天一大联考
2019——2020 学年高中毕业班阶段性测试（一）
数学（理科）
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指
定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1.已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2.已知 ， ，且复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3.某单位共有老年、中年、青年职工 320 人，其中有青年职工 150 人，老年职工与中年职工的人数之比为
7:10.为了了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调査，抽取的样本中冇青年职工 30 人,则抽取的
老年职工的人数为（ ）
A．14 B．20 C．21 D．70
4.设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．13 B．15 C．20 D．22
{ 3A x y x= = − 2{ 7 6 0}B x x x= − + < ( )RC A B =
{ }|1 3x x< < { }|1 6x x< < { }|1 3x x≤ ≤ { }|1 6x x≤ ≤
1 5 10z i= − 2 3 4z i= + z
1 2
1 1z z z
= + z
2
25 i 2
25 i− 2
25
2
25
−
{ }na n nS 1 2 72a a a= 5 40S = 7a =5.已知向上满足 ， ， ，则向量 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6.马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约 42 千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，
专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的身高，若某运动员
跑完一次全程马拉松用了 2.5 小时，则他平均每分钟的步数可能为（ ）
A．60 B．120 C．180 D．240
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
8.已知双曲线 ， 为 的左焦点， ， 为双曲线 右支上的两点，若线段 经过点
， 的周长为 ，则线段 的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
9.已知函数 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10.已知椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，点 为椭圆 上异于 ， 的一点，
2a = 1b = ( )a b b− ⊥ a b
6
π
3
π
2
π 2
3
π
3 5
2
π 3 56 2
π+ 3 5π 6 3 5π+
2
2: 13
xE y− = F E P Q E PQ
( )2,0 PQF△ 8 3 PQ
2 3 4 3
( ) ( )x xf x x e e−= − ( ) ( )2 1 2f x f x− < + x
1 ,33
−
1, 3
−∞ −
( )3,+∞ ( )1, 3,3
−∞ − +∞
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > A B M C A B直线 和直线 的斜率之积为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11.设函数 在 上最小的零点为 ，曲线 在点 处的切线上有一点
，曲线 上有一点 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12.已知四棱锥 的四条侧棱都相等，底面是边长为 2 的正方形，若其五个顶点都在一个表面积为
的球面上，则 与底面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.设变量 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为__________.
14. 已 知 正 项 等 比 数 列 满 足 ， . 记 ， 则 数 列 的 前 50 项 和 为
__________.
15.在 的展开式中，含 项的系数为__________.
16.已知角 满足 ，则 __________.
三、解答题：共 70 分.解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每个试题考生都
必须作答。第 22，23 题为选考题,考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分.
17.已知平面四边形 中， ， ， ，且内角 与 互补.
AM BM 1
4
− C
1
4
1
2
3
2
15
4
( ) 2 sinf x xππ= − ( )0,+∞ 0x ( )y f x= ( )0 ,0x
P 23 ln2y x x= − Q PQ
5
10
5
5
3 5
10
2 5
5
P ABCD−
81
4
π
PA ABCD
2
3
2
3
5
3
2 2
3
1
3
2 2
3
x y
7 0
0
2
x y
x y
x
+ − ≤
− ≤
≥
1
1
yz x
−= −
{ }na 2 4a = 4 6 80a a+ = 2logn nb a= { }nb
( ) ( )51 2 3 1x x− + 3z
α 3tan tan 4 2
πα α − = cos 2 4
πα − =
ABCD 3AB = 5CD = 6DA = B D（Ⅰ）求 的值.
（Ⅱ）求四边形 的面积.
18.如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别是 与
的中点， 为 的重心.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的正弦值.
19.已知动圆 过点 且与直线 相切.
（Ⅰ）求动圆圆心 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）斜率为 的直线 经过点 且与曲线 交于 ， 两点，线段 的中垂线交 轴于
点 ，求 的值.
21.设函数
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）设函数 的图象与直线 交于 ， 两点，且 ，求证： .
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.［选修 4-4：坐标系与参数方程］
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 为轴的
cos A
ABCD
1 1 1ABC A B C− 90ACB∠ = ° 1 2CA CB AA= = = M N 1A B 1CC
G ABN△
MG ⊥ ABN
1A AB N− −
M ( )2,0P 2 0x + =
M C
( )0k k ≠ l ( )2,0P C A B AB x
N AB
NP
( ) ( ) 21ln 1 2f x k x k x x= + − −
( )f x
( )f x y m= ( )1,A x m ( )2 ,B x m 1 2x x< 1 2 02
x xf
+ ′ 所以 恒成立，所以直线 与曲线 没有交点.令 ，得
（ 舍 去 ）， ， 则 的 最 小 值 为 点 到 直 线 的 距 离 ， 所 以
.
12.【答案】D
【命题意图】本题考查四棱锥与球的几何特征、线面角的计算.
【解析】设 为球心， 为底面的中心，由题意可知 平面 ， 与底面 所成的角为
.设该球 的半径为 ，则 ，所以 .因为正方形 的边长为 2，所以
， . 当 点 在 四 棱 锥 的 内 部 时 ， 如 图 ① ， 此 时
. ， .当 点在四棱锥的
外部时，如图②，此时 ， ， .
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.【答案】4
【命题意图】本题考查线性规划和斜率公式.
【解析】 表示可行域中的点与点 连线的斜率.由图可知，点 与点 连线的斜率
( ) 0h x > 2 2y x= − ( )y g x= ( ) 13 2g x x x
′ = − = 1x =
1
3x = − ( ) 31 2g = PQ 31, 2
2 2y x= − d
2 2
32 2 3 52
102 1
d
− −
= =
+
O Q PQ ⊥ ABCD PA ABCD
PAQ∠ O R 2 814 4R
ππ = 9
4R = ABCD
2AQ = ( )2 22 2 9 724 4OQ AO AQ = − = − = O
4PQ R OQ= + = 2 2 2 16 3 2AP AQ PQ= + = + = 2 2sin 3
PQPAQ AP
∠ = = O
1
2PQ R OQ= − = 2 2 1 32 4 2AP AQ PQ= + = + = 1sin 3
PQPAQ AP
∠ = =
1
1
yz x
−= − ( )1,1P ( )1,1P ( )2,5A最大， ，所以目标函数 的最大值为 4.
14.【答案】1275
【命题意图】本题主要考查等比数列、等差数列、对数运算.
【 解 析 】 记 正 项 等 比 数 列 的 公 比 为 ， 依 题 意 得 ， 可 得 ， 所 以
，所以 ，所以数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，其前 50 项和
为 .
15.【答案】40
【命题意图】本题主要考查二项式展开式通项.
【解析】 的展开式的通项为 ， 的展开式中 的系数为
， 的系数为 ，因此，原展开式中含 项的系数为 .
16.【答案】
【命题意图】本题考查三角恒等变换的应用、三角函数求值.
【解析】 ，化简得 ，解得 或
. 当 时 ， ， ， 所 以
max
5 1 42 1z
−= =−
1
1
yz x
−= −
{ }na q 1
3 5
1 1
4
80
a q
a q a q
=
+ =
1 2
2
a
q
=
=
12 2 2n n
na −= × = 2log 2n
nb n= = { }nb
( )50 1 50 12752
× + =
( )51 2x− ( ) ( )1 5 52 2r rr r r
rT C x C x+ = − = − ( )51 2x− 2x
( )22
5 2 40C − = 3x ( )33
5 2 80C − = − 3x 40 3 80=40× −
2
10
−
( )tan tan 1 3tan tan 4 1 tan 2
α απα α α
− − = = +
22tan 5tan 3 0α α− − = tan 3α =
1tan 2
α = − tan 3α =
2
2tan 3sin 2 1 tan 5
αα α= =+
2
2
1 tan 4cos2 1 tan 5
αα α
−= = −+. 同 理 当 时 ， ， ，
.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.【命题意图】本题主要考查余弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式.
【解析】（Ⅰ）因为 与 互补，所以 与 也互补，
可得 ，所以 .
在 中，根据余弦定理可得 .
在 中，根据余弦定理可得 .
由 ，得 .
（Ⅱ）因为 ，所以 .
故四边形 的面积
.
18.【命题意图】本题考查应用空间向量解决立体几何问题.
【解析】（1）由题意可知， ， ， 两两垂直，以 为原点，分别以 ， ， 所在直线
为 轴 、 轴 、 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 ， ， ， ，
.
( )2 2cos 2 cos2 sin 24 2 10
πα α α − = + = −
1tan 2
α = − 4sin 2 5
α = − 3cos2 5
α =
( )2 2cos 2 cos2 sin 24 2 10
πα α α − = + = −
B D A C
A C π+ = cos cosC A= −
ABD△ 2 2 2 2 cos 45 36cosBD AB AD AB AD A A= + − ⋅ = −
BCD△ 2 2 2 2 cos 41 40cos 41 40cosBD CB CD CB CD C C A= + − ⋅ = − = +
45 36cos 41 40cosA A− = + 1cos 19A =
0 A π< <
2
2 1 6 10sin 1 cos 1 19 19A A = − = − =
ABCD
1 1 1 1 6 10sin sin 3 6 4 5 6 102 2 2 2 19ABD BCDS S S AB AD A CB CD C = + = ⋅ + ⋅ = × × + × × × = △ △
AC BC 1CC C AC BC 1CC
x y z ( )0,0,0C ( )2,0,0A ( )0,2,0B ( )1 0,0,2C
( )1 2,0,2A由中点坐标公式可得 ， ，由重心的性质可得 .
则 ， ， ， .
所以 ，
，
所以 ， ，
又 ，
所以 平面 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面 的一个法向量为 .
设平面 的法向量为 .
则 ，所以 ，令 ，则 .
所以 .
设二面角 的大小为 ，则 .
( )1,1,1M ( )0,0,1 2 2 1, ,3 3 3G
1 1 2, ,3 3 3MG = − − −
( )2,2,0AB = − ( )2,0,1AN = − ( )1 0,0,2AA =
( )1 1 22 0 1 03 3 3MG AN ⋅ = − × − + − × + − × =
( )1 1 22 2 0 03 3 3MG AB ⋅ = − × − + − × + − × =
MG AN⊥ MG AB⊥
AN AB A=
MG ⊥ ABN
ABN 1 1 2, ,3 3 3MG = − − −
1A AB ( ), ,n x y z=
1 2 0
2 2 0
n AA z
n AB x y
⋅ = =
⋅ = − + =
0z
x y
=
= 1x = ( )1,1,0n =
3cos , 3
MG nMG n
MG n
⋅= = −
1A AB N− − θ
2
3 6sin 1 3 3
θ = − − = 所以二面角 的正弦值为 .
19.【命题意图】本题考查抛物线的标准方程与性质、抛物线于直线的位置关系.
【解析】（Ⅰ）由已知可得，点 到点 的距离等于点 到直线 的距离，所以点 的轨
迹是抛物线.
点 为抛物线的焦点，直线 即 为抛物线的准线.
设抛物线 的方程为 ，所以 ，所以 ，
故动圆圆心 的轨迹 的方程为 .
（Ⅱ）由已知可得直线 的方程为 ，记 ， .
由 ，消去 整理可得 .
由根与系数关系可得 ，所以 .
所以 的中点坐标为 .
所以线段 的中垂线方程为 .
令 ，可得 ，所以 .
所以 .
又由抛物线的定义可知 .
1A AB N− − 6
3
M ( )2,0P M 2 0x + = M
P 2 0x + = 2x = −
C ( )2 2 0y px p= > 22
p = 4p =
M C 2 8y x=
l ( )2y k x= − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
( )
2
2
8
y k x
y x
= − =
y ( )2 2 2 24 8 4 0k x k x k− + + =
2
1 2 2
4 8kx x k
++ = ( )1 21 2 4 4
2 2
k x x ky y
k
+ −+ = =
AB
2
2
2 4 4,k
k k
+
AB
2
2
4 1 2 4ky xk k k
+− = − −
0y =
2
2
6 4kx k
+=
2
2
6 4 ,0kN k
+
( )22
2 2
4 16 4 2
kkNP k k
++= − =
( )2
1 2 2
8 1
4
k
AB x x k
+
= + + =所以 .
20.【命题意图】本题考查随机事件的概念、概率的计算以及递推数列的应用.
【解析】（Ⅰ）由题意可知，事件 表示“当天值日的人于与前一天不同”，即前一天值日的人抛掷两枚骰
子所得点数之和大于或等于 10.
抛掷两枚骰子所得点数的情况有 种，事件 包含的情况有 ， ， ， ，
， 共 6 种情况.所以 .
所以 .
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可知 .
整理可得 ， ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列.
所以 .
所以 ， .
（ⅱ）不公平.
理由如下：因为 恒成立，即每天甲值日的概率都大于 ，甲每天值日的概率都比乙
值日的概率大，所以不公平.
21.【命题意图】本题考查函数的极值、极值点偏移.
【解析】（Ⅰ）函数 的定义域为 .
( )
( )
2 2
2 2
8 1
2
4 1
kAB k
NP k k
+
= ⋅ =
+
A
6 6 36× = A ( )4,6 ( )6,4 ( )5,5 ( )5,6
( )6,5 ( )6,6 ( ) 6 1
36 6P A = =
( ) ( ) 51 6P A P A= − =
( )1 1 1
5 1 2 116 6 3 6n n n np p p p− − −= + − = +
1
1 2 1
2 3 2n np p −
− = − 2,3,4,n =
1
2np − 1
1 1
2 2p − = 2
3
11 1 2
2 2 3
n
np
− − =
11 2 1
2 3 2
n
np
− = +
*n∈N
11 2 1 1
2 3 2 2
n
np
− = + >
1
2
( ) ( ) 21ln 1 2f x k k x x= + − − ( )0,+∞.
当 时， 恒成立，所以 在 是减函数；
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上是增函数，在 上是减函数.
（Ⅱ）由题意知方程 有两个不相等的实根 ， ，且 ，
所以 ，且 .
所以 ，所以 .
因为 ，
所以
令 ， ，则 ，
所以 在 单调递减，所以 .
又因为 ，由（Ⅰ）知 ，所以 .
所以 .
22.【命题意图】本题主要考查直线的参数方程、极坐标方程、参数方程的几何意义.
【解析】（Ⅰ）由 ，消去参数 整理可得直线 的普通方程为 .
( ) ( )( )11 x x kkf x k xx x
+ −′ = + − − = −
0k ≤ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )0,+∞
0k > ( ) 0f x′ > 0 x k< < ( ) 0f x′ < x k>
( )f x ( )0,k ( ),k +∞
( )f x m= 1x 2x 1 2x x<
( ) ( )2 2
1 1 1 2 2 2
1 1ln 1 ln 12 2k x k x x k x k x x+ − − = + − − 1 20 x x< <
( )( ) ( )2 2
2 1
2 1 2 11 ln ln2
x x k x x k x x
− − − − = − 2 1 2 1
2 1
ln ln 12
x x x xk kx x
+ −= + −−
( ) 1kf x k xx
′ = + − −
2
1 2 2 1 1 2
21 2 2 1 2 1 1
1
1ln ln2 2 ln2 1
x
x x x x x xk kf k xx x x x x x x
x
− + − ′ = − = − + − − +
2
1
xt x
= ( ) ( ) ( )2 1 ln 11
tg t t tt
−= − >+ ( ) ( )
( )
2
2
1 0
1
tg t
t t
−′ = − <
+
( )g t ( )1,+∞ ( ) ( )1 0g t g< =
1 20 x x< < 0k >
2 1
0k
x x
>−
1 2 02
x xf
+ ′
1x < − ( ) 4f x ≥ 1 2 4x− ≥ 3
2x ≤ −
1 2x− ≤ ≤ 3 4≥
2x > ( ) 4f x ≥ 2 1 4x − ≥ 5
2x ≥
( ) 4f x ≥ 3 5, ,2 2
−∞ − +∞
( )f x 3m = 1 1 1 32 3 4a b c
+ + =
( ) ( ) 1 1 13 2 3 4 2 3 4 2 3 4a b c a b c a b c
+ + = + + + + .
当且仅当 即 ， ， 时，等号成立.
所以 .
2 3 2 4 4 31 1 1 3 2 4 2 3 4
a b a c c b
b a c a b c
= + + + + + + + +
2 3 2 4 4 33 2 2 2 93 2 4 2 3 4
a b a c c b
b a c a b c
≥ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
2 3 4 1a b c= = = 1
2a = 1
3b = 1
4c =
2 3 4 3a b c+ + ≥
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