2019-2020 学年之江教育联盟第二次联考
一、选择题：每小题 4 分，共 40 分
1.已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接进行补集、并集的运算即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， .
故选：D.
【点睛】本题考查了列举法的定义，并集和补集的运算，考查了计算能力．
2.设函数 ，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
推导出 （4） ，从而 （4） ，由此能求出结果．
【详解】解：∵函数 ，
∴ ，
.
故选：C
【点睛】本题考查分段函数值的求法，考查函数性质和对数函数的运算等基础知识，考查运算求解能力．
3.若实数 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）
.
{ }1,0,1,2,3U = − { }0,1,2A = { }1,0,1B = − ( )U A B =
{ }1− { }0,1 { }1,2,3− { }1,0,1,3−
1 01 2 3{ }U＝﹣，，，， 2{ }01A＝ ，， 01{ }1B＝﹣，，
3{ }1A∪ ＝﹣， { }1 013A B∪ ∪（ ） ＝﹣，，，
( ) ( )
2
2
2 1, 1
log 1 , 1
x xf x
x x
− + ≥= − >
( ) 0ab a b− ＞ 1 2a b− −＝ ， ＝ 0a b＞ ＞
0a b＞ ＞ 0a b− ＞ ( ) 0ab a b− ＞
( ) 0ab a b− ＞ 0a b＞ ＞
2
sin 1xy xx
= + −C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由 （1） 直接可以得出结论．
【详解】解：当 时，函数值 ，符合要求的只有选项 D.
故选：D.
点睛】本题考查由函数解析式确定函数图象，特殊值法是常用方法之一．
7.设 ，随机变量 的分布列是：
0 1
则当 在 内增大时（ ）
A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用分布列求出数学期望，进一步求出方差的值，再根据函数的性质的应用求出结果．
【详解】根据随机变量的分布列 ，
则
＝
＝
【
f 0>
1x＝ 1 0y sin＝ ＞
0 2
3a< < X
X 1−
P a 2
3
− a 1
3
a 20 3
，
( )D X ( )D X ( )D X ( )D X
( ) ( ) 21 0 13( )E aX a− + × −× + ×＝ 1
3
1
3 a−＝
( )
2 21 1 21 03 3 3XD a a a a
− − − ⋅ + − − ⋅ − +
＝
21 11 3 3a
− − ×
2 5 2
3 9a a− + +
25 33
6 36a − − + 由于函数 的图象为关于 的开口方向向下的抛物线，且 ，函数的对称轴为 ，
故 增大.
故选：A.
【点睛】本题考查的知识要点：数学期望和方差的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能
力．
8.在正方体 中， 是底面 的中心， 是棱 上的点，且 ，记直
线 与直线 所成角为 ，直线 与平面 所成角为 ，二面角 的平面角为 ，
则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，推导出 ，
由此得到 ．
【详解】解：以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体 中棱长为 4，
则 ，
， ，
＝ ＝ ，
平面 的法向量 ，
∴ ＝ ，∴ ＝ ，
， ，
设平面 的法向量 ，
( )D X a 20 3a＜ ＜ 5
6a＝
( )D X
1 1 1 1ABCD A B C D− O 1111 DCBA E AB 1
4AE AB=
OE BC α OE ABCD β O AB C− − γ
α β γ< < β α γ< < β γ α< < γ β α< <
D DA x DC y 1DD z cos cos cosα γ β< <
β γ α< <
D DA x DC y 1DD z
1 1 1 1ABCD A B C D−
2 2 4 41 0 4 4( ) ( ) 0 0( 4 0 4 0 0) ( ) ( )O E B C A，，， ，，， ，，， ，，， ，，
OE 2( 4)1− −＝ ， ， (B )C 4 0 0−＝ ，，
| OE BC |
| OE | | BC |
cosα ⋅
⋅
＝ 8
21 4⋅
2
21
ABCD 01( )n 0＝ ，，
| OE n |
| OE | | n |
sinβ ⋅
⋅
＝ 4
21
241
21
cosβ −
＝ 5
21
(OB 2 2 4)−＝ ，， OA 2( 4)2− −＝ ， ，
OAB ( )m x y z＝ ， ，则 ，取 ，得 ，
＝ ，
∵ ，∴ .
故选：C.
【点睛】本题考查异面直线所成角、线面角、二面角的比较，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等
基础知识，考查运算求解能力．
9.若 表示不超过 的最大整数(如 ， ， )，已知 ， ，
，则 （ ）
A. 2 B. 5 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
求出 ， ， ， ， ， ，判断出 是一个以周期为 6 的周期数列，求出即可．
【详解】解： . ，
∴ ， ，
，
同理可得： ； ； . ；
， ，…….
2 2 4 0
2 2 4 0
m OA x y z
m OB x y z
⋅ = − − =
= = + − =
2x＝ 2 01( )m＝ ，，
| m n |
| m | | n |
cosγ ⋅
⋅
＝ 1
5
cos cos cosα γ β＜ ＜ β γ α＜ ＜
[ ]x x [ ]2.5 2= [ ]4 4= [ ]2.5 3− = − 2 107
n
na = × 1 1b a=
( )*
110 , 2n n nb a a n n−= − ∈ ≥N 2019b =
1b 2b 3b 4b 5b 6b { }nb
2 107
n
na = ×
*
1 1 1(10 2)n n nb a b a a n n−− ∈ ≥N＝ ， ＝ ，
1 1
20 27[ ]a b＝ ＝ ＝ 2
200[ 287 ]a ＝ ＝
2 28 10 2 8b − ×＝ ＝
3 3285 5a b＝ ， ＝ 4 42857 7a b＝ ， ＝ 5 528571 1a b＝ ， ＝ 6 6285714 4a b＝ ， ＝
7 2857142a ＝ 7 2b ＝∴ .
故 是一个以周期为 6 的周期数列，
则 .
故选：B.
【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用．
10.已知 ， 是以 为直径的圆 上的动点，且 ，则 的最大值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
建系，把 表示出来，结合辅助角公式及三角函数的有界性，即可求得最大值．
【详解】解：如图，以圆心 为原点，直径 所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系，
则 ，设 ，
∴ ，
∴
，
设 ，则 ，
即 的最大值是 2.
故选：A.
6n nb b+ ＝
{ }nb
2019 6 336 3 3 5b b b× +＝ ＝ ＝
C D AB O 4AB = AC BD⋅
4 5 4 3− 2 2 4 3 4−
AC BD
O AB x
( 2 0) (2 0)A B− ，， ， 1 1 2 2( ) (2 2 2 2 )C cos sin D cos sinθ θ θ θ， ， ，
( ) ( )1 1 2 2AC 2cos 2,2sin ,BD 2cos 2,2sinθ θ θ θ= + = −
( )1AC BD 2cos 2 (2cos , 2) 4sin ,sinθ θ θ θ⋅ = + − + ( ) ( )1 2 1 2 14 4 4 4 1cos cos sin sin cosθ θ θ θ θ+ + − +＝
( ) ( )2 2
1 1 14cos 4 16sin 4 cos 1θ θ θ+ + − +
( )1 14 2 cos 1 4 cos 1θ θ= + − +
1cos 1 , [0, 2]t tθ + = ∈
2
2 2AC BD 4t 4 2t 4 t 2 22
⋅ − + = − − +
AC BD⋅ 【点睛】本题考查平面向量及辅助角公式的综合运用，旨在考查学生的数形结合思想．
二、填空题：单空题每题 4 分，多空题每题 6 分
11.复数 ( 为虚数单位)，则 的虚部为___________， ___________.
【答案】 (1). (2). .
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，则 的虚部可求，再由复数模的计算公式求 ．
【详解】解：∵ ，
∴ 的虚部为 ，
.
故答案为： ， .
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念和复数模的求法．
12.已知直线 ， .若 ，则 的值为___________；若直线 与圆
交于 两点，则 ___________.
【答案】 (1). -1 (2). ..
【解析】
【分析】
由 列式求解 值；利用直线系方程求出直线 所过定点，化圆的方程为标准方程，求出
圆心坐标与半径，作出图象，再由垂径定理求 ．
【详解】解：直线 ，
若 ，则 ，解得 ；
直线 过定点 ，
i
i 1z = − i z z =
1
2
− 2
2
z | |z
1 ( 1 ) 1 1
1 ( 1 )( 1 ) 2 2
i iz ii i i
− −= = −− − − − +
＝
z 1
2
−
2 21 1 2
2 2 2z + = ＝
1
2
− 2
2
1 : 1l mx y− = 2 : 1 0l x my− − = 1 2l l// m 1l
2 22 24 0x x y+ + − = ,A B minAB =
2 23
1 2 2 1
1 2 2 1
0
0
A B A B
AC A C
− =
− ≠
m 1l
| |minAB
1 21 1 0l mx y l x my− − −： ＝， ： ＝
1 2l l//
2 1 0
1 0
m
m
− + =
− + ≠ 1m −＝
1 1l mx y−： ＝ 1(0 )G ，化圆 为 ，
可知圆心坐标为 ，半径为 5.
如图， ，
则 .
故答案为：-1； .
【点睛】本题考查直线的一般方程与直线平行的关系，考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解
题思想方法．
13.已知多项式 ，则 _________，
_________.
【答案】 (1). 4 (2). 16.
【解析】
【分析】
利用赋值法和换元法分别进行求解即可．利用赋值法和换元法分别进行求解即可．
【详解】解：令 ，得 ，
设 ，则 ，
则多项式等价为 ，
则 为一次项 的系数，则 ，
故答案为：4，16.
【点睛】本题主要考查二项式系数的求解，结合赋值法以及换元法进行转化求解即可．
14.在 中，内角 所对的边分别是 ，已知 ， ，
的面积为 ，则 的值为______， _______.
2 22 24 0x x y+ + − ＝ ( )2 21 25x y+ + ＝
( )1 0C − ，
2CG ＝
2 22 5 ( 2) 2 23minAB − =＝
2 23
( ) ( ) ( ) ( )2 5 4 33
1 21 1 1 1+ = − + − + − +x x x a x a x ( )4 51+ − +a x a 5a = 4a =
1x＝ 5 4a ＝
1t x −＝ 1x t +＝
( ) ( )3 2 5 4 3
1 2 4 51 2t t t a t a t a t a+ + + + +… +＝
4a t 1 1 2
4 2 31 2 2 4 12 16a C C× × + × +＝ ＝ ＝
ABC 、 、A B C 、 、a b c 1
4b c a− = 2sin 3sinB C= ABC
3 15
4
cos A a =【答案】 (1). (2). 4.
【解析】
【分析】
由条件利用正弦定理求得 ， ，再由余弦定理求得 的值，利用同角三角函
数基本关系式求得 的值，根据三角形的面积公式可求 ，进而可求 的值．
【详解】解：在 中，∵ ，
，
∴ ，
∴由①②可得 .
∴由余弦定理可得 ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
又∵ 的面积为 ＝ ，解得 ，③
∴由②③解得 ，可得 .
故答案为： ，4.
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想．
15.若实数 满足 ，且 ，则 的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据对数的运算性质可得 xy＝2，再根据基本不等式即可求
【详解】实数 x、y 满足 x＞y＞0，且 log2x+log2y＝1，则 xy＝2，
则 ，
1
4
−
2a c= 3
2
cb = 2 2 2
cos 2
b c aA bc
+ −=
sin A 6bc = a
ABC
1
4b c a− ＝ ①
2 3sinB sinC＝
2 3b c＝ ②
32 2
ca c b＝ ， ＝
2 2 2
2
b c acosA bc
+ −＝
2
2 29 44
3
c c c
c c
+ −
⋅
1
4
−
21 cossinA A−＝ 15
4
ABC
3 15
4
1
2 bcsinA＝ 15
8 bc 6bc＝
2c＝ a 4＝
1
4
−
,x y 0x y> > 2 2log log 1x y+ = 2 2
x y
x y
−
+
1
4
( ) ( )2 2 2 2
1 1 1
4( ) 2 ( ) 4 442
x y x y x y
x y x y xy x y x y x yx y x y
− − −= = = ≤ =+ − + − + − + −− −当且仅当 x﹣y ，即 x﹣y＝2 时取等号
故 的最大值为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查了对数的运算，其中对代数式进行变形与灵活配凑，是解
本题的关键，属于中等题．
16.已知双曲线 ： 的左右焦点分别为 ，过 的直线与 的两条渐近线分
别交于 两点，若 ， ，则 的离心率为___________.
【答案】 .
【解析】
【分析】
设出双曲线的渐近线方程，以及直线 的方程，联立方程组求得 ， 的坐标，结合向量共线的坐标表
示，以及向量垂直和直角三角形的性质，化简整理可得 ， 的关系，由离心率公式可得所求值．
【详解】解：设双曲线的渐近线方程为 ， 的方程为 ，
设 ，直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ， )，
联立 ，可得 ， )，
由 ，可得 )，
化为 ，①
，可得 ， ，
即 ，化为 ，②
由①②可得 ，
则 ＝ ＝ ＝ ，
4
x y
= −
2 2
x y
x y
−
+
1
4
1
4
C ( )2 2
2 2 1 0 0− = > >，x y a ba b 1 2F F、 1F C
A B、 13 2F A AB=
1 2 0FB F B⋅ = C
4
3
1F A A B
a b
bOA y xa
−： ＝ OB by xa
＝
1( )0F c− ， 1F A ( )y k x c+＝
by xa
＝ ( akcB b ak−
bkc
b ak−
by xa
＝- ( akcA b ak
− +
bkc
b ak+
13FA 2= AB bkc3 2(b ak
⋅ =+
bkc bkc
b ak b ak
−− +
3 7b ak＝
1 2FB F B 0⋅ ＝ 1 2F B F B⊥ 1 2
1| | |2 |OB F F c= =
2 2
2+akc bkc cb ak b ak
= − −
22ak b bk−＝
3 7b a＝
e a
c＝
2
21 b
a
+ 71 9
+ 4
3故答案为： .
【点睛】本题考查双曲线的离心率和渐近线方程的运用，还运用平面向量的数量积以及向量垂直的公式，
同时考查方程思想和化简运算能力．
17.已知函数 ，其中 ， ，记 为 的最小值，则当
时， 的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
分析】
求出 的导数，讨论当 时，当 时，判断函数 的单调性，可得 的最小值，解方程可得
的范围．
【详解】解：函数 ，
导数 ，
当 时， ， 在 递增，可得 取得最小值，
且为 ，由题意可得 方程有解；
当 时，由 ，可得 (负的舍去)，
当 时， ， 在 递增，可得 最小值，
且有 ，方程有解；
当 时， 在 递减，在 递增，
【
为
4
3
( ) [ )2 ,bf x x a x ax
= + + ∈ +∞， 0a > b R∈ ( ),m a b ( )f x
( ), 4M a b = b
( )2−∞，
( )f x 0b 0b > ( )f x ( )f x
b
( ) [2 )bf x x a x ax
+ + ∈ + ∞＝ ， ，
( ) 2
21 bf x x
′ −＝
0b ≤ ( ) 0f x′ ＞ ( )f x [ )x a∈ + ∞， ( )f a
22 ba a
+ 22 4 0 0ba a ba
+ ≤＝ ， ＞ ，
0b＞ ( ) 2
21 0bf x x
′ −＝ ＝ 2x b＝
2a b≥ ( ) 0f x′ ＞ ( )f x [ )x a∈ + ∞， ( )f a
22 4 0 0ba a ba
+ ＝ ， ＞ ， ＞
2a b＜ ( )f x [ 2 )a b， ( 2 )b + ∞，可得 为最小值，且有 ，即 ，解得 .
综上可得 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用导数判断单调性，考查分类讨论思想方法，有解运算能
力．
三、解答题：5 小题，共 74 分
18.已知函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）当 时，求 的最大值和最小值.
【答案】（1） （2）最大值为 1，最小值为
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为 的形式，再利周期公式求函数的最小正
周期．
（2）当 ， 时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即求出 的最大值和最
小值．
【详解】解：已知函数 .
，
＝
＝
( )2f b 2 2 4a b+ ＝ 4 2 2 0a b−＝ ＞ 0 2b＜ ＜
b ( )2−∞，
( )2−∞，
( ) 4 4 3sin cos sin 2 cos22f x x x x x= + −
( )f x
0, 4x
π ∈
( )f x
2
π 1
4
sin( )y A xω= + ∅
[0x∈ ]4
π ( )f x
4 4 3( ) sin cos sin 2 cos22f x x x x x= + −
( )22 2 2 2 3sin cos 2sin cos sin 44x x x x x= + − −
211 22 sin x− −＝ 3 sin 44 x
1 1 1 31 cos4 sin 42 2 2 4x x − − −
1 3 3cos4 sin 44 4 4x x− +＝ ，
（1） 的最小正周期为 .
（2）当 时，
， ，
，
当 时，即 时， 取得最大值 1，
当 时，即 时， 取得最小值为 .
【点睛】本题考查三角函数的恒等变换和三角函数的性质，其中涉及到三角函数的周期和最值．
19.如图，空间四边形 中， 是正三角形， 是直角三角形，点 、 分别是 、
的中点，且 ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题给的等量关系，构造全等三角形，得出新的等量关系，即可根据相应图形的辅助线，构造出线
面垂直；
（2）根据线面角的定义，明确需要求的距离，将线面角的问题转化为求距离的问题，即可使用等体积法，
求出所要求的线面角．
为
1 3sin 42 6 4x
π − − +
( )f x 2
4 2T
π π=＝
[0 ]4x
π∈ ，
[4 6 6x
π π− ∈ − 5 ]6
π
( ) 14 16 [ 2 ]sin x
π− ∈ − ， 1 3sin 42 6 4x
π − − + 1[1
4 ]∈ ，
4 6x
π−
6
π−＝ 0x＝ ( )f x
4 6 2x
π π− =
12x
π＝ ( )f x 1
4
ABCD ABC ACD E F BD AC
ABD CBD∠ = ∠ AB BD=
BF ⊥ ACD
AE BCD
42
7【详解】解：（1）因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
连接 ，正 ，不妨设边长为 ，
又因为 ，所以 ，
，
平面 .
（2）不妨设 ，在 中 ，
在 中，
，可得 ，
在 中， ， ， ，
由 中可得，点 到平面 距离为 ，
.
【点睛】（1）本题考查线面垂直，考查等量关系的运用，全等三角形或等边三角形．
（2）本题考查线面角，考查线面角的定义，考查等体积法求距离．
20.已知数列 满足 ， ，正项数列 满足 ，且 是公比为 3 的等比数
列.
（1）求 及 的通项公式；
（2）设 为 的前 项和，若 恒成立，求正整数 的最小值 .
ABD CBD AB CB BD BD∠ ∠＝ ， ＝ ， ＝ ABD CBD≌△ △
AD CD＝ 90ADC∠ °＝
DF ABC 2 , 2 , , 3a AD CD a DF a BF a= = = =
AB BD＝ 2 2 2DF BF BD BF DF+ ⊥＝ ，
BF AC DF AC F⊥ ∩， ＝
BF ⊥ ACD
AE x＝ ABD△
2 2 24 2 4cos ADB
2 2 2
a a a
a a
+ −∠ =
⋅ ⋅
ADE
2 2 22cos ADE cos
2 2
a a x ADB
a a
+ −∠ = = ∠
2x a AE= =
CBD 27
2CBDS a= 27
4CEDS a= 2
ACDS a=
A CED E ACDV V− −＝ A CBD 2 21h 7
a=
42sin 7
h
AE
θ = =
{ }na 1 1a = 2 3a = { }nb ( )1 Νn
n
n
b a na
∗
+= ∈ { }nb
53 4 6, , ,a a a a { }na
nS { }na n 2019nS > n 0n【答案】（1） ； （2）
【解析】
【分析】
（1）求得 ，运用等比数列的通项公式可得 ，奇数可得所求值．
（2）讨论 为偶数和奇数，运用数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，以及不等式的解法可得最小
正整数 ．
【详解】解：（1）正项数列 满足 ，且 是公比 为 3 的等比数列，
可得 ，则 ，
，可得 ，
当 时， 又 ，
相除可得 ，即数列 的奇数项、偶数项均为公比为 3 的等比数列，
可得 .
（2）当 为偶数时，
，
由 ，解得 ，
当 为奇数， ，
由 ，解得 ，
4 53 63, 9, 9, 27a aa a= = = =
1
2
2
3 ,
3 ,
n
n n
na
n
−
=
为奇数
为偶数
0 13n ＝
1b nb
n
0n
{ }nb ( )*
1
n
n
n
b a n Na += ∈ { }nb q
1 1 2 3b a a＝ ＝ 3n
nb ＝
1 3n
n na a + ＝ 43
5
5 6
9 27 81 33, 9, 9, 273 3 9 9a a a a= = = = = = = =
2n ≥ 1
1 3n
n na a −
− ＝ ， 1 3n
n na a + ＝
1
1
3n
n
a
a
+
−
＝ { }na
1
2
2
3 ,
3 ,
n
n n
na
n
−
=
为奇数
为偶数
n 1 3 1 2 4( ) ( )n n nS a a a a a a−+ +…+ + + +…+＝
2
2 2
2 2
3 1 3
1 31 3 3 3 9 3 1 3 1 3
n
n
n n−
− − = + + + + + + + = + − −
2 2 21 33 1 3 1 2 3 22 2
n n n = − + − = ⋅ −
22 3 2 2019
n
⋅ − > 14n
n 1 1 1
2 2 2
1 2 3 2 3 3 2
n n n
n n nS S a
− − +
−= + = × − + = −
+1
23 3 2 2019
n
⋅ − > 13n综上可得 .
【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，分类讨论思想，
化简运算能力．
21.在平面直角坐标系 中，原点为 ，抛物线 的方程为 ，线段 是抛物线 的一条动弦.
（1）求抛物线 的准线方程和焦点坐标 ；
（2）当 时，设圆 ： ，若存在两条动弦 ，满足直线 与圆 相
切，求半径 的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用抛物线 的方程为 ，可求抛物线 的准线方程和焦点坐标 ；
（2）设直线 方程为 ，代入抛物线方程，写出伟大定理，利用弦长公式求出 ，当
时，确定 ， 的关系，利用函数的单调性，即可得出结论．
【详解】解：（1）抛物线 的方程为 中 ， ，
准线方程： ，焦点坐标： .
（2）设直线 方程为 ， ， ， ，
由 得 ，
， ，
所以 ，
则 ，即 ，
圆 ： ，圆心为 ，半径 ，
由于直线 与圆 相切，则 ，
0 13n ＝
xOy O C 2 4x y= AB C
C F
8AB = D ( ) ( )22 21 0x y r r+ − = > AB AB D
r
1y = − (0,1)F 3r >
C 2 4x y= C F
AB y kx b= + | |AB | | 8AB =
r k
C 2 4x y= 2 4p = 12
p =
∴ 1y = − (0,1)F
AB y kx b= + 1(A x 1)y 2(B x 2 )y
2 4
y kx b
x y
= +
=
2 4 4 0x kx b− − =
1 2 4x x k∴ + = 1 2 4x x b= −
2 2 2 21 16 16 4 1 8AB k k b k k b= + + = + + =
2 21 2k k b+ + = 2
2
4
1b kk
= −+
D ( ) ( )22 21 0x y r r+ − = > ( )0,1 r
AB D 2
1
1
bd r
k
−= =
+，
令 ，则 ，
当 时， 单调递减， ，
当 时， 单调递增， ，
因为存在两条动弦 ，满足直线 与圆 相切，
则 存在 2 个解，即 存在一个解，
．
【点睛】本题考查抛物线的性质和直线与抛物线的位置关系，以及直线与圆的位置关系，还运用点到直线
的距离公式、弦长公式以及函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
22.已知函数 的两个零点记为 .
（1）求 的取值范围；
（2）证明： .
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分离参数，构造 ，求导，根据函数的单调性求出 的范围．
（2）先证明 ，所以要证明 ，只需证明 ，即
， ，只需证明 ， ，构造函数 ，利用导数研究函数的
单调性和最值，证明即可．
【详解】解：（1）由 ，得 ，令 ， ，
当 递增；当 递减；
有最大值 ，又 ，
故函数有两个不同的零点， ；
（2）先证明 ，不妨设 ，由（1）知， ，
∴ ( )2 2
2 2
2 2
4 41 11 1
1 1
k kk kr
k k
− − −+ ++= =
+ +
2 1 1t k= + 3
4r tt
= −
1 2t 3
4r t t
= − 0r >
AB AB D
k t
3r∴ >
( ) 1= x
xf x ae − − 1 2,x x
a
1 2 2 1x x a− > −
)1(0a∈ ，
1( ) x
xg x e −= a
1 2 2x x+ >
1 2| | 2 1x x a− > − 2 1 12(1 ) 2 1x x x a− > − > −
2
1 12x x a− > −
1
1
1x
xa e −=
1
21
1 11 2 0x
x x xe − + − > 10 1x< < ( )h x
( ) 0f x ＝ 1x
xa e −＝ ( ) 1x
xg x e −＝ ( ) 1
1' x
xg x e −
−＝
( ) ( )( )1 ' 0x g x g x∈ −∞，， ＞ ， ( ) ( )( )1 ' 0x g x g x∈ + ∞， ， ＜ ，
( )g x ( )0 0g ＝ ( ) 0x g x→ +∞ →，
)1(0a∈ ，
1 2 2x x+ ＞ 1 2x x＜ 1 20 1x x＜ ＜ ＜构造函数 ，
当 时， ， 递增， ，
所以 ，即 ，
所以 ，由 ，
由（1）知，当 ， 递减；
所以 ，即 ，
要证明 ，
只需证明 ，
即 ， ，只需证明 ，
构造函数 ， ，
当 递增； 递减；
当 时， ，
所以当 ，
故原命题成立.
【点睛】本题考查了函数零点判断问题和极值点偏移问题，用到构造函数法判断函数的单调性和最值，难
度较大，综合性高．
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1 12 2 ' 1x x x xF x f x f x xe x e F x x e e− − − −− − − − − −＝ ＝ ， ＝
)1(0x∈ ， ( )' 0F x ＞ ( )F x ( ) ( )1 0 0F F x＝ ， ＜
( )1 0F x ＜ ( ) ( )1 12f x f x−＜
12 1x− ＞ ( ) ( )1 2f x f x＝
(1 )x ∈ + ∞， ( )f x
2 12x x−＞ 1 2 2x x+ ＞
1 2 2 1x x a− > −
( )2 1 12 1 2 1x x x a− − −＞ ＞
2
1 12x x a− > −
1
1
1x
xa e −＝
1
21
1 1 11 + 2 0 0 1x
x x x xe − − ＞ ，＜ ＜
( ) 2
1 2x
xh x x xe − + −＝ ( ) ( ) 1
1' 1 2xh x x e −
− − ＝
( ) ( )( )01 2 ' 0x ln h x h x∈ −， ， ＞ ， ( ) ( )( )1 21 ' 0x ln h x h x∈ − ，， ＜ ，
]1[0x∈ ， ( ) ( ) ( ){ 0 0}1minh x min h h＝ ， ＝
( )( )01 0x h x∈ ，， ＞
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