大象联考2020年河南省普通高中高考质量测评一数学（文科，含答案）

大象联考 2020 年河南省普通高中高考质量测评（一） 数学（文科） （本试卷考试时间 120 分钟，满分 150 分） ★祝考试顺利★ 注意事项 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用 0.5 毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上。 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 参考公式： 锥体的体积公式： （其中 为锥体的底面积， 为锥体的高）. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.若复数 满足 （ 为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合 ， ， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3.已知单位向量 ， 满足 ，若 ，则实数 的值为（ ） A. B.1 C.2 D. 4.成语“运筹帷幄”的典故出自《史记•高祖本纪》，表示善于策划用兵，指挥战争.其中的“筹”指算筹， 1= 3V Sh S h z ( )1 2 3z i i+ = + i z { }2,3,5,7,8,9U = { }2,3,5,8A = { }2,5,7B = A B⊆ B A⊆ { }2,5A B = ( ) { }7,9U A B = a b , 3a b π= ( )a a tb⊥ − t 1 2 2 3 3引申为策划.古代用算筹来进行计数和计算，据《孙子算经》记载，算筹计数法则是：“凡算之法，先识其 位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.”也就是说：在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表 示单位数目的算筹，其中 1~5 分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6-9 则以上面的算筹再加下面相 应的算筹来表示（如下图所示）.表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以 此类推，遇零则置空.那么 2536 用算筹可表示为（ ） A. B. C. D. 5.函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6.已知 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 7.总体由编号为 01，02，03，…，29，30 的 30 个个体构成，利用给出的某随机数表的第 11 行到第 14 行 （见下表）随机抽取 10 个，如果选取第 12 行的第 6 列和第 7 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则 选取的第 4 个的号码为（ ） A.02 B.05 C.07 D.15 ( ) 21 x xe ef x x −−= − 2log 3a = 0.21 3b  =    4log 7c = b c a< < a c b< < c a b< < b a c< y θ 9 π 5 18 π 3 π 2 3 π [ ]1,10x∈ x 1 3 4 9 2 5 3 10 C 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > 1F 2F P 1F 3 3 2 1 1 22PF F PF F∠ = ∠ C 3 1+ 3 2 P ABC− PA PB PC 2 6 P ABC− 3 2 π 6 3 π 6 2 π 3 3 π球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.曲线 在点 处的切线方程为 ，则 _______. 14.记 为数列 的前 项和，若 ，则 ________. 15.已知 为第四象限的角， ，则 ________. 16.一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有 升水时，水面恰好 经过正四棱锥的顶点 ，如果将容器倒置，水面也恰好经过点 ，则下列四个命题： ①正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半； ②若往容器内再注 升水，则容器恰好能装满； ③将容器侧面水平放置时，水面恰好经过点 ； ④任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 . 其中正确命题的序号为________（写出所有正确命题的序号）. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.记等差数列 的前 项和为 ，已知 ， . （1）求 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和. 3 3 2 3 65 13 5 3 2lny a x x= − ( )1, 1− 2 0x y− − = a = nS { }na n 3 2n nS a= − na = θ 3sin cos 3 θ θ+ = cos2θ = a P P a P P { }na n nS 2 5a = 7 63S = { }na 1 1 n n n b a a + = ⋅ { }nb n18.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 . （1）求角 的大小； （2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围. 19. 已 知 多 面 体 ， ， ， ， 均 垂 直 于 平 面 ， ， ， ， . （1）证明： （2）连接 ，求三棱锥 的体积. 20.某中学课外兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄 录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料（表） 日期 1 月 10 日 2 月 10 日 3 月 10 日 4 月 10 日 5 月 10 日 6 月 10 日 昼夜温差 （ ） 10 11 13 12 8 6 就诊人数 （个） 22 25 29 26 16 12 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归方程，再用被 选取的 2 组数据进行检验. （1）求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率； （2）若选取的是 1 月与 6 月的两组数据，请根据 2 至 5 月份的数据， ①求出 关于 的线性回归方程： ； ②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人，则认为得到的线性回归方 ABC∆ A B C a b c sin cos 6b A a B π = −   B ABC∆ 1c = ABC∆ 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AA 1BB 1CC 1DD ABCD //AD BC 1 1 1AB BC CD AA CC= = = = = 1 1 2BB = 1 2AD DD= = 1 1 1 1AC CDD C⊥ 平面 1A B 1 1 1A B BC− x C° y y x ˆˆ ˆy bx a= +程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想. 其中回归系数公式： ， . 21.已知 . （1）讨论 的单调性； （2）若 对 恒成立，求 的取值范围. 22.已知点 在圆 上运动，动点 满足以下条件：①以 为直径的圆过原点；② 过点 且与直线 相切. （1）求点 的轨迹 的方程； （2）已知点 ， ，过点 的直线 交 于 ， 两点，求证： . 大象联考 2020 年河南省普通高中高考质量测评（一） 数学（文科）答案 一、选择题 1.解析：复数 ，复数 对应点 ，是第四象限的点， 故答案选 D. 答案：D 2.解析：因为集合 中含有元素 3，集合 中含有元素 7，所以 不是 的子集， 也不是 的子集，故 选项 A，B 错误； ，选项 C 正确； ，所以 ，选项 D 错误. 故答案选 C. 答案：C ( ) ( )( ) ( ) 1 1 2 22 1 1 ˆ n n i i i i i i n n i i i i x y nxy x x y y b x n x x x = = = = − − − = = − − ∑ ∑ ∑ ∑ ˆˆa y bx= − ( ) ( )2 2 lnf x x a x a x= − + + ( )f x ( ) 1f x ax> − − 1x∀ > a A 2 2 4x y+ = M MA M A 2 0y + = M E ( )0,1P ( )0, 1Q − P l E M N PM QN QM PN= ( )( ) ( )( ) 3 1 23 5 5 11 2 1 2 1 2 5 i ii iz ii i i + −+ −= = = = −+ + − 1z i= − ( )1, 1− A B A B B A { }2,5A B = { }7,9U A = ( ) { }2,5,7,9U A B =3. 解 析 ： 因 为 ， 所 以 ， 即 ，解得 ，故答案选 C. 答案：C 4.解析：由题知，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式..2536 的个位是 6， 用纵式；十位是 3，用横式；百位是 5，用纵式；千位是 2，用横式.从图中选择对应的表达形式即可得到答 案为 ，故答案选 B. 答案：B 5.解析：由题知，函数的定义域为 ，因为 ，所以函数 为奇函数，排除选项 A，B，又因为 ，所以选项 D 错误，故答案选 C. 答案：C 6.解析： ， ， ，因为 ，所以 ，故 ，故答案选 A. 答案：A 7.解析：根据随机数表的读法可知，一个数是一列，重复不计，依据题目规则，从 76 起，选取的数依次为： 17，05，02，07，可得答案为 07. 答案：C 8.解析： ，将其图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不 变），得到 ，再将得到的图象上所有点向右平移 （ ）个单位长度，得到 的图象，由 的图象关于 轴对称得： ( )a a tb⊥ − ( ) 0a a tb⋅ − = ( ) 22 cos ,a a tb a ta b a t a b a b⋅ − = − ⋅ = − = 11 02 t− = 2t = { }| 1x x ≠ ± ( ) ( ) ( )2 211 x x x xe e e ef x f xxx − −− −− = = − = −−− − ( )f x ( ) 2 2 2 2 22 01 2 3 e e e ef − −− −= = − 0.21 13b  = 3 7> 2 2log 3 log 7a c= > = 1a c b> > > ( ) sin 3 cos 2sin 3f x x x x π = + = +   1 3 2sin 3 3y x π = +   θ 0θ > ( )2sin 3 2sin 3 33 3y x x π πθ θ   = − + = − +      2sin 3 3 3y x πθ = − +   y（ ），即 （ ），又 ，故当 时， 取得最小值为 ，故答案选 B. 答案：B 9.解析：由框图可得： 时，输出 .由 ，可得 ，则 时，所求概率 ，故答案选 A. 答案：A 10.解析：由题意，直线 过左焦点 且倾斜角为 ， ，∴ ， ，∴ ，即 .∴ ，∴ ， 根据双曲线定义有 ，∴离心率 . 答案：B 11.解析：三棱锥 展开后为一等边三角形，设边长为 ，则 ，所以 ， ∴三棱锥 棱长为 ，三棱锥 的高为 ， 设内切球的半径为 ，则 ，所以 ， ∴三棱锥 的内切球的体积为 ，故答案选 A. 答案：A 12.解析：对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为 ， ，延长 与圆柱面相交于 ， ，过点 作 ，垂足为 . 33 2k π πθ π− = + k Z∈ 6 1 18 kθ π+= − k Z∈ 0θ > 1k = − θ 5 18 π 3n ≤ 8 7x x= + 8 7 63x + ≥ 7x ≥ [ ]1,10x∈ 3 1 9 3P = = ( )3 3y x c= + 1F 30° 2 1 1 22PF F PF F∠ = ∠ 1 2 30PF F∠ = ° 2 1 60PF F∠ = ° 1 2 90F PF∠ = ° 1 2F P F P⊥ 2 1 2 1 2PF F F c= = 1 1 2 sin 60 3PF F F c= ° = 1 2 3 2PF PF c c a− = − = 3 1ce a = = + P ABC− a 4 6 sin a A = 6 2a = P ABC− 3 2 P ABC− 2 3 r 1 14 2 33 3ABC ABCr S S∆ ∆× × = × 3 2r = P ABC− 34 3 3 2rπ π= A 1A 1AA C 1C O OD DC⊥ D在直角三角形 中， ， ， 所以 ，又因为 ， 所以 . 由 平 面 与 圆 柱 所 截 可 知 椭 圆 短 轴 即 为 圆 柱 底 面 直 径 的 长 ， 即 ， 则 可 求 得 ， 所以 ，故答案选 D. 答案：D 二、填空题 13.解析：因为 ，所以曲线在点 处的切线斜率 ，所以 . 答案：3 14.解析：当 时， ，即 ； 当 时， ，① ，② ①-②得 ，即 ， 所以 是公比为 ，首项为 1 的等比数列，故 . ABO 2AB = 10 2 2 32BO − ×= = 2sin 3 ABAOB BO ∠ = = 2 2sin sin 3 rAOB OCD OC OC ∠ = ∠ = = = 3a OC= = 2 4b = 2 2 9 4 5c a b= − = − = 5 3 ce a = = 2ay xx ′ = − ( )1, 1− 2 2 11 ak a= − = − = 3a = 1n = 1 13 2S a= − 1 1a = 2n ≥ 3 2n nS a= − 1 13 2n nS a− −= − 13 3n n na a a −= − 1 3 2n na a −= { }na 3 2 13 2 n na − =   答案： 15.解析：∵ ，两边平方得： ，∴ ， ∴ ， ∵ 为第四象限角，∴ ， ，∴ ， ∴ . 答案： 16.解析：设图（1）水的高度 ，几何体的高为 ，底面边长为 ， 图（1）中水的体积为 ，图（2）中水的体积为 ， 所以 ，所以 ，故①错误；由题意知 升水占容器内空间的一半，所以②正确； 当容器侧面水平放置时， 点在长方体中截面上，中截面将容器内部空间分成相等的两部分，结合题意可 知③正确； 假设④正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为 矛盾，故④不正 确.故答案为②③. 答案：②③ 三、解答题 13 2 n−     3sin cos 3 θ θ+ = 11 sin 2 3 θ+ = 2sin 2 3 θ = − ( )2 5sin cos 1 sin 2 3 θ θ θ− = − = θ sin 0θ < cos 0θ > 15cos sin 3 θ θ− = ( )( ) 5cos2 cos sin cos sin 3 θ θ θ θ θ= − + = 5 3 2h 1h b 2 2 2 3 b h ( )2 2 2 1 2 1 2b h b h b h h− = − ( )2 2 2 1 2 2 3 b h b h h= − 1 2 5 3h h= a P 2 2 2 2 25 2 36 3b h b h>17.解：（1）设数列 的公差为 ，因为 是等差数列，由 得 解得 所以 . （2）由（1）知 ， 所 以 数 列 的 前 项 和 . 18.解：（1）在 中，由正弦定理 ，可得 ， 又由 ，得 ， 即 ，可得 . 又因为 ，可得 . （2）由题设及（1）知 的面积 . 由正弦定理得 . 由于 为锐角三角形，故 ， ， { }na d { }na 2 7 5, 63 a S =  = 1 1 5, 7 21 63. a d a d + =  + = 1 3, 2, a d =  = 2 1na n= + ( )( )1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 2 2 1 2 3n n n b a a n n n n+  = = = − ⋅ + + + +  { }nb n 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 2 5 7 2 7 9n nT b b b      = + + + = − + − + − + +            1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 3 2 3 5 5 7 7 9 2 1 2 3n n n n    − = − + − + − + + −   + + + +    1 1 1 1 1 2 3 2 3 6 4 6n n  = − = − + +  ABC∆ sin sin a b A B = sin sinb A a B= sin cos 6b A a B π = −   sin cos 6a B a B π = −   sin cos 6B B π = −   tan 3B = ( )0,B π∈ 3B π= ABC∆ 3 4ABCS a∆ = 2sinsin 3 13 sin sin 2tan 2 Cc Aa C C C π −  = = = + ABC∆ 0 2A π< < 0 2C π< ( ) ( ) ( )( )22 2 2 1g x x a x a x a x= − + + = − − 0a ≤ ( )0,1x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x 0 2a< < 0, 2 ax  ∈   ( ) 0f x′ > ( )f x时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增； ③当 时， 时， ， 单调递增； ④当 时， 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增. 综上：当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增； 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增. （2） 对 恒成立，即 对 恒成立. 令 ，则 ， 又 . ，令 . ①当 时， ， 单调递增， 所以当 时， ，符合题意； ,12 ax  ∈   ( ) 0f x′ < ( )f x ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x 2a = ( )0,x∈ +∞ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x 2a > ( )0,1x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x 1, 2 ax  ∈   ( ) 0f x′ < ( )f x ,2 ax  ∈ +∞   ( ) 0f x′ > ( )f x 0a ≤ ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞ 0 2a< < ( )f x ,12 a     0, 2 a     ( )1,+∞ 2a = ( )f x ( )0,+∞ 2a > ( )f x 1, 2 a     ( )0,1 ,2 a +∞   ( ) 1f x ax> − − 1x∀ > 2 2 ln 1 0x x a x− + + > 1x∀ > ( ) 2 2 ln 1h x x x a x= − + + ( )min 0h x > ( )1 1 2 ln1 1 0h a= − + + = ( ) 22 22 2 a x x ah x x x x − +′ = − + = ( ) 2 2 1 12 2 2 2 2t x x x a x a = − + = − + −   1 2a ≥ ( ) 22 2 0t x x x a= − + ≥ ( )h x 1x > ( ) ( )1 0h x h> =②当 时，设 的两根为 ， ，且 ， 则 ， . （ⅰ）若 ，则 时 ， 单调递减； 时， ， 单调递增. ，舍去； （ii）若 ，则 时， ， 单调递增； ，符合题意， 由 的图象可知，若满足 ，则 ，又 ，即 . 综上， 的取值范围为 . 22.解：（1）设 ， ，根据已知可得： 整理得： ，即 的方程为 . （2）证明：易知直线 的斜率一定存在. 法一：设直线 的方程为： ，代入拋物线方程得： . 设点 ， ， 则 ， ， . 要证： ，即证 ， 即证 为 的角平分线， 因为 在 轴上，即证 ， 1 2a < ( ) 22 2 0t x x x a= − + = 1x 2x 1 2x x< 1 2 1x x+ = 1 2 2 ax x = 2 1x > ( )21,x x∈ ( ) 0t x < ( )h x ( )2 ,x x∈ +∞ ( ) 0t x > ( )h x ( ) ( ) ( )2min 1 0h x h x h= < = 2 1x ≤ ( )1,x∈ +∞ ( ) 0t x > ( )h x ( ) ( )min 1 0h x h> = ( )t x 2 1x ≤ ( )1 2 2 0t a= − + ≥ 1 2a < 10 2a≤ < a [ )0,+∞ ( ),M x y ( )0 0,A x y ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 0 0 2 2 2 0 0 0, 4, 2 , x x y y x y x x y y y  + = + =  − + − = + 2 4x y= E 2 4x y= l l 1y kx= + 2 4 4 0x kx− − = ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2 4x x k+ = 1 2 4x x = − 2 2 1 2 1 2 14 4 x xy y = ⋅ = PM QN QM PN= PM QM PN QN = PQ MQN∠ PQ y 0QM QNk k+ =， 所以 法二：设直线 的方程为： ，代入抛物线方程得 设点 ， ， 则 ， ，所以 ，所以 . 因为 是拋物线的焦点， ， ， ， ， ， 所以 即 . 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 QM QN y y x y x x y xk k x x x x + + + + ++ = + = ( )1 2 1 2 1 2 2kx 2 8 8= 04 x x x k k x x + + − += =− PM QN QM PN= l 1y kx= + 2 4 4 0x kx− − = ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2 4x x k+ = 2 2 1 2 1 2 14 4 x xy y = ⋅ = 2 2 1 2 1 2 14 4 x xy y = ⋅ = 2 1 1y y = ( )0,1P 1 1PM y= + 2 1PN y= + ( )22 1 1 1QM x y= + + ( )22 2 2 1QN x y= + + 1 1 1 12 1 1 1 11 PM y y yyPN y y + += = =++ ( ) ( ) 22 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 2 2 1 12 2 2 2 1 1 1 1 4 2 1 6 1 6 1 6 1 1 64 2 1 6 1 6 11 1 x yQM y y y y y y y y y QN y y y y y y yx y y y y + + + + + + + + + + += = = = = + + + + + + ++ + + + 1y= 1 PM QM yPN QN = = PM QN QM PN=