，点 F 是 BC 上的一点，连接 AF，∠FAD＝60°，AE 平分∠ FAD，交 CD 于点 E，且点 E 是 CD 的中点，连接 EF，已知 AD＝5，CF＝3，则 EF ＝　 　． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+2x+3（a＜0）交 x 轴正半轴于点 A，交 y 轴于点 B，将抛物线向下平移 3 个单位，若抛物线上 A、B 两点间的部分在平移过程中扫 过的面积为 9，则 a 的值为　 　．三．解答题（共 10 小题） 15．先化简，再求值： ﹣ ，其中 a＝﹣5． 16．在一个不透明的箱子里装有 3 个小球，分别标有数字 1，﹣2，3，这些小球除所标数字 不同外其余均相同，先从里随机摸出一个球，记下数字后将它放回并搅匀；再从箱子里 随机摸出一个小球并记下数字，请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的小球所 标数字乘积是负数的概率． 17．为了践行“绿色低碳出行，减少雾霾”的使命，小红上班的交通方式由驾车改为骑自行 车，小红家距单位的路程是 20 千米，在相同的路线上，小红驾车的速度是骑自行车速度 的 4 倍，小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发 45 分钟，才能按原时间到达单位， 求小红骑自行车的速度． 18．如图，AB 为⊙O 的直径，点 C、D 在⊙O 上，且点 C 是 的中点，过点 C 作 AD 的垂 线 EF 交直线 AD 于点 E． （1）求证：EF 是⊙O 的切线． （2）若∠CAB＝36°，⊙O 的半径为 12，求 的长． 19．长春地铁一号线于 2017 年 6 月 30 日正式开通．运营公司根据乘车距离制定了不同的票 价类别（见对照表）．为了解乘客的乘车距离，运营公司随机选取了一部分经常需要乘车 的市民进行了调查统计，绘制了两幅不完整的统计图．请你根据图表中提供的信息解答 以下问题： （1）本次抽样调查的人数是　 　人．（2）补全条形统计图． （3）运营公司估计这条地铁专线通车后每天的客流量约为 10 万人，请你估算运营公司 的日营业额． 票价类别与乘车距离对照表 类别 乘车距离 d（公里） 票价 A 0＜d≤7 2 B 7＜d≤13 3 C 13＜d≤19 4 D 19＜d≤27 5 E 27＜d≤35 6 20．如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 O、M 均在格点上，P 为线段 OM 上的 一个动点． （1）OM 的长等于　 　； （2）当点 P 在线段 OM 上运动，OP＝ 时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的 网格中画出点 P 的位置（保留作图的痕迹） 21．甲、乙两名同学从学校去图书馆．甲骑自行车，乙步行，甲比乙早出发 5 分钟，甲到达 图书馆查阅资料，一段时间后离开图书馆返回学校，乙到达图书馆还书后立即返回学校（还书时间忽略不计）．甲往返的速度均为 250 米/分，乙往返的速度均为 80 米/分．如图 是两人距学校的距离 y（米）与甲出发时间 x（分）之间的函数图象，请结合图象回答下 列问题： （1）从学校到图书馆的距离是　 　米，甲到达图书馆后　 　分钟乙也到达图书 馆． （2）求甲离开图书馆后 y（米）与出发时间 x（分）之间的函数关系式． （3）请直接写出甲从图书馆返回后经过多少分钟，甲、乙两人相距 300 米． 22．如图 1，等腰 Rt△ABC 中，∠A＝90°，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AD＝AE，连 接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点． （1）观察猜想：图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是　 　，位置关系是　 　； （2）探究证明：把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD，CE， 判断△PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD＝8，AB＝20，请直接写出△ PMN 面积的最大值． 23．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点 P 从点 A 出发，沿 AB 以 每秒 4cm 的速度向终点 B 运动．当点 P 不与点 A、B 重合时，过点 P 作 PQ⊥AB 交射线 BC 于点 Q，以 PQ 为一边向上作正方形 PQMN，设点 P 的运动时间为 t（秒）． （1）求线段 PQ 的长．（用含 t 的代数式表示） （2）求点 Q 与点 C 重合时 t 的值． （3）设正方形 PQMN 与△ABC 的重叠部分周长为 1（cm），求 l 与 t 之间的函数关系 式．（4）作点 C 关于直线 QM 的对称点 C'，连结 PC'．当 PC′与△ABC 的边垂直或重合时， 直接写出 t 的值． 24．已知：在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（x1，y1）、B（x2，y2）是某函数图象上任意两 点（x1＜x2），将函数图象中 x＜x1 的部分沿直线 y＝y1 作轴对称，x＞x2 的部分沿直线 y＝ y2 作轴对称，与原函数图象中 x1≤x≤x2 的部分组成了一个新函数的图象，称这个新函数 为原函数关于点 A、B 的“双对称函数”． 例如：如图①，点 A（﹣2，﹣1）、B（1，2）是一次函数 y＝x+1 图象上的两个点，则函 数 y＝x+1 关于点 A、B 的“双对称函数”的图象如图②所示． （1）点 A（t，y1）、B（t+3，y2）是函数 y＝ 图象上的两点，y＝ 关于点 A、B 的“双 对称函数”的图象记作 G，若 G 是中心对称图形，直接写出 t 的值． （2）点 P（ ，y1），Q（ +t，y2）是二次函数 y＝（x﹣t）2+2t 图象上的两点，该二次 函数关于点 P、Q 的“双对称函数”记作 f． ①求 P、Q 两点的坐标（用含 t 的代数式表示）． ②当 t＝﹣2 时，求出函数 f 的解析式； ③若﹣1≤x≤1 时，函数 f 的最小值为 ymin，求﹣2≤ymin≤﹣1 时，t 的取值范围． 参考答案与试题解析 一．选择题（共 8 小题） 1．在 0、﹣1.5、﹣2、 这四个数中，属于负分数的是（　　） A．0 B． C．﹣1.5 D．﹣2 【分析】0 不是正数也不是负数；﹣1.5 是负分数；﹣2 是负整数； 是正分数． 【解答】解：﹣1.5 是负分数， 故选：C． 2．“天文单位”是天文学中测量距离的基本单位，1 天文单位约等于 149 600 000 千米，149 600 000 这个数用科学记数法表示为（　　） A．1 496×105 B．1 496×108 C．1.496×105 D．1.496×108 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的 值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：149 600 000 这个数用科学记数法表示为 1.496×108． 故选：D． 3．下面几何体中，主视图与俯视图都是矩形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形． 【解答】解：A、主视图是三角形，俯视图是圆及圆心，故此选项错误； B、主视图是矩形，俯视图是矩形，故此选项正确； C、主视图是矩形以及中间有一条虚线，俯视图是三角形，故此选项错误； D、主视图是矩形，俯视图是圆，故此选项错误； 故选：B．4．下列运算正确的是（　　） A．x2•x3＝x6 B．x2+x2＝2x4 C．（﹣3a3）•（﹣5a5）＝15a8 D．（﹣2x）2＝﹣4x2 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则、积的乘方运算法则以及单项式乘以单项式 运算法则，即可得出答案． 【解答】解：A、x2•x3＝x5，故此选项错误； B、x2+x2＝2x2，故此选项错误； C、（﹣3a3）•（﹣5a5）＝15a8，故此选项正确； D、（﹣2x）2＝4x2，故此选项错误； 故选：C． 5．把不等式组 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等 式的解集表示在数轴上即可． 【解答】解：由﹣x≤﹣1 解得 x≥1， 由 x+1＞0 解得 x＞﹣1， 不等式的解集是 x≥1， 在数轴上表示如图 ， 故选：A． 6．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中 记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算， 算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图表所示：表示一个多位数时，像阿拉伯数字一样， 把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位 数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，例如 6613 用算筹表示就是： ，则 5288 用算筹式可表示为（　　）A． B． C． D． 【分析】根据新定义直接判断即可得出结论． 【解答】解：∵各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、 千位、十万位用横式表示， ∴5288 用算筹可表示为 ． 故选：C． 7．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，按以下步骤作图： ①以点 B 为圆心，以小于 BC 的长为半径画弧，分别交 AB、BC 于点 E、F； ②分别以点 E、F 为圆心，以大于 EF 的长为半径画弧，两弧相交于点 G； ③作射线 BG，交 AC 边于点 D，若 BC＝4，AB＝5，则 S△ABD（　　） A．3 B． C．6 D． 【分析】作 DH⊥AB 于 H，如图，由作法得 BD 平分∠ABC，则 DH＝DC，再证明 Rt△BDC ≌Rt△BDH 得到 BH＝4，设 CD＝DH＝x，则 AD＝3﹣x，在 Rt△ADH 中利用勾股定理 得到 12+x2＝（3﹣x）2，解得 x＝ ，然后根据三角形面积公式求解． 【解答】解：作 DH⊥AB 于 H，如图，由作法得 BD 平分∠ABC， ∴DH＝DC， 在 Rt△ABC 中，AC＝ ＝3， ∵DC＝DH，BD＝BD， ∴Rt△BDC≌Rt△BDH， ∴BH＝4， ∴AH＝1， 设 CD＝DH＝x，则 AD＝3﹣x， 在 Rt△ADH 中，12+x2＝（3﹣x）2，解得 x＝ ， ∴S△ABD＝ AB•DH＝ ×5× ＝ ． 故选：B． 8．如图，函数 y＝ （k＞0）的图象经过矩形 OABC 的边 BC 的中点 E，交 AB 于点 D，若 四边形 ODBC 的面积为 6，则 k 的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】根据反比例函数 y＝ （k＞0）的图象经过矩形 OABC 的边 BC 的中点 E，可得 到点 D 是 AB 的中点，进而得出 S△AOD＝ S 四边形 OCBD＝2＝ |k|，求出 k 即可． 【解答】解：∵函数 y＝ （k＞0）的图象经过矩形 OABC 的边 BC 的中点 E， ∴点 D 是 AB 的中点，∴S△AOD＝ S 四边形 OCBD＝2＝ |k|， ∴k＝4 或 k＝﹣4＜0（舍去）， 故选：C． 二．填空题（共 6 小题） 9．分解因式：8a3﹣2a＝　2a（2a+1）（2a﹣1）　． 【分析】直接提取公因式 2a，再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：8a3﹣2a＝2a（4a2﹣1）＝2a（2a+1）（2a﹣1）． 故答案为：2a（2a+1）（2a﹣1）． 10．如果关于 x 的方程 2x2﹣3x+k＝0 有两个相等的实数根，那么实数 k 的值是　 　． 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于 k 的一元一次方程，解之 即可得出结论． 【解答】解：∵关于 x 的方程 2x2﹣3x+k＝0 有两个相等的实数根， ∴△＝（﹣3）2﹣4×2×k＝9﹣8k＝0， 解得：k＝ ． 故答案为： ． 11．如图，在山坡 AB 上种树，已知∠C＝90°，∠A＝α，相邻两树的坡面距离 AB 为 m 米， 则相邻两树的水平距离 AC＝　mcosα　米． 【分析】利用线段 AC 的长和∠A 的余弦弦值求得线段 AC 的长即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝α，AB＝m 米， ∴AC＝ABcosα＝mcosα 米， 故答案为：mcosα． 12．如图，过点 N（0，﹣1）的直线 y＝kx+b 与图中的四边形 ABCD 有不少于两个交点， 其 A（﹣2，3）、B（﹣1，1）、C（﹣4，1）、D（﹣4，3），则 k 的值可以是　﹣1（﹣2≤k＜﹣ ）　．（写出一个满足条件的值即可）． 【分析】找到临界状态，分别是直线经过点 B、C 的时刻，求出这两种临界状态的 k，则 k 的取值范围即可求出，在范围内任取 k 的值都可以． 【解答】解：当直线经过点 N 和点 B 时， 设直线解析式为 y＝kx+b， 解得 ∴直线 NB 的解析式为 y＝﹣2x﹣1， ∵当 x＝﹣2 时，y＝3， ∴点 A 也在直线 NB 上， 当直线经过点 N 和点 C 时， 设直线解析式为 y＝mx+n， 解得 ∴直线 NC 的解析式为 y＝﹣ x﹣1， 综上所述：﹣2≤k＜﹣ ． 故答案为：﹣1（﹣2≤k＜﹣ ）． 13．如图，平行四边形 ABCD，点 F 是 BC 上的一点，连接 AF，∠FAD＝60°，AE 平分∠ FAD，交 CD 于点 E，且点 E 是 CD 的中点，连接 EF，已知 AD＝5，CF＝3，则 EF＝　 4　．【分析】延长 AE，BC 交于点 G，判定△ADE≌△GCE，即可得出 CG＝AD＝5，AE＝ GE，再根据三线合一即可得到 FE⊥AG，进而得出 Rt△AEF 中，EF＝ AF＝4． 【解答】解：如图，延长 AE，BC 交于点 G， ∵点 E 是 CD 的中点， ∴DE＝CE， ∵平行四边形 ABCD 中，AD∥BC， ∴∠D＝∠ECG， 又∵∠AED＝∠GEC， ∴△ADE≌△GCE， ∴CG＝AD＝5，AE＝GE， 又∵AE 平分∠FAD，AD∥BC， ∴∠FAE＝∠DAE＝∠G＝ ∠DAF＝30°， ∴AF＝GF＝3+5＝8， 又∵E 是 AG 的中点， ∴FE⊥AG， ∴Rt△AEF 中，EF＝ AF＝4， 故答案为：4． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+2x+3（a＜0）交 x 轴正半轴于点 A，交 y 轴于点 B，将抛物线向下平移 3 个单位，若抛物线上 A、B 两点间的部分在平移过程中扫过的面积为 9，则 a 的值为　﹣1　． 【分析】根据二次函数的性质，平移过程中扫过的面积等于平行四边形的面积，然后列 方程求出 OA，从而得到点 A 的坐标，再代入抛物线解析式求解即可． 【解答】解：如图，抛物线上 A、B 两点间的部分在平移过程中扫过的面积等于▱ABOC 的面积， ∵平移过程中扫过的面积为 9， ∴3•OA＝9， 解得 OA＝3， ∴点 A 的坐标为（3，0）， 代入得 a•32+2×3+3＝0， 解得 a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 三．解答题（共 10 小题） 15．先化简，再求值： ﹣ ，其中 a＝﹣5． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 a 的值代入计算可得． 【解答】解：原式＝ • ﹣ ＝ ﹣＝﹣ ， 当 a＝﹣5 时， 原式＝﹣ ＝1． 16．在一个不透明的箱子里装有 3 个小球，分别标有数字 1，﹣2，3，这些小球除所标数字 不同外其余均相同，先从里随机摸出一个球，记下数字后将它放回并搅匀；再从箱子里 随机摸出一个小球并记下数字，请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的小球所 标数字乘积是负数的概率． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的 球标号数字之积是负数的情况，再利用概率公式即可求得答案即可． 【解答】解：画树状图得： ∵共有 9 种等可能的结果，两次摸出的球标号数字之积是负数有 4 种情况， ∴两次摸出的球标号数字之积是负数概率＝ 17．为了践行“绿色低碳出行，减少雾霾”的使命，小红上班的交通方式由驾车改为骑自行 车，小红家距单位的路程是 20 千米，在相同的路线上，小红驾车的速度是骑自行车速度 的 4 倍，小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发 45 分钟，才能按原时间到达单位， 求小红骑自行车的速度． 【分析】设小红骑自行车的速度是每小时 x 千米，则驾车的速度是每小时 4x 千米．依据 “小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发 45 分钟”列出方程并解答． 【解答】解：设小红骑自行车的速度是每小时 x 千米，则驾车的速度是每小时 4x 千 米． 根据题意得： ． 解得 x＝20． 经检验 x＝20 是分式方程的解，并符合实际意义． 答：小红骑自行车的速度是每小时 20 千米．18．如图，AB 为⊙O 的直径，点 C、D 在⊙O 上，且点 C 是 的中点，过点 C 作 AD 的垂 线 EF 交直线 AD 于点 E． （1）求证：EF 是⊙O 的切线． （2）若∠CAB＝36°，⊙O 的半径为 12，求 的长． 【分析】（1）连接 OC，根据等腰三角形的性质、平行线的判定得到 OC∥AE，得到 OC⊥ EF，根据切线的判定定理证明； （2）根据圆周角定理和弧长的计算公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接 OC， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠BAC， ∵点 C 是 的中点， ∴∠EAC＝∠BAC， ∴∠EAC＝∠OCA， ∴OC∥AE， ∵AE⊥EF， ∴OC⊥EF，即 EF 是⊙O 的切线； （2）连接 OD， ∵∠BOC＝2∠CAB＝2×36°＝72°， ∵ ， ∴∠BOD＝2∠BOC＝144°， ∴ 的长＝ ＝ π．19．长春地铁一号线于 2017 年 6 月 30 日正式开通．运营公司根据乘车距离制定了不同的票 价类别（见对照表）．为了解乘客的乘车距离，运营公司随机选取了一部分经常需要乘车 的市民进行了调查统计，绘制了两幅不完整的统计图．请你根据图表中提供的信息解答 以下问题： （1）本次抽样调查的人数是　2000　人． （2）补全条形统计图． （3）运营公司估计这条地铁专线通车后每天的客流量约为 10 万人，请你估算运营公司 的日营业额． 票价类别与乘车距离对照表 类别 乘车距离 d（公里） 票价 A 0＜d≤7 2 B 7＜d≤13 3 C 13＜d≤19 4 D 19＜d≤27 5 E 27＜d≤35 6 【分析】（1）用 A 类的人数除以所占的百分比求出本次抽样调查的总人数； （2）用总人数乘以 B 类的人数所占的百分比求出 B 类的人数，再用总人数减去其它乘车 距离的人数，求出 E 类的人数，从而补全统计图； （3）根据平均数的计算公式直接计算即可．【解答】解：（1）本次抽样调查的人数是：520÷26%＝2000（人）， 故答案为：2000； （2）B 类的人数是：2000×35%＝700（人）， E 类的人数有：2000﹣520﹣700﹣460﹣220＝100（人），补图如下： （3）根据题意得： ×10＝33.4（万元）， 答：运营公司的日营业额约为 33.4 万元． 20．如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 O、M 均在格点上，P 为线段 OM 上的 一个动点． （1）OM 的长等于　4 　； （2）当点 P 在线段 OM 上运动，OP＝ 时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的 网格中画出点 P 的位置（保留作图的痕迹） 【分析】利用勾股定理列式求出 OM＝4 ，然后作一对平行线 AB 和 CD，得 E 和 F，EF 与 OM 的交点就是点 P． 【解答】解：（1）由勾股定理得：OM＝4 ； 故答案为：4 ；（2）如图，取 AB＝CD＝ ，分别交格线于点 E 和 F，连接 EF 交 OM 于 P，点 P 即为 所求； 理由是：∵EM＝5.5，OF＝2.5，EM∥OF， ∴△EMP∽△FOP， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴OP＝ ． 21．甲、乙两名同学从学校去图书馆．甲骑自行车，乙步行，甲比乙早出发 5 分钟，甲到达 图书馆查阅资料，一段时间后离开图书馆返回学校，乙到达图书馆还书后立即返回学校 （还书时间忽略不计）．甲往返的速度均为 250 米/分，乙往返的速度均为 80 米/分．如图 是两人距学校的距离 y（米）与甲出发时间 x（分）之间的函数图象，请结合图象回答下 列问题： （1）从学校到图书馆的距离是　2000　米，甲到达图书馆后　22　分钟乙也到达图书 馆． （2）求甲离开图书馆后 y（米）与出发时间 x（分）之间的函数关系式． （3）请直接写出甲从图书馆返回后经过多少分钟，甲、乙两人相距 300 米．【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出从学校到图书馆的距离和甲到 达图书馆后多少分钟乙也到达图书馆； （2）根据函数图象中的数据，可以得到甲离开图书馆后 y（米）与出发时间 x（分）之 间的函数关系式； （3）根据函数图象中的数据可以求得乙返回时的函数解析式，然后即可求得甲从图书馆 返回后经过多少分钟，甲、乙两人相距 300 米． 【解答】解：（1）由图可得， 从学校到图书馆的距离是 250×8＝2000（米）， 2000÷80+5﹣8 ＝25+5﹣8 ＝22（分钟） 即甲到达图书馆后 22 分钟乙也到达图书馆， 故答案为：2000，22； （2）设甲离开图书馆后 y（米）与出发时间 x（分）之间的函数关系式为 y＝kx+b ，得 ， 即甲离开图书馆后 y（米）与出发时间 x（分）之间的函数关系式是 y＝﹣250x+11500 （38≤x≤46）； （3）设乙返回时 y 与 x 的函数关系式为 y＝mx+n， 乙从图书馆刚返回时对应的点的坐标为（30，2000），返回到学校时对应的点的坐标为 （55，0）， ，得 ， 即乙返回时 y 与 x 的函数关系式为 y＝﹣80x+4400， |（﹣250x+115000）﹣（﹣80x+4400）|＝300，（38≤x≤46） 解得，x1＝40，x2＝令﹣80x+4400＝300，得 x＝ ， 40﹣38＝2（分钟）， ﹣38＝ （分钟）， ﹣38＝ （分钟）， 答：甲从图书馆返回后经过 2 分钟、 分钟或 分钟，甲、乙两人相距 300 米． 22．如图 1，等腰 Rt△ABC 中，∠A＝90°，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AD＝AE，连 接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点． （1）观察猜想：图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是　PM＝PN　，位置关系是　PM ⊥PN　； （2）探究证明：把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD，CE， 判断△PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD＝8，AB＝20，请直接写出△ PMN 面积的最大值． 【分析】（1）利用三角形的中位线得出 PM＝CE，PN＝ BD，进而判断出 BD＝CE，即 可得出结论，再利用三角形的中位线得出 PM∥CE 得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即 可得出结论； （2）先判断出△ABD≌△ACE，得出 BD＝CE，同（1）的方法得出 PM＝ BD，PN＝ BD，即可得出 PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论； （3）先判断出 BD 最大时，△PMN 的面积最大，而 BD 最大是 AB+AD＝14，即可得出 结论． 【解答】解：（1）∵点 P，N 是 BC，CD 的中点， ∴PN∥BD，PN＝ BD， ∵点 P，M 是 CD，DE 的中点， ∴PM∥CE，PM＝ CE， ∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE， ∴PM＝PN， ∵PN∥BD， ∴∠DPN＝∠ADC， ∵PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCA， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ADC+∠ACD＝90°， ∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°， ∴PM⊥PN， 故答案为：PM＝PN，PM⊥PN； （2）△PMN 是等腰直角三角形． 由旋转知，∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE， 利用三角形的中位线得，PN＝ BD，PM＝ CE， ∴PM＝PN， ∴△PMN 是等腰三角形， 同（1）的方法得，PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCE， 同（1）的方法得，PN∥BD， ∴∠PNC＝∠DBC， ∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC， ∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC ＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC ＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°， ∴△PMN 是等腰直角三角形； （3）由（2）知，△PMN 是等腰直角三角形，PM＝PN＝ BD， ∴PM 最大时，△PMN 面积最大， ∴点 D 在 BA 的延长线上， ∴BD＝AB+AD＝28， ∴PM＝14， ∴S△PMN 最大＝ PM2＝ 142＝98． 23．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点 P 从点 A 出发，沿 AB 以 每秒 4cm 的速度向终点 B 运动．当点 P 不与点 A、B 重合时，过点 P 作 PQ⊥AB 交射线 BC 于点 Q，以 PQ 为一边向上作正方形 PQMN，设点 P 的运动时间为 t（秒）． （1）求线段 PQ 的长．（用含 t 的代数式表示） （2）求点 Q 与点 C 重合时 t 的值． （3）设正方形 PQMN 与△ABC 的重叠部分周长为 1（cm），求 l 与 t 之间的函数关系 式． （4）作点 C 关于直线 QM 的对称点 C'，连结 PC'．当 PC′与△ABC 的边垂直或重合时， 直接写出 t 的值． 【分析】（1）由勾股定理得出 AB＝ ＝10，由三角函数定义即可得出答案； （2）由三角函数定义即可得出答案； （3）分情况讨论，当 0＜t≤ 时，则 BN＝AB﹣AP﹣PN＝10﹣4t﹣ +3t＝ ﹣t，求 出 NH＝ （ ﹣t），cosB＝ ＝ ，得出 BH＝ （ ﹣t），则 CH＝BC﹣BH＝8﹣ （ ﹣t），求出 CD＝AC﹣AD＝6﹣ t，即可得出答案；当 ＜t＜ 时，同理 NH＝（ ﹣t），BH＝ （ ﹣t），BQ＝ （10﹣4t），得出 HQ＝BQ﹣BH＝ （10﹣4t）﹣ （ ﹣t），即可得出答案； （4）分三种情况①当 C′与 C 重合时，PC′⊥AB，由（2）得 t＝ s； ②当 PC′⊥AC 时，当 PC′⊥AC 时，则 PC′∥BC，连接 C′E，易证四边形 CC′PQ 是平行四边形，得出 CQ＝C′P，CC′＝PQ＝ ﹣3t，求出 C′P＝CQ＝﹣ +5t，PD ＝ t，AD＝ t，得出 C′D＝PD﹣C′P＝ ﹣ t，再求出 CE＝﹣ + t＝C′E， 得出 DE＝AC﹣AD﹣CE＝ ﹣ t，由 C′D2+DE2＝C′E2，列出方程求解即可； ③当 C′落在 AB 上时，PC′与 AB 重合，证出 DQ 是△CAB 的中位线，得出 CQ＝BQ＝ BC＝4，由（3）得 BQ＝ （10﹣4t），得出 （10﹣4t）＝4，求出 t＝ s． 【解答】解：（1）∵在 Rt△ABC 中、∠C＝90°， ∴AB＝ ＝ ＝10， ∴AP＝4t，BP＝10﹣4t， PQ＝BP•tanB＝BP• ＝（10﹣4t）× ＝ ﹣3t； （2）当点 Q 与点 C 重合时，如图 1 所示： ∵cosA＝ ＝ ，cosA＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴t＝ （s）； （3）当 0＜t≤ 时，如图 2 所示： BN＝AB﹣AP﹣PN＝10﹣4t﹣ +3t＝ ﹣t， ∵tanB＝ ＝ ， ∴NH＝ ＝ ＝ （ ﹣t）， cosB＝ ＝ ，∴BH＝ ＝ ＝ （ ﹣t）， ∴CH＝BC﹣BH＝8﹣ （ ﹣t）， ∵tanA＝ ＝ ， ∴PD＝ ＝ ＝ t， ∵cosA＝ ＝ ， ∴AD＝ ＝ ＝ t， ∴CD＝AC﹣AD＝6﹣ t， ∴l＝PN+NH+CH+CD＝ ﹣3t+ （ ﹣t）+8﹣ （ ﹣t）+6﹣ t＝﹣ t+ ； 当 ＜t＜ 时， 如图 3 所示： 同理：NH＝ （ ﹣t），BH＝ （ ﹣t），BQ＝ （10﹣4t）， ∴HQ＝BQ﹣BH＝ （10﹣4t）﹣ （ ﹣t）， ∴l＝2PQ+NH+HQ＝2（ ﹣3t）+ （ ﹣t）+ （10﹣4t）﹣ （ ﹣t）＝﹣ t+ ； （4）①当 C′与 C 重合时，PC′⊥AB，如图 4 所示： 由（2）得：t＝ s； ②当 PC′⊥AC 时，如图 5 所示：则 PC′∥BC， 连接 C′E， ∵点 C 关于直线 QM 的对称点 C'， ∴CC′⊥MQ，CE＝C′E， ∴CC′∥PQ， ∴四边形 CC′PQ 是平行四边形， ∴CQ＝C′P，CC′＝PQ＝ ﹣3t，由（3）得：BQ＝ （10﹣4t）， ∴C′P＝CQ＝8﹣ （10﹣4t）＝﹣ +5t， ∵PD∥BC， ∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ， ∴PD＝ t，AD＝ t， ∴C′D＝PD﹣C′P＝ t﹣（﹣ +5t）＝ ﹣ t， ∵MQ∥AB， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴CE＝﹣ + t＝C′E， ∴DE＝AC﹣AD﹣CE＝6﹣ t﹣（﹣ + t）＝ ﹣ t， ∵C′D2+DE2＝C′E2，即（ ﹣ t）2+（ ﹣ t）2＝（﹣ + t）2 整理得：27t2﹣ t+ ＝0， 解得：t1＝ （s），t2＝ （s）（不合题意舍去）； ③当 C′落在 AB 上时，PC′与 AB 重合，如图 6 所示： ∵点 C 关于直线 QM 的对称点 C'， ∴OC＝OC′， ∵四边形 PQMN 是正方形， ∴MQ∥AB， ∴AD＝CD＝ AC＝3， ∴DQ 是△CAB 的中位线， ∴CQ＝BQ＝ BC＝4， 由（3）得：BQ＝ （10﹣4t）， ∴ （10﹣4t）＝4，∴t＝ （s）， 综上所述，当 PC′与△ABC 的边垂直或重合时，t 的值为 s 或 s 或 s．24．已知：在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（x1，y1）、B（x2，y2）是某函数图象上任意两 点（x1＜x2），将函数图象中 x＜x1 的部分沿直线 y＝y1 作轴对称，x＞x2 的部分沿直线 y＝ y2 作轴对称，与原函数图象中 x1≤x≤x2 的部分组成了一个新函数的图象，称这个新函数 为原函数关于点 A、B 的“双对称函数”． 例如：如图①，点 A（﹣2，﹣1）、B（1，2）是一次函数 y＝x+1 图象上的两个点，则函 数 y＝x+1 关于点 A、B 的“双对称函数”的图象如图②所示． （1）点 A（t，y1）、B（t+3，y2）是函数 y＝ 图象上的两点，y＝ 关于点 A、B 的“双 对称函数”的图象记作 G，若 G 是中心对称图形，直接写出 t 的值． （2）点 P（ ，y1），Q（ +t，y2）是二次函数 y＝（x﹣t）2+2t 图象上的两点，该二次 函数关于点 P、Q 的“双对称函数”记作 f． ①求 P、Q 两点的坐标（用含 t 的代数式表示）． ②当 t＝﹣2 时，求出函数 f 的解析式； ③若﹣1≤x≤1 时，函数 f 的最小值为 ymin，求﹣2≤ymin≤﹣1 时，t 的取值范围．【分析】（1）根据定义、反比例函数图象性质和中心对称性质即可求出 t； （2）①直接代入计算即可；②新函数是分段函数，自变量 x 的范围分为：x＜ 或 ≤x≤ 或 x＞ ，二次函数图象翻折后开口方向与原来相反，顶点与原来顶点关于对称 轴对称，可以先求新顶点；③分 t≤﹣1，﹣1＜t＜0，t≥0 进行讨论． 【解答】解：（1）如图 1，设点 A（t， ），A′（t+3， ）， ∵G 是中心对称图形，由反比例函数图象的中心对称性质可知：A 与 A′关于原点成中心 对称， ∴t+t+3＝0，解得：t＝ ； （2）①y1＝ +2t＝t2+t+ ，y2＝ +2t＝2t+ ∴P（ ，t2+t+ ），Q（ +t，2t+ ）， ②当 t＝﹣2 时，y＝（x+2）2﹣4，P（ ， ），Q（ ， ），根据“双对称函数” 定义可知： 新图象 f 由 x＜ 时抛物线 y＝（x+2）2﹣4 沿直线 y＝ 翻折所得图象、x＞ 时抛物 线 y＝（x+2）2﹣4 沿 直线 y＝ 翻折所得图象及 ≤x≤ 时抛物线 y＝（x+2）2﹣4 三个部分组成， ∴当 t＝﹣2 时，函数 f 的解析式为：y＝ ③∵当﹣1≤x≤1 时，函数 f 的最小值为 ymin，且﹣2≤ymin≤﹣1， 若 t ＜ 0 ， 该 二 次 函 数 关 于 点 P 、 Q 的 “ 双 对 称 函 数 ” 为 ： y ＝， 当 t≤﹣1 时，点 Q 始终是“双对称函数”在﹣1≤x≤1 的最低点，由﹣2≤2t+ ≤﹣1，∴ ≤t≤ ，故 ≤t≤﹣1 当﹣1＜t＜0 时，将 x＝﹣1 代入得 y＝﹣（﹣1﹣t）2+2t+ ＝﹣t2 ，由﹣2≤﹣t2 ≤ ﹣1，解得： ≤t≤ ，∴﹣1≤t≤﹣ 当 t≥0 时，由﹣2≤﹣（﹣1﹣t）2+2t2+ ≤﹣1，可解得： ≤t≤ ， 综上所述，t 的取值范围为：﹣ ≤t≤ 或 ≤t≤ ，