安徽省池州市2020届高三数学（理）上学期期末试卷（Word版附答案）

2019－2020 学年第一学期期末考试卷 高三理科数学 满分：150 分 考试时间：120 分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工 整、笔迹清晰。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试 题卷上的答题无效。 4.保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分。共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 A＝{(x，y)|x－2y＋l＝0}，B＝{(x，y)|x－y＝0}，则 A∩B＝ A.{x＝1，y＝1} B.{1，1} C.{(1，1)} D.Φ 2.已知复数 ，则 在复平面内对应点所在象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.如图所示，△ABC 中，AB＝2，AC＝2，∠BAC＝120°，半圆 O 的直径在边 BC 上，且与边 AB，AC 都相切，若在△ABC 内随机取－点，则此点取自阴影部分(半圆 O 内)的概率为 A. B. C. D. 4.将函数 y＝f(x)的图象向左平移 后得到曲线 C1，再将 C1 上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到曲线 C2，若 C2 的解析式为 y＝cosx，则 f(x)的解析式为 A.y＝sin4x B.y＝cos2x C.y＝sin2x D.y＝cos4x 5.函数 的定义域为 3 2 (1 ) iz i = − z 3 8 π 3 6 π 4 π 3 π 4 π 2( ) 1 4 ln(3 1)f x x x= − + −A.[ ，1) B.( ， ] C.[－ ， ) D.[－ ， ] 6.已知双曲线 C： 的两条渐近线均与圆 相切，则 双曲线 C 的离心率为 A. B.2 C.3 D.4 x－y＋2，0 7.已知实数 x，y 满足不等式 ，则 的最大值为 A. B. C. D. 8.如图所示，矩形 ABCD 的边 AB 靠在端 PQ 上，另外三边是由篱笆围成的。若该矩形的面积 为 4，则围成矩形 ABCD 所需要篱笆的 A.最小长度为 8 B.最小长度为 4 C.最大长度为 8 D.最大长度为 4 9.若 ，则 A. B. C. D. 10.设 a＝log63，b＝log105，c＝log147，则 A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 11.如图所示，在三棱锥 P－ABC 中，O 为 AB 的中点，PO⊥平面 ABC，∠APB＝90°，PA＝PB ＝2，下列说法中错误的是 1 2 1 3 1 2 1 2 1 4 1 2 1 2 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2 2( ) 4 bx a y− + = 3 2 0 2 5 0 1 x y x y y − + ≥  + − ≤  ≥ 3 yz x = + 3 5 4 5 3 4 3 2 2 2 3sin( )12 2 π α− = 2sin(2 )3 πα − = 1 2 1 2 − 3 2 3 2 −A.若 O 为△ABC 的外心，则 PC＝2 B.若△ABC 为等边三角形，则 AP⊥BC C.当∠ACB＝90°时，PC 与平面 PAB 所成角的范围为(0， ] D.当 PC＝4 时，M 为平面 PBC 内动点，满足 OM//平面 PAC，则点 M 在三角形 PBC 内的轨 迹长度为 2 12.已知双曲线 C： 的离心率为 ，过右焦点 F 的直线与两条渐近 线分别交于 A，B，且 ，则直线 AB 的斜率为 A.－ 或 B.－ 或 C.2 D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.等腰直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，CA＝CB＝ ，则 。 14.sin613°＋cos1063°＋tan30°的值为 。 15.数列{(25－2n)2n－1}的最大项所在的项数为 。 16.已知三棱锥 P－ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA＝BC＝5，PB＝AC＝ ，PC＝AB ＝2 ，则球 O 的表面积为 。 三、解答题：本题共 6 题，共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。 17.(10 分) 已知等比数列{an}各项均为正数，Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 a1＝16，S3＝28。 (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn。 18.(12 分) 如图所示，在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，已知 2bsinAcosB＋asinB＝ 0，a＝1，c＝2。 4 π 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 5 2 AB BF=  1 3 1 3 1 6 1 6 1 6 2 CA AB⋅ =  13 5 1 2 logn nb a=(1)求 b 和 sinC； (2)如图，设 D 为 AC 边上－点， ，求△ABD 的面积。 19.(12 分) 如图，三棱锥 D－ABC 中，AB＝AC＝2，BC＝2 ，DB＝DC＝3，E，F 分别为 DB，AB 的中点，且∠EFC＝90°。 (1)求证：平面 DAB⊥平面 ABC； (2)求二面角 D－CE－F 的余弦值。 20.(12 分) 高三年级某班 50 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为： [80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]，其中 a，b，c 成等差数列且 c＝2a。物理成绩统计如表。(说明：数学满分 150 分，物理满分 100 分) (1)根据领率分布直方图，请估计数学成绩的平均分； 3 7 BD CD = 3(2)根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数； (3)若数学成绩不低于 140 分的为“优”，物理成绩不低于 90 分的为“优”，已知本班中至少有 一个“优”同学总数为 6 人，从此 6 人中随机抽取 3 人，记 X 为抽到两个“优”的学生人教， 求 X 的分布列和期望值。 21.(12 分) 己知函数 f(x)＝sinx－x3，f'(x)为 f(x)的导函数。 (1)求 f(x)在 x＝0 处的切线方程； (2)求证：f'(x)在(－ ， )上有且仅有两个零点。 22.(12 分) 已知圆 M：(x＋2)2＋y2＝1，圆 N：(x－2)2＋y2＝49，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆 心 P 的轨迹为曲线 C。 (1)求曲线 C 的方程； (2)设不经过点 Q(0，2 )的直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，直线 QA 与直线 QB 的斜率 均存在且斜率之和为－2，证明：直线 l 过定点。 2 π 2 π 3