2020年广西中考数学一模试卷（解析版）

2020 年广西中考数学一模试卷 一．选择题（共 12 小题） 1．下列各数中，是无理数的是（　　） A．3.1415 B． C． D． 2．如图是由 4 个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（　　） A． B． C． D． 3．据海关统计，今年第一季度我国外贸进出口总额是 70100 亿元人民币，比去年同期增长 了 3.7%，数 70100 亿用科学记数法表示为（　　） A．7.01×104 B．7.01×1011 C．7.01×1012 D．7.01×1013 4．下列说法正确的是（　　） A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查 B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为 S 甲 2＝3，S 乙 2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定 C．一组数据 2，2，3，4 的众数是 2，中位数是 2.5 D．可能性是 1%的事件在一次试验中一定不会发生 5．如图，CD∥AB，点 O 在 AB 上，OE 平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF 的 度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 6．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B．C． D． 7．反比例函数 y＝﹣ ，下列说法不正确的是（　　） A．图象经过点（1，﹣3） B．图象位于第二、四象限 C．图象关于直线 y＝x 对称 D．y 随 x 的增大而增大 8．若方程 x2﹣2x﹣4＝0 的两个实数根为 α，β，则 α2+β2 的值为（　　） A．12 B．10 C．4 D．﹣4 9．把一根 9m 长的钢管截成 1m 长和 2m 长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截 法中 1m 长的钢管有 a 根，则 a 的值可能有（　　） A．3 种 B．4 种 C．5 种 D．9 种 10．如图，二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象经过点 A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是 （　　） A．c＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣b+c＜0 D．图象的对称轴是直线 x＝3 11．如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A，D 分别在 x 轴、y 轴上，对角线 BD ∥x 轴，反比例函数 y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点 E．若点 A（2， 0），D（0，4），则 k 的值为（　　）A．16 B．20 C．32 D．40 12．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，弦 AD∥OC，直线 CD 交 BA 的延长线于 点 E，连接 BD．下列结论：①CD 是⊙O 的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED •BC＝BO•BE．其中正确结论的个数有（　　） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 二．填空题（共 6 小题） 13．分解因式：x4﹣4x2＝　 　． 14．用半径为 10cm，圆心角为 120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面 圆半径为　 　cm． 15．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点 A、点 C 为圆心，以 AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积 为　 　．（结果保留 π） 16．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字 1，2，4，8．随机摸 取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于 8 的概 率是　 　．17．如图，为测量旗杆 AB 的高度，在教学楼一楼点 C 处测得旗杆顶部的仰角为 60°，在 四楼点 D 处测得旗杆顶部的仰角为 30°，点 C 与点 B 在同一水平线上．已知 CD＝ 9.6m，则旗杆 AB 的高度为　 　m． 18．如图，在平面直角坐标系中，四边形 OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形， 点 A1，A2，A3，…都在 x 轴上，点 C1，C2，C3，…都在直线 y＝ x+ 上，且∠C1OA1 ＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，则点 C6 的坐标是　 　． 三．解答题（共 8 小题） 19．计算：5÷[（﹣1）3﹣4]+32×（﹣1）． 20．先化简，再求值（1﹣ ）÷ ，其中 x＝ +1． 21．△ABC 在边长为 1 的正方形网格中如图所示． ①以点 C 为位似中心，作出△ABC 的位似图形△A1B1C，使其位似比为 1：2．且△A1B1C 位于点 C 的异侧，并表示出 A1 的坐标． ②作出△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°后的图形△A2B2C． ③在②的条件下求出点 B 经过的路径长．22．“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程 度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完 整的统计图．根据图中信息回答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有　 　人，条形统计图中 m 的值为　 　； （2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为　 　； （3）若该中学共有学生 1800 人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园 安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为　 　人； （4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的 2 名男生和 2 名女生中随机抽取 2 人 参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到 1 名男生和 1 名女生 的概率． 23．如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，将△BCE 沿 BE 折叠，点 C 落在 AD 边上的点 F 处，过点 F 作 FG∥CD 交 BE 于点 G，连接 CG． （1）求证：四边形 CEFG 是菱形； （2）若 AB＝6，AD＝10，求四边形 CEFG 的面积． 24．南岸区正全力争创全国卫生城区和全国文明城区（简称“两城同创”）．某街道积极响应 “两城同创”活动，投入一定资金绿化一块闲置空地，购买了甲、乙两种树木共 72 棵，甲种树木单价是乙种树木单价的 ，且乙种树木每棵 80 元，共用去资金 6160 元． （1）求甲、乙两种树木各购买了多少棵？ （2）经过一段时间后，种植的这批树木成活率高，绿化效果好．该街道决定再购买一批 这两种树木绿化另一块闲置空地，两种树木的购买数量均与第一批相同，购买时发现甲 种树木单价上涨了 a%，乙种树木单价下降了 ，且总费用为 6804 元，求 a 的值． 25．如图，在正方形 ABCD 中，点 M 是边 BC 上的一点（不与 B、C 重合），点 N 在 CD 边 的延长线上，且满足∠MAN＝90°，联结 MN、AC，MN 与边 AD 交于点 E． （1）求证：AM＝AN； （2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝AC•AE； （3）MN 和 AC 相交于 O 点，若 BM＝1，AB＝3，试猜想线段 OM，ON 的数量关系并证 明． 26．如图，顶点为 M 的抛物线 y＝ax2+bx+3 与 x 轴交于 A（3，0），B（﹣1，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的表达式； （2）在直线 AC 的上方的抛物线上，有一点 P（不与点 M 重合），使△ACP 的面积等于△ ACM 的面积，请求出点 P 的坐标； （3）在 y 轴上是否存在一点 Q，使得△QAM 为直角三角形？若存在，请直接写出点 Q 的坐标：若不存在，请说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共 12 小题） 1．下列各数中，是无理数的是（　　） A．3.1415 B． C． D． 【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数进行判断， ＝2 是有理数； 【解答】解： ＝2 是有理数， 是无理数， 故选：D． 2．如图是由 4 个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【解答】解：从正面看易得第一层有 2 个正方形，第二层左边有一个正方形，如图所示： ． 故选：A． 3．据海关统计，今年第一季度我国外贸进出口总额是 70100 亿元人民币，比去年同期增长 了 3.7%，数 70100 亿用科学记数法表示为（　　） A．7.01×104 B．7.01×1011 C．7.01×1012 D．7.01×1013 【分析】把一个很大的数写成 a×10n 的形式． 【解答】解：70100 亿＝7.01×1012． 故选：C． 4．下列说法正确的是（　　） A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为 S 甲 2＝3，S乙 2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定 C．一组数据 2，2，3，4 的众数是 2，中位数是 2.5 D．可能性是 1%的事件在一次试验中一定不会发生 【分析】全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般 花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点， 但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．将一组数据按照从 小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是 这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 【解答】解：A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，A 错 误； B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为 S 甲 2＝3，S 乙 2＝4，说明甲的跳远成绩比乙稳定， B 错误； C．一组数据 2，2，3，4 的众数是 2，中位数是 2.5，正确； D．可能性是 1%的事件在一次试验中可能会发生，D 错误． 故选：C． 5．如图，CD∥AB，点 O 在 AB 上，OE 平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF 的 度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【解答】解：∵CD∥AB， ∴∠AOD+∠D＝180°， ∴∠AOD＝70°， ∴∠DOB＝110°， ∵OE 平分∠BOD， ∴∠DOE＝55°， ∵OF⊥OE，∴∠FOE＝90°， ∴∠DOF＝90°﹣55°＝35°， ∴∠AOF＝70°﹣35°＝35°， 故选：D． 6．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中 间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式 x﹣1＞0 得 x＞1， 解不等式 5﹣2x≥1 得 x≤2， 则不等式组的解集为 1＜x≤2， 故选：C． 7．反比例函数 y＝﹣ ，下列说法不正确的是（　　） A．图象经过点（1，﹣3） B．图象位于第二、四象限 C．图象关于直线 y＝x 对称 D．y 随 x 的增大而增大 【分析】通过反比例图象上的点的坐标特征，可对 A 选项做出判断；通过反比例函数图 象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案． 【解答】解：由点（1，﹣3）的坐标满足反比例函数 y＝﹣ ，故 A 是正确的； 由 k＝﹣3＜0，双曲线位于二、四象限，故 B 也是正确的； 由反比例函数图象的对称性，可知反比例函数 y＝﹣ 的图象关于 y＝x 对称是正确的， 故 C 也是正确的， 由反比例函数的性质，k＜0，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，不在同一象限，不具 有此性质，故 D 是不正确的， 故选：D． 8．若方程 x2﹣2x﹣4＝0 的两个实数根为 α，β，则 α2+β2 的值为（　　）A．12 B．10 C．4 D．﹣4 【分析】根据根与系数的关系可得 α+β＝2，αβ＝﹣4，再利用完全平方公式变形 α2+β2＝ （α+β）2﹣2αβ，代入即可求解； 【解答】解：∵方程 x2﹣2x﹣4＝0 的两个实数根为 α，β， ∴α+β＝2，αβ＝﹣4， ∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12； 故选：A． 9．把一根 9m 长的钢管截成 1m 长和 2m 长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截 法中 1m 长的钢管有 a 根，则 a 的值可能有（　　） A．3 种 B．4 种 C．5 种 D．9 种 【分析】可列二元一次方程解决这个问题． 【解答】解：设 2m 的钢管 b 根，根据题意得： a+2b＝9， ∵a、b 均为正整数， ∴ ， ， ， ． 故选：B． 10．如图，二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象经过点 A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是 （　　） A．c＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣b+c＜0 D．图象的对称轴是直线 x＝3 【分析】二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）①常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点． 抛物线与 y 轴交于（0，c）． ②抛物线与 x 轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；△＝b2﹣4ac＝0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；△＝b2﹣4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点． 【解答】解：A．由于二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象与 y 轴交于正半轴，所以 c＞0，故 A 错误； B．二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴由 2 个交点，所以 b2﹣4ac＞0，故 B 错误； C．当 x＝﹣1 时，y＜0，即 a﹣b+c＞0，故 C 错误； D．因为 A（1，0），B（5，0），所以对称轴为直线 x＝ ＝3，故 D 正确． 故选：D． 11．如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A，D 分别在 x 轴、y 轴上，对角线 BD ∥x 轴，反比例函数 y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点 E．若点 A（2， 0），D（0，4），则 k 的值为（　　） A．16 B．20 C．32 D．40 【分析】根据平行于 x 轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设 B（x，4）．利用矩形的性 质得出 E 为 BD 中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出 E（ x，4）． 由勾股定理得出 AD2+AB2＝BD2，列出方程 22+42+（x﹣2）2+42＝x2，求出 x，得到 E 点 坐标，代入 y＝ ，利用待定系数法求出 k． 【解答】解：∵BD∥x 轴，D（0，4）， ∴B、D 两点纵坐标相同，都为 4， ∴可设 B（x，4）． ∵矩形 ABCD 的对角线的交点为 E， ∴E 为 BD 中点，∠DAB＝90°．∴E（ x，4）． ∵∠DAB＝90°， ∴AD2+AB2＝BD2， ∵A（2，0），D（0，4），B（x，4）， ∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2， 解得 x＝10， ∴E（5，4）． ∵反比例函数 y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过点 E， ∴k＝5×4＝20． 故选：B． 12．如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，弦 AD∥OC，直线 CD 交 BA 的延长线于 点 E，连接 BD．下列结论：①CD 是⊙O 的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED •BC＝BO•BE．其中正确结论的个数有（　　） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【分析】由切线的性质得∠CBO＝90°，首先连接 OD，易证得△COD≌△COB（SAS）， 然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO＝90°，即可证得直线 CD 是⊙O 的切线， 根据全等三角形的性质得到 CD＝CB，根据线段垂直平分线的判定定理得到即 CO⊥DB， 故②正确；根据余角的性质得到∠ADE＝∠BDO，等量代换得到∠EDA＝∠DBE，根据 相似三角形的判定定理得到△EDA∽△EBD，故③正确；根据相似三角形的性质得到 ，于是得到 ED•BC＝BO•BE，故④正确． 【解答】解：连结 DO． ∵AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线， ∴∠CBO＝90°，∵AD∥OC， ∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD． 又∵OA＝OD， ∴∠DAO＝∠ADO， ∴∠COD＝∠COB． 在△COD 和△COB 中， ， ∴△COD≌△COB（SAS）， ∴∠CDO＝∠CBO＝90°． 又∵点 D 在⊙O 上， ∴CD 是⊙O 的切线；故①正确， ∵△COD≌△COB， ∴CD＝CB， ∵OD＝OB， ∴CO 垂直平分 DB， 即 CO⊥DB，故②正确； ∵AB 为⊙O 的直径，DC 为⊙O 的切线， ∴∠EDO＝∠ADB＝90°， ∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°， ∴∠ADE＝∠BDO， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠EDA＝∠DBE， ∵∠E＝∠E， ∴△EDA∽△EBD，故③正确； ∵∠EDO＝∠EBC＝90°， ∠E＝∠E， ∴△EOD∽△ECB， ∴ ，∵OD＝OB， ∴ED•BC＝BO•BE，故④正确； 故选：A． 二．填空题（共 6 小题） 13．分解因式：x4﹣4x2＝　x2（x+2）（x﹣2）　． 【分析】先提取公因式再利用平方差公式进行分解，即 x4﹣4x2＝x2（x2﹣4）＝x2（x+2） （x﹣2）； 【解答】解：x4﹣4x2＝x2（x2﹣4）＝x2（x+2）（x﹣2）； 故答案为 x2（x+2）（x﹣2）； 14．用半径为 10cm，圆心角为 120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面 圆半径为　 　cm． 【分析】圆锥的底面圆半径为 r，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解． 【解答】解：设圆锥的底面圆半径为 r，依题意，得 2πr＝ ， 解得 r＝ cm． 故选： ． 15．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点 A、点 C 为圆心，以 AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为　 2 ﹣ π　．（结果保留 π）【分析】根据菱形的性质得到 AC⊥BD，∠ABO＝ ∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120 °，根据直角三角形的性质求出 AC、BD，根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即 可． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO＝ ∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°， ∴AO＝ AB＝1， 由勾股定理得，OB＝ ＝ ， ∴AC＝2，BD＝2 ， ∴阴影部分的面积＝ ×2×2 ﹣ ×2＝2 ﹣ π， 故答案为：2 ﹣ π． 16．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字 1，2，4，8．随机摸 取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于 8 的概 率是　 　． 【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可． 【解答】解：列表如下 1 2 4 8 1 2 4 8 2 2 8 16 4 4 8 32 8 8 16 32 由表知，共有 12 种等可能结果，其中两次取出的小球上数字之积等于 8 的有 4 种结果， 所以两次取出的小球上数字之积等于 8 的概率为 ＝ ， 故答案为： ． 17．如图，为测量旗杆 AB 的高度，在教学楼一楼点 C 处测得旗杆顶部的仰角为 60°，在 四楼点 D 处测得旗杆顶部的仰角为 30°，点 C 与点 B 在同一水平线上．已知 CD＝ 9.6m，则旗杆 AB 的高度为　14.4　m．【分析】作 DE⊥AB 于 E，则∠AED＝90°，四边形 BCDE 是矩形，得出 BE＝CD＝ 9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，求出∠ADC＝120°，证出∠CAD＝30°＝∠ACD，得出 AD＝CD＝9.6m，在 Rt△ADE 中，由直角三角形的性质得出 AE＝ AD＝4.8m，即可得 出答案． 【解答】解：作 DE⊥AB 于 E，如图所示： 则∠AED＝90°，四边形 BCDE 是矩形， ∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°， ∴∠ADC＝90°+30°＝120°， ∵∠ACB＝60°， ∴∠ACD＝30°， ∴∠CAD＝30°＝∠ACD， ∴AD＝CD＝9.6m， 在 Rt△ADE 中，∠ADE＝30°， ∴AE＝ AD＝4.8m， ∴AB＝AE+BE＝4.8m+9.6m＝14.4m； 故答案为：14.4． 18．如图，在平面直角坐标系中，四边形 OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形， 点 A1，A2，A3，…都在 x 轴上，点 C1，C2，C3，…都在直线 y＝ x+ 上，且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，则点 C6 的坐标是　（47，16 ）　． 【分析】根据菱形的边长求得 A1、A2、A3…的坐标然后分别表示出 C1、C2、C3…的坐标 找出规律进而求得 C6 的坐标． 【解答】解：∵OA1＝1， ∴OC1＝1， ∴∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°， ∴C1 的纵坐标为：sin60°•OC1＝ ，横坐标为 cos60°•OC1＝ ， ∴C1（ ， ）， ∵四边形 OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形， ∴A1C2＝2，A2C3＝4，A3C4＝8，…， ∴C2 的纵坐标为：sin60°•A1C2＝ ，代入 y＝ x+ 求得横坐标为 2， ∴C2（2， ）， C3 的纵坐标为：sin60°•A2C3＝2 ，代入 y＝ x+ 求得横坐标为 5， ∴C3（5，2 ）， ∴C4（11，4 ）， C5（23，8 ）， ∴C6（47，16 ）； 故答案为（47，16 ）． 三．解答题（共 8 小题） 19．计算：5÷[（﹣1）3﹣4]+32×（﹣1）． 【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值． 【解答】解：原式＝5÷（﹣1﹣4）+9×（﹣1） ＝5÷（﹣5）+（﹣9）＝﹣1+（﹣9） ＝﹣10． 20．先化简，再求值（1﹣ ）÷ ，其中 x＝ +1． 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 x 的值代入化简后的式 子即可解答本题． 【解答】解：（1﹣ ）÷ ＝ ＝ ＝ ， 当 x＝ +1 时，原式＝ ＝ ． 21．△ABC 在边长为 1 的正方形网格中如图所示． ①以点 C 为位似中心，作出△ABC 的位似图形△A1B1C，使其位似比为 1：2．且△A1B1C 位于点 C 的异侧，并表示出 A1 的坐标． ②作出△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°后的图形△A2B2C． ③在②的条件下求出点 B 经过的路径长． 【分析】①延长 AC 到 A1 使 A1C＝2AC，延长 BC 到 B1 使 B1C＝2BC，则△A1B1C 满足 条件； ②利用网格特点和旋转的性质画出 A、B 的对应点 A2、B2，从而得到△A2B2C． ③先计算出 CB 的长，然后根据弧长公式计算点 B 经过的路径长． 【解答】解：①如图，△A1B1C 为所作，点 A1 的坐标为（3，﹣3）； ②如图，△A2B2C 为所作；③CB＝ ＝ ， 点 B 经过的路径长＝ ＝ π． 22．“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程 度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完 整的统计图．根据图中信息回答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有　60　人，条形统计图中 m 的值为　10　； （2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为　96°　； （3）若该中学共有学生 1800 人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园 安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为　1020　人； （4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的 2 名男生和 2 名女生中随机抽取 2 人 参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到 1 名男生和 1 名女生 的概率． 【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2）用 360°乘以扇形统计图中“了解很少”部分所占的比例即可； （3）用总人数 1800 乘以达到“非常了解”和“基本了解”程度的人数所占的比例即可； （4）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出恰好抽到 1 个男生和 1 个女生的结 果数，然后利用概率公式求解． 【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有 30÷50%＝60（人），m＝60﹣4﹣30﹣16＝10； 故答案为：60，10； （2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数＝360°× ＝96°； 故答案为：96°； （3）该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为： 1800× ＝1020（人）； 故答案为：1020； （4）由题意列树状图： 由树状图可知，所有等可能的结果有 12 种，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 8 种， ∴恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的概率为 ＝ ． 23．如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，将△BCE 沿 BE 折叠，点 C 落在 AD 边上的点 F 处，过点 F 作 FG∥CD 交 BE 于点 G，连接 CG． （1）求证：四边形 CEFG 是菱形； （2）若 AB＝6，AD＝10，求四边形 CEFG 的面积． 【分析】（1）根据题意和翻折的性质，可以得到△BCE≌△BFE，再根据全等三角形的性 质和菱形的判定方法即可证明结论成立； （2）根据题意和勾股定理，可以求得 AF 的长，进而求得 EF 和 DF 的值，从而可以得 到四边形 CEFG 的面积． 【解答】（1）证明：由题意可得， △BCE≌△BFE， ∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE， ∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠CEB， ∴∠FGE＝∠FEG， ∴FG＝FE， ∴FG＝EC， ∴四边形 CEFG 是平行四边形， 又∵CE＝FE， ∴四边形 CEFG 是菱形； （2）∵矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF， ∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10， ∴AF＝8， ∴DF＝2， 设 EF＝x，则 CE＝x，DE＝6﹣x， ∵∠FDE＝90°， ∴22+（6﹣x）2＝x2， 解得，x＝ ， ∴CE＝ ， ∴四边形 CEFG 的面积是：CE•DF＝ ×2＝ ． 24．南岸区正全力争创全国卫生城区和全国文明城区（简称“两城同创”）．某街道积极响应 “两城同创”活动，投入一定资金绿化一块闲置空地，购买了甲、乙两种树木共 72 棵， 甲种树木单价是乙种树木单价的 ，且乙种树木每棵 80 元，共用去资金 6160 元． （1）求甲、乙两种树木各购买了多少棵？ （2）经过一段时间后，种植的这批树木成活率高，绿化效果好．该街道决定再购买一批 这两种树木绿化另一块闲置空地，两种树木的购买数量均与第一批相同，购买时发现甲 种树木单价上涨了 a%，乙种树木单价下降了 ，且总费用为 6804 元，求 a 的值． 【分析】（1）根据题意可得等量关系：①甲、乙两种树木共 72 棵；②共用去资金 6160 元，根据等量关系列出方程，再解即可； （2）用 a 表示出甲已两种树木单价，再根据总费用为 6804 元列方程即可．【解答】解：（1）设甲种树木的数量为 x 棵，乙种树木的数量为 y 棵，由题意得： ， 解得： ， 答：甲种树木的数量为 40 棵，乙种树木的数量为 32 棵； （2）由题意得甲种树木单价为 ×80（1+a%）＝90（1+a%）元，乙种树木单价为 80× （1﹣ ）， 由题意得：90（1+a%）×40+80×（1﹣ ）×32＝6804， 解得：a＝25， 答：a 的值为 25． 25．如图，在正方形 ABCD 中，点 M 是边 BC 上的一点（不与 B、C 重合），点 N 在 CD 边 的延长线上，且满足∠MAN＝90°，联结 MN、AC，MN 与边 AD 交于点 E． （1）求证：AM＝AN； （2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝AC•AE； （3）MN 和 AC 相交于 O 点，若 BM＝1，AB＝3，试猜想线段 OM，ON 的数量关系并证 明． 【分析】（1）由正方形的性质可得 AB＝AD，由“ASA”可证△ABM≌△ADN，可得 AM ＝AN； （2）由题意可得∠CAM＝∠NAD＝22.5°，∠ACB＝∠MNA＝45°，即可证△AMC∽△ AEN，即可证 AM2＝AE•AC； （3）先求出 AM，进而求出 MF＝NF＝BF＝ ，再判断出△ABM∽△AFO，进而求出 FO，即可得出结论． 【解答】证明（1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝AD，∠CAD＝45°＝∠ACB，∠BAD＝90°＝∠CDA＝∠B，∴∠BAM+∠MAD＝90°， ∵∠MAN＝90°， ∴∠MAD+∠DAN＝90°， ∴∠BAM＝∠DAN， ∵AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°， ∴△ABM≌△ADN（ASA） ∴AM＝AN； （2）∵AM＝AN，∠MAN＝90° ∴∠MNA＝45°， ∵∠CAD＝2∠NAD＝45°， ∴∠NAD＝22.5° ∴∠CAM＝∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD＝22.5° ∴∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°， ∴△AMC∽△AEN， ∴ ， ∴AM•AN＝AC•AE， ∵AN＝AM， ∴AM2＝AC•AE； （3）ON＝2OM，理由：如图， 在 Rt△ABM 中，AM＝1，AB＝3， 根据勾股定理得，BM＝ ＝ ， 过点 B 作 BF⊥MN 于 F， ∴∠OFB＝∠A＝90°， 由（1）知，AM＝AN， ∵∠MBN＝90°， ∴FB＝NF＝MF＝ ＝ ，∠MBF＝45°， ∵AC 是正方形 ABCD 的对角线，∴∠ABC＝45°＝∠MBF， ∴∠ABM＝∠FBO， ∴△ABM∽△FBO， ∴ ， ∴ ， ∴FO＝ ， ∴OM＝MF﹣FO＝ ，ON＝NF+FO＝ ， ∴ON＝2OM． 26．如图，顶点为 M 的抛物线 y＝ax2+bx+3 与 x 轴交于 A（3，0），B（﹣1，0）两点，与 y 轴交于点 C （1）求抛物线的表达式； （2）在直线 AC 的上方的抛物线上，有一点 P（不与点 M 重合），使△ACP 的面积等于△ ACM 的面积，请求出点 P 的坐标； （3）在 y 轴上是否存在一点 Q，使得△QAM 为直角三角形？若存在，请直接写出点 Q 的坐标：若不存在，请说明理由． 【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即可求解； （2）过点 M 作直线 m∥AC，在 AC 下方作等距离的直线 n，直线 n 与抛物线交点即为点 P，即可求解； （3）分 AM 时斜边、AQ 是斜边、MQ 是斜边三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）， 故﹣3a＝1，解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①； （2）过点 M 作直线 m∥AC，直线 m 与抛物线交点即为点 P， 点 M（1，4），则直线 m 的表达式为：y＝﹣x+5…②， 联立①②并解得：x＝1（舍去）或 2； 故点 P 的坐标为：（2，3）； （3）设点 Q 的坐标为：（0，m），而点 A、M 的坐标分别为：（3，0）、（1，4）； 则 AM2＝20，AQ2＝9+m2，MQ2＝（m﹣4）2+1＝m2﹣8m+17； 当 AM 时斜边时，则 20＝9+m2+m2﹣8m+17，解得：m＝1 或 3； 当 AQ 是斜边时，同理可得：m＝ ； 当 MQ 是斜边时，同理可得：m＝﹣ ， 综上，点 Q 的坐标为：（0，1）或（0，3）或（0， ）或（0，﹣ ）．