天一大联考 2020 届高三年级下学期第一次模拟考试
文科数学试题
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． 或 D．
2．已知复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．1
3．已知函数 ，若 ，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的 2018 年 10 月份至 2019 年 9 月份共 12 个月
的中国制造业采购经理指数（ ）如下图所示．则下列结论中错误的是（ ）
A．12 个月的 值不低于 50%的频率为
B．12 个月的 值的平均值低于 50%
{ }1| 5A x x= − ≤ ≤ 2 3{ | }2B x x x= − ＞ A B∩ =
{ }5|3x x< ≤ 5|1x x− ≤ ≤ { 1|x x < − 3}x > R
z ( )3 1i z i+ = + z
i− i 1−
( ) ( )3 ,1 1
1
x xf x
lnx x
− ≤=
， ＞
( ) ( )f a f b>
2 2
1 1
1 1a b
+
PMI
PMI 1
3
PMI
C．12 个月的 值的众数为 49.4%
D．12 个月的 值的中位数为 50.3%
5．已知函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图
象，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列 满足 ，且 ， ， 成等比数列．若 的前 项和为 ，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线 的右焦点为 ，过右顶点 且与 轴垂直的直线交双曲线的一
条渐近线于 点， 的中点恰好在双曲线 上，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 11，则图中的判断条件可以为（ ）
A． B． C． D．
PMI
PMI
( ) sin 2 4f x x
π = −
( )0ϕ ϕ > ( ) sin 2 4g x x
π = +
ϕ
4
π 3
8
π
2
π 5
8
π
{ }na 1 2n na a+ − = 1a 3a 4a { }na n nS nS
10− 14− 18− 20−
( ) 2cos 2019 3
π α+ = − sin 22
π α − =
7
9
5
9
5
9
− 7
9
−
( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > F A x
M MF C C
5 1− 2 3 5
1?S > − 0?S < 1?S < − 0?S >
10．过抛物线 的焦点 作两条互相垂直的弦 ， ，设 为抛物线上的一动点，
．若 ，则 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知函数 ，以下结论正确的个数为（ ）
①当 时，函数 的图象的对称中心为 ；
②当 时，函数 在 上为单调递减函数；
③若函数 在 上不单调，则 ；
④当 时， 在 上的最大值为 15．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知四棱锥 ，底面 是边长为 1 的正方形， ，平面 平面 ，当
点 到平面 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题：本题共 4 小题．每小题 5 分．共 20 分．
13．已知向量 ， ， ，则 ___________．
14．为激发学生团结协作，敢于拼搏，不言放弃的精神，某校高三 5 个班进行班级间的拔河比赛．每两班
之间只比赛 1 场，目前（一）班已赛了 4 场，（二）班已赛了 3 场，（三）班已赛了 2 场，（四）班已赛了 1
场．则目前（五）班已经参加比赛的场次为___________．
15．将底面直径为 4，高为 的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为_________．
16．如图，已知圆内接四边形 ，其中 ， ， ， ，则
________．
( )2: 2 0E x py p= > F AB CD P
( )1,2Q 1 1 1
4AB CD
+ = PF PQ+
( ) 3 1f x x ax= − −
0a = ( )f x ( )0, 1−
3a ≥ ( )f x ( )1,1−
( )f x ( )1,1− 0 3a< <
12a = ( )f x [ ]4,5−
E ABCD− ABCD 1ED = ECD ⊥ ABCD
C ABE
2
6
1
3
2
3
( )1,1a = | | 3b = (2 ) 2a b a+ ⋅ = | |a b− =
3
ABCD 6AB = 3BC = 4CD = 5AD = 2 2
sin sinA B
+ =
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17-21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共 60 分．
17．已知数列 的各项都为正数， ，且 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，其中 表示不超过 的最大整数，如 ， ，求数列
的前 2020 项和．
18．如图，在斜三棱柱 中，平面 平面 ， ， ， ，均
为正三角形， 为 的中点．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）求斜三棱柱 截去三棱锥 后剩余部分的体积．
19．近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬
到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的新奇水果的箱数 （单位：十箱）与成本
（单位：千元）的关系如下：
1 3 4 6 7
{ }na 1 2a = 1
1
2 1n n
n n
a a
a a
+
+
= +
{ }na
( )2lg logn nb a= [ ]x x [0 9 0] =． [ ]lg99 1= { }nb
1 1 1ABC A B C− ABC ⊥ 1 1A ACC 1 2CC = ABC△ 1ACC△
E AB
1AC ∥ 1B CE
1 1 1ABC A B C− 1B CBE−
x y
x
5 6.5 7 7.5 8
与 可用回归方程 （其中 ， 为常数）进行模拟．
（Ⅰ）若该农户产出的该新奇水果的价格为 150 元/箱，试预测该新奇水果 100 箱的利润是多少元．
（Ⅱ）据统计，10 月份的连续 16 天中该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如
图．
（ⅰ）若从箱数在 内的天数中随机抽取 2 天，估计恰有 1 天的水果箱数在 内的概率；
（ⅱ）求这 16 天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值．（每组用该组区间的中点值作代表）
参考数据与公式：设 ，则
0.54 6.8 1.53 0.45
线性回归直线 中， ， ．
20．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ， ， 是椭圆 上的一个
动点，且 的面积的最大值为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）若 ， ，四边形 内接于椭圆 ， ，记直线 ， 的斜率分别为
y
y x ˆlgˆ ˆy b x a= + ˆa ˆb
[ )40,120 [ )80,120
lgt x=
t y ( )( )5
1
i i
i
t t y y
=
− −∑ ( )5 2
1
i
i
t t
=
−∑
ˆlgˆ ˆy b x a= +
( )( )
( )
1
2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
t t y y
t t
b =
=
− −
=
−
∑
∑
ˆ ˆa y bt= −
( )2 2
2 2: 1 0x yE a ba b
+ = > > 1F 2F 1 2 2F F = M E
1 2MF F△ 3
E
( ),0A a ( )0,B b ABCD E AB CD∥ AD BC
，求证： 为定值．
21．已知直线 是曲线 的切线．
（Ⅰ）求函数 的解析式；
（Ⅱ）若 ，证明：对于任意 ， 有且仅有一个零点．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选
修 4-4：坐标系与参数方程]
22．以直角坐标系 的原点为极坐标系的极点， 轴的正半轴为极轴．已知曲线 的极坐标方程为
， 是 上一动点， ， 的轨迹为 ．
（Ⅰ）求曲线 的极坐标方程，并化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若点 ，直线 的参数方程为 （ 为参数），直线 与曲线 的交点为 ， ，
当 取最小值时，求直线 的普通方程．
[选修 4-5：不等式选讲]（共 1 小题，满分 10 分）
23．已知 ，不等式 恒成立．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求证： ．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．由题意 或 ，
所以 ，
故选：A．
1 2,k k 1 2k k
1y x= − ( ) lnf x a x=
( )f x
3 4ln2t ≤ − 0m > ( ) ( )h x mx x f x t= − + +
xOy x 1C
4cos 8sinρ θ θ= + P 1C 2OP OQ= Q 2C
2C
( )0,1M l cos
1 sin
x t
y t
α
α
=
= + t l 2C A B
MA MB+ l
, , ,a b c x+∈ ∀ ∈R R 1 2x x a b c− − − ≤ + +
2 2 2 1
3a b c+ + ≥
2 2 2 2 2 2 2a b b c c a+ + + + + ≥
{ | 1B x x= < − 3}x >
{ }|3 5A B x x∩ = < ≤
2．解∵ ，∴ ，
∴ ，
∴复数 的虚部为 ．
故选：C．
3．易知 在 上单调递增，故 ．
因为 ， 的符号无法判断，故 与 ， 与 的大小不确定，
所以 A，C，D 不一定正确；B 中 正确．
故选：B．
4．从图中数据变化看， 值不低于 50%的月份有 4 个，
所以 12 个月的 值不低于 50%的频率为 ，所以 A 正确；
由图可以看出， 值的平均值低于 50%，所以 B 正确；
12 个月的 值的众数为 49.4%，所以 C 正确；
12 个月的 值的中位数为 49.6%，所以 D 错误．
故选：D．
5．把函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象，
即得到 的图象，
∴ ，∴ 的最小值为 ，
故选：A．
6．根据题意，可知 为等差数列，公差 ．
由 成等比数列，可得 ，解得 ．
( )3 1i z i+ = + 13 1iz ii
++ = = −
2z i= − −
z 1−
( )f x R a b>
a b 2a 2b 2a ab
3 3a b>
PMI
PMI 4 1
12 3
=
PMI
PMI
PMI
( ) sin 2 4f x x
π = −
( )0ϕ ϕ > sin 2 )(2 4y x
πϕ= + −
( ) sin 2 4g x x
π = +
2 2 ,4 4k k
π πϕ π− = + ∈Z ϕ
4
π
{ }na 2d =
1 3 4, ,a a a ( )2
1 1 1( 4) 6a a a+ = + 1 8a =
所以 ．
根据单调性，可知当 或 5 时， 取到最小值，最小值为 ．
故选：D．
7．由 ，
可得 ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
8．双曲线 的右顶点为 ，右焦点为 ，
所在直线为 ，不妨设 ，
∴ 的中点坐标为 ．
代入方程可得 ，
∴ ，∴ ，∴ （负值舍去）．
故选：A．
9． ．
运行第一次， ，不成立；
( ) 21 9 818 2 ( )2 2 4n
n nS n n
−= − + × = − −
4n = nS 20−
( ) 2cos 2019 3
π α+ = −
( ) 2cos 3
π α = −+
2cos 3
α =
2 2 5sin 2 cos2 2cos 1 2 112 9( ) 9
π α α α− = = − = × − = −
2 2
2 2: 1, 0, 0x yC a ba b
− = > > ( ),0A a ( ),0A c
M x a= ( ),M a b
MF ,2 2
a c b+
2 2
2 2
( ) ( )2 2 1
a c b
a b
+
− =
2
2
( ) 5
4 4
a c
a
+ = 2 2 4 0e e+ − = 5 1e = −
1, 1i S= =
11 lg 1 lg3 0, 33S i= + = − > =
运行第二次， ，不成立；
运行第三次， ，不成立；
运行第四次， ，不成立；
运行第五次， ，成立，
输出 的值为 11，结束，
故选：B．
10．显然直线 的斜率存在且不为 0，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
联立方程 ，消去 得： ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
由抛物线的性质可知： ，
∵ ，∴直线 的斜率为： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
1 31 lg lg 1 lg5 0, 53 5S i= + + = − > =
1 3 51 lg lg lg 1 lg7 0, 73 5 7S i= + + + = − > =
1 3 5 71 lg lg lg lg 1 lg9 0, 93 5 7 9S i= + + + + = − > =
1 3 5 7 91 lg lg lg lg lg 1 lg11 0, 113 5 7 9 11S i= + + + + + = − < =
i
AB AB k AB 2
py kx= +
2
2
2
py kx
x py
= +
=
y 2 22 0x pkx p− − =
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
1 2 2x x pk+ =
( ) 2
1 2 1 2 2y y k x x p pk p+ = + + = +
2
1 2 2 2AB y y p pk p= + + = +
AB CD⊥ CD 1
k
−
2 2
2 2
1 2 2 22 2p p pkCD p pk k k
+ = − = + =
2 2
2 2 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 4
k k
AB CD pk p p pk p pk
++ = + = =+ + +
2 22 2 4 4p pk k+ = +
2p =
∴抛物线方程为： ，准线方程为： ，
设点 到准线 的距离为 ，由抛物线的性质可知： ，
而当 垂直于 轴时， 的值最小，最小值为 ，如图所示：
∴ 的最小值为 3，
故选：C．
11．①幂函数 为奇函数，其图象的对称中心为原点，
根据平移知识，当 时，函数 的图象的对称中心为 ，即①正确．
②由题意知， ．
当 时， ，
又 ，所以 在 上恒成立，
所以函数 在 上单调递减，即②正确．
③由题意知， ，
当 时， ，此时 在 上为增函数，不合题意，故 ．
令 ，解得 ．
2 4x y= 1y = −
P 1y = − d PF PQ d PQ+ = +
QP x d PQ+ 2 1 3+ =
PF PQ+
3y x=
0a = ( ) 3 1f x x= − ( )0, 1−
( ) 23f x x a′ = −
1 1x− < < 23 3x <
3a ≥ ( ) 0f x′ < ( )1,1−
( )f x ( )1,1−
( ) 23f x x a′ = −
0a ≤ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x ( ),−∞ +∞ 0a >
( ) 0f x′ = 3
3
ax = ±
因为 在 上不单调，所以 在 上有解，
所以 ，解得 ，即③正确．
④令 ，得 ．
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，所以 或
，
因为 ，所以最大值为 64，即④错误．
故选：C．
12．如图所示，
由题意可得： 平面 时， 的面积最大，可得点 即点 到平面 的距离最大．
此时该四棱锥的体积 ．
故选：B．
二、填空题：本题共 4 小题．每小题 5 分．共 20 分．
13．由题意可得 ，
∴ ，解得 ，
∴ ．
故答案为：3．
14．根据题意，画图如下，
( )f x ( )1,1− ( ) 0f x′ = ( )1,1−
30 13
a< < 0 3a< <
( ) 23 12 0f x x′ = − = 2x = ±
[ ]4,5x ∈ − ( )f x [ ]4, 2− − [ ]2,5 ( )2,2− ( ) ( )max 2f x f= −
( )5f
( ) ( )2 15, 5 64f f− = =
ED ⊥ ABCD ADE△ C D ABE
21 11 13 3
= × × =
( ) 22 2 2 4a a b a a b a a b= + ⋅ = ⋅ + = ⋅ + ，
4 2a b⋅ + = 2a b⋅ = −
2 22 3a b a a b b− = − ⋅ + =
由图可知，目前（五）班已经赛了 2 场，
故答案为：2．
15．欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为 ，底面半径为 ，
则 ，解得 ．
故 侧 ．
当 时， 侧的最大值为 ．
故答案为： ．
16．由圆内接四边形的性质可得 ．
连接 ，在 中，有 ．
在 中， ，
所以， ，
，
所以 ，
连接 ，同理可得 ，
所以 ．
h r
3
23
h r− = 33 2h r= −
S ( ) 23 22 2 3 3 2 ( ) 332 2
r rrh r r r rπ π π ππ + −= = − = − ≤ =
1r = S 3
3
,C A D Bπ π∠ = − ∠ ∠ = − ∠
BD ABD△ 2 2 2 2 cosBD AB AD AB AD A= + − ⋅
BCD△ 2 2 2 2 cosBD BC CD BC CD C= + − ⋅
2 2 2 22 cos 2 cosAB AD AB AD A BC CD BC CD A+ − ⋅ = + + ⋅
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 26 5 3 4 3cos 2 2 6 5 3 4 7
AB AD BC CDA AB AD BC CD
+ − − + − −= = =⋅ + ⋅ × + ×
2 23 2 10sin 1 cos 1 ( )7 7A A= − = − =
AC ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 26 3 5 4 1cos 2 2 6 3 5 4 19
AB BC AD CDB AB BC AD CD
+ − − + − −= = =⋅ + ⋅ × + ×
2 21 6 10sin 1 cos 1 ( )19 19B B= − = − =
所以 ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17-21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共 60 分．
17．（Ⅰ）由题意，且 ，即 ，
整理，得 ．
∵数列 的各项都为正数，
∴ ，即 ．
∴数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，
∴ ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
故 ．
∴数列 的前 2020 项的和为 ．
18．（Ⅰ）如图，连接 ，交 于点 ，连接 ，则 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
2 2 14 2 19 4 10
sin sin 32 10 6 10A B
×+ = + =
1
1
2 1n n
n n
a a
a a
+
+
= + 2 2
1 1 2 0n n n na a a a+ +− − =
( )( )1 1 2 0n n n na a a a+ ++ − =
{ }na
1 2 0n na a+ − = 1 2n na a+ =
{ }na
2n
na =
( ) ( ) [ ]2 2lg log lg log 2 lgn
n nb a n = = =
*
01 10
110 100 ,2 100 1000
31000 2020
n
n
nb nn
n
≤
( )1h x ( )0,16
( ) ( )1 16 ln16 3 ln16 3 3 4ln2 0h x h t< = − + ≤ − + − = ( )h x
0m > ( )h x
P Q ( )0,ρ θ ( ),ρ θ
0
1 2 42 cos sinρ θρ θ= = + 2C 2 4cos sinρ θ θ= +
2 2 4cos sinρ ρ θ ρ θ= +
2C 2 2 2 4x y x y+ = + ( ) ( )2 21 2 5x y− + − =
（Ⅱ）设点 对应的参数分别为 、 ，则 ，
设直线 的参数方程 ，（ 为参数），
代入 的直角坐标方程 中，
整理得 ．
由根与系数的关系得 ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，
此时 的普通方程为 ．
[选修 4-5：不等式选讲]（共 1 小题，满分 10 分）
23．证明：（Ⅰ）∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（Ⅱ）∵ ，
即 两边开平方得 ，
同理可得 ， ，
,A B 1t 2t 1 2,MA t MB t= =
l cos
1 sin
x t
y t
α
α
=
= + t
2C ( ) ( )2 21 2 5x y− + − =
( )2 2 cos sin 3 0t tα α− + − =
( )1 2 1 22 cos sin , 3t t t tα α+ = + = −
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2( ) 4 4(cos sin ) 12 4sin2 16 2 3MA MB t t t t t t t t α α α+ = + = − = + − = + + = + ≥
sin2 1α = −
l 1 0x y+ − =
1 2 1 2 1x x x x− − − ≤ − − + =
1a b c+ + ≥
2 2 2 2 2 22 , 2 , 2a b ab b c bc c a ac+ ≥ + ≥ + ≥
2 2 22 2 2 2 2 2a b c ab bc ca+ + ≥ + +
( )22 2 2 2 2 23 3 3 2 2 2 1a b c a b c ab bc ca a b c+ + ≥ + + + + + = + + ≥
2 2 2 1
3a b c+ + ≥
( ) ( )22 2 2 2 2 22 ,2 2a b ab a b a ab b a b+ ≥ + ≥ + + = +
2
2 2 ( )
2
a ba b
++ ≥ ( )2 2 2 2
2 2a b a b a b+ ≥ + = +
( )2 2 2
2b c b c+ ≥ + ( )2 2 2
2c a c a+ ≥ +
三式相加，得 ．2 2 2 2 2 2 2a b b c c a+ + + + + ≥
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