2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下学期期初数学考试试题（解析版）

鄞州中学 2019 一 2020 学年第二学期期初考试高三数学试卷 参考公式： 若事件 ， 互斥，则 若事件 ， 相互独立，则 若事件 在一次试验中发生的概率是 ，则 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 台体的体积公式 其中 ， 分别表示台体的上、下底面积， 表示台体的高 柱体的体积公式 其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高 锥体的体积公式 其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高 球的表面积公式 球的体积公式 其中 表示球的半径 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集 ，集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出集合 ，按照并集、补集定义，即可求解. 【详解】全集 ， ， ， . 故选:C. A B ( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = + A B ( ) ( ) ( )P AB P A P B= A p n A k ( ) ( ) ( )1 0,1,2, ,n kk k n nP k C p p k n−= − =  ( )1 1 2 2 1 3V S S S S h= + + 1S 2S h V Sh= S h 1 3V Sh= S h 24S Rπ= 34 3V Rπ= R { }2, 1,0,1,2,3U = − − { }| 2,A x x x N= ≤ ∈ { }1,2B = ( )UC A B = { }1,2 { }0,1,2 { }2, 1,3− − { }2, 1,0,3− − A { }2, 1,0,1,2,3U = − − { }| 2, {0,1,2}A x x x N∴ = ≤ ∈ = { }, {0,1,2 2, }1 A BB ∴ ==  ( ) { 2, 1,3}UC A B = − −【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 2.已知双曲线 的一条渐近线为 ，则离心率为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据双曲线中的 关系，可得 ，即可求出结论. 【详解】双曲线 的一条渐近线为 ， . 故选:A. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题. 3.已知实数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ） A. -4 B. -2 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 做出满足条件的可行域，根据图形求出 的最小值. 【详解】做出满足 的可行域，如下图所示， 根据图象，当目标函数 过 时， 取得最小值为 . 故答案为:A. ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 1 2y x= 5 2 5 5 2 5 3 , ,a b c 21 ( )be a = + ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 1 2y x= 21 1 5, 1 ( ) 12 4 2 b bea a ∴ = = + = + = x y 2 0 0 0 x y x y x + − ≤  − ≤  ≥ 2z x y= − 2z x y= − 2 0 0 0 x y x y x + − ≤  − ≤  ≥ 2z x y= − (0,2)A 4−【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合思想，求线性目标函数的最值，属于基 础题. 4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三视图的特征，在正方体中还原出直观图为三棱锥，如下图示，根据三棱锥与正方体关系，即可求解. 【详解】在正方体中可得三视图对应的三棱锥 的直观图， 其中 为 中点，正方体的棱长为 ， . 故选:B. 4 3 8 3 S ABC− S 1 1C D 2 21 1 42 23 2 3S ABCV − = × × × =【点睛】本题考查三视图求体积，在特殊的几何体中还原直观图是解题的关键，属于基础题. 5.已知等比数列 的前 项和为 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据 与 关系，结合充分必要条件的判定，即可求出结论. 【详解】设等比数列 公比为 ， 当 时， ， 当 时， ， ， 所以“ ”是“ ”的充要条件. 故选:C. 【点睛】本题考查充分必要条件的判定，涉及到等比数列的前 项公式，属于基础题. 6.已知 是定义在 上的奇函数，且 的图像关于直线 对称.若当 时， ， 则 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 { }na n nS 1 0a > 99 0S > 99S 1a { }na q 1q = 1 99 10 99 0a S a> ⇔ = > 1q ≠ 99 99 99 1 1 1, 01 1 q qS a q q − −= ⋅ >− − 1 990 0a S> ⇔ >∴ 1 0a > 99 0S > n ( )f x R ( )f x 2x = 0 2x< ≤ ( ) 1f x x= + ( ) ( )2019 2020f f+ =根据已知条件可得 是周期函数，且周期为 ，将自变量转化为 ，即可求出结论. 【详解】 是定义在 上的奇函数， 的图像关于直线 对称， ， ， 是周期为 的周期函数， . 故选:C. 【点睛】本题考查函数的周期性、函数的奇偶性和对称性，要掌握函数对称性的代数表达式，意在考查直 观想象、逻辑分析能力，属于中档题. 7.已知 ， 两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个，A 盒中有 个红球与 个 白球， 盒中有 个红球与 个白球（ ），若从 ， 盒中各取一个球， 表示所取的 2 个球中红球的个数，则当 取到最大值时， 的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】 可能值为 ，分别求出各可能值的概率，得到分布列，求出期望，进而得到方差关于 的函数，根据 函数特征求出最值即可. 【详解】 可能值为 ， ， ， ， 分布列为 ( )f x 8 [ 2,2]− ( )f x R ( )f x 2x = (4 ) ( ) ( )f x f x f x∴ + = − = − ( 8) ( 4) ( )f x f x f x∴ + = − + = ( )f x 8 ( ) ( )2019 2020 (3) (4) (1) (0) 2f f f f f f+ = + = + = A B m 10 m− B 10 m− m 0 10m< < A B ξ ( )D ξ m ξ 0,1,2 m ξ 0,1,2 10 (10 )( 0) 10 10 100 m m m mP ξ − −= = ⋅ = 2 210 10 (10 )( 1) 10 10 10 10 100 m m m m m mP ξ − − − += = ⋅ + ⋅ = 10 (10 )( 2) 10 10 100 m m m mP ξ − −= = ⋅ = ξ ξ 0 1 2， ，当且仅当 时，等号成立 故选:B. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望方差，利用基本不等式求最值，考查计算求解能力，属 于中档题. 8.在棱长为 2 的正方体 中，点 是正方体棱上的一点，若满足 的点 的 个数大于 6 个，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可得，点 是以 为焦距的椭圆，利用三角形两边之和大于第三边，以及点 的个数大于 6 个，短半轴长不小于 ，即可求出 的范围. 【详解】点 是正方体棱上的一点，满足 点 是以 为焦距的椭圆与正方体棱的交点， 正方体的棱长为 2，正方体面的对角线为 ， 点 的个数大于 6 个， 椭圆的半短轴长 ， 短半轴长 ， 由三角形两边之和大于第三边可得， 正方体棱上点到 之和最大值为 ， . P (10 ) 100 m m− 2 2(10 ) 100 m m− + (10 ) 100 m m− 2 2(10 ) (10 ) (10 )( ) 0 1 2 1100 100 100 m m m m m mE ξ − − + −= × + × + × = 2 2 2 2 2(10 ) (10 ) (10 )) (0 1) (1 1) (2 1)100 100 100(D m m m m m mξ − − + −= − × + − × + − × 2(10 ) 1 10 1( )50 50 2 2 m m m m− + −≤ × == 5m = 1 1 1 1ABCD A B C D− P 1PB PD m+ = P m ( )2 3,2 5 (2 3,2 5 ( )2 5,2 2 2+ )2 5,2 2 2 + P 2 2 3c = P 2 m P 1PB PD m+ = P 2 2 3c = 2 2 P ∴ 2b ≥  2 2 3, 3 2, 2 54 4 m mb m= − ∴ − ≥ ∴ ≥ 1,B D 2 2 2+当 时，满足条件的点 只有 6 点，不合题意， 的取值范围是 . 故选:D. 【点睛】本题考查满足条件的点的个数的求法，以及正方体的结构特征，注意椭圆性质的合理应用，意在 考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题. 9.已知函数 满足：对任意的实数 ， ，都有 成立，且 ，则 （ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 抽象函数求值，考虑用赋值法，令 ，求出 ，再令 得出 关系，利用 基本不等式求出 ，结合 ，求出 ，再用赋值法即可求出结论. 【详解】令 ， 令 ， ， ， ， ， ， . 故选:A. 【点睛】本题考查抽象函数求值，赋值法是解题的关键，利用基本不等式是突破口，考查直观想象、逻辑 推理能力，属于中档题. 10.已知数列 满足 ， ，则使得 最小的整数 是（ ） . 2 2 2m = + P m∴ )2 5,2 2 2 + ( )f x x y ( ) ( ) ( ) 4f x y f x f y xy+ = + + ( ) ( )2 2 64f f− ⋅ ≥ 2 3f   =   8 9 16 9 40 9 16 3 0x y= = (0)f 2,2 −== yx ( 2), (2)f f− ( ) ( )2 2f f− ⋅ ( ) ( )2 2 64f f− ⋅ ≥ (2)f 0, (0) 2 (0), (0) 0x y f f f= = = ∴ = 2, 2, (0) 0 ( 2) (2) 16x y f f f= − = = = − + − ( ) ( ) 4( 2) (2) 1 2 2 6 , ( 2) 0, (2) 06, f ff ff f∴ − + = >∴ − ⋅ ≥ − > ( 2) (2) 2 ( 2) (2), ( 2) (2) 64f f f f f f∴ − + ≥ − ⋅ − ⋅ ≤ ( 2) (2) 64, ( 2) (2) 8f f f f∴ − ⋅ = − = = 4 2 2 2 16( ) ( ) 2 ( )3 3 3 3 9f f f= + = + 2 4 2 4 32 2 48(2) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 83 3 3 3 9 3 9f f f f f= + = + + = + = 2 8( )3 9f∴ = { }na 1 1a = 2 1 2 1n n n na a a a+ = + + 2020a m− mA. 65 B. 64 C. 63 D. 62 【答案】B 【解析】 【分析】 根据递推公式，可得 ，求出 ，进而估算出整数 . 【详解】因为 ，故可得 ， ，当 时， ， 所以 ，所以 ， 另一方面 所以使得 最小的整数 是 64 故选:B. 【点睛】本题考查数列项的估值，注意累加法的应用，对数列通项放缩估值是解题的难点，意在考查逻辑 推理、数学计算能力，属于较难题. 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分. 11.设 为虚数单位，给定复数 ，则 的虚部为______；模为______. 【答案】 (1). (2). 【解析】 1 2 1 1 1 12 1n n a n a a a −  = − + + + +    2020a m 2 1 2 1n n n na a a a+ = + + 1 12n n n a a a+ = + + 1 1 0, 0na a= > ∴ > 2n ≥ ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1n n n n na a a a a a a a− − −= − + − + + − + 1 2 1 1 1 12 1 2 n n na a a −  = − + + + + >    2020 4040a > 2020 63.5a > ( )2 1 1 1 1 1 2n n n nn n aa a aa a n+ + += ⇒ − = < 2 2 2 2 2, 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n = < = − − ≥ + + − 2020 2 3 2 2020 2019( ) ( )a a a a a a= + − +…+ − 2 4038 2 64.5< + − < 2020a m− m i ( )21 2 iz i += − z 4 5 2 5 5分析】 根据复数的乘除法运算法则求出 ，即可得出结论. 【详解】 ， 所以 的虚部是 ，模长为 . 故答案为: ； . 【点睛】本题考查复数的代数运算、复数的模长，属于基础题. 12.二项式 的展开式中常数项等于______，有理项共有______项. 【答案】 (1). 15 (2). 4 【解析】 【分析】 (1)根据二项式定理的通项公式求解即可. (2)根据二项式定理的通项公式分析 的指数为整数的项的个数即可. 【详解】(1)根据二项式定理的通项公式 . 故取常数项时 .此时常数项为 . (2)当取有理项时, 整数.此时 .故共有 4 项. 故答案为：(1). 15 (2). 4 【点睛】本题主要考查了二项式定理的运用,属于中等题型. 13.已知直线 ： ，到当实数 变化时，原点 到直线 距离的最大值为 ______；平面内所有恒不在 上的点 所形成的图形面积为______. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 根据点到直线距离公式，求出原点 到直线 的距离 ，得到 关于 的函数，根据函数特征求出其最大 值；将直线 方程看成关于 的方程，由于平面内所有点 恒不在 上的，因此关于 的方程无实根， 【 z ( )21 2 (2 ) 2 4 2 (2 )(2 ) 5 5 i i iz ii i i + += = = − +− − + z 4 5 2 5 5 4 5 2 5 5 61x x  +   x 6 36 2 1 6 6 1 r rrr r rT C x C xx −− +  = ⋅ ⋅ = ⋅   6 3 0 22 r r − = ⇒ = 2 6 15C = 6 3 2 r− 0,2,4,6r = l ( )22 1 1 0mx m y m+ − − − = m O l l ( ),x y 2 1 2 + 4 π O l d d m l m ( ),x y l m由判别式 ，得出图形，即可求出面积. 【详解】依题意，原点 到直线 的距离为 ， 要距离最大值，则 ， ，当且仅当 ，等号成立， 所以原点 到直线 距离的最大值为 ； ， 平面内所有点 恒不在 上， 关于 的方程 无解， 显然 不是直线 的点 ， 即 和点 ， 为 所围成的图形，面积为 . 故答案为: ； . 【点睛】本题考查求点到直线距离、直线 一般式方程和圆的知识，转化为基本不等式求最值和关于 的 方程无实根是解决问题的关键，属于中档题. 14.在 中， ， ， ， 为线段 的中点，则 ______， ______. 【答案】 (1). 2 (2). 【解析】 【分析】 的 ∆ < 0 O l d 22 2 2 | 1| | 1| 14 (1 ) m md mm m + += = ++ − 0m > 2 1 1 2( 1) 2( 1) 2 ( 1) 21 md m m m m += =+ − + + + + −+ 1 2 1 22 2 2 +≤ = − 2 1m = − O l 2 1 2 + ( )22 1 1 0mx m y m+ − − − = ( ),x y l ∴ m 2 (1 2 ) 1 0ym m x y+ − − + = 1(0, )2 l 20, (1 2 ) 4 ( 1) 0y x y y∴ ≠ ∆ = − − − + < 2 21 1 1( ) ( ) , 02 2 4x y y− + − < ≠ 1(0, )2 ( , )x y 4 π 2 1 2 + 4 π m ABC∆ 2 3AB = 4AC = 13AD = D BC BC = ABCS∆ = 2 3根据向量的线性关系可得 ，结合向量的模长求出 ，进而求出 ，再由余弦定 理求出 和三角形面积. 【详解】 为线段 的中点， ， ， ， ， . 故答案为: ； . 【点睛】本题考查向量线性关系模长公式、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题. 15.已知抛物线 ： 和直线 ： ， 是直线上 一点，过点 做抛物线的两条切线，切 点分别为 ， ， 是抛物线上异于 ， 的任一点，抛物线在 处的切线与 ， 分别交于 ， ，则 外接圆面积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 设三个切点分别为 ，求出三条切线 方程，三条切线方程分别联立 求出 坐标，点 在直线 上，得到 关系，求出 ，进而求出 ，设三角 形 外接圆半径为 ，利用 ，求出 的解析式，根据其特征，求出最小值. 【详解】设三个切点分别为 ， 若在点 处的切线斜率存在， 设方程为 与 联立， 得， ， 1 ( )2AD AB AC= +   cos A sin A BC D BC 1 ( )2AD AB AC∴ = +   2 21 113 ( ) (12 16 16 3 cos )4 4AD AB AC A∴ = = + = + +   3 1cos ,sin2 2A A∴ = = 2 2 2 2 cos 28 24 4BC AB AC AB AC A= + − ⋅ ⋅ = − = 1 1 12, sin 2 3 4 2 32 2 2ABCBC S AB AC A∆∴ = = ⋅ = × × × = 2 2 3 E 2 4y x= l 4 0x y− + = P l P A B C A B C PA PB M N PMN∆ 25 8 π 2 2 2 ( , ), ( , ), ( , )4 4 4 a b cA a B b C c , ,PA PB MN , ,P M N P l ,a b | |,| |,| |PM PN MN PMNS∆ PMN R | || || | 4 PM PN MNR s = R 2 2 2 ( , ), ( , ), ( , )4 4 4 a b cA a B b C c A 2 ( )4 ay a k x− = − 2 4y x= 2 2 24 4 0, 16 4 ( 4 ) 0ky y a k a k a k a− − + = ∆ = − − + =即 ， 所以切线 方程为 ① 若在点 的切线斜率不存在，则 ， 切线方程为 满足①方程， 同理切线 的方程分别为 ， ，联立 方程， ，解得 ，即 同理 ， ， ， 设 外接圆半径为 ， ， ， 时取等号， 2 2 24 4 0,a k ak k a − + = ∴ = PA 2 2 02 ax ay− + = A (0,0)A 0x = ,PB MN 2 2 02 bx by− + = 2 2 02 cx cy− + = ,PA PB 2 2 2 02 2 02 ax ay bx by  − + =  − + = 4 2 abx a by  = + = ,4 2 ab a bP +     , , ,4 2 4 2 ac a c bc b cM N + +           ( ) ,4 2 a c b c bPM − − =     ( ) ( ), , ,4 2 4 2 b c a c a c b a b aPN MN − − − −   = =         PMN∆ R 2 2 24 4 4| | | | ,| | | | ,| | | |16 16 16 a b cPM b c PN a c MN a b + + += − = − = − 21 1| || | sin | || | 1 cos2 2PMNS PM PN MPN PM PN MPN∆ = ∠ = − ∠ 2 2 21 1| || | 1 ( ) (| || |) ( )2 2| || | PM PNPM PN PM PN PM PN PM PN ⋅= − = − ⋅         2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) [( 4)( 4) ( 4) ] 2 16 b c a c a b ab− − + + − += | || || | 1 | || || |16 2 2 a b b c a c MNPM PN R − − −= = 2 2 2| | | | | | 4 4 4 4 16 PM PN MN a b cR S ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ += = 2 24 4 , 08 a b c + ⋅ + =≥点 在直线 ， ， 当且仅当 或 时等号成立， 此时 外接圆面积最小为 . 故答案为: . 【点睛】本题以抛物线为背景，考查切线方程、向量模长夹角、面积公式、正弦定理、二次函数最值等基 础知识，综合性强、计算量大，意在考查直观想象、逻辑思维、数学计算能力，属于难题. 16.已知平面向量 ， 满足 ， ，则 的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 用坐标法表示向量坐标，设 ， ，即求 与 两点间距离的范围，根据已知等式求出 关系式，即可求解. 【详解】设 ，由 ， 得 整理得 ， 表示椭圆上的动点 到定点 （左焦点）的距离， 当 点位于椭圆长轴两端点取得最值，分别为 ， 所以 取值范围是 . 故答案为: . P 4 0, 4 , 84 2 2 ab a b abx y a b +− + = ∴ + = ∴ + = + 2 24 4 8 a bR + ⋅ + =∴ ≥ ( )2 2 2 24 16 8 a b a b+ + + 22 2 2 2 2( 6) 20024 256 16 8 8 aba b a b ab + ++ + + += = 200 5 2 8 4 ≥ = 1, 6, 0a b c= − = = 6, 1, 0a b c= = − = PMN∆ 25 8 π 25 8 π a b 1a = 4 2a b a b− ⋅ = −    a b+  [ ]1,3 (1,0), ( , )a b x y= =  2 2( 1)a b x y+ = + +  ( , )x y ( 1,0)− ,x y (1,0), ( , )a b x y= =  4 2a b a b− ⋅ = −    2 24 2 ( 1)x x y− = − + 2 2 14 3 x y+ = 2 2( 1)a b x y+ = + +  ( , )P x y ( 1,0)F − P 1,3 a b+  [1,3] [1,3]【点睛】本题考查向量的坐标表示、曲线轨迹方程、椭圆几何性质，解题的关键是向量坐标化，考查数形 结合思想，属于中档题. 17.已知 ， ，函数 （其中 表示对于 ，当 时表达式 的最大值），则 的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据 的定义，设 的最大值为 ，根据二次函数的性质，分类讨论求出 的最大值，求出 ，再求出其最小值. 【详解】设 ，对称轴方程为 ， 当 ， 在 单调递增， 当 ， 在 单调递减， ， 所以 的最小值为 . 故答案为: . 【点睛】本题以函数新定义为背景，考查二次函数的最值，注意理解题意，分清函数对应的自变量是解题 的关键，属于中档题. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知 ， ，令 . （1）求 的最小正周期及 的解集； ,m n R∈ m n< ( ) ( ) ( )2max m t n f x x t x R≤ ≤ = + ∈ max m t n≤ ≤ x∈R [ ],t m n∈ ( )2x t+ ( )f x 2 2 n m−     ( )f x 2( ) ( ) , [ , ]h t x t t m n= + ∈ ( )f x ( )h t ( )f x 2( ) ( ) , [ , ]h t x t t m n= + ∈ t x= − 2 max, , ( ) ( ) ( ) ( )2 2 m n m nx x f x h t h n x n + +− ≤ ≥ − = = = + , ( )2 m nn f x +− < − [ , )2 m n+− +∞ 2( ) ( ) ( )2 2 m n n mf x f + −≥ − = 2 max, , ( ) ( ) ( ) ( )2 2 m n m nx x f x h t h m x m + +− > < − = = = + , ( )2 m nm f x +− > − ( , )2 m n+−∞ − 2 2( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 m n m n n mf x f + − −> − = = ( )f x 2 2 n m−     2 2 n m−     ( )sin ,cosa x x= ( )sin 2cos ,sinb x x x= − ( )f x a b= ⋅  ( )f x ( ) 1 2f x =（2）锐角 中， ，边 ，求 周长最大值. 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】 分析】 （1）由向量的数量积公式，求出 ，用降幂公式、二倍角公式和辅助角公式化简 为正弦型函数， 即可求解； （2）依题意求 的最大值，由（1）求出角 ，利用正弦定理，将 用 表示，再把 转化为 角关系式，利用三角恒等变换，化为关于 的正弦型函数，即可求解. 【详解】（1） ， ∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ 的解集是 . （2） ，∴ ， ∴ ，∵ ， ∴ ， ∵锐角三角形且角 ， ∴ ，当 时， 最大为 ， ∴ 周长最大值为 . 【 ABC∆ 2 6 2 8 4 Af π − − =   3BC = ABC∆ T π= | ,2 8 kx x k Z ππ = − ∈   3 3 ( )f x ( )f x b c+ A b c+ ,B C ,B C B B ( ) 2sin 2sin cos sin cosa b x x xx x xf = ⋅ = − +  1 1 1cos2 sin 2 4 1 2 sin2 2 2 22 2 xx x π = − + =  − −  = T π= ( ) 1 2f x = sin 2 04x π + =   2 , , ,4 2 8 kx k k Z kx Z π ππ π+ = ∈ − ∈= ( ) 1 2f x = | ,2 8 kx x k Z ππ = − ∈   2 6 2 8 4 Af π − − =   3sin 2A = 0 2A π< > 1 2 P 1 2F PF∆ 3 3 E ( )0x m m a= < < E A B P AP BP 4x m = M N 4OM ON⋅ > 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1） 周长为定值 ，可得内切圆半径最大时 面积最大，而最大值为 ，结合离心率， 即可求解； （2）设 ， ， ，求出 方程，进而求出 坐标，求出 ， 结合 化简，即可证明结论. 【详解】（1）由题意知： ，∴ ， ，∴ . 设 的内切圆半径为 ，则 ， 故当 面积最大时， 最大， 即 点位于椭圆短轴顶点时 ， 所以 ，把 ， 代入， 解得： ， ， 所以椭圆方程为 . （2）设 ， ， ， 则 ， ， ，令 得 ， 2 2 14 3 x y+ = 1 2F PF∆ 2 2a c+ 1 2F PF∆ bc ( )0,A m y ( )0,B m y− ( )1 1,P x y ,AP BP ,M N OM ON⋅  2 2 22 0 1 11, 14 3 4 3 y x ym + = + = 1 2 c a = 2a c= 2 2 2b a c= − 3b c= 1 2PF F∆ r ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2PF FS PF PF F F r∆ = + + ⋅ ( ) ( )1 2 22 a c r a c r= + ⋅ = + ⋅ 1 2PF F∆ r P 3 3r = ( )3 3 a c bc+ = 2a c= 3b c= 2a = 3b = 2 2 14 3 x y+ = ( )0,A m y ( )0,B m y− ( )1 1,P x y 22 0 14 3 ym + = 2 2 1 1 14 3 x y+ = ( )* ( )1 0 0 1 y yy x m yx m −= − +− 4x m = ( ) ( )0 1 1 01 0 0 1 1 4 12 34 3M y y mx yy yy m yx m m x m m − +−  = − + = − − 从而 ， 同理 ， . 【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆方程的应用，考查计算求解能力，属于较难题. 22.已知函数 . （1）讨论函数 的单调性； （2）若 对任意的 恒成立，求 的取值范围； （3）证明： . 【答案】（1） 在 上单增；在 上单减；（2） ；（3）证明见解 析. 【解析】 【分析】 （1）求出 ，对 分类讨论，求出 的解，即可得出结论； （2）根据（1）的结论，只需 求解即可； ( ) ( )0 1 1 0 1 4 12 34 , 3 y y mx yM m x m m  − +   −  ( ) ( )0 1 1 0 1 4 12 34 , 3 y y mx yN m x m m  + −   −  ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 0 0 1 1 0 2 1 1 4 12 3 4 12 316 3 3 y y mx y y y mx yOM ON m x m m x m m − + + −⋅ = + − −   ( )( ) ( ) 22 2 2 0 1 1 0 22 2 1 16 12 316 9 y y mx y m x m m − − = + − ( )( ) ( )( ) ( ) 22 2 2 1 1 0 22 2 1 12 3 12 3 12 316 9 m x mx y m x m m − − − − = + − ( ) ( ) 2 2 2 1 1 0 22 2 1 4 216 m x mx y m x m m  − − + = + − ( ) ( ) 2 2 2 2 1 0 0 22 2 22 1 4 16 416 4 3m x y y m m m mx m m − − += − = = − 2 2 4 3 4m m += > ( ) ( )1 2f x x ax a a R= + + + ∈ ( )f x ( ) 0f x ≤ 1x ≥ − a 2021 2022 2023 2024 4068 26002020 2020 2020 2020 2020 + + + +⋅⋅⋅+ < ( )f x 2 11, 14a  − −   2 1 1,4a  − +∞   1, 2  −∞ −   ( )f x′ a ( ) 0, ( ) 0f x f x′ ′> < max( ) 0f x ≤（3）由（2）知，取 ，有不等式 ，取 ，得到 ，即可证明结论. 【详解】 . （1）当 时， ，所以 在 上单调递增； 当 时，由 解得 ， 所以 在 上单调递增；在 上单调递减. （2）当 时， ，故不合题意； 当 时，由（Ⅰ）知 ， ， 综上， 的取值范围为 . （3）由（2）知，取 ，有不等式 成立. 当 时， 得 ， 所以 . 【点睛】本题考查导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、不等式证明，考查分类讨论思想，意 1 2a = − 11 12x x+ ≤ + ( )1,2,3, ,20482020 kx k= =  11 12020 4040 k k+ ≤ × + ( ) 1' 2 1 f x a x = + + 0a ≥ ( )' 0f x ≥ ( )f x ( )1,− +∞ 0a < ( )' 0f x > 2 11 14x a − < < − ( )f x 2 11, 14a  − −   2 1 1,4a  − +∞   0a ≥ ( ) ( )1 2 0 0 0f x x a x= + + + ≥ + = 0a < ( )max 2 1 1 04xf f a  = − ≤   2 1 1 (2 1)(2 1)2 01 41 2 44 a af a aa a aa + −  = − + −  − + = ≤  10 2a a< ∴ ≤ − a 1, 2  −∞ −   1 2a = − 11 12x x+ ≤ + ( )1,2,3, ,20482020 kx k= =  2020 1 11 1 12020 2020 2 2020 4040 k k k k ++ = ≤ × + = × + 2021 2022 2023 2024 4068 2020 2020 2020 2020 2020 + + + +⋅⋅⋅+ ( )1 1 2 3 4 2048 20484040 + + + + + +<  2049 1024 2048 26004040 ×= +