四川省宜宾市叙州区第一中学校2020届高三下学期数学（文）第二次月考试题（含答案）

2020 年春四川省叙州区第一中学高三第二学月考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时 ，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1． 是虚数单位，若复数 满足 ，则复数 的实部与虚部的和是 A．0 B．1 C．2 D．3 2．设全集 ，集合 ，B={x| ≤1}，则 = A． B． C． D． 3．已知向量 ， ，若 ，则实数 A． B． C． D． 4．如图所示的是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，甲、乙两人这几场比赛得分 的平均数分别为 ， ，标准差分别为 ， ，则有 A． ， B． ， C． ， D． ， 5．若 ， ， ，则实数 ， ， 的大小关系为 A． B． C． D． 6．函数 在 上的图象大致为 A． B． i z 1zi i= − + z U R= { }1 3A x x= < < 2log x A B∩ ( ]1,2 ( )0,3 ( ]0,2 ( ]0,3 (1, 4)a = − (2, )b m= a b⊥  m = 2− 1 2 1 2 − 2 x甲 x乙 s甲 s乙 x x>甲 乙 s s> 乙甲 x x>甲 乙 s s< 乙甲 x x 乙甲 x x > a b c> > c a b> > b a c> > 2 2 sin( ) cos x xf x x x = + [ 2 ,2 ]π π−C． D． 7.若函数 的极小值为-1，则函数 的极大值为 A．3 B．-1 C． D．2 8．已知 是定义在 R 上的偶函数，且满足 ， 当 ，则 A．-1.5 B．-0.5 C．0.5 D．1.5 9．已知函数 ，则下列说法不正确的是 A．函数 的周期为 B．函数 的图像关于点 对称 C．将函数 的图像向右平行移动 个单位得到函数 的图像 D．函数 的图像关于直线 对称 10．已知点 在抛物线 上，点 在圆 上，则 的最小值为 A． B． C． D． 11．在三棱锥 中， , 是线段 上一 动点，线段 长度最小值为 ，则三棱锥 的外接球的表面积是 A． B． C． D． 12.已知圆 与函数 的图象有唯一交点，且交点的横坐标为 ，则 = A. B. 2 C. D. 3 第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 3( ) 3f x x x m= − + ( )f x 1 3 ( )f x ( 3) ( )f x f x+ = 0 1, ( ) 3x f x x≤ ≤ = (8.5)f = ( ) 2sin 2 3f x x π = +   ( )y f x= π ( )y f x= ,06 π −   ( )y f x= 6 π 2sin2y x= ( )y f x= 3x π= P 2y x= Q 2 21( ) ( 4) 12x y+ + − = | |PQ 3 5 12 − 3 3 12 − 2 3 1− 10 1− P ABC− PA ABC⊥ 平面 0120 , 2, 2,BAC AP AB M∠ = = = BC PM 3 P ABC− 9 2 π 40π 9 2π 18π 222 )1(: ryxC =−+ xy sin2= α α αα 2sin 22cos4 2 −− 2− 3−13．若 满足约束条件 ，则 的最大值为_____ _____. 14．设集合 ，且 ，则实数 的取值范围是 ． 15.直线 经过点 且与曲线 在 处的切线垂直，则直线 的方程为.__________． 16 ． 已 知 数 列 的 首 项 是 ， 前 项 和 为 ， 且 ， 设 ，若存在常数 ，使不等式 恒成立，则 的最小值为 ． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）28．2018 年 11 月 15 日，我市召开全市创建全国文明城市动员大会，会议向全市人民 发出动员令，吹响了集结号.为了了解哪些人更关注此活动，某机构随机抽取了年龄在 15～75 岁之 间的 100 人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，其分组区间为： ， ， ， ， ， .把年龄落在 和 内的人分别称为“青少年人” 和“中老年人”，经统计“青少年人”与“中老年人”的人数之比为 . （I）求图中 的值，若以每个小区间的中点值代替该区间的平均值，估计这 100 人 年龄的平均值 ； （II）若“青少年人”中有 15 人关注此活动，根据已知条件完成题中的 列联表，根据此统计结果， 问能否有 的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注此活动？ yx,    ≤ ≥+− ≥+ 3 03 0 x yx yx yxz −= 2 l ( )1,1 3 2y x x= − 1x = l { }na 1 1a = n nS 1 2 3 1( *)n nS S n n N+ = + + ∈ 2log ( 3)n nc a= + k 1 ( *)( 25) n n ck n Nn c −≥ ∈+ k [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) [15,35) [35,75) 2 :3 ,a b x 2 2× 99%附参考公式： ，其中 . 18．（12 分）已知向量 与 共线，其中 A 是△ABC 的内角． （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）若 BC=2，求△ABC 面积 的最大值，并判断 S 取得最大值时△ABC 的形状. 19．（12 分）如图，在四棱锥 中，棱 底面 ，且 ， ， ， 是 的中点． （I）求证： 平面 ； （II）求三棱锥 的体积． 20．（12 分）已知 和 是平面直角坐标系中两个定点，过动 点 的直线 和 的斜率分别为 ， ，且 . （Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程； （Ⅱ）过点 作相互垂直的两条直线与轨迹 交于 ， 两点 ，求证：直线 过定点. 21．已知函数 在点 处的切线方程为 ． （Ⅰ）求 ， 的值； （Ⅱ）设函数 （ ），求 在 上的单调区间； （III）证明： （ ）． 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + ( )1sin 2A= ，m ( )3 sin 3cosA A= +，n A S P ABCD− PA ⊥ ABCD AB BC⊥ AD BC∕ ∕ 2 2PA AB BC AD= = = = E PC DE ⊥ PBC A PDE− ( )0,0O ( )0,2K ( ),M x y MO MK 1k 2k 1 2 1 2k k⋅ = − ( ),M x y C K C A B AB ( ) bf x ax x = + (1, (1))f 2 2y x= − a b 2( ) ( ) ( 1)lng x mf x m x= − + m R∈ ( )g x (1, )+∞ 1 1 1 11 ln(2 1)3 5 2 1 2 2 1 nnn n + + +…+ > + +− + *n N∈（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 中，曲线 的方程为 .以坐标原点 为极点， 轴正半轴 为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线 的极坐标方程； （Ⅱ）直线 ，直线 ，若 ， 与曲线 分别交于异于极点的 ， 两点，求 的面积. 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）已知函数 . （Ⅰ）当 时，解不等式 ； （Ⅱ）若 ， ，求 的取值范围. xOy C ( ) ( )2 23 4 25x y− + − = O x C ( )1 : 6l R πθ ρ= ∈ ( )2 : 3l R πθ ρ= ∈ 1l 2l C A B AOB∆ ( ) 2f x x a x= − + + 0a = ( ) 4f x ≥ 0x R∃ ∈ ( )0 2f x < a2020 年春四川省叙州区第一中学高三第二学月考试 文科数学参考答案 1．C 2．A 3．B 4．C 5． B 6．D 7．A 8．D 9．D 10．A 11 ． D 12．B 13．9 14． 15. 16． 17．解：（1）依题意，青少年人，中老年人的频率分别为 ， ， 由 得 ， （2）由题意可知，“青少年人”共有 ，“中老年人”共有 人 完成 列联表如下： 关注 不关注 合计 青少年人 15 25 40 中老年人 35 25 60 合计 50 50 100 结合列联表 故没有 把握认为“中老年人”比青少年人“更加关注此活动. 18．解：（1）因为 m//n,所以 . 所以 ，即 ， 即 .　 因为 , 所以 . 故 ， . （2）由余弦定理，得 又 ， 而 ，（当且仅当 时等号成立） 2 0x y+ − = 1 36 2 5 3 5 2 310 10 0.030 10 10 0.015 20 0.0055 5a b+ × = + × + × =， 0.010a = 0.035b = 20 0.1 30 0.3 40 0.35x = × + × + × 50 0.15 60 0.05 70 0.05 39+ × + × + × = 2100 405 × = 100 40 60− = 2 2× ( )2 2 100 35 25 15 25 4.17 6.63550 50 60 40K × − ×= ≈    ( ) ( )( )' 2 1mx x mg x x − −= ( )g x ( )1,+∞ 0m ≤ ( )g x ( )1,+∞ 0 1m< < ( )g x 11, m      1 ,m  +∞   ( ) ( )1 1m g x= + ∞时， 的递增区间为 ， ( ) ( ) ( )1 1 , ,m g x m m> +∞时， 的递减区间为 ， 递增区间为 1m = ( ) ( )1g x + ∞在 ， 为增函数， ( ) ( )1 0g x g> = 1 2ln ( 1)x x xx − > > 2 1, *2 1 nx n Nn += ∈− 2 1 2 1 2 12ln2 1 2 1 2 1 n n n n n n + − +− >− + − 2 2 2 11 (1 ) 2ln2 1 2 1 2 1 n n n n ++ − − >− + − 1 1 2 1 1 1 1ln ( )2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 n n n n n +> + −− − − + ( )1 1 1 11 ln 2 13 5 2 1 2 2 1 nnn n + + +…+ > + +− + *n N∈  C ( ) ( )2 23 4 25x y− + − = 2 2 6 8 0x y x y+ − − = ∴ C 6cos 8sinρ θ θ= + 1 π, 6A ρ     2 π, 3B ρ     π 6 θ = 6cos 8sinρ θ θ= + 1 4 3 3OAρ = = + π4 3 3, 6A ∴ +   π 3 θ = 6cos 8sinρ θ θ= + 2 3 4 3OBρ = = + π3 4 3, 3B ∴ +   1 2 1 sin2AOBS AOBρ ρ∆∴ = ∠ ( )( )1 π π4 3 3 3 4 3 sin2 3 6  = + + −   25 312 4 = +23．解：（1）当 时，函数 .当 时， ，解得 ，当 时， 无解；当 时， ，解得 .所 以 的解集为 . （2）若 ， ，等价于不等式 解集非空，而 ，即 ，解得 ．所以 的取值范围是 ． 0a = ( ) 2f x x x= + + 2 2, 2 2 2 0 2 2 0 x x x x x − − ≤ − = − < 2 2 4x + ≥ 1x ≥ ( ) 4f x ≥ ] [( ),3 1,−∞ ∪ +∞ 0x R∃ ∈ ( )0 2f x < ( ) 2f x < ( ) 2f x x a x= − + + ≥ 2 2x x a a+ − + = + 2 2a + < 4 0a− < < a ( )4,0−