2020届四川省泸州市高三数学（文）第三次教学质量诊断性考试试题（解析版）

泸州市高 2017 级第三次教学质量诊断性考试 数学（文科） 一、选择题 1.设集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先化简集合 A，B，再求解 . 【详解】已知 ， ， 所以则 故选;D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题. 2.已知复数 满足 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 由复数的除法运算整理已知求得复数 z，进而求得其模. 【详解】因为 ，所以 故选：C 【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题. 3.若 ， 则“ ”是“ ”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B { }1 0A x x= − > { }2xB y y= = A B = [ )0,+∞ ( )0, ∞+ [ )1,+∞ ( )1,+∞ A B { } { }1 0 1A x x x x= − > = > { } { }2 0xB y y y y= = = > A B = { }1x x > z 1 1 iz = + z 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 11 1 1 2 2 ii z iz i i −= + ⇒ = = = −+ − 2 21 1 2 2 2 2z    = + − =       m n R∈ 0− =m n 1n m =【解析】 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义求解. 时， 不成立， ，则有 成立. 【详解】因为 ，所以 ，当 时，推不出 ，故不充分， 因为 ，所以 ，故必要. 故选：B 【点睛】本题主要考查充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，属于基础题. 4.等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则数列 的公差为（ ） A. -2 B. 2 C. 4 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】 在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得 ，再由等差数列通项公式求得公差. 【详解】在等差数列 的前 项和为 ，则 则 故选：B 【点睛】本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题. 5.双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析：根据离心率得 a,c 关系，进而得 a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解： 因为渐近线方程为 ，所以渐近线方程为 ，选 A. 0m n= = 1n m = 1n m = m n= 0− =m n m n= 0m n= = 1n m = 1n m = m n= { }na n nS 1 3a = 5 35S = { }na 3a { }na n nS ( )1 5 5 3 3 5 5 35 72 a aS a a += = = ⇒ = 3 1 2 3 2 7 2a a d d d= + = + = ⇒ = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 3 2y x= ± 3y x= ± 2 2y x= ± 3 2y x= ± 2 2 2 2 2 23, 1 3 1 2, 2,c b c a be ea a a a −= = ∴ = = − = − = ∴ = by xa = ± 2y x= ±点睛：已知双曲线方程 求渐近线方程： . 6.已知某高中的一次测验中，甲乙两个班的九科平均分的雷达图如图所示，则下列判断错误的是（ ） A. 甲班的政治、历史、地理平均分强于乙班 B. 甲班的物理、化学、生物平均分低于乙班 C. 学科平均分分差最小的是语文学科 D. 学科平均分分差最大的是英语学科 【答案】C 【解析】 【分析】 根据雷达图，比较离中心位置的距离即可. 【详解】A. 甲班的政治、历史、地理平均分都在乙班的雷达圈之外，故正确. B. 甲班的物理、化学、生物平均分都在乙班的雷达圈之内，故正确. C. 地理学科离中心距离差最大，故错误. D. 英语学科离中心距离差最大，故正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查样本估计总体雷达图的应用，读懂图的几何意义是关键，属于基础题. 7.已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，且公比为 2，则 与 的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 在等比数列中，由 即可表示之间的关系. 2 2 2 2 1( , 0)x y a ba b − = > 2 2 2 2 0x y by xa b a − = ⇒ = ± { }na n nS 1 1a = nS na 4 1n nS a= − 2 1n nS a= + 2 1n nS a= − 4 3n nS a= − 1 1 n n a aS q q − ⋅= −【详解】由题可知，等比数列 中 ，且公比为 2，故 故选：C 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题. 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 该几何体外部为一个圆柱，内部挖去一个长方体，分别求出圆柱的体积与长方体的体积，相减即为答案. 【详解】该几何体外部为一个圆柱，内部挖去一个长方体 由图可知，该圆柱的体积为 ，该长方体的体积为 所以该几何体的体积为 故选：A 【点睛】本题考查由三视图还原立体图形求体积，属于基础题. 9.将函数 的图像向左平移 个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称， 则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 { }na 1 1a = 1 1 2 2 11 1 2 n n nn a a q a aqS − ⋅ −= = = −− − 16 16π − 8 8π − 36 16π − 32 32π − 2 2 1 2 4 16V r hπ π π= = ⋅ ⋅ = 2 2 2 4 16V = × × = 1 2 16 16V V V π= − = − 22cos 12 8 xy π = + −   ( )0m m > m 3 π 4 π 2 π π由余弦的二倍角公式化简函数为 ，要想在括号内构造 变为正弦函数，至少需要向左平移 个单位长度，即为答案. 【详解】由题可知， 对其向左平移 个单位长度 后， ，其图像关于坐标原点对称 故 的最小值为 故选：B 【点睛】本题考查三角函数图象性质与平移变换，还考查了余弦的二倍角公式逆运用，属于简单题. 10.已知 是抛物线 的焦点，过 上一点 作其准线的垂线，垂足为 ，若 ， 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据抛物线的定义，结合平面几何知识求解. 【详解】如图所示： cos 4y x π = +   2 π 4 π 22cos 1 cos 2 cos2 8 2 8 4 x xy x π π π      = + − = + = +             4 π cos cos sin4 4 2y x x x π π π   = + + = + = −       m 4 π F 2: 4C y x= C M N 120NMF∠ = ° MF = 2 3 2 3 3 4 3 4 3 3因为点 在抛物线上，由抛物线的定义得： 又因为 所以 所以 所以 所以 故选：C 【点睛】本题主要考查抛物线的定义及平面几何知识，还考查了转化问题求解的能力，属于中档题. 11.已知函数 ，其中 表示不超过 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ） A. 的值域是 B. 是奇函数 C. 是周期函数 D. 是增函数 【答案】C 【解析】 【分析】 根据 表示不超过 的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进 而下结论. 【详解】由 表示不超过 的最大正整数，其函数图象为 选项 A，函数 ，故错误； 选项 B，函数 为非奇非偶函数，故错误； 选项 C，函数 是以 1 为周期的周期函数，故正确； M MN MF= 120NMF∠ = ° 30MNF NFM NFK∠ = ∠ = ∠ =  2 3t an 30 2 3MNK y= = × = 1 3Mx = 4 2 3M pMF x= + = ( ) [ ]f x x x= − [ ]x x ( )f x [ ]0,1 ( )f x ( )f x ( )f x [ ]x x [ ]x x ( ) [ )0,1f x ∈ ( )f x ( )f x选项 D，函数 在区间 上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故 错误. 故选：C 【点睛】本题考查对题干 的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题. 12.已知圆锥 的顶点和底面圆周均在球 的球面上，且该圆锥的高为 ，母线 ，点 在 上， 且 ，则过点 的平面被该球 截得的截面面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设球的球心为 O，半径为 R，根据圆锥的高为 ，母线 ，求得外接圆的半径 ，再取 的中点 ，利用点 在 上，且 求得 ，然后利用截面面性质，当截面面 积最小时，则 截面，即点 B 为截面圆的圆心求解. 【详解】如图所示： 设球的球心为 O，半径为 R， 则 ， 所以 ， 即 ， 解得 ，取 的中点 ，则 ， 所以 ， 设点 为截面圆周上一点， ( )f x [ ) [ ) [ )0,1 , 1,2 , 2,3  [ ]x 1SO O 8 12SA = B SA 3SB BA= B O 27π 36π 54π 81π 8 12SA = 9R= SA N B SA 3SB BA= 2 2 3 6OB ON BN= − = OB ⊥ 2 28, , 4 5SM OA R AM SA SM= = = − = 2 2 2OA OM AM= + ( ) ( )222 8 4 5R R= − + 9R= SA N 3BN = 2 2 3 5ON R AN= − = 2 2 3 6OB ON BN= − = C若截面面积最小，则 截面，此时截面圆半径为 ， 所以截面面积的最小值为 . 故选：A 【点睛】本题主要考查球的截面面积的求法以及截面的性质，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于 中档题. 二、填空题 13.已知向量 ， ，若 ，则 ______. 【答案】-1 【解析】 【分析】 利用平面向量垂直的坐标公式求解. 【详解】已知向量 ， ， 若 ，则 解得 故答案为：-1 【点睛】本题主要考查平面向量的垂直运算，要熟记公式，属于基础题. 14.已知实数 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 作出满足约束条件的可行域，将目标函数视为可行解 与 点的斜率，观察图形斜率最小在点 B 处， 联立 ，解得点 B 坐标，即可求得答案. 【详解】作出满足约束条件 的可行域，该目标函数 视为可行解 与 点 的斜率，故 OB ⊥ 2 2 3 3r BC R OB= = − = 2 27rπ π= ( )1,2a = ( )2,b k= a b⊥  k = ( )1,2a = ( )2,b k= a b⊥  1 2 2 0k× + × = 1k = − x y 3 3 1 2 x y y x x + ≥  ≤ −  ≤ yz x = 1 2 ( ),x y ( )0,0 3 2 x y x + =  = 3 3 1 2 x y y x x + ≥  ≤ −  ≤ 0 0 y yz x x −= = − ( ),x y ( )0,0 OB OAk z k≤ ≤由题可知，联立 得 ,联立 得 所以 ，故 所以 的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题. 15.设函数 ，则 ______. 【答案】9 【解析】 【分析】 根据分段函数的定义域，分别求解 ，再求和. 【详解】因为函数 ， 所以 ， 因为 ， 3 1 2 y x x = −  = ( )2,5A 3 2 x y x + =  = ( )2,1B 5 1,2 2OA OBk k= = 1 5 2 2z≤ ≤ z 1 2 1 2 ( ) ( )2 1 1 log 2 , 1 2 1x x xf x x−  + − N C A B 1 2y mx= + AB 1y x nm = − + 2 2 12 1 x y y x nm  + =  = − + y 2 2 2 1 1 2 1 02 nx x nm m  + − + − =   1y x nm = − + 2 2 12 x y+ = 2 2 42 2 0n m ∆ = − + + > AB 2 2 2 2 ,2 2 mn m nM m m    + +  1 2y mx= + m ( ) 1 2 = ⋅ ⋅S t AB d ( )1,0F ( )2 2: 1 8M x y+ + = N M 2 2= −NM NF 2 2NM NF MF+ = >所以点 的轨迹 是以 和 为焦点，长轴长为 的椭圆， 因为 ， ，所以 ， 所以点 的轨迹方程为： ； （2）由题意知 ，可设直线 的方程为 ， 由 消去 ，得 ， 因为直线 与椭圆 有两个不同的交点，所以 ，① 所以 中点 ，代入直线方程 ，解得 ，② 由①②解得 ，或 ， 令 ，则 ， 且 到直线 的距离为 ， 设 的面积为 ， 所以 ，当且仅当 时，等号成立， 所以 面积的最大值为 . 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系和面积最值问题，还考查了运算求解的能力， 属于中档题. 21.已知函数 N C ( )1,0M − ( )1,0F 2 2 2 2 2a = 1c = 1b = C 2 2 12 x y+ = 0m ≠ AB 1y x nm = − + 2 2 12 1 x y y x nm  + =  = − + y 2 2 2 1 1 2 1 02 nx x nm m  + − + − =   1y x nm = − + 2 2 12 x y+ = 2 2 42 2 0n m ∆ = − + + > AB 2 2 2 2 ,2 2 mn m nM m m    + +  1 2y mx= + 2 2 2 2m mn += − 6 3m < − 6 3m > 1 6 6,0 0,2 2t m    = ∈ −          4 2 2 2 32 2 21 1 2 t t AB t t − + + = + ⋅ + O AB 2 2 1 2 1 t d t + = + AOB ( )S t ( ) 2 21 1 1 22 22 2 2 2  = ⋅ ⋅ = − − + ≤  S t AB d t 2 1 2t = AOB 2 2 ( ) ( )2 xf x x e ax= − +（1）已知 是 的一个极值点，求曲线 在 处的切线方程 （2）讨论关于 的方程 只有一个实数根，求 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 或 【解析】 【分析】 （ 1 ） 先 根 据 是 的 一 个 极 值 点 ， 即 ， 解 得 ， 再 求 得 ， ，写出切线方程. （2）根据 ，将 只有一个实数根，转化为 只有一个实数根，令 ，转化为两函数图象交点问题求解. 【详解】（1）因为 ，则 因为 是 的一个极值点，所以 ，即 ， 所以 ，因为 ， ， 则直线方程为 ，即 ； （2）因为 ，所以 ， 所以 ，设 ，则 ， 所以 在 上是增函数，在 上是减函数，故 ， 所以 ，所以 ， 设 ，则 ， 所以 在 上是减函数， 上是增函数，所以 ， 所以当 时， ，函数 在 上是减函数， 2x = ( )f x ( )f x ( )( )0, 0f x ( ) lnf x a x= a ( )2 1 2 0e x y+ − + = a e= − 0a ≥ 2x = ( )f x ( )2 0f ′ = 2ea = ( )0 2f = ( ) 20 e 1f ′ = + ( ) lnf x a x= ( ) lnf x a x= ( )2 e ln −= − xxa x x ( ) ( )2 e ln −= − xxh x x x ( ) ( )2 exf x x ax= − + ( ) ( )1 exf x x a′ = − + 2x = ( )f x ( )2 0f ′ = ( ) 21 2 e 0a− + = 2ea = ( )0 2f = ( ) 20 e 1f ′ = + ( )2e2 1y x− = + ( )2 1 2 0e x y+ − + = ( ) lnf x a x= ( )2 e ln 0xx a x ax− + − = ( ) ( )2 e lnxx a x x− = − − ( ) ( )ln 0g x x x x= − > ( ) ( )1 1 0g x xx ′ = − > ( )g x ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) ( )1 1 0g x g< = − < ( ) ( )2 e ln xxa h x x x −= = − ( ) ( ) ( )2 21 e ln 1 ln xx x xxh x x x  − + − −  ′ = − ( ) 2 ln 1m x x xx = + − − ( ) ( )( )2 2 2 1 11 2 1m x x xx x x ′ = − − = − + ( )m x ( )0,2 ( )2,+∞ ( ) ( )2 2 ln 2 0m x m> = − > 0 1x< < ( ) 0h x′ < ( )h x ( )0,1当 时， ，函数 在 上是增函数， 因为 时， ， ， ， 所以，当 或 时，方程有 个实根. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数与函数的零点，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力， 属于难题. 22.在平面直角坐标系 中，已知点 ，曲线 ： （ 为参数）以原点为极点， 轴正半轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . （Ⅰ）判断点 与直线 的位置关系并说明理由； （Ⅱ）设直线与曲线 的两个交点分别为 ， ，求 的值. 【答案】（Ⅰ）点 在直线 上；见解析（Ⅱ） 【解析】 【分析】 （ Ⅰ ） 直 线 ： ， 即 ， 所 以 直 线 的 直 角 坐 标 方 程 为 ，因为 ，所以点 在直线 上； （Ⅱ）根据直线的参数方程中参数的几何意义可得. 【详解】（Ⅰ）直线 ： ，即 ， 所以直线 的直角坐标方程为 ， 因为 ， 所以点 在直线 上； （Ⅱ）直线 的参数方程为 （ 为参数）， 1x > ( ) 0h x′ > ( )h x ( )1,+∞ 0 1x< < ( ) 0h x < ( )1 eh = − ( )2 0h = a e= − 0a ≥ 1 xOy ( )0, 3P C 2 cos 2sin x y α α  = = α x l 3cos 6 2 πρ θ − =   P l C A B 1 1 PA PB + P l 1 1 14PA PB + = l 2 cos 36 πρ θ − =   3 cos sin 3ρ θ ρ θ+ = l 3 3x y+ = 3 0 3 3× + = P l l 2 cos 36 πρ θ − =   3 cos sin 3ρ θ ρ θ+ = l 3 3x y+ = 3 0 3 3× + = P l l 1 2 33 2 x t y t  = −  = + t曲线 的普通方程为 ， 将直线 的参数方程代入曲线 的普通方程得 ， 设两根为 ， ，所以 ， ， 故 与 异号， 所以 ， ， 所以 . 【点睛】本题考查在极坐标参数方程中方程互化，还考查了直线的参数方程中参数的几何意义，属于中档 题. 23.已知 ，函数 的最小值为 1． （1）证明： ． （2）若 恒成立，求实数 最大值． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 分析：（1）将 转化为分段函数，求函数的最小值 （2）分离参数，利用基本不等式证明即可． 详解：（Ⅰ）证明： ，显然 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 的最小值为 ，即 ． （Ⅱ）因 恒成立，所以 恒成立， 的 为 C 2 2 12 4 x y+ = l C 25 12 4 0t t+ − = 1t 2t 1 2 12 5t t+ = − 1 1 4 05t t⋅ = − < 1t 2t ( )2 1 2 1 2 1 2 4 144 5t t t t tA P tP B = − = + − =+ 1 2 1 2 4 5PA PB t t t t⋅ = ⋅ = − = 1 1 14PA PB PA PB PA PB ++ = =⋅ 0, 0a b> > ( ) 2f x x a x b= + + − 2 2a b+ = 2a b tab+ ≥ t 9 2 ( ) 2f x x a x b= + + − 2 ba−  ( )f x , 2 b −∞ −   ,2 b +∞   ( )f x 12 2 b bf a  = + =   2 2a b+ = 2a b tab+ ≥ 2a b tab + ≥当且仅当 时， 取得最小值 ， 所以 ，即实数 的最大值为 ． 点睛：本题主要考查含两个绝对值的函数的最值和不等式的应用，第二问恒成立问题分离参数，利用基本 不等式求解很关键，属于中档题． ( )2 1 2 1 1 2 1 2 2 92 5 +2 2 2 a b a ba bab b a b a b a +    ≥ + = + + = + ≥       2 3a b= = 2a b ab + 9 2 9 2t ≤ t 9 2