2020届湘赣皖·长郡十五校高三联考第一次考试文科数学试卷(word版,含解析)
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2020届湘赣皖·长郡十五校高三联考第一次考试文科数学试卷(word版,含解析)

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资料简介
第 1 页 共 8 页 2020 届湘赣皖·长郡十五校高三联考第一次考试 数学(文科)试卷 总分:150 分时量:120 分钟 得分: 第Ι卷 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.若 是虚数单位,复数 z 满足 ,则 z=( ) A.1 B.i C.-i D.1+2i 2. 若集合 , ,则 ( ) A. B. C. D. 3.若 a,b 是任意实数,且 a>b,则( ) A. B. C. D. 4.在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖 臑.如图,在鳖臑 A-BCD 中,AB⊥平面 BCD,且 BD⊥CD,AB=BD=CD, 则直线 AC 与平面 ABD 所成角的正切值是( ) A. B. C. D. 5.某公司由三个部门组成,总职工人数是 2000 名,其中部门(一)有职工 800 人,部门(二) 的职工人数只有总职工人数的四分之一.现用分层抽样的方法在全公司抽取 60 名职工,则在 部门(三)中应抽取的职工人数是( ) i (1 1i z i− = +) { }1 2A x x= − < < { }2 4xB x= < A B = ∅ { }1 2x x− < < { }0 2x x< < { }0 4x x< < 1a b > a b> ( )lg 0a b− > 1 1 2 2 a b    ( )3(2f x f x+ >) 1x < 1x ≥ 2 1x− < < 0 1x< < ( )4,+∞ ( )0,4 (4 2 ),8 (4 )4 2, 2 2 2 2 1x y a b − = ( )0, 0a b> > 1 ,( 2 0F − ) ( )2 2,0F 2 23AF F B=  1AF AB=  2 2 13 x y− = 2 2 12 x y− = 2 2 12 2 x y− = 2 2 13 yx − =第 3 页 共 8 页 选择题答题卡 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 答 案 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必 须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上. 13.函数 在 处的切线方程为 . 14.函数 的单调递增区间为 . 15. 设 是 数 列 的 前 n 项 和 , 已 知 , 且 点 在 直 线 上 ,则 . 16.如图,长方体 ,中,AB=BC, ,点 F 为 的中点, 为直 线 与平面 EFC 的交点,则 . ( ) 0 ln( 2 19f x x x= + ) 1x = ( ) ( ) sin 3 cosf a cos x x x= + ,2 2x π π  ∈ −     nS { }na 1 2a = ( )1,n nS a + 1y x= + ( )n N ∗∈ 5S = 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 3BE AB= 1 1A D O 1DB 1 DO OB =第 4 页 共 8 页 三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 某校100位学生第一次月考考试数学 成绩的频率分布直方图如图所示,其 中成绩分组区间是: [50,70) , [70,90) , [90 , 110) , [110,130),[130,150]. (1)求图中 a 的值,并根据频率分 布直方图,估计这 100 名学生数学 成绩的中位数(中位数的结果精确 到 0.1); (2)求这 100 名学生的平均成绩. 18.(本小题满分 12 分)第 5 页 共 8 页 已 知 正 数 数 列 中 , , 向 量 , , . (1)求数列 的通项公式; (2)设 , ,为数列 的前 n 项和,求满足 的最小值. 19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S 一 ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°,侧面 SBC 为等边 三角形,SD=2. (1)求证:SD⊥BC; (2)求点 B 到平面 ASD 的距离。 { }na 1 1a = ( )1 3 ,1n na a a+= − ( )1 1, 3n n n nb a a a a+ ++ −= a b⊥ { }na 3log 1n nb a= − nT { }3 nb 112nT >第 6 页 共 8 页 20.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 中,已知圆 : ,A(2,0),线段 BC 的中点是坐标原 点 O,设直线 AB,AC 的斜率分别为 , ,且 . (1)求 B 点的轨迹方程; (2)设直线 AB,AC 分别交圆 于点 E、F,直线 EF、BC 的斜率分别为 、 ,已知直 线 EF 与 x 轴交于点 D( ,0)问:是否存在常数 ,使得 ?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 . xOy O 2 2 4x y+ = 1k 2k 1 2 1 4k k = − O EFk BCk 6 5 − λ BC EFk kλ=  λ ( ) 2 sin f x x x= − 第 7 页 共 8 页 (1)当 时,求 的最小值; (2)若 时, ,求实数 a 的取值范围. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答,若多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4 一 4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 中,曲线 C 的参数方程为 ,(t 为参数).以坐标原点 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程为 . (1)求 C 和 的直角坐标方程; (2)求直线 被曲线 C 所截的弦长. 0x > ( )f x 0[ ]x π∈ , ( ) 1(f x a x x cosx≤ − − ) xOy 24 4 x t y t  =  = O l cos 3 sin 1 0ρ θ ρ θ− − =  l l第 8 页 共 8 页 23.(本小题满分 10 分)选修 4 一 5:不等式选讲 已知 . (1)当 a=1 时,求不等式 的解集 M; (2)若 ,求证: . ( ) |1|f x x a x a = + + − 6(f x ≥) a M∈ ( ) 10 3f x ≥

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