2020届高三3月数学月考（网测）试题（含答案）

2019-2020 学年第二学期高三 3 月检测 数学 参考公式： 若事件 ， 互斥，则 若事件 ， 相互独立，则 若事件 在一次试验中发生的概率是 ，则 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 台体的体积公式 其中 ， 分别表示台体的上、下底面积， 表示台体的高 柱体的体积公式 其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高 锥体的体积公式 其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高 球的表面积公式 球的体积公式 其中 表示球的半径 选择题部分 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1. 已知集合 为全集， ，则 （ ） ( ) ( ) ( )P AB P A P B= A B ( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = + A B A p n A k ( ) ( ) ( )0,1,2, ,1 n kk k n nP C p k nk p −= =−  ( )1 1 2 2 1 3V S S S S h= + + 1S 2S h V Sh= S h 1 3V Sh= S h 24S Rπ= 34 3V Rπ= R { }1,0,1,2A = − { }2| 2 0,B x x x x Z= − − < ∈ AC B = A. B. C. D. 2. 已知双曲线 的离心率 ，其中一个焦点的坐标为 ，则该双曲线 的标准方程是（ ） A. B. C. D. 3. 某正三棱锥的三视图（单位： ）如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A. B. C. 3 D. 4. 若 是定义在 上的函数，则“ 是奇函数”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若 ，则（ ） A. B. C. D. { }1,0,1− { }1,0− { }1,2− { }0,1,2 C 2e = ( )0,2 C 2 2 13 yx − = 2 2 5 1yx − = 2 2 15 xy − = 2 2 13 xy − = cm 3 3 9 3 6 3 ( )f x R ( )f x ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + ( ) 1cos 2 π α− = − ( ) 3sin 2 α− = 3sin 2 2 π α + = −   ( ) 1cos 2 π α+ = ( ) 1cos 2 α π− = − 6. 已知实数 ， 满足 ，则关于目标函数 的描述正确的是（ ） A. 最小值为-2 B. 最大值为 3 C. 最大值为 2 D. 无最大值也无最小值 7. 已知实数 ， 满足 且 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知甲、乙两个盒子中分别装有两种大小相同的动物玩具，甲盒中有 2 只熊猫，1 只狗；乙盒中有 1 只 熊猫，2 只狗.现从甲乙两个盒中各取走一个动物玩具，再从甲乙两个盒子中各取走一个动物玩具.此时记甲 盒中的熊猫只数为 ，乙盒中的熊猫只数为 ，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 已知无穷项数列 ，满足 ，且 ，下列关于数列 描述正确的是（ ） A. 当且仅当 时，数列 单调递增 B. 存在 ，使得数列 为单调数列 C. 当 时，存在 ，使得 D. 当 时，数列 一定存在无限多项的值大于 10. 如图，在长方形 中， ，现将 沿 折至 ，使得二面角 为 锐角，设直线 与直线 所成角的大小为 ，直线 与平面 所成角的大小为 ，二面角 的大小为 ，则 ， ， 的大小关系是（ ） x y 2 2 0 1 0 2 2 0 x y x y x y + − ≥  + − ≥  − + ≥ 3z x y= − x y ( )( )2 1x y x y+ − = 0y ≠ x y ( )1, 2,2  −∞ − +∞   ( ) ( ), 2 1,−∞ − +∞ ( ) ( ), 1 2,−∞ − +∞ ( )1, 2,2  −∞ +∞   1 ξ 2 ξ ( ) ( )1 2E Eξ ξ< ( ) ( )1 2D Dξ ξ= ( ) ( )1 2E Eξ ξ> ( ) ( )1 2D Dξ ξ= ( ) ( )1 2E Eξ ξ> ( ) ( )1 2D Dξ ξ> ( ) ( )1 2E Eξ ξ< ( ) ( )1 2D Dξ ξ< { }na 1 0a > 1 lnn n na a a+ = ⋅ { }na 1a e> { }na 1 1 ,a ee  ∈   { }na 1a e< 0n 0 0 1n na a +≤ 1 1a e > { }na 1 e ABCD AD CD< ACD∆ AC 'ACD∆ 'A CD B− − 'AD BC α 'BD ABC β 'A CD B− − γ α β γ A. B. C. D. 不能确定 非选择题部分 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分. 11. 若复数 （ 为虚数单位），则 ______， ______. 12. 已知 ， ，则 的最大值为______；若 ，则 的值是______. 13. 已知等差数列 的前 项和为 ，若满足 ，且 ， 是方程 的两根， 则 的取值范围是______；当 ______时 最大. 14. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 ， 则 ______，角 的最大值是______. 15. 现有材质、大小完全相同的红、黄、绿颜色的小球各两个，将这 6 个小球按“1，1，1，3”数额分组后 分别放入四个不同的盒子中，则有______种不同搭配方案.（用数字作答） 16. 已知函数 的最小值是与 无关的常数，则实数 的取值范围是______. 17. 已知不共线平面向量 ， ， 满足 ，记集合 中所 有元素的绝对值之和为 ，则 的最小值是______. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 已知函数 . α β γ> > α γ β> > γ α β> > ( )1 2z i+ = i z = z = ( )1,sina x= ( )2cos ,1b x= a b⋅  / /a b  x { }na n nS 1 0a > 4a 5a ( )2 1 0x mx m R+ − = ∈ 5 4 S S n = nS ABC∆ A B C a b c sin sin sin sin cos2 1A B B C B+ + = a c b + = B ( ) x xx te ef t= − + t t a b c 1a c= =  { }4X x b a xc a b a b= = + + + − =      且 ( ),S a c  ( ),S a c  ( ) 2 22sin 3 2 3 cos4 xf xx π = + + −   （Ⅰ）求函数 的单调递增区间； （Ⅱ）若 ， ，求 的值. 19. 如图，平面 平面 ，且菱形 与菱形 全等，其中 为锐角， 为 中点. （Ⅰ）求证：直线 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 的所成角的正弦值. 20. 设 是等差数列， 是等比数列.已知 ， ， ， . （Ⅰ）求 和 ； （Ⅱ）设数列 满足 ， ，其中 ，设数列 的前 项和为 ，求 的值. 21. 如图，抛物线 ： ，其中 ， 是过抛物线焦点 的两条弦，且 ，记 ， 的面积分别为 ， . ( )f x ( )0 23 13f x = 0 7,2 12x π π ∈   0cos2x ABCD ⊥ MNBD ABCD MNBD MDB∠ G MC / /GB AMN DC AMN { }na { }nb 1 1a = 1 2b = 2 22b a= 3 32 2b a= + na nb { }nc 1 1c = 1,2 2 1, 2 k k n n k a nc n + < ( )f x 1 i− 2 5 4x k ππ= + k Z∈ 5 ,16      3 π 1t ≥ ( ) ( )1 cos 2 3 3 1 cos22 x xf x π = − + + − +   2sin 2 13x π = − +   令 ， 得 的单调递增区间为 . （2）∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ . 19. 解析：（1）连接 交 于 ，连接 ，易知 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，又 ，同理可证 平面 . 又因为 ，所以平面 平面 ，因此 平面 . （2）连接 ，由菱形 与菱形 全等知 ，又平面 平面 且相交于 ，所以 平面 .进而 ，又 且 ，所以 平面 ， 进而平面 平面 ，过 作 ，所以 平面 ，连接 ，所以 即为直 线 与平面 的所成角.易知 ，所以 . 20.【解析】（1）解：设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .依题意得 ， 2 2 22 3 2k x k π π ππ π− + ≤ − ≤ + ( )f x ( )5 12 12k x k k Z π ππ π− + ≤ ≤ + ∈ 0 7,2 12x π π ∈   0 2 52 ,3 3 6x π π π − ∈   0cos 2 03x π − ⇒ > ( )f x ( )0,+∞ ( ) n' l ln1 x kx x xf x x k x − −= − − = 1k > lnx x k− = 1x 2x 1 20 1x x< < < 1x ( )f x 2x ( )f x ( )2 2 21 1 02 2 k kf e e e− − −= − < − < ( ) ( )1 11 2f x f> = ( )f x ( )10, x ( ) 2 2 2 2 21 1 02 2 nk nk nkf e e n k nk e n k= − − − > − > n ( )2f x ( ) 2 2 2 2 2 1 1ln ln2 2f x x x k x= − − − ( )2 2 2 2 2 2 1 1ln ln ln2 2x x x x x= − − − − 2 2 2 2 2 1 1ln ln2 2x x x x= − + − ( ) 21 1ln ln2 2F x x x x x= − + − ( ) ( )1 lnln' 1 1 ln 0x xxF x xx x −⇒ = + − − = ≤ ( ) 0f e = 21 x e< < 2 2lnk x x= − ( )1,e ( )1, 1k e∈ − ( ) ( )2 2 0f x F x= > ( )f x ( )0,+∞ 2x e= 1k e= − ( )f x ( )0,+∞ 2x e> 2 2lnk x x= − ( ),e +∞ ( )1,k e∈ − +∞ ( ) ( )2 2 0f x F x= < ( )f x ( )0,+∞ ( )1, 1k e∈ − ( )f x ( )0,+∞ 1k e= − ( )f x ( )0,+∞ ( )1,k e∈ − +∞ ( )f x ( )0,+∞