2020年安徽省亳州市利辛县中考数学一调试卷解析版

2020 年安徽省亳州市利辛县中考数学一调试卷 一．选择题（共 6 小题） 1．已知线段 a、b，如果 a：b＝5：2，那么下列各式中一定正确的是（  ） A．a+b＝7 B．5a＝2b C． ＝ D． ＝1 2．关于二次函数 y＝ （x+1）2 的图象，下列说法正确的是（  ） A．开口向下 B．经过原点 C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是（﹣1，0） 3．如图，在直角坐标平面内，射线 OA 与 x 轴正半轴的夹角为 α，如果 OA＝ ，tanα＝ 3，那么点 A 的坐标是（  ） A．（1，3） B．（3，1） C．（1， ） D．（3， ） 4．对于非零向量 、 ，如果 2| |＝3| |，且它们的方向相同，那么用向量 表示向量 正确 的是（  ） A． B． C． D． 5．某同学在利用描点法画二次函数 y＝ax2+bx+c（a＝0）的图象时，先取自变量 x 的一些值， 计算出相应的函数值 y，如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … ﹣3 0 ﹣1 0 3 … 接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（  ） A． B． C． D． 6．已知⊙A 的半径 AB 长是 5，点 C 在 AB 上，且 AC＝3，如果⊙C 与⊙A 有公共点，那么⊙C 的半径长 r 的取值范围是（  ） A．r≥2 B．r≤8 C．2＜r＜8 D．2≤r≤8 二．填空题（共 12 小题） 7．计算： ＝   ． 8．计算：sin30°tan60°＝   ． 9．如果函数 y＝（m﹣1）x2+x（m 是常数）是二次函数，那么 m 的取值范围是   ． 10．如果一个二次函数的图象在其对称轴左侧部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可 以是   ．（只需写一个即可） 11．如果将抛物线 y＝﹣2x 2 向右平移 3 个单位，那么所得到的新抛物线的对称轴是直 线   ． 12．如图，AD 与 BC 相交于点 O，如果 ，那么当 的值是   时，AB∥CD． 13．如图，已知 AB 是⊙O 的弦，C 是 的中点，联结 OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠ CAB 的度数是   ． 14．联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是   ． 15．如果正 n 边形的内角是它中心角的两倍，那么边数 n 的值是   ． 16．如图，某水库大坝的横假面是梯形 ABCD，坝顶宽 DC 是 10 米，坝底宽 AB 是 90 米， 背水坡 AD 和迎水坡 BC 的坡度都为 1：2.5，那么这个水库大坝的坝高是   米． 17．我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”．如果一个“钻石菱 形”的面积为 6，那么它的边长是   ． 18．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，sinC＝ ，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到△ADE， 点 B、C 分别与点 D、E 对应，AD 与边 BC 交于点 F．如果 AE∥BC，那么 BF 的长 是   ． 三．解答题（共 7 小题） 19．已知抛物线 y＝x（x﹣2）+2． （1）用配方法把这个抛物线的表达式化成 y＝a（x+m）2+k 的形式，并写出它的顶点坐 标； （2）将抛物线 y＝x（x﹣2）+2 上下平移，使顶点移到 x 轴上，求新抛物线的表达式． 20．如图，已知 AD 是△ABC 的中线，G 是重心． （1）设 ＝ ， ＝ ，用向量 、 表示 ； （2）如果 AB＝3，AC＝2，∠GAC＝∠GCA，求 BG 的长． 21．如图，已知 Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2 ，以 A 为圆心、AB 为半径画 圆，与边 BC 交于另一点 D． （1）求 BD 的长； （2）连接 AD，求∠DAC 的正弦值． 22．“滑块铰链”是一种用于连接窗扇和窗框，使窗户能够开启和关闭的连杆式活动链接装 置（如图 1）．图 2 是“滑块铰链”的平面示意图，滑轨 MN 安装在窗框上，悬臂 DE 安 装在窗扇上，支点 B、C、D 始终在一条直线上，已知托臂 AC＝20 厘米，托臂 BD＝40 厘米，支点 C，D 之间的距离是 10 厘米，张角∠CAB＝60°． （1）求支点 D 到滑轨 MN 的距离（精确到 1 厘米）； （2）将滑块 A 向左侧移动到 A′，（在移动过程中，托臂长度不变，即 AC＝A′C′，BC ＝BC′）当张角∠C′A'B＝45°时，求滑块 A 向左侧移动的距离（精确到 1 厘米）．（备 用数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45， ≈2.65） 23．已知：如图，在△ABC 中，点 D 在边 AC 上，BD 的垂直平分线交 CA 的延长线于点 E， 交 BD 于点 F，联结 BE，ED2＝EA•EC． （1）求证：∠EBA＝∠C； （2）如果 BD＝CD，求证：AB2＝AD•AC． 24．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 与抛物线 y＝ax2+bx 交于点 A（6，0）和点 B （1，﹣5）． （1）求这条抛物线的表达式和直线 AB 的表达式； （2）如果点 C 在直线 AB 上，且∠BOC 的正切值是 ，求点 C 的坐标． 25．如图，已知梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝4，AB＝2CD＝6，E 是边 BC 上一点，过点 D、E 分别作 BC、CD 的平行线交于点 F，联结 AF 并延长，与射线 DC 交 于点 G． （1）当点 G 与点 C 重合时，求 CE：BE 的值； （2）当点 G 在边 CD 上时，设 CE＝m，求△DFG 的面积；（用含 m 的代数式表示） （3）当△AFD∽△ADG 时，求∠DAG 的余弦值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共 6 小题） 1．已知线段 a、b，如果 a：b＝5：2，那么下列各式中一定正确的是（  ） A．a+b＝7 B．5a＝2b C． ＝ D． ＝1 【分析】根据比例的性质进行判断即可． 【解答】解：A、当 a＝10，b＝4 时，a：b＝5：2，但是 a+b＝14，故本选项错误； B、由 a：b＝5：2，得 2a＝5b，故本选项错误； C、由 a：b＝5：2，得 ＝ ，故本选项正确； D、由 a：b＝5：2，得 ＝ ，故本选项错误． 故选：C． 2．关于二次函数 y＝ （x+1）2 的图象，下列说法正确的是（  ） A．开口向下 B．经过原点 C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是（﹣1，0） 【分析】由二次函数 y＝ （x+1）2，可得其对称轴、顶点坐标；由二次项系数，可知图 象开口向上；对每个选项分析、判断即可； 【解答】解：A、由二次函数二次函数 y＝ （x+1）2 中 a＝ ＞0，则抛物线开口向上； 故本项错误； B、当 x＝0 时，y＝ ，则抛物线不过原点；故本项错误； C、由二次函数 y＝ （x+1）2 得，开口向上，对称轴为直线 x＝﹣1，对称轴右侧的图象 上升；故本项错误； D、由二次函数 y＝ （x+1）2 得，顶点为（﹣1，0）；故本项正确； 故选：D． 3．如图，在直角坐标平面内，射线 OA 与 x 轴正半轴的夹角为 α，如果 OA＝ ，tanα＝ 3，那么点 A 的坐标是（  ） A．（1，3） B．（3，1） C．（1， ） D．（3， ） 【分析】过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，由于 tanα＝3，设 AB＝3x，OB＝x，根据勾股定理 列出方程即可求出 x 的值，从而可求出点 A 的坐标． 【解答】解：过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B， 由于 tanα＝3， ∴ ， 设 AB＝3x，OB＝x， ∵OA＝ ， ∴由勾股定理可知：9x2+x2＝10， ∴x2＝1， ∴x＝1， ∴AB＝3，OB＝1， ∴A 的坐标为（1，3）， 故选：A． 4．对于非零向量 、 ，如果 2| |＝3| |，且它们的方向相同，那么用向量 表示向量 正确 的是（  ） A． B． C． D． 【分析】根据共线向量的定义作答． 【解答】解：∵2| |＝3| |， ∴| |＝ | |． 又∵非零向量 与 的方向相同， ∴ ． 故选：B． 5．某同学在利用描点法画二次函数 y＝ax2+bx+c（a＝0）的图象时，先取自变量 x 的一些值， 计算出相应的函数值 y，如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … ﹣3 0 ﹣1 0 3 … 接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（  ） A． B． C． D． 【分析】利用表中数据和二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线 x＝2，则顶点坐标 为（2，﹣1），于是可判断抛物线的开口向上，则 x＝0 和 x＝4 的函数值相等且大于 0， 然后可判断 A 选项错误． 【解答】解：∵x＝1 和 x＝3 时，y＝0； ∴抛物线的对称轴为直线 x＝2， ∴顶点坐标为（2，﹣1）， ∴抛物线的开口向上， ∴x＝0 和 x＝4 的函数值相等且大于 0， ∴x＝0，y＝﹣3 错误． 故选：A． 6．已知⊙A 的半径 AB 长是 5，点 C 在 AB 上，且 AC＝3，如果⊙C 与⊙A 有公共点，那么⊙C 的半径长 r 的取值范围是（  ） A．r≥2 B．r≤8 C．2＜r＜8 D．2≤r≤8 【分析】先确定点 C 到⊙A 的最大距离为 8，最小距离为 2，利用⊙C 与⊙A 相交或相切 确定 r 的范围． 【解答】解：∵⊙A 的半径 AB 长是 5，点 C 在 AB 上，且 AC＝3， ∴点 C 到⊙A 的最大距离为 8，最小距离为 2， ∵⊙C 与⊙A 有公共点， ∴2≤r≤8． 故选：D． 二．填空题（共 12 小题） 7．计算： ＝   ． 【分析】实数的运算法则同样适用于本题的计算． 【解答】解：原式＝3 +2 ﹣ ＝ ． 故答案是： ． 8．计算：sin30°tan60°＝   ． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案． 【解答】解：sin30°tan60°＝ × ＝ ． 故答案为： ． 9．如果函数 y＝（m﹣1）x 2+x（m 是常数）是二次函数，那么 m 的取值范围是 m≠ 1 ． 【分析】依据二次函数的二次项系数不为零求解即可． 【解答】解：∵函数 y＝（m﹣1）x2+x（m 为常数）是二次函数， ∴m﹣1≠0，解得：m≠1， 故答案为：m≠1． 10．如果一个二次函数的图象在其对称轴左侧部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可 以是 y＝﹣x2+2（答案不唯一） ．（只需写一个即可） 【分析】二次函数的图象在其对称轴左侧部分是上升的可知该函数图象的开口向下，得 出符合条件的函数解析式即可． 【解答】解：∵二次函数的图象在其对称轴左侧部分是上升的， ∴a＜0， ∴符合条件的二次函数解析式可以为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）． 故答案为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）． 11．如果将抛物线 y＝﹣2x2 向右平移 3 个单位，那么所得到的新抛物线的对称轴是直线 x ＝3 ． 【分析】直接利用二次函数图象平移规律得出答案． 【解答】解：将抛物线 y＝﹣2x2 向右平移 3 个单位得到的解析式为：y＝﹣2（x﹣3）2， 故所得到的新抛物线的对称轴是直线：x＝3， 故答案为：x＝3． 12．如图，AD 与 BC 相交于点 O，如果 ，那么当 的值是   时，AB∥CD． 【分析】由 可得出 ＝ ，再利用平行线分线段成比例的推论可得出当 ＝ 时 AB∥CD． 【解答】解：∵ ， ∴ ＝ ＝ ． 若 ＝ ，则 AB∥CD， ∴当 ＝ 时，AB∥CD． 故答案为： ． 13．如图，已知 AB 是⊙O 的弦，C 是 的中点，联结 OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠ CAB 的度数是 35° ． 【分析】连接 OC 交 AB 于 E．想办法求出∠OAC 即可解决问题． 【解答】解：连接 OC 交 AB 于 E． ∵C 是 的中点， ∴OC⊥AB， ∴∠AEO＝90°， ∵∠BAO＝20°， ∴∠AOE＝70°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠C＝55°， ∴∠CAB＝∠OAC﹣∠OAB＝35°， 故答案为 35°． 14．联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是 1：2 ． 【分析】根据 D、E、F 分别是 AB、BC、AC 的中点，求证△DEF∽△ABC，然后利用相 似三角形周长比等于相似比，可得出答案． 【解答】解：如图， ∵D、E、F 分别是 AB、BC、AC 的中点， ∴DE＝ AC，DF＝ BC，EF＝ AB， ∴DE+DF+EF＝ AC+ BC+ AB， ∵△DEF∽△ABC， ∴所得到的△DEF 与△ABC 的周长之比是：1：2． 故答案为：1：2． 15．如果正 n 边形的内角是它中心角的两倍，那么边数 n 的值是 6 ． 【分析】根据正 n 边形的内角是它中心角的两倍，列出方程求解即可． 【解答】解：依题意有 ＝ ×2， 解得 n＝6． 故答案为：6． 16．如图，某水库大坝的横假面是梯形 ABCD，坝顶宽 DC 是 10 米，坝底宽 AB 是 90 米， 背水坡 AD 和迎水坡 BC 的坡度都为 1：2.5，那么这个水库大坝的坝高是 16 米． 【分析】直接利用坡度的定义表示出 AM，BN 的长，进而利用已知表示出 AB 的长，进 而得出答案． 【解答】解：如图所示：过点 D 作 DM⊥AB 于点 M，作 CN⊥AB 于点 N， 设 DM＝CN＝x， ∵背水坡 AD 和迎水坡 BC 的坡度都为 1：2.5， ∴AM＝BN＝2.5x， 故 AB＝AM+BN+MN＝5x+10＝90， 解得：x＝16， 即这个水库大坝的坝高是 16 米． 故答案为：16． 17．我们把边长是两条对角线长度的比例中项的菱形叫做“钻石菱形”．如果一个“钻石菱 形”的面积为 6，那么它的边长是 2  ． 【分析】由“钻石菱形”的面积可求对角线的乘积，再根据比例中项的定义可求“钻石 菱形”的边长． 【解答】解：由比例中项的定义可得，“钻石菱形”的边长＝ ＝2 ． 故答案为：2 ． 18．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，sinC＝ ，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到△ADE， 点 B、C 分别与点 D、E 对应，AD 与边 BC 交于点 F．如果 AE∥BC，那么 BF 的长是   ． 【分析】如图，过 A 作 AH⊥BC 于 H，得到∠AHB＝∠AHC＝90°，BH＝CH，根据三 角函数的定义得到 AH＝3，求得 CH＝BH＝ ＝4，根据旋转的性质得到∠BAF ＝∠CAE，根据平行线的性质得到∠CAE＝∠C，设 AF＝BF＝x，得到 FH＝4﹣x，根据 勾股定理即可得到结论． 【解答】解：如图，过 A 作 AH⊥BC 于 H， ∴∠AHB＝∠AHC＝90°，BH＝CH， ∵AB＝AC＝5，sinC＝ ＝ ， ∴AH＝3， ∴CH＝BH＝ ＝4， ∵将△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到△ADE， ∴∠BAF＝∠CAE， ∵AE∥BC， ∴∠CAE＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠BAF＝∠B， ∴AF＝BF， 设 AF＝BF＝x， ∴FH＝4﹣x， ∵AF2＝AH2+FH2， ∴x2＝32+（4﹣x）2， 解得：x＝ ， ∴BF＝ ， 故答案为： ， 三．解答题（共 7 小题） 19．已知抛物线 y＝x（x﹣2）+2． （1）用配方法把这个抛物线的表达式化成 y＝a（x+m）2+k 的形式，并写出它的顶点坐 标； （2）将抛物线 y＝x（x﹣2）+2 上下平移，使顶点移到 x 轴上，求新抛物线的表达式． 【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数的顶点坐标即可； （2）利用二次函数平移规律得出平移后解析式． 【解答】解：（1）y＝x（x﹣2）+2 ＝x2﹣2x+2 ＝（x﹣1）2+1， 它的顶点坐标为：（1，1）； （2）∵将抛物线 y＝x（x﹣2）+2 上下平移，使顶点移到 x 轴上， ∴图象向下平移 1 个单位得到：y＝（x﹣1）2． 20．如图，已知 AD 是△ABC 的中线，G 是重心． （1）设 ＝ ， ＝ ，用向量 、 表示 ； （2）如果 AB＝3，AC＝2，∠GAC＝∠GCA，求 BG 的长． 【分析】（1）根据已知条件得到 ＝ ，由 ＝ ，得到 ＝ + ，由于 G 是重心， 得到 ＝ ＝ （ + ）＝ + ，于是得到结论； （2）延长 BG 交 AC 于 H，根据等腰三角形的判定得到 GA＝GC，求得 AH＝ AC＝1， 求得 BH⊥AC，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：（1）∵AD 是△ABC 的中线， ＝ ， ∴ ＝ ， ∵ ＝ ， ∴ ＝ + ， ∵G 是重心， ∴ ＝ ＝ （ + ）＝ + ， ∴ ＝ × （ + ）═ + ； （2）延长 BG 交 AC 于 H， ∵∠GAC＝∠GCA， ∴GA＝GC， ∵G 是重心，AC＝2， ∴AH＝ AC＝1， ∴BH⊥AC， 在 Rt△ABH 中，∠AHB＝90°，AB＝3， ∴BH＝ ＝2 ， ∴BG＝ BH＝ ． 21．如图，已知 Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2 ，以 A 为圆心、AB 为半径画 圆，与边 BC 交于另一点 D． （1）求 BD 的长； （2）连接 AD，求∠DAC 的正弦值． 【分析】（1）如图连接 AD，作 AH⊥BD 于 H．利用面积法求出 AH，再利用勾股定理求 出 BH 即可解决问题； （2）作 DM⊥AC 于 M．利用面积法求出 DM 即可解决问题； 【解答】解：（1）如图连接 AD，作 AH⊥BD 于 H． ∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2 ， ∴AB＝ ＝ ， ∵ •AB•AC＝ •BC•AH， ∴AH＝ ＝2， ∴BH＝ ＝1， ∵AB＝AD，AH⊥BD， ∴BH＝HD＝1， ∴BD＝2． （2）作 DM⊥AC 于 M． ∵S△ACB＝S△ABD+S△ACD， ∴ × ×2 ＝ ×2×2+ ×2 ×DM， ∴DM＝ ， ∴sin∠DAC＝ ＝ ＝ ． 22．“滑块铰链”是一种用于连接窗扇和窗框，使窗户能够开启和关闭的连杆式活动链接装 置（如图 1）．图 2 是“滑块铰链”的平面示意图，滑轨 MN 安装在窗框上，悬臂 DE 安 装在窗扇上，支点 B、C、D 始终在一条直线上，已知托臂 AC＝20 厘米，托臂 BD＝40 厘米，支点 C，D 之间的距离是 10 厘米，张角∠CAB＝60°． （1）求支点 D 到滑轨 MN 的距离（精确到 1 厘米）； （2）将滑块 A 向左侧移动到 A′，（在移动过程中，托臂长度不变，即 AC＝A′C′，BC ＝BC′）当张角∠C′A'B＝45°时，求滑块 A 向左侧移动的距离（精确到 1 厘米）．（备 用数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45， ≈2.65） 【分析】（1）过 C 作 CG⊥AB 于 G，过 D 作 DH⊥AB 于 H，解直角三角形顶点 AG＝ AC ＝10，CG＝ AG＝10 ，根据相似三角形的性质得到 DH； （2）过 C′作 C′S⊥MN 于 S，解直角三角形得到 A′S＝C′S＝10 ，求得 A′B＝10 +10 ，根据线段的和差即可得到结论． 【解答】解：（1）过 C 作 CG⊥AB 于 G，过 D 作 DH⊥AB 于 H， ∵AC＝20，∠CAB＝60°， ∴AG＝ AC＝10，CG＝ AG＝10 ， ∵BC＝BD﹣CD＝30， ∵CG⊥AB，DH⊥AB， ∴CG∥DH， ∴△BCG∽△BDH， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴DH＝ ≈23（厘米）； ∴支点 D 到滑轨 MN 的距离为 23 厘米； （2）过 C′作 C′S⊥MN 于 S， ∵A′C′＝AC＝20，∠C′A′S＝45°， ∴A′S＝C′S＝10 ， ∴BS＝ ＝10 ， ∴A′B＝10 +10 ， ∵BG＝ ＝10 ， ∴AB＝10+10 ， ∴AA′＝A′B﹣AB≈6（厘米）， ∴滑块 A 向左侧移动的距离是 6 厘米． 23．已知：如图，在△ABC 中，点 D 在边 AC 上，BD 的垂直平分线交 CA 的延长线于点 E， 交 BD 于点 F，联结 BE，ED2＝EA•EC． （1）求证：∠EBA＝∠C； （2）如果 BD＝CD，求证：AB2＝AD•AC． 【分析】（1）欲证明∠EBA＝∠C，只要证明△BAE∽△CEB 即可； （2）欲证明 AB2＝AD•AC，只要证明△BAD∽△CAB 即可； 【解答】（1）证明：∵ED2＝EA•EC， ∴ ＝ ， ∵∠BEA＝∠CEB， ∴△BAE∽△CEB， ∴∠EBA＝∠C． （2）证明：∵EF 垂直平分线段 BD， ∴EB＝ED， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴∠C+∠DBC＝∠EBA+∠ABD， ∵∠EBA＝∠C， ∴∠DBC＝∠ABD， ∵DB＝DC， ∴∠C＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠C，∵∠BAD＝∠CAB， ∴△BAD∽△CAB， ∴ ＝ ， ∴AB2＝AD•AC． 24．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 与抛物线 y＝ax2+bx 交于点 A（6，0）和点 B （1，﹣5）． （1）求这条抛物线的表达式和直线 AB 的表达式； （2）如果点 C 在直线 AB 上，且∠BOC 的正切值是 ，求点 C 的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式； （2）先说明 OA＝OH＝6，则∠OAH＝45°，作辅助线，根据正切值证明∠BOC＝∠ OBE，作 OB 的垂直平分线交 AB 于 C，交 OB 于 F， 解法一：先根据中点坐标公式可得 F（ ，﹣ ），易得直线 OB 的解析式为：y＝﹣5x， 根据两直线垂直的关系可得直线 FC 的解析式为：y＝ x﹣ ，列方程 x﹣ ＝x﹣6， 解出可得 C 的坐标； 解法二：过 C 作 CD⊥x 轴于 D，连接 OC，设 C（m，m﹣6），根据 OC＝BC，列方程可 得结论． 【解答】解：（1）把点 A（6，0）和点 B（1，﹣5）代入抛物线 y＝ax2+bx 得： ，解得： ， ∴这条抛物线的表达式：y＝x2﹣6x， 设直线 AB 的解析式为：y＝kx+b， 把点 A（6，0）和点 B（1，﹣5）代入得： ， 解得： ， 则直线 AB 的解析式为：y＝x﹣6； （2）当 x＝0 时，y＝6，当 y＝0 时，x＝6， ∴OA＝OH＝6， ∵∠AOH＝90°， ∴∠OAH＝45°， 过 B 作 BG⊥x 轴于 G，则△ABG 是等腰直角三角形， ∴AB＝5 ， 过 O 作 OE⊥AB 于 E， S△AOH＝ AH•OE＝ OA•OH， 6 •OE＝6×6， OE＝3 ， ∴BE＝AB﹣AE＝5 ﹣3 ＝2 ， Rt△BOE 中，tan∠OBE＝ ＝ ＝ ， ∵∠BOC 的正切值是 ， ∴∠BOC＝∠OBE， 作 OB 的垂直平分线交 AB 于 C，交 OB 于 F， 解法一：∵B（1，﹣5）， ∴F（ ，﹣ ）， 易得直线 OB 的解析式为：y＝﹣5x， 设直线 FC 的解析式为：y＝ x+b， 把 F（ ，﹣ ）代入得：﹣ ＝ +b，b＝﹣ ， ∴直线 FC 的解析式为：y＝ x﹣ ， x﹣ ＝x﹣6， x＝ ， 当 x＝ 时，y＝ ﹣6＝﹣ ， ∴C（ ，﹣ ）； 解法二：过 C 作 CD⊥x 轴于 D，连接 OC， 设 C（m，m﹣6），则 AC＝ （6﹣m）， ∵OC＝BC， ∴m2+（m﹣6）2＝[5 ﹣ （6﹣m）]， m＝ ， ∴C（ ，﹣ ）． 25．如图，已知梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝4，AB＝2CD＝6，E 是边 BC 上一点，过点 D、E 分别作 BC、CD 的平行线交于点 F，联结 AF 并延长，与射线 DC 交 于点 G． （1）当点 G 与点 C 重合时，求 CE：BE 的值； （2）当点 G 在边 CD 上时，设 CE＝m，求△DFG 的面积；（用含 m 的代数式表示） （3）当△AFD∽△ADG 时，求∠DAG 的余弦值． 【分析】（1）由题意可得四边形 DCEF 是平行四边形，可得 CD＝EF，通过证明△CFE∽ △CAB，可得 ，可得 BE＝CE，则可求 CE：BE 的值； （2）延长 AG，BC 交为于点 M，过点 C 作 CN⊥AB 于点 N，交 EF 于点 H，由题意可得 四边形 ADCN 是矩形，可得 AD＝CN＝4，CD＝AN＝3，BN＝3，由平行线分线段成比例 可求 BE，ME，MC，CH，GC 的长，即可求 GD 的长，由三角求形面积公式可△DFG 的 面积； （3）由△AFD∽△ADG，可得∠AFD＝∠ADG＝90°，由余角的性质可得∠DAG＝∠B， 即可求∠DAG 的余弦值． 【解答】解：（1）如图， ∵DC∥EF，DF∥CE ∴四边形 DCEF 是平行四边形 ∴CD＝EF， ∵AB＝2CD＝6， ∴AB＝2EF， ∵EF∥CD，AB∥CD， ∴EF∥AB， ∴△CFE∽△CAB ∴ ∴BC＝2CE， ∴BE＝CE ∴EC：BE＝1：1＝1 （2）如图，延长 AG，BC 交为于点 M，过点 C 作 CN⊥AB 于点 N，交 EF 于点 H ∵AD⊥CD，CN⊥CD ∴AD∥CN，且 CD∥AB ∴四边形 ADCN 是平行四边形， 又∵∠DAB＝90° ∴四边形 ADCN 是矩形， ∴AD＝CN＝4，CD＝AN＝3， ∴BN＝AB﹣AN＝3， 在 Rt△BCN 中，BC＝ ＝5 ∴BE＝BC﹣CE＝5﹣m， ∵EF∥AB ∴ ， 即 ∴ME＝BE＝5﹣m， ∴MC＝ME﹣CE＝5﹣2m， ∵EF∥AB ∴ ＝ ∴HC＝ m， ∵CG∥EF ∴ 即 ∴GC＝ ∴DG＝CD﹣GC＝3﹣ ＝ ∴S△DFG＝ ×DG×CH＝ （3）过点 C 作 CN⊥AB 于点 N， ∵AB∥CD，∠DAB＝90°， ∴∠DAB＝∠ADG＝90°， 若△AFD∽△ADG， ∴∠AFD＝∠ADG＝90° ∴DF⊥AG 又∵DF∥BC ∴AG⊥BC ∴∠B+∠GAB＝90°，且∠DAG+∠GAB＝90° ∴∠B＝∠DAG ∴cos∠DAG＝cosB＝