数学（理）试题·第 1 页
绝密★启用前 试卷类型： A
珠海市实验中学-东莞市第六高级中学-河源高级中学
2020 届高考联盟第一次联考
理科数学试题
满分：150 分 考试时间：120 分钟
第 I 卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（共有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，四个选项中只有一个是正确的。）
1.已知全集 {1,2,3,4,5,6}U ,集合 {1,2,4}, {1,3,5}AB,则()UAB （ ）
A.{1} B.{3,5} C.{1,6} D.{1,3,5,6}
2．已知 2 2 4 3 , R,m i i i m i 为虚数单位，则 m 的值为（ ）
A．1 B． 1 C． 2 D． 2
3.向量 ,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量 ab与 c 共线,
则实数 （ ）
A. 2 B. 1 C.1 D. 2
4．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某
火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为 5 的正方形将其包含在内，
并向该正方形内随机投掷 200 个点，己知恰有 80 个点落在阴影部分，据此可估计
阴影部分的面积是( )
A．16
5
B． 32
5
C．10 D．18
5
5.函数 fx的定义域是 R ，且满足 0f x f x ，当 0x 时， 2 1
xfx x
，则 图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为
“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，
“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、 、
癸酉，甲戌、乙亥、丙子、 、癸未，甲申、乙酉、丙戌、 、癸巳， ，共得到 60 个组合，周而复始，
循环记录．2010 年是“干支纪年法”中的庚寅年，那么 2019 年是“干支纪年法”中的( )
A．己亥年 B．戊戌年 C．庚子年 D．辛丑年
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7.若 01ab ，则 ba ， ab ， logb a ， 1log
a
b 的大小关系为( )
A． 1log logba
b
a
a a b b B． 1log logab
b
a
a b a b
C． 1log logba
b
a
a b a b D． 1log logab
b
a
b a b a
8.已知一几何体的三视图如右图所示，正视图和侧视图是两个直角边分别为 2 和 1
的全等三角形，则这个四面体最长的棱长为（ ）
A. 5 B.3 C. 22 D. 32
9.已知 51()x ax x 的展开式中常数项为 40 ,则 a 的值为（ ）
A. 2 B. 2 C. 2 D. 4
10.已知函数 )0(1sin2)( xxf 在区间
23
， 上是增函数,且在区间 ，0 上存在唯一的 0x 使得
3)( 0 xf ,则 的取值不可能为（ ）
A. 2
3
B.
4
1 C.
4
3 D. 1
11．过双曲线 )0(12
2
2
2
bab
y
a
x 的右焦点 F 的直线交两渐近线于 E、Q 两点，O 为坐标原点，△OEQ 内切圆
的半径为
4
a ，且 0 EQOE ，则双曲线的离心率为（ ）
A．
2
5 B． 7 C．
2
7 D．
3
10
12.如图，在正方体 1111 DCBAABCD 中,平面垂直于对角线 1AC ,且平面截得正
方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为 S ,周长为l ,则（ ）
A.S 为定值,l 不为定值 B.S 不为定值,l 为定值
C.S 与l 均为定值 D.S 与l 均不为定值
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
二.填空题(共 20 分.本大题共 4 小题,每小题 5 分)
13.实数 ,xy满足
20
40
40
xy
x
xy
,则 -2z x y 的最小值是_____________.
14．为响应中共中央、国务院印发《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，高二（1）班 5 名学生自
发到 3 个农场参加劳动，确保每个农场至少有一人，则不同的分配方案有 种（用数字填写答案）
15．设点 21, FF 分别是椭圆 1716
22
yx 的左、右焦点，E 为椭圆上任一点，N 点的坐标为(5,1)，则 1EFEN
的最大值为________．
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16.设数列 na 的前 n 项和为 nS 满足： nn Snn
na
)1(
1 ， 1,2, , ,nn 则 2020S =__________.
三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答)
（一）必考题：共 60 分.
17.(本题满分 12 分)如图，点 A在△ BCD的外接圆上,且
5
3sin A ， A为锐角， 5 CDAD , 53BD
（1） 求 AB ；
（2） 求四边形 ABCD的面积.
18.（本小题满分 12 分）已知四棱锥 ABCDS ， SBSD ，在平行四边形 ABCD中，AD=CD, Q 为 SC 上的
点，过 AQ 的平面分别交 SB，SD 于点 E、F，且 AEQFBD 平面// ．
（1）证明： SCEF ；
（2）若 2,32 ABSCSA ，Q 为 SC 的中点，SA 与平面
所成角的正弦值为
2
3 ，求平面 SBD 与平面 AEQF 所成锐二面角的
余弦值．
19. (本题满分 12 分)已知抛物线 2:4C y x 的焦点为 F ，直线l 与抛物线C 交于 ,AB两点，O 是坐标原点.
（1）若直线 过点 且 =8AB ，求直线 的方程；
（2）已知点 2,0E ，若直线 不与坐标轴垂直，且 AEO BEO ，证明：直线 过定点.
20. (本题满分 12 分)
某工厂改造一废弃的流水线 ，为评估流水线 的性能，连续两天从流水线 生产零件上随机各抽取
件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：记抽取的零件直径为 .
第一天
直径/ 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计
件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100
第二天
直径/ 58 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计
件数 1 1 2 4 5 21 34 21 3 3 2 1 1 1 100
M 100
X
mm
C
A
D
B
S
Q
E
F
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经计算，第一天样本的平均值 ，标准差 ；第二天样本的平均值 ，标准差 .
（1）现以两天抽取的零件来评判流水线 的性能.
(i) 计算这两天抽取 200 件样本的平均值 和标准差 （精确到 0.01）；
(ii)现以频率值作为概率的估计值，根据以下不等式进行评判（ 表示相应事件的概率），
① ；② ；③
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为优；仅满足其中两个，则等级为良；若仅满足其中
一个，则等级为合格；若全部不满足，则等级为不合格，试判断流水线 的性能等级.
（2）将直径 在 范围内的零件认定为一等品，在 范围以外的零件认定为次品，
其余认定为合格品.现从 件样本除一等品外的零件中抽取 个，设 为抽到次品的件数，求 的分布列及
其期望．
附注：参考数据： , , ；
参考公式：标准差 .
21.(本题满分 12 分)已知函数 2( ) 2lnf x x ax， ( ) ( 1) 3 4xg x x e ax ， aR ．
（1）求 ()fx的单调区间；
（2）若 ()fx有最大值且最大值是－1，求证： )()( xgxf ．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. (本题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中,曲线C 的参数方程为 3 cos
sin
x
y
（ 为参数）,在以坐标原点O 为极点, x 轴的
正半轴为极轴的极坐标系中,点 A的极坐标为 2, 4
,直线l 的极坐标方程为 2sin( )42
.
（1）求直线 的直角坐标方程与曲线 的普通方程;
（2）若 B 是曲线 上的动点,G 为线段 AB 的中点.求点G 到直线 的距离的最大值.
23. (本题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲
已知函数 ()fx=| 2 | | 1|x a x, ()gx= 2x .
（1）当 =2a 时,求不等式 ＜1的解集;
（2）若 1,0x ,不等式 ≤ ()gx恒成立 ,求实数 a 的取值.
1 65 1 2.2 2 65 2 2
M
P
( ) 0.6826PX ( 2 2 ) 0.9544PX ( 3 3 ) 0.9974PX
M
X 2 , 2 3 , 3
200 2
4.42 2.102 44.2 6.648 442 21.024
2
1
1 ()
n
i
i
xxn
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