河南省天一大联考“顶尖计划”2020届高三数学第一联考理科试题（含答案、命题意图及解析）

天一大联考 “顶尖计划”2020 届高中毕业班第一次考试 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.设复数 ，则 （ ） A. B. C. D. 3.中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉 伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位，万 位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则 56846 可用算筹表示为（ ） A. B. C. D. 4.为了贯彻落实党中央精准扶贫的决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制成下图，其中各项统 计不重复.若该市老年低收入家庭共有 900 户，则下列说法错误的是（ ） { }2| 3 0M x x x= − < { }|1 7N x x= ≤ ≤ M N = { }|1 3x x≤ < { }|1 3x x< < { }| 0 7x x< < { }| 0 7x x< ≤ 2 1 3 iz i −= + | |z = 1 3 2 3 1 2 2 2A.该市共有 15000 户低收入家庭 B.在该市从业人员中，低收入家庭有 1800 户 C.在该市失无业人员中，低收入家庭有 4350 户 D.在该市大于 18 岁在读学生中，低收入家庭有 800 户 5.运行如图所示的程序框图，若输出的 的值为 99，则判断框中可以填（ ） A. B. C. D. 6.已知幂函数 的图象过点 ，且 ， ， ，则 ， ， 的大小关系 为（ ） A. B. C. D. 7.已知非零向量 ， 满足 ，若 ， 夹角的余弦值为 ，且 ，则实数 的 值为（ ） A. B. C. 或 D. 8.记单调递增的等比数列| 的前 项和为 ，若 ， ，则（ ） A. B. C. D. 9.函数 的图象大致为（ ） i 1S ≥ 2S > lg99S > lg98S ≥ ( )f x xα= (3,5) 1 a a e  =    3b α= 1log 4ac = a b c c a b< < a c b< < a b c< < c b a< < a b a bλ=  a b 19 30 ( 2 ) (3 )a b a b− ⊥ +    λ 4 9 − 2 3 3 2 4 9 − 3 2 { }na n nS 2 4 10a a+ = 2 3 4 64a a a = 1 1 2n n nS S + + − = 2n na = 2 1n nS = − 12 1n nS −= − 2 |sin | 2 ( ) 6 1 x xf x x = = +A. B. C. D. 10.设抛物线 ： （ ）的焦点为 ，抛物线 与圆 ： 交于 ， 两 点.若 ，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 11.关于函数 有下列三个结论：① 是 的一个周期；② 在 上 单调递增；③ 的值域为 .则上述结论中，正确的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 12.已知四棱锥 的底面为矩形， 底面 ，点 在线段 上，以 为直径的圆过点 .若 ，则 的面积的最小值为（ ） A.9 B.7 C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.若变量 ， 满足约束条件 则 的最大值为________. 14.函数 的极大值为________. C 2 2y px= 0p > F C C′ 2 2( 3) 3x y+ − = M N | | 6MN = MNF∆ 2 8 3 8 3 2 8 3 2 4 ( ) | cos | cos | 2 |f x x x= + π ( )f x ( )f x 3 5,4 4 π π     ( )f x [ ]2,2− S ABCD− SA ⊥ ABCD E BC AD E 3 3SA AB= = SED∆ 9 2 7 2 x y 2 1, 2 4, 2 0, y x x y y ≤ +  + ≤  + ≥ 2z x y= − 2( ) xf x x e−= ⋅15.已知双曲线 ： （ ， ），直线 ： 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点.若 （点 为坐标原点）的面积为 32，且双曲线 的焦距为 ，则双曲线 的离心率为 ________. 16.记数列 的前 项和为 ，已知 ，且 .若 ，则实数 的取值范 围为________. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知 . （Ⅰ）求角 ； （Ⅱ）若 ， ，求 的面积. 18.如图所示，三棱柱 中， 平面 ，点 ， 分别在线段 ， 上，且 ， ， 是线段 的中点. （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）若 ， ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 19.已知椭圆 ： ，不与坐标轴垂直的直线 与椭圆 交于 ， 两点. C 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > l 4x a= C A B OAB∆ O C 2 5 C { }na n nS ( )2 1 1n n nS a n a− + = + 2 5a = 2 n n Sm > m ABC∆ A B C a b c 2 2( )a b c ab− = − C 4 cos sin 02c A b C π + + =   1a = ABC∆ 1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC D E 1AA 1CC 1 1 3AD AA= //DE AC F AB //EF 1 1 1B C D AB AC⊥ AB AC= 1 3AA AB= BC 1B DE C 2 2 14 x y+ = l C M N（Ⅰ）若线段 的中点坐标为 ，求直线 的方程； （Ⅱ）若直线 过点 ，点 满足 （ ， 分别为直线 ， 的斜率）， 求 的值. 20.已知函数 . （Ⅰ）若 ，求曲线 在 处的切线方程； （Ⅱ）当 时，要使 恒成立，求实数 的取值范围. 21.某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习 惯的了解程度.在每一轮游戏中，主持人给出 ， ， ， 四种食物，要求小孩根据喜爱程度对其排序， 然后由家长猜测小孩的排序结果.设小孩对四种食物排出的序号依次为 ，家长猜测的序号依次为 ，其中 ， 都是 1，2，3，4 四个数字的一种排列.定义 ，用 来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度. （Ⅰ）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解. （i）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率； （ⅱ）求 的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）. （Ⅱ）若有一组小孩和家长进行了三轮游戏，三轮的结果都满足 ，请判断这位家长对小孩的饮食习 惯是否了解，说明理由. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分. 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正 MN 11, 2      l l (4,0) ( )0 ,0P x 0PM PNk k+ = PMk PNk PM PN 0x 2 1( ) ln 2f x mx x = +   1m = ( )y f x= (1, (1))f 1m ≤ ( ) lnf x x x> m A B C D A B C Dx x x x A B C Dy y y y A B C Dx x x x A B C Dy y y y ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 A A B B C C D DX x y x y x y x y= − + − + − + − X X 4X < xOy C 12 ,6 12 6 x m m y m m  = +  = − m x半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . （Ⅰ）求曲线 的普通方程以及直线 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知点 ，若直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的值. 23.[选修 4-5：不等式选讲] 已知 ， ， 是正数. （Ⅰ）若 ，证明： ； （Ⅱ）若 ，求 的最小值. 天一大联考 “顶尖计划”2020 届高中毕业班第一次考试 理科数学.答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 1.【答案】A 【命题意图】本题考查集合的运算、一元二次不等式的解法，考查运算求解能力以及化归与转化思想 【解析】 ，故 . 2.【答案】D 【命题意图】本题考查复数的概念、复数的运算，考查运算求解能力以及化归与转化思想. 【解析】 ，故 . 3.【答案】B 【命题意图】本题考查数学文化、推理与证明，考查推理论证能力以及化归转化思想. l cos 13 πρ θ + =   C l (2,0)M l C P Q 1 1 | | | |MP MQ + x y z 1xy < | | | | 4x z z y xyz+ ⋅ + > 1 3 xyz x y z =+ + 2 2 2xy yz xz⋅ ⋅ { } { } { }2| 3 0 | ( 3) 0 | 0 3M x x x x x x x x= − < = − < = < < { }|1 3M N x x= ≤ − >  ×  + +    | | 2 3AM = N C′ 90ANM∠ = ° Rt ANM∆ | | 2 3AM = | | 6MN = 2 2| | | | | | 6AN AM MN= − = 45AMN∠ = ° ( 3, 3)N 2 2y px= 3 2p = MNF∆ 1 3 332 4 8 × × =【解析】因为 ，所以函数 的 一个周期为 ，故①正确；因为 ， ， 所以函数 在 上并非单调递增，故②错误；当 时， ，此时 ，当 时， ，此时 ，所以函数 的值域为 ，故 ③错误. 12.【答案】C 【命题意图】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合 思想. 【解析】设 ， ，则 .因为 平面 ， 平面 ，所以 .又 ， ，所以 平面 ，则 .易知 ， .在 中， ，即 ，化简得 .在 中， ， .所以 . 因为 ，当且仅当 ， 时等号成立，所以 . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.【答案】7 【命题意图】本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划，主要考查推理论证能力以及数形结合思想. 【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如下图阴影部分所示.观察可知，当直线 过点 时， 有最大值， . ( ) | cos( ) | cos | 2( ) |f x x xπ π π+ = + + + | cos | cos | 2 2 | ( )x x f xπ= + + = ( )f x π 3 3 3 2cos cos4 4 2 2f π π π  = + =   5 5 5 2cos cos4 4 2 2f π π π  = + =   ( )f x 3 5,4 4 π π     0, 2x π ∈   2( ) cos cos2 2cos cos 1f x x x x x= + = + − ( ],( 1) 2f x ∈ − ,2x π π ∈   2( ) cos cos2 2cos cos 1f x x x x x= − + = − − [ ]( ) 1,2f x ∈ − ( )f x [ ]1,2− BE x= EC y= BC AD x y= = + SA ⊥ ABCD ED ⊂ ABCD SA ED⊥ AE ED⊥ SA AE A= ED ⊥ SAE ED SE⊥ 2 3AE x= + 2 3ED y= + Rt AED∆ 2 2 2AE ED AD+ = 2 2 23 3 ( )x y x y+ + + = + 3xy = Rt SED∆ 2 12SE x= + 2 2 93 3ED y x = + = + 2 2 1 1 1083 452 2SEDS SE ED x x∆ = ⋅ = + + 2 2 2 2 108 1083 2 3 36x xx x + ≥ ⋅ = 6x = 6 2y = 1 936 452 2SEDS∆ ≥ + = 2z x y= − (3, 2)C − z max 7z =14.【答案】 【命题意图】本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想. 【解析】依题意，得 .所以当 时， ；当 时， .所以当 时，函数 有极大值 . 15.【答案】 或 【命题意图】本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想. 【解析】联立 解得 .所以 的面积 ，所以 .而由双曲 线 的焦距为 知， ，所以 .联立解得 或 故双曲线 的离心率为 或 . 16.【答案】 【命题意图】本题考查数列的前 项和与通项的关系、数列的递推公式，等差数列的前 项和公式，数列的 性质，考查推理论证能力以及化归转化思想. 【解析】当 时， ，解得 .所以 .因为 ，则 ，两式相减，可得 ，即 1 2e 2 2 2( ) e 2 e e (1 2 )x x xf x x x− − −′ = − = − 1, 2x  ∈ −∞   ( ) 0f x′ > 1 ,2x  ∈ +∞   ( ) 0f x′ < 1 2x = ( )f x 1 2e 5 5 2 4 ,x a by xa = = 4y b= OAB∆ 1 4 8 16 322S a b ab= ⋅ ⋅ = = 2ab = C 2 5 5c = 2 2 5a b+ = 1, 2 a b =  = 2, 1, a b =  = C 5 5 2 (2, )+∞ n n 2n = ( )2 2 22 1 2 1S a a− + = + 2 8S = 1 3a = ( )2 1 1n n nS a n a− + = + ( )1 1 12 1 ( 1) 1n n nS a n a+ + +− + = + + 1 12 ( 2) ( 1) 1n n na n a n a+ += + − + +，则 .两式相减，可得 .所以数 列 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，所以 ，则 .令 ，则 .当 时， ，数列 单调递减，而 ， ， ，故 ，即实数 的取值范围为 . 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力以及化归与转化思 想. 【解析】（Ⅰ）由 ，得 . 所以由余弦定理，得 . 又因为 ，所以 . （Ⅱ）由 ，得 . 由正弦定理，得 . 因为 ，所以 . 又因 ，所以 . 所以 的面积 . 18.【命题意图】本题考查空间线面的位置关系、向量法求空间角，考查空间想象能力以及数形结合思想. 【解析】（Ⅰ）取 的中点 ，连接 ， . 因为 ， 分别是线段 和 的中点，所以 是梯形 的中位线， 所以 . 1 ( 1) 1 0n nna n a+ − + + = 2 1( 1) ( 2) 1 0n nn a n a+ ++ − + + = 2 12 0n n na a a+ +− + = { }na 2 1na n= + 2 2 2 2 n n n S n n+= 2 n nn S b= 2 1 1 3 2n n n nb b+ + −− = 2n ≥ 1 0n nb b+ − < { }nb 1 3 2b = 2 2b = 3 15 8b = 2m > m (2, )+∞ 2 2( )a b c ab− = − 2 2 2a b c ab+ − = 2 2 2 1cos 2 2 a b cC ab + −= = (0, )C π∈ 3C π= 4 cos sin 02c A b C π + + =   4 sin sin 0c A b C− + = 4ca bc= 0c ≠ 4b a= 1a = 4b = ABC∆ 1 1 3sin 1 4 32 2 2S ab C= = × × × = 1B D G 1C G FG F G AB 1B D FG 1ADB B //FG AD又 ，所以 . 因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，所以 . 所以 ， . 所以四边形 为平行四边形，所以 . 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . （Ⅱ）因为 ，且 平面 ，故可以 为原点， 的方向为 轴正方向建立如图所示的 空间直角坐标系. 不妨设 ，则 ，所以 ， ， ， ， . 所以 ， ， . 设平面 的法向量为 ，则 所以 可取 . 设直线 与平面 所成的角为 ，则 . 19.【命题意图】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题，考查运算求解能力以及数形结合思想. 【解析】（1）设 ， ，则 1//AD CC 1//FG CC 1//AD CC //DE AC ADEC AD CE= 1 1 2 3C E CC= 1 1 1 2 2 3 AD BBFG CC C E += = = 1FGC E 1//EF C G EF ⊄ 1 1B C D 1C G ⊂ 1 1B C D //EF 1 1B C D AB AC⊥ 1AA ⊥ ABC A AB x 1AB AC= = 1 3AA = (0,0,1)C (1,0,0)B 1(1,3,0)B (0,1,0)D (0,1,1)E ( 1,0,1)BC = − 1 ( 1, 2,0)B D = − − (0,0,1)DE = 1B DE ( , , )n x y z= 1 0, 0. n B D n DE  ⋅ = ⋅ =     2 0, 0. x y z + =  = (2, 1,0)n = − BC 1B DE θ | 2 ( 1) | 10sin 55 2 θ × −= = × ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 2 21 1 2 22 2 1,4 1.4 x y x y  + =  + =两式相减，可得 .（*） 因为线段 的中点坐标为 ，所以 ， . 代入（*）式，得 . 所以直线 的斜率 . 所以直线 的方程为 ，即 . （Ⅱ）设直线 ： （ ），联立 整理得 . 所以 ，解得 . 所以 ， . 所以 ， 所以 . 所以 . ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 04 x x x x y y y y − + + − + = MN 11, 2      1 2 2x x+ = 1 2 1y y+ = ( ) ( )1 2 1 2 2 04 x x y y − ⋅ + − = l 1 2 1 2 1 2 y yk x x −= = −− l 1 1 ( 1)2 2y x− = − − 2 2 0x y+ − = l 4x my= + 0m ≠ 2 2 4, 1.4 x my x y = + + = ( )2 24 8 12 0m y my+ + + = ( )2 264 4 12 4 0m m∆ = − × × + > 2 12m > 1 2 2 8 4 my y m + = − + 1 2 2 12 4y y m = + 1 2 1 0 2 0 PM PN y yk k x x x x + = +− − ( ) ( ) ( )( )1 2 0 2 1 0 1 0 2 0 y x x y x x x x x x − + −= − − ( ) ( )( )2 1 1 2 1 2 0 1 0 2 0 x y x y y y x x x x x + − += − − ( ) ( ) ( ) ( )( )2 1 1 2 1 2 0 1 0 2 0 4 4my y my y y y x x x x x + + + − += − − ( )( ) ( )( )1 2 0 1 2 1 0 2 0 2 4 0my y x y y x x x x + − += =− − ( )( )1 2 0 1 22 4 0my y x y y+ − + = ( )( ) ( ) ( )0 1 2 0 1 2 02 2 2 8 112 82 4 2 4 04 4 4 m xmmy y x y y m xm m m −+ − + = ⋅ + − ⋅ = =+ + +因为 ，所以 . 20.【命题意图】本题考查导数与函数的单调性、利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归与 转化思想. 【解析】（Ⅰ）当 时， ，则 . 所以 . 又 ，故所求切线方程为 ，即 . （Ⅱ）依题意，得 ，即 恒成立. 令 ，则 . ①当 时，因为 ，不合题意. ②当 时，令 ，得 ， ，显然 . 令 ，得 或 ；令 ，得 . 所以函数 的单调递增区间是 ， ，单调递减区间是 . 当 时， ， ， 所以 ， 只需 ，所以 ， 所以实数 的取值范围为 . 0m ≠ 0 1x = 1m = 2 1( ) ln 2f x x x = +   1( ) 2 ln 2f x x x x ′ = + +   (1) 2f ′ = 1(1) 2f = 1 2( 1)2y x− = − 32 2y x= − 2 1ln ln2mx x x x + >   2 1ln ln 02mx x x x + − >   2 1( ) ln ln2g x mx x x x = + −   ( ) (2 1)(ln 1)g x mx x′ = − + 0m ≤ 1(1) 02g m= ≤ 0 1m< ≤ ( ) 0g x′ = 1 1 2x m = 2 1 ex = 1 1 2 em > ( ) 0g x′ > 10 x e < < 1 2x m > ( ) 0g x′ < 1 1 2xe m < < ( )g x 10, e      1 ,2m  +∞   1 1, 2e m      10, ex  ∈   2 0mx x− < ln 0x < 2 1( ) ln ln2g x mx x x x = + −   ( )2 21ln 02mx x x mx= − + > 1 1 1 1ln 02 4 2 8g m m m m   = − + >   1 2 e m > m 1 ,1 2 e     21.【命题意图】本题考查概率的计算、随机变量的分布列以及极大似然法的应用. 【解析】（I）（i）若家长对小孩的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的.先考虑小孩的 排序 为 1234 的情况，家长的排序有 种等可能的结果. 其中满足“家长的排序与 1234 对应位置的数字完全不同”的有 2143，2341，2413，3142，3412，3421， 4123，4312，4321，共有 9 种结果. 故相应的概率为 . 若小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标 ， ， ， 按照小孩的排序 1234 的顺序调整即可. 例如：假设小孩的排序 为 1423，四种食物按 1234 排列为 ，再研究 的情况即可， 可知这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的. 所以他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为 . （ⅱ）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为 1234 的情况，家长的排序一共有 24 种情况，列出所有情 况，分别计算每种情况下 的值. 的分布列如下表： 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 （Ⅱ）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解. 理由如下：假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（Ⅰ）可知，在一轮游戏中， . 三轮游戏结果都满足“ ”的概率为 ，这个结果发生的可能性很小，所以可认为 这位家长对小孩的饮食习惯比较了解. 22.【命题意图】本题考查极坐标方程、参数方程间的转化、参数方程的几何意义，考查运算求解能力以及 A B C Dx x x x 4 4 24A = 9 3 24 8 = A B C D A B C Dx x x x ACDB A D BCy y y y 3 8 X X X P 1 24 1 8 1 24 1 6 1 12 1 12 1 12 1 6 1 24 1 8 1 24 1( 4) ( 0) ( 2) 6P X P X P X< = = + = = 4X < 31 1 5 6 216 1000   = P Q 1t 2t 1 2 4 3t t+ = − 1 2 16 3t t = 1 2 1 2 1 1 | | | | 3 3 | | | | | | | | 4 t tMP MQ MP MQ MP MQ t t +++ = = =⋅ | | | | ( ) ( )x z z y x z z y+ ⋅ + = + ⋅ + 2 2 4xz zy z xy≥ ⋅ = x y z= = 0 1xy< < 4 4z xy xyz⋅ > | | | | 4x z z y xyz+ ⋅ + > 1 3 xyz x y z =+ + 1 1 1 3yz xz xy + + =而 ， ， ， 当且仅当 时等号成立. 三式相加，可得 ，所以 . 故 ，即 的最小值为 8. 1 12 2yz yzyz yz + ≥ ⋅ = 1 12 2xz xzxz xz + ≥ ⋅ = 1 12 2xy xyxy xy + ≥ ⋅ = 1x y z= = = 1 1 1 6xy yz xz yz xz xy + + + + + ≥ 3xy yz xz+ + ≥ 2 2 2 2 8xy yz xz xy yz xz+ +⋅ ⋅ = ≥ 2 2 2xy yz xz⋅ ⋅