河南省名校联盟2020届高三数学尖子生3月调研考试卷（含解析)

河南名校联盟 2020 届高三尖子生三月调研考试 理科数学卷 一、选择题 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2． （ ） A． B． C． D． 3．已知， ，则 是 成立（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 4． 的展开式中 的系数为（ ） A． B． C． D． 5．已知椭圆 的离心率与双曲线 的离心率的一个等比中项为 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 6．函数 在 上是减函数，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 1 22 x A x    = ( )( )52x y x y+ − 3 3x y 30 10 30− 10− ( )2 2 1 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 2 2 2 2 2: 1x yC a b − = 3 2 2C 1 4y x= ± 1 2y x= ± 7 4y x= ± 4 7 2y x= ± ( ) sin 3 cosf x x x= + [ ],2t t t 7,6 6 π π     7,6 12 π π     7,12 12 π π     ,6 π π    7．执行如图所示的程序框图，输出 的值为（ ） A． B． C． D． 8．一底面半径为 的圆柱形封闭容器内有一个半径为 的小球，，与一个半径为 的大球，则该容器容积最 小为（ ） A． B． C． D． 9．已知正项数列 的前 项和为 ，且 成等比数列，则 （ ） A． B． C． D． 10．已知点 是椭圆 上的两点，且线段 恰为圆 的一 条直径， 为椭圆 上与 不重合的一点，且直线 斜率之积为 ，则椭圆 的离心率为 （ ） A． B． C． D． 11．已知圆 与 轴切于点 ，与 轴正半轴交于点 ，且 ，设点 是圆 上与点 不重合的点，则 的取值范围是（ ） S 3 5 9 16 2 1 2 24π 20π ( )12 8 2 π+ 16 2π { }na n 1 1,n n n n S S S a−+ = 1 2 4, ,S S S 5 6 16...a a a+ + + = 2 4 12 12 ,M N ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > MN ( )2 2 2 0x y r r+ = > A C ,M N ,AM AN 1 3 − C 1 3 2 3 3 3 6 3 C x ( )1,0 y ,A B 2 3AB = P C ,A B PA PB⋅ A． B． C． D． 12 ． 已 知 函 数 的 图 象 与 的 图 象 在 有 个 交 点 ， 分 别 记 作 则 （ ） A． B． C． D． 三、填空题 13．已知正数 满足约束条件 则 的最大值为______. 14．已知数列 满足 ， ，则 ______. 15．在 中，内角 内角所对的边分别为 ，若 ，且 ， 则 的取值范围是______. 16．已知 则不等式 的解集为______. 三、解答题 17．已知数列 ， 满足 ， ， 且 是等差数列. （1）求 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 18．经十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了新个税法，新个税法规定：居民个人的综合所得，以 每一纳税年度的收人额减除费用六万元以及专项扣除、专项附加扣除和依法确定的其他扣除后的余额，为 应纳税所得额.某公司下属分公司有 名员工，把这 名员工 2020 年 1 月份的工资（把月工资额减去 元作为应纳税所得额）编成如图的茎叶图（单位：百元） [ ]1,3− 2 5,2 5 − +  3 2 5, 3 2 5 − − − +  [ ]2,6− ( ) 4 12 2xf x = −+ ( ) 2sing x xπ= [ ]8,10− k ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , ,..., ,k kx y x y x y ( ) 1 k i i i x y = + =∑ 9 10 19 20 ,x y 2 8, 3 2 12, x y x y + ≤  + ≤ 3 4x y+ { }na 1 1 2a = ( )1 2 4n nna n a+ = + 8a = ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 cos cos cosc C a B b A= + 3c = 2a b− ( ) 3 2 2019 2 5, 0, 4 , 0,x x x xf x x+  − − 0x R∈ ( )0,1m∈ ( )0 1 4 1 f xm m + >− a { }1 2 12 x A x x x    = < = > −      { }2 1log 0 22B x x x x  = < = < > a b> 0a b a b> ⇔ > ≥ 2 2log loga b> a b> ( )5x y− 3 2x y 2 3x y 2 5C 3 5C− ( )( )52x y x y+ − 3 3x y 2 3 5 52 10C C− = − 2 2 2 2 2 2 9 16 a b a b a a − +⋅ = 4 7 16 b a   =   4 7 2 b a = 2C 4 7 2y x= ±6．【答案】B 【解析】 的递减区间是 ，又 ， ，所以 ，所以 ，所以 ，故选 B. 7．【答案】D 【解析】第一次循环， ， ；第二次循环， ， ；第三次循环， ， ，结束 循环，故输出 的值为 .故选 D. 8．【答案】C 【解析】当容器容积最小时，两个球相外切，且分别与两个底面相切，小球与容器的侧面相比，此时容积 的高为 ，所以该容器容积最小为 ， 故选 C. 9．【答案】A 【解析】由 得 ，所以 为等差数列，且公差 ，所以 ， ，由 成等比数列，得 ， 所以 ， ， ，故选 A. 10．【答案】D 【解析】由题意知点 关于原点对称，设 ，则 ，设 ，由 ， 相减得 ，所以 ，所以 ，椭 圆 的离心率为 ，故选 D. 11．【答案】D 【解析】由题意，设圆 方程为 ，则 ， ，所以 ， 圆 方 程 为 ， 可 得 ， ， 设 则 ，故选 D. 12．【答案】C ( ) sin 3 cos 2sin 3f x x x x π = + = +   ( )72 , 26 2k k k Z π ππ π + + ∈   0t > 2t t π− < 0 t π< < [ ] 7,2 ,6 6t t π π ⊆    7 6 12t π π≤ ≤ 9S = 2n = 4S = 3n = 16S = 4n = S 16 ( ) ( )2 21 2 1 2 2 1 3 2 2+ + + − − = + ( ) ( )22 3 2 2 12 8 2π π× × + = + 1 1 1 1 n n n n n S S a S S− − + = = − ( )2 2 * 1 1 2,n nS S n n N−− = ≥ ∈ { }2 nS 1d = ( )2 2 1 1nS S n= + − 2 1 1nS S n= + − 1 2 4, ,S S S 2 2 2 1 1 13 1S S S⋅ + = + 2 1 1S = nS n= 5 6 16 16 4... 4 2 2a a a S S+ + + = − = − = ,M N ( ),M s t ( ),N s t− − ( )0 0,A x y 2 2 2 2 1s t a b + = 2 2 0 0 2 2 1x y a b + = 2 2 2 0 2 2 2 0 t y b s x a − = −− 2 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 0 AM AN t y t y t y bk k s x s x s x a − − − −⋅ = ⋅ = = −− − − − 2 2 1 3 b a = C 2 2 61 3 be a = − = C ( ) ( ) ( )2 2 21 0x y b r r− + − = > r b= ( )22 21 3 r+ = 2r = C ( ) ( )2 2 21 2 2x y− + − = ( )0,2 3A + ( )0,2 3B − ( ),P x y [ ]2 2 4 1 2 2,6PA PB x y y x⋅ = + − + = ∈ − 【解析】 ，由 是奇函数，可得 图象关于点 对称， 的图象也关于点 对称，函数 的图象与 的图象在 有 个交点，其中 个为 ，其余 对关于点 对称，所以 ， ，所以 ，故选 C. 13．【答案】 【解析】作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分），其中 ，设 ，则 ， 平 移 直 线 至 经 过 点 时 ， 直 线 的 纵 截 距 最 大 ， 所 以 . 14．【答案】 【解析】由 得 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ， . 15．【答案】 【解析】由 得 ， 因为 ，所以 ， ， 所以 ， 所以 ， ( ) 1 1 4 2 2 1 212 2 2 2 1 2 x x x x xf x − − − −= − = =+ + + 1 2 1 2 x xy −= + ( )f x ( )1,0 ( ) 2sing x xπ= ( )1,0 ( ) 4 12 2xf x = −+ ( ) 2sing x xπ= [ ]8,10− 19 1 ( )1,0 9 ( )1,0 1 19 k i i x = =∑ 1 0 k i i y = =∑ ( ) 1 19 k i i i x y = + =∑ 18 ( )2,3B 3 4z x y= + 3 4 4 zy x= − + 3 4y x= − B 3 4 4 zy x= − + max 3 4 6 12 18z x y= + = + = 2304 ( )1 2 4n nna n a+ = + ( )( ) ( )1 2 1 2 1 n na a n n n n + =+ + + ( )1 na n n     +  1 4 2 78 1 28 9 4 a = ×× 8 2304a = ( )3,2 3− 2 cos cos cosc C a B b A= + ( )2sin cos sin cos sin cos sin sinC C A B B A A B C= + = + = sin 0C ≠ 1cos 2C = 3C π= 2sin sin sin a b c A B C = = = 2 4sin 2sin 4sin 2sin 3sin 3 cos 2 3sin3 6a b A B A A A A A π π   − = − = − + = − = −      因 为 ， 所 以 ， ， ， 的 取 值 范 围 是 . 16．【答案】 【 解 析 】 由 题 意 可 得 在 上 是 增 函 数 ， 且 ， 所 以 或 . 17．【解析】（1）设等差数列 的公差为 ， 由 ， ，得 ，所以 ， 所以 ， . （2）因为 ， 所以 . 18．【解析】（1）月工资在 元以上的员工需缴纳个人所得税，共 人，这 人月工资的中位数为 万元， 所以年度应纳税所得额的中位数为 （百元）. （2）月工资超过 百元的员工年度应纳税超过 百元，有 人，其中女员工 人，所以 的取值依次为 . ， ， ， . 所以 的分布列为 0 1 2 3 3C π= 20 3A π< < 6 6 2A π π π− < − < 1 sin 12 6A π − < − ⇔ < −   2x > { }nb d 1 4 3a = 3 6b = 1 1 3 22b a= = ( )3 1 1 22d b b= − = ( )1 1 2nb b n d n= + = 2 2 2 4 1 4 12 2 n n na nn n = = −− 2 2 2 4 1 1 1 11 14 1 4 1 2 2 1 2 1n na n n n n  = = + = + − − − − +  21 1 1 1 1 1 2 21 ...2 3 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1n n n nS n nn n n n + = + − + − + + − = + = − + + +  5000 15 15 58 58 5 5 10 3 X 0,1,2,3 ( ) 3 7 3 10 70 24 Cp X C = = = ( ) 1 2 3 7 3 10 211 40 C Cp X C = = = ( ) 2 1 3 7 3 10 72 40 C Cp X C = = = ( ) 3 3 3 10 13 120 Cp X C = = = X X p 7 40 21 40 7 40 1 120. 19．【解析】（1）因为 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 . 因为 ，点 为 中点，所以 . 因为 ，所以 平面 . 因为 平面 ，所以平面 平面 . （2）以点 为坐标原点，直线 分别为 轴， 同，过点 与平面 垂直的直线为 轴，建立 空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的一个法向量 ，则 即 取 ，则 ， ，所以 ， 设平面 的一个法向量 ，则 即 取 ，则 ， ，所以 ， 设平面 与平面 所成锐二面角为 ， 7 21 7 1 90 1 2 340 40 40 120 10EX = × + × + × + × = 2CBA CBD π∠ = ∠ = BC ⊥ ABD AD ⊂ ABD BC AD⊥ AB BD= E AD BE AD⊥ BC BE B= AD ⊥ BCE AD ⊂ ACD ACD ⊥ BCE B ,BC BD x y B BCD z ( )0,0,0B ( )0, 1, 3A − ( )2,0,0C ( )0,2,0D 1 30, ,2 2E       ( )0,1,0F ( )2,0,0BC = 1 30, ,2 2BE  =      ( )2,1,0CF = − ( )0,2, 3AF = BCE ( )1 1 1, ,n x y z= 0, 0, n BC n BE  ⋅ = ⋅ =   1 1 1 2 0, 1 3 0,2 2 x y z = + = 1 1z = 1 0x = 1 3y = − ( )0, 3,1n = − ACF ( )2 2 2, ,m x y z= 0, 0, m AF m CF  ⋅ = ⋅ =   2 2 2 2 2 3 0, 2 0, y z x y  + =− + = 2 2z = 2 3 2x = − 2 3y = − 3 , 3,22m  = − −    BCE ACF θ则 . 所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值. . 20．【解析】（1）由抛物线 与圆 交于点 ，点 在圆 上， 可得 ，又 在抛物线 上， 解得 ，所以抛物线 的方程为 . （2）假设存在点 ，以点 为圆心的圆过点 ， 则 ，点 为线段 中点， 由题意知，直线 的斜率存在且大于 ， 设 的方程为 ，则 的方程为 ， 又圆 方程为 ， 由 得 ，所以得 ， 由 得 ，所以得 ， 因为点 为线段 中点， 所以 ，整理得 ， 符合条件的 不存在，所以满足条件的点 不存在. 21．【解析】（1）由 ， 得 ， 所以当 时 ， 是减函数； 当 时 ， 是增函数. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 30 3 3 1 22 5 31cos cos 3130 3 1 3 22 n mθ  × − + − × − + ×   = ⋅ = =  + − + − + − +    BCE ACF 5 31 31 C O ( )01,P y ( )01,P y O 0y P= ± ( )1, P± C 2p = C 2 4y x= A D , ,O A B OA OB⊥ D AB OA 0 OA ( )0y kx k= > OB 1y xk = − O 2 2 5x y+ = 2 2 , 5, y kx x y =  + = 2 5 1x k = + 2 2 5 5,1 1A kk k     + +  2 1 , 4 , y xk y x  = −  = 2 24x k= ( )24 , 4B k k− D AB 2 5 41k kk =+ 216 11 0k + = k A ( ) ( )lnf x x x a a= − − − ( ) ( )1 11 0x af x xx a x a − −′ = − = >− − ( ), 1x a a∈ + ( ) 0f x′ < ( )f x ( )1 ,x a∈ + +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x（2）由（1）知， ， 由 ，得 ，所以 . ①若 ，由 可得 在 上没有实数根； ②若 ，由 可知， 在 上有 个实数根 ； 当 时 在 上是减函数，在 上是增函数， 由 ， ， 可得 在 上有一个实根， 又 设 ，则 ， 所以 在 上是增函数，所以 ， 所以 ， ， 所以 在 上有 个实根， 综 上 可 得 ， 若 ， 在 上 没 有 实 数 根 ； 若 ， 在 上有 个实数根；若 时 在 上有 个实根. 22．【解析】（1）由点 在 延长线上，且 ， 可得 ，设 ，则 ， 由点 是曲线 上动点，可得 即 所以点 轨迹 的参数方程为 （ 为参数）. （2）因为曲线 的参数方程分别为 ( ) ( )1 1f x f a≥ + = a ae a e a−+ > + a ae e− < 0a > 0 1a< < ( ) 1f x ≥ ( )f x a= ,a ae a e a− + +  1a = 1 ,a aa e a e a− + ∈ + +  ( )f x a= ,a ae a e a− + +  1 1a + 1a > ( )f x , 1ae a a− + +  ( )1, aa e a+ + ( )1 1f a a+ = < ( ) ( )lna a a af e a e a e a a a e a a− − −+ = + − + − − = + > ( )f x a= , 1ae a a− + +  ( ) ( )lna a a af e a e a e a a a e a+ = + − + − − = − ( ) 2ag a e a− ( ) 2 0ag a e′ = − > ( )g a ( )1,+∞ ( ) ( )1 2 0g a g e> = − > 2 0ae a− > ae a a− > ( )f x a= ( 1, aa e a+ +  1 0 1a< < ( )f x a= ,a ae a e a− + +  1a = ( )f x a= 2,a ae a e a + +  1 1a > ( )f x a= ( ,a ae a e a− + +  2 Q OP 3PQ OP= 4OQ OP=  ( ),Q x y ,4 4 x yP     P 1C cos ,4 1 sin ,4 x y α α  =  = + 4cos , 4 4sin , x y α α =  = + Q 2C 4cos , 4 4sin , x y α α =  = + α 1 2,C C cos , 1 sin , x y α α =  = + 4cos , 4 4sin , x y α α =  = +消去参数 ，得曲线 的直角坐标方程分别为 ， ， 由 ， ，得曲线 的极坐标方程分别为 ， ， 所以 ， ， 所以 . 23．【解析】（1）当 时， 当 时，由 得 ，所以 ， 当 时，由 得 ，所以 ， 当 时，由 得 ，所以 ， 综上得 的解集为 . （2）因为 ， 当 时取等号， . 所以存在 ，对任意 恒有 ， 则 ， ，即 所以实数 的取值范围是 . α 1 2,C C 2 2 2 0x y y+ − = 2 2 8 0x y y+ − = 2 2 2x yρ = + sin yρ θ = 1 2,C C 2sinρ θ= 8sinρ θ= 2sin 33OA π= = 8sin 4 33OB π= = 3 3AB OB OA= − = 1a = ( ) 13 , ,2 12 1 1 2, 1 ,2 3 , 1, x x f x x x x x x x  ≥ = − + + = − + − < 3 2x > 2 3x > 11 2x− < < ( ) 2f x > 2 2x− + > 1 0x− < < 1x ≤ − ( ) 2f x > 3 2x− > 1x ≤ − ( ) 2f x > ( ) 2,0 ,3  −∞ +∞   ( ) ( )1 1 12 1 2 2 2f x x x a x x a x x a a = − + + ≥ − + + ≥ − − + = +   1 2x = ( )1 4 1 4 1 4 1 41 5 5 2 91 1 1 1 m m m mm mm m m m m m m m − − + = + − + = + + ≥ + ⋅ =   − − − −  0x R∈ ( )0,1m∈ ( )0 1 4 1 f xm m + >− 1 92a + < 19 92a− < + < 19 17 2 2a− < < a 19 17,2 2  −  