数学试卷（理科）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分.考试时间 120 分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1.已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2.设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3.若各项均为正数的等比数列 满足 ，则公比 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.某单位去年的开支分布的折线图如图 1 所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图 2 所示，
则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）
A． B． C． D．
5 52
iz ii
= +− | |z =
5 2 3 2 5 2 5
{ | 3}A x y x= = − { |1 9}B x x= < ( )RA B∩ =
(3,9) (1,3) [3,9] ∅
{ }na 3 1 23 2a a a= + q =
6.25% 7.5% 10.25% 31.25%
5.已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
6.已知函数 的值域为 ，函数 ，则 的图
象的对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
7.若 满足约束条件 且 的最大值为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.过双曲线 的右焦点 作双曲线 的一条弦 ，且 ，若以
为直径的圆经过双曲线 的左顶点，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
9.一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为 ，大圆柱底面半径为 ，如图
1 放置容器时，液面以上空余部分的高为 ，如图 2 放置容器时，液面以上空余部分的高为 ，则
（ ）
2
51
3a =
1
32
5b
− = 2
1log 3c =
a b c< < c b a< < b c a< < c a b< <
( ) sin3 ( 0, )f x a x a b a x= − + + > ∈R [ 5,3]− ( ) cosg x b ax= − ( )g x
, 5 ( )4
k k
π − ∈ Z , 5 ( )4 8
k k
π π + − ∈ Z
, 4 ( )5
k k
π − ∈ Z , 4 ( )5 10
k k
π π + − ∈ Z
,x y
4 0,
2 0,
2 0,
x y
x
x y
− +
−
+ −
z ax y= + 2 6a + a
[ 1, )− +∞ ( , 1]−∞ − ( 1, )− +∞ ( , 1)−∞ −
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > F C AB 0FA FB+ = AB
C C
2 3 5
1r 2r
1h 2h 1
2
h
h
=
A． B． C． D．
10.已知定义在 上的函数 满足 ，且在 上是增函数，不等式
对于 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11.在三棱锥 中， ， ， 在底面 内的射影 位于直线 上，且
， .设三棱锥 的每个顶点都在球 的球面上，则球 的半径为（ ）
A． B． C． D．
12.设函数 恰有两个极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.设 是公差不为 0 的等差数列 的前 项和，且 ，则 ______.
14.根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾 3 股 4
弦 5”的问题.现有 满足“勾 3 股 4 弦 5”，其中“股” ， 为“弦” 上点（不含端点），
且 满足勾股定理，则 ______.
2
1
r
r
2
2
1
r
r
3
2
1
r
r
2
1
r
r
R ( )f x ( ) ( )f x f x= − [0, )+∞ ( 2) ( 1)f ax f+ −
[1,2]x ∈ a
[0,1] 11, 2
− −
1 ,02
−
3 , 12
− −
P ABC− 5AB BC= = 6AC = P ABC D AC
2AD CD= 4PD = P ABC− Q Q
689
8
689
6
5 26
8
5 26
6
e 2( ) ln
x
f x t x xx x
= − + + t
1, 2
−∞
1 ,2
+∞
1 , ,2 3 3
e e ∪ +∞
1, ,2 3
e −∞ ∪ +∞
nS { }na n 7 12a a= − 9
4
S
a
=
ABC△ 4AB = D BC
ABD△ ( )CB CA AD− ⋅ =
15. 的展开式中所有项的系数和为_____，常数项为______.（本题第一空 2 分，第二空 3
分）
16.已知圆 ，直线 与圆 交于 两点， ，若 ，则弦 的长度
的最大值为_______.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每道试题考生都
必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17. 的内角 的对边分别为 ，已知 ， .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积 .
18.某省新课改后某校为预测 2020 届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班
随机抽取 50 人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.
（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.
（2）已知该省甲市 2020 届高考考生人数为 4 万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线
的概率.
（ⅰ）若从甲市随机抽取 10 名高三学生，求恰有 8 名学生达到本科线的概率（结果精确到 0.01）；
（ⅱ）已知该省乙市 2020 届高考考生人数为 3.6 万，假设该市每个考生本科上线率均为 ，若 2020
届乙市高考本科上线人数的均值不低于甲市，求 的取值范围.
可能用到的参考数据：取 ， .
( ) 6
2 12 2x x x
+ −
2 2: 4O x y+ = l O ,P Q (2,2)A 2 2 40AP AQ+ = PQ
ABC△ , ,A B C , ,a b c cos sin 0c B b C− = cos cos2A A=
C
2a = ABC△ ABCS△
(0 1)p p< <
p
40.36 0.0168= 40.16 0.0007=
19.如图 1，在等腰梯形 中，两腰 ，底边 ， ， 是 的等分点，
是 的中点.分别沿 将四边形 和 折起，使 重合于点 ，得到如图 2 所示
的几何体.在图 2 中， 分别为 的中点.
（1）证明： 平面 .
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
20.已知椭圆 的左顶点为 ，左、右焦点分别为 ，离心率为 ， 是椭圆
上的一个动点（不与左、右顶点重合），且 的周长为 6，点 关于原点的对称点为 ，直线
交于点 .
（1）求椭圆方程；
（2）若直线 与椭圆交于另一点 ，且 ，求点 的坐标.
21.设函数 ， ，其中 ， 为正实数.
（1）若 的图象总在函数 的图象的下方，求实数 的取值范围；
（2）设 ，证明：对任意 ，都有 .
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
1 2ABF F 2 1 2AF BF= = 6AB = 1 2 4F F = ,D C AB
E 1 2F F ,CE DE 1BCEF 2ADEF 1 2,F F F
,M N ,CD EF
MN ⊥ ABCD
CN ABF
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > A 1 2,F F 1
2 P
1 2PF F△ P Q 2,AP QF
M
2PF N 2 2
4AF M AF NS S=△ △ P
1( )f x x x
= − ( ) lng x t x= (0,1)x ∈ t
( )f x ( )g x t
( ) ( )2 2 1( ) ln 1 e 1 1xH x x x x x
= − + + − − (0,1)x ∈ ( ) 0H x >
22.[选修 4—4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程 （ 是参数），以原点为极点， 轴的正半轴
为极轴建立极坐标
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）在曲线 上取一点 ，直线 绕原点 逆时针旋转 ，交曲线 于点 ，求 的最
大值.
23.[选修 4—5：不等式选讲]
已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）若函数 最小值为 ，且 ，求 的最小值.
数学试卷参考答案（理科）
1.A ，故 .
2.B 因为 ，所以 .
3.C 因为 ，所以 ，又 ，所以 ，解得 .
4.A 水费开支占总开支的百分比为 .
5.D 因为 ， ， ，所以 .
6.B 因 为 ， 又 依 题 意 知 的 值 域 为 ， 所 以 ， ， 所 以
. 令 ， 得 ， 则 的 图 象 的 对 称 中 心 为
xOy C
1 1 cos ,4 2
3 1 sin4 2
x
y
α
α
= +
= +
α x
C
C M OM O 3
π
C N | | | |OM ON⋅
( ) | 2 | | 3|f x x x= + + −
( ) 3 2f x x −
( )f x M 2 3 ( 0, 0)a b M a b+ = > > 1 3
2 1 1a b
++ +
5 5 (2 )5 5 1 72 5
i i iz i i ii
+= + = + = − +−
2 2| | ( 1) 7 5 2z = − + =
{ | 3}A x x= R( ) (1,3)A B∩ =
3 1 23 2a a a= + 2
1 1 13 2a q a a q= + 1 0a ≠ 2 2 3 0q q− − = 3q =
3q =
2
51 (0,1)3a = ∈
1 032 2 15 5b
− = > = 2
1log 03c = < c a b< <
( ) [ ,2 ]f x b a b∈ + ( )f x [ 5,3]− 4a = 5b = −
( ) 5 cos4g x x= − − 4 ( )2x k k
ππ= + ∈Z ( )4 8
kx k
π π= + ∈Z ( )g x
.
7.A 作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为 的最大值为 ，所以 在点
处取得最大值，则 ，即 .
8.C 因为 ，所以 是弦 的中点，且 垂直于 轴.因为以 为直径的圆经过双曲线
的左顶点，所以 ，即 ，则 ，故 .
9.B 在图 1 中，液面以上空余部分的体积为 ；在图 2 中，液面以上空余部分的体积为 ，因为
，所以 .
10.D 由题可知， 的图象关于 轴对称，且 在 上单调递减，由 的图象特征可得
在 上恒成立，得 在 上恒成立，所以 .
11.A 因为 ，所以 外接圆的圆心 在 上，设此圆的半径为 .
因为 ，所以 ，解得 .
因为 ，所以 .
设 ，易知 平面 ，则 .
因为 ，所以 ，
, 5 ( )4 8
k k
π π + − ∈ Z
z ax y= + 2 6a + z ax y= +
(2,6)A 1a− 1a ≥ −
0FA FB+ = F AB AB x AB C
2b a ca
= +
2 2c a a ca
− = + c a a− = 2ce a
= =
2
1 1r hπ 2
2 2r hπ
2 2
1 1 2 2r h r hπ π=
2
1 2
2 1
h r
h r
=
( )f x y ( )f x ( ,0)−∞ ( )f x
1 2 1ax− + [1,2] 3 1ax x
− − [1,2] 3 12 a− −
AB BC= ABC△ M BO r
4BO = 2 2 2(4 ) 3r r− + = 25
8r =
3 2 1OD OC CD= − = − = 2 2 1131 (4 ) 8DM r= + − =
QM a= QM ⊥ ABC QM PD
QP QB= 2 2 2 2( )PD a DM a r− + = +
即 ，解得 .所以球 的半径 .
12.C 由题意知函数 的定义域为 ，
.
因为 恰有两个极值点，所以 恰有两个不同的解，显然 是它的一个解，另一个解由方程
确定，且这个解不等于 1.
令 ， 则 ， 所 以 函 数 在 上 单 调 递 增 ， 从 而
，且 .所以，当 且 时， 恰有两个极值点，
即实数 的取值范围是 .
13.18 因为 ，所以 ， .
14. 由 等 面 积 法 可 得 ， 题 意 可 得 ， ， 所 以
.
2 2113 625(4 ) 64 64a a− + = + 1a = 1a = 2 2 689
8R QB a r= = + =
( )f x (0, )+∞
2 2
( 1) 1 2( ) 1
xx ef x tx x x
− ′ = − + −
2 2
e( 1)( 2)( 1) ( 2) 2
x
x x x tx e t x x
x x
− + − − − + + = =
( )f x ( ) 0f x′ = 1x =
02
xe tx
− =+
( ) ( 0)2
xeg x xx
= >+ 2
( 1)( ) 0( 2)
xx eg x x
+′ = >+ ( )g x (0, )+∞
1( ) (0) 2g x g> = (1) 3
eg = 1
2t >
3
et ≠ 2( ) ln
xef x t x xx x
= − + +
t 1 , ,2 3 3
e e ∪ +∞
7 12a a= − 1 2a d= − ( )19 5
4 4 1
9 49 9 2 183
a dS a d
a a a d d
+ ×= = = =+
144
25
3 4 12
5 5AD
×= = AD BC⊥
2 144( ) | | 25CB CA AD AB AD AD− ⋅ = ⋅ = =
15.3； 将 代入 ，得所有项的系数和为 3.因为 的展开式中含
的 项 为 ， 的 展 开 式 中 含 常 数 项 ， 所 以
的展开式中的常数项为 .
16. 设 为 的中点， ，即 ，
即 ， ， . 设 ， 则
，得 .所以 ， .
17.解：（1）由 ，可得 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
解得 ， （舍去）.
所以 ，
又 ，所以 .
（2）因为 ，
由 ，得 ，
260− 1x = ( ) 6
2 12 2x x x
+ −
612x x
− 2
1
x
4
4 2
6 2
1 60(2 )C x x x
− =
612x x
−
3
3 3
6
1(2 ) 160C x x
− = −
( ) 6
2 12 2x x x
+ − 60 320 260− = −
2 2 M PQ ( )2 2 2 22 (2 )AP AQ AM PQ+ = + 2 2 2 22 2AP AQ AM MQ+ = +
( )2 2 240 2 2AM OQ OM= + − 2 220 4AM OM= + − 2 2 16AM OM− = ( , )M x y
( )2 2 2 2( 2) ( 2) 16x y x y− + − − + = 2 0x y+ + = min
2 2
2
OM = = max 2 2PQ =
cos sin 0c B b C− = sin cosB B=
4B
π=
cos cos2 0A A− = 22cos cos 1 0A A− − =
1cos 2A = − cos 1A =
2
3A π=
4B
π=
12C A B
ππ= − − =
6 2sin sin sin12 3 4 4C
π π π − = = − =
sin sin
c a
C A
= 3 2 6
3c
−=
所以 .
18.解：（1）估计本科上线率为 .
（2）（ⅰ）记“恰有 8 名学生达到本科线”为事件 ，由题可知，甲市每个考生本科上线的概率为 0.6，
则 .
（ⅱ）甲、乙两市 2020 届高考本科上线人数分别记为 ，
依题意，可得 ， .
因为 2020 届乙市高考本科上线人数的均值不低于甲市，
所以 ，即 ，
解得 ，
又 ，故 的取值范围为 .
19.（1）证明：连接 ，由图 1 知，四边形 为菱形，且 ，
所以 是正三角形，从而 .
同理可证， ，
所以 平面 ，
又 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 .
易知 ，且 为 的中点，所以 ，
所以 平面 .
1 3sin 12 3ABCS ac B= ⋅ = −△
4 6 7 8 5 60%50
+ + + + =
A
8 8 2 2 4
10 10( ) 0.6 (1 0.6) 0.36 0.16 45 0.0168 0.16 0.12P A C C= × × − = × × = × × ≈
,X Y
~ (40000,0.6)X B ~ (36000, )Y B p
EY EX 36000 40000 0.6p ×
2
3p
0 1p< < p 2 ,13
,CF DN BCEF 60CEF∠ = °
CEF△ CN EF⊥
DN EF⊥
EF ⊥ CDN
EF BC BC ⊥ CDN
BC ⊂ ABCD
CDN ⊥ ABCD
CN DN= M CD MN CD⊥
MN ⊥ ABCD
（2）解：由（1）可知 ， ，且四边形 为正方形.设 的中点为 ，以 为原
点 ， 以 所 在 直 线 分 别 为 轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 ，
， ， ， ，
所以 ， ， .
设平面 的法向量为 ，
由 得
取 .
设直线 与平面 所成的角为 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
20.解：（1）因为椭圆的离心率为 ， 的周长为 6，设椭圆的焦距为 ，
则
解得 ， ， ，
3CN = 2MN = ABCD AB G M
, ,MG MC MN , ,x y z M xyz− (2, 1,0)A −
(2,1,0)B (0,1,0)C (0,0, 2)N (1,0, 2)F
(0,2,0)AB = ( 1,1, 2)AF = − (0, 1, 2)CN = −
ABF ( , , )n x y z=
0
0,
n AB
n AF
⋅ = ⋅ =
, 2 0,
2 0,
y
x y z
=− + + =
( 2,0,1)n =
CN ABF θ
| | 2 2sin 3| || | 3 3
CN n
CN n
θ ⋅= = =
×
CN ABF 2
3
1
2 1 2PF F△ 2c
2 2 2
2 2 6,
1 ,2
,
a c
c
a
b c a
+ =
=
+ =
2a = 1c = 3b =
所以椭圆方程为 .
（2）设 ，则 ，且 ，
所以 的方程为 ①.
若 ，则 的方程为 ②，由对称性不妨令点 在 轴上方，
则 ， ，联立①，②解得 即 .
的方程为 ，代入椭圆方程得 .
，不符合条件.
若 ，则 的方程为 ，即 ③.
联立①，③可解得 所以 .
因为 ，所以 ，即 .
又因为 位于 轴异侧，所以 .
因为 三点共线，即 应与 共线，
所以 ，即 ，
所以 ，又 ，
2 2
14 3
x y+ =
( , )P m n
2 2
14 3
m n+ = ( , )Q m n− −
AP ( 2)2
ny xm
= ++
1m = − 2QF 1x = P x
31, 2P −
31, 2Q −
1,
9 ,2
x
y
= =
91, 2M
2PF 3 ( 1)4y x= − − 13 9,7 14N −
2
2
2
2
1 9
2 2 7 41 9
2 14
MAF M M
AF N NN
AF yS y
S yAF y
= = = = ≠
−
△
△
1m ≠ − 2QF ( 1)1
ny xm
−= −− − ( 1)1
ny xm
= −+
3 4,
3 ,
x m
y n
= +
= (3 4,3 )M m n+
2 2
4AF M AF NS S=△ △ 2 2
1 142 2M NAF y AF y× × = × × × 4M Ny y=
,M N x 3
4N
ny = −
2, ,P F N 2PF
2F N
( ) 31 ( 1)4N
nn x m− = − − 7 3
4N
mx
−=
2 27 3 3
4 4 14 3
m n− − + =
2 2
14 3
m n+ =
所以 ，解得 ，所以 ，
所以点 的坐标为 或 .
21.（1）解：因为函数 的图象恒在 的图象的下方，
所以 在区间 上恒成立.
设 ，其中 ，
所以 ，其中 ， .
①当 ，即 时， ，
所以函数 在 上单调递增， ，
故 成立，满足题意.
②当 ，即 时，设 ，
则 图象的对称轴 ， ， ，
所以 在 上存在唯一实根，设为 ，则 ， ， ，
所以 在 上单调递减，此时 ，不合题意.
综上可得，实数 的取值范围是 .
（2）证明：由题意得 ，
因为当 时， ， ，
2
27 28
3 9m m − − =
1
2m = 3 5
4n = ±
P 1 3 5,2 4
1 3 5,2 4
−
( )f x ( )g x
1( ) ( ) ln 0f x g x x t xx
− = − − < (0,1)
1( ) lnF x x t xx
= − − (0,1)x ∈
2
2 2
1 1( ) 1 t x txF x x x x
− +′ = + − = 2 4t∆ = − 0t >
2 4 0t − 0 2t< ( ) 0F x′
( )F x (0,1) ( ) (1) 0F x F< =
( ) ( ) 0f x g x− <
2 4 0t − > 2t > 2( ) 1(0 1)x x tx xθ = − + < <
( )xθ 12
tx = > (0) 1θ = (1) 2 0tθ = − <
( )xθ (0,1) 1x ( )1,1x x∈ ( ) 0xθ < ( ) 0F x′ <
( )F x ( )1,1x ( ) (1) 0F x F> =
t (0,2]
( ) ( )( )2
2 1 11( ) ln 1 1 ln
x
x x x x xe x
H x e x x e e xx x
− − + = − − − + = −
(0,1)x ∈ 1 0xxe x− + > ln 0x ⇔ > ⇔
( )h x (0,1) ( ) (0) 0h x h> = 1xe x> +
21 ( 1) 1 1xxe x x x x x− + > + − + = + 21 1
x x
x
e e
xe x x
2( ) (0 1)1
xem x xx
= < ( ) 2m x <
( )
2
22
( 1)( ) 0
1
xe xm x
x
−′ = >
+ ( )m x (0,1)
( ) (1) 22
em x m< = < ( ) 2m x < (0,1)
(0,1)x ∈ ( ) 0H x >
1 1 cos4 2
3 1 sin ,4 2
x
y
α
α
= +
= +
,
α C 2 2 1 3 02 2x y x y+ − − =
C 3 1sin cos2 2
ρ θ θ= +
sin 6
πρ θ = +
( )1,M ρ θ 2, 3N
πρ θ + 1 0ρ > 2 0ρ > [0,2 )θ π∈
则 ，
当 时， 取得最大值，最大值为 .
23.解：（1）当 时， ，即 ，无解；
当 时， ，即 ，得 ；
当 时， ，即 ，得 .
故所求不等式的解集为 .
（2）因为 ，
所以 ，则 ，
.
当且仅当 即 时取等号.
故 的最小值为 .
1 2
1 1| | | | sin sin sin 26 6 3 2 6 4OM ON
π π π πρ ρ θ θ θ ⋅ = = + ⋅ + + = + +
6
πθ = | | | |OM ON⋅ 3
4
2x < − 2 3 3 2x x x− − − + −
3
5x
2 3x− 2 3 3 2x x x+ − + −
7
3 x
7 33 x
3x > 2 3 3 2x x x+ + − − 1x ≥ 3x >
7 ,3
+∞
( ) | 2 | | 3| |( 2) ( 3) | 5f x x x x x= + + − + − − =
2 3 5( 0, 0)a b a b+ = > > 2 1 3( 1) 9a b+ + + =
1 3 1 1 3 1 3( 1) 3(2 1) 16[2 1 3( 1)] 102 1 1 9 2 1 1 9 2 1 1 9
b aa ba b a b a b
+ + + = + + + + = + + + + + + + +
2 1 1,
2 3 5,
0, 0,
a b
a b
a b
+ = +
+ =
> >
5,8
5
4
a
b
=
=
1 3
2 1 1a b
++ +
16
9
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