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2020 届湘赣皖·长郡十五校高三联考第一次考试
数学(文科)试卷
总分:150 分时量:120 分钟
得分:
第Ι卷
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.)
1.若 是虚数单位,复数 z 满足 ,则 z=( )
A.1 B.i C.-i D.1+2i
2. 若集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
3.若 a,b 是任意实数,且 a>b,则( )
A. B. C. D.
4.在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖
臑.如图,在鳖臑 A-BCD 中,AB⊥平面 BCD,且 BD⊥CD,AB=BD=CD,
则直线 AC 与平面 ABD 所成角的正切值是( )
A. B.
C. D.
5.某公司由三个部门组成,总职工人数是 2000 名,其中部门(一)有职工 800 人,部门(二)
的职工人数只有总职工人数的四分之一.现用分层抽样的方法在全公司抽取 60 名职工,则在
部门(三)中应抽取的职工人数是( )
i (1 1i z i− = +)
{ }1 2A x x= − < < { }2 4xB x= < A B =
∅ { }1 2x x− < < { }0 2x x< < { }0 4x x< <
1a
b
> a b> ( )lg 0a b− > 1 1
2 2
a b
( )3(2f x f x+ >)
1x < 1x ≥ 2 1x− < < 0 1x< <
( )4,+∞ ( )0,4 (4 2 ),8 (4 )4 2,
2 2
2 2 1x y
a b
− = ( )0, 0a b> > 1 ,( 2 0F − ) ( )2 2,0F
2 23AF F B=
1AF AB=
2
2 13
x y− =
2
2 12
x y− =
2 2
12 2
x y− =
2
2 13
yx − =第 3 页 共 8 页
选择题答题卡
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分
答 案
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必
须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横
线上.
13.函数 在 处的切线方程为 .
14.函数 的单调递增区间为 .
15. 设 是 数 列 的 前 n 项 和 , 已 知 , 且 点 在 直 线 上
,则 .
16.如图,长方体 ,中,AB=BC, ,点 F 为 的中点, 为直
线 与平面 EFC 的交点,则 .
( ) 0 ln( 2 19f x x x= + ) 1x =
( ) ( ) sin 3 cosf a cos x x x= + ,2 2x
π π ∈ −
nS { }na 1 2a = ( )1,n nS a + 1y x= +
( )n N ∗∈ 5S =
1 1 1 1ABCD A B C D− 1
3BE AB= 1 1A D O
1DB
1
DO
OB
=第 4 页 共 8 页
三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分 12 分)
某校100位学生第一次月考考试数学
成绩的频率分布直方图如图所示,其
中成绩分组区间是:
[50,70) , [70,90) , [90 , 110) ,
[110,130),[130,150].
(1)求图中 a 的值,并根据频率分
布直方图,估计这 100 名学生数学
成绩的中位数(中位数的结果精确
到 0.1);
(2)求这 100 名学生的平均成绩.
18.(本小题满分 12 分)第 5 页 共 8 页
已 知 正 数 数 列 中 , , 向 量 , ,
.
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 , ,为数列 的前 n 项和,求满足 的最小值.
19.(本小题满分 12 分)
如图,在四棱锥 S 一 ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,侧面 SBC 为等边
三角形,SD=2.
(1)求证:SD⊥BC;
(2)求点 B 到平面 ASD 的距离。
{ }na 1 1a = ( )1 3 ,1n na a a+= − ( )1 1, 3n n n nb a a a a+ ++ −=
a b⊥
{ }na
3log 1n nb a= − nT { }3 nb 112nT >第 6 页 共 8 页
20.(本小题满分 12 分)
在平面直角坐标系 中,已知圆 : ,A(2,0),线段 BC 的中点是坐标原
点 O,设直线 AB,AC 的斜率分别为 , ,且 .
(1)求 B 点的轨迹方程;
(2)设直线 AB,AC 分别交圆 于点 E、F,直线 EF、BC 的斜率分别为 、 ,已知直
线 EF 与 x 轴交于点 D( ,0)问:是否存在常数 ,使得 ?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 .
xOy O 2 2 4x y+ =
1k 2k 1 2
1
4k k = −
O EFk BCk
6
5
− λ BC EFk kλ= λ
( ) 2 sin f x x x= − 第 7 页 共 8 页
(1)当 时,求 的最小值;
(2)若 时, ,求实数 a 的取值范围.
请考生在第 22、23 题中任选一题作答,若多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4 一 4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 中,曲线 C 的参数方程为 ,(t 为参数).以坐标原点 为极点,x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程为 .
(1)求 C 和 的直角坐标方程;
(2)求直线 被曲线 C 所截的弦长.
0x > ( )f x
0[ ]x π∈ , ( ) 1(f x a x x cosx≤ − − )
xOy
24
4
x t
y t
=
=
O
l cos 3 sin 1 0ρ θ ρ θ− − =
l
l第 8 页 共 8 页
23.(本小题满分 10 分)选修 4 一 5:不等式选讲
已知 .
(1)当 a=1 时,求不等式 的解集 M;
(2)若 ,求证: .
( ) |1|f x x a x a
= + + −
6(f x ≥)
a M∈ ( ) 10
3f x ≥