备战数学高考：高中数学52种快速做题方法

备战数学高考：高中数学 52 种快速做题方法 1 . 适用条件 [直线过焦点]，必有 ecosA=(x-1)/(x+1)，其中 A 为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。x 为分离比，必须大于 1。 注：上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段 延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。 2 . 函数的周期性问题(记忆三个) (1)若 f(x)=-f(x+k)，则 T=2k; (2)若 f(x)=m/(x+k)(m 不为 0)，则 T=2k; (3)若 f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则 T=6k。 注意点：a.周期函数，周期必无限 b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。c.周期函数加周期函数未必是 周期函数，如：y=sinxy=sin 派 x 相加不是周期函数。 3 . 关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下 (1)若在 R 上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为 x=(a+b)/2 (2)函数 y=f(a+x)与 y=f(b-x)的图像关于 x=(b-a)/2 对称; (3)若 f(a+x)+f(a-x)=2b，则 f(x)图像关于(a，b)中心对称 4 . 函数奇偶性 (1)对于属于 R 上的奇函数有 f(0)=0; (2)对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项 (3)奇偶性作用不大，一般用于选择填空 5 . 数列爆强定律 (1)等差数列中：S 奇=na 中，例如 S13=13a7(13 和 7 为下角标); (2)等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差 (3)等比数列中，上述 2 中各项在公比不为负一时成等比，在 q=-1 时，未必成立 (4)等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求 q 6 . 数列的终极利器，特征根方程 首先介绍公式：对于 an+1=pan+q(n+1 为下角标，n 为下角标)， a1 已知，那么特征根 x=q/(1-p)，则数列通项公式为 an=(a1-x)p²(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。二阶有点麻烦，且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造(两边同时加数) 7 . 函数详解补充 1、复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外 2、复合函数单调性：同增异减 3、重点知识关于三次函数：恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是中心对称图形。 它有一个对称中心，求法为二阶导后导数为 0，根 x 即为中心横坐标，纵坐标可以用 x 带入原函数界定。另外， 必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。 8 . 常用数列 bn=n×(2²n)求和 Sn=(n-1)×(2²(n+1))+2 记忆方法 前面减去一个 1，后面加一个，再整体加一个 2 9 . 适用于标准方程(焦点在 x 轴)爆强公式 k 椭=-{(b²)xo｝/{(a²)yo｝k 双={(b²)xo｝/{(a²)yo｝k 抛=p/yo 注：(xo，yo)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。 10 . 强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技 已知直线 L1：a1x+b1y+c1=0 直线 L2：a2x+b2y+c2=0 若它们垂直：(充要条件)a1a2+b1b2=0; 若它们平行：(充要条件)a1b2=a2b1 且 a1c2≠a2c1[ 这个条件为了防止两直线重合) 注：以上两公式避免了斜率是否存在的麻烦，直接必杀! 11 . 经典中的经典 相信邻项相消大家都知道。 下面看隔项相消： 对于 Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)] 注：隔项相加保留四项，即首两项，尾两项。自己把式子写在草稿纸上，那样看起来会很清爽以及整洁! 12 . 爆强△面积公式 S=1/2∣mq-np∣其中向量 AB=(m，n)，向量 BC=(p，q) 注：这个公式可以解决已知三角形三点坐标求面积的问题 13 . 你知道吗?空间立体几何中：以下命题均错 (1)空间中不同三点确定一个平面(2)垂直同一直线的两直线平行 (3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (4)如果一条直线与平面内无数条直线垂直，则直线垂直平面 (5)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 (6)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体都是棱锥 注：对初中生不适用。 14 . 一个小知识点 所有棱长均相等的棱锥可以是三、四、五棱锥。 15 . 求 f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣(n 为正整数)的最小值 答案为：当 n 为奇数，最小值为(n²-1)/4，在 x=(n+1)/2 时取到; 当 n 为偶数时，最小值为 n²/4，在 x=n/2 或 n/2+1 时取到。 16 . √〔(a²+b²)〕/2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)(a、b 为正数，是统一定义域) 17 . 椭圆中焦点三角形面积公式 S=b²tan(A/2)在双曲线中：S=b²/tan(A/2) 说明：适用于焦点在 x 轴，且标准的圆锥曲线。A 为两焦半径夹角。 18 . 爆强定理 空间向量三公式解决所有题目：cosA=|{向量 a.向量 b｝/[向量 a 的模×向量 b 的模] (1)A 为线线夹角 (2)A 为线面夹角(但是公式中 cos 换成 sin) (3)A 为面面夹角注：以上角范围均为[0，派/2]。 19 . 爆强公式 1²+2²+3²+…+n²=1/6(n)(n+1)(2n+1);1²3+2²3+3²3+…+n²3=1/4(n²)(n+1)² 20 . 爆强切线方程记忆方法 写成对称形式，换一个 x，换一个 y 举例说明：对于 y²=2px 可以写成 y×y=px+px 再把(xo，yo)带入其中一个得：y×yo=pxo+px 21 . 爆强定理 (a+b+c)²n 的展开式[合并之后]的项数为：Cn+22，n+2 在下，2 在上22 . 转化思想 切线长 l=√(d²-r²)d 表示圆外一点到圆心得距离，r 为圆半径，而 d 最小为圆心到直线的距离。 23 . 对于 y²=2px 过焦点的互相垂直的两弦 AB、CD，它们的和最小为 8p。 爆强定理的证明：对于 y²=2px，设过焦点的弦倾斜角为 A 那么弦长可表示为 2p/〔(sinA)²〕，所以与之垂直的弦长为 2p/[(cosA)²] 所以求和再据三角知识可知。 (题目的意思就是弦 AB 过焦点，CD 过焦点，且 AB 垂直于 CD) 24 . 关于一个重要绝对值不等式的介绍爆强 ∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣ 25 . 关于解决证明含 ln 的不等式的一种思路 举例说明：证明 1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1) 把左边看成是 1/n 求和，右边看成是 Sn。 解：令 an=1/n，令 Sn=ln(n+1)，则 bn=ln(n+1)-lnn， 那么只需证 an>bn 即可，根据定积分知识画出 y=1/x 的图。 an=1×1/n=矩形面积>曲线下面积=bn。当然前面要证明 1>ln2。 注：仅供有能力的童鞋参考!!另外对于这种方法可以推广，就是把左边、右边看成是数列求和，证面积大小即可。 说明：前提是含 ln。 26 . 爆强简洁公式 向量 a 在向量 b 上的射影是：〔向量 a×向量 b 的数量积〕/[向量 b 的模]。 记忆方法：在哪投影除以哪个的模 27 . 说明一个易错点 若 f(x+a)[a 任意]为奇函数，那么得到的结论是 f(x+a)=-f(-x+a)〔等式右边不是-f(-x-a)〕 同理如果 f(x+a)为偶函数，可得 f(x+a)=f(-x+a) 牢记 28 . 离心率爆强公式 e=sinA/(sinM+sinN) 注：P 为椭圆上一点，其中 A 为角 F1PF2，两腰角为 M，N 29 . 椭圆的参数方程也是一个很好的东西，它可以解决一些最值问题。比如 x²/4+y²=1 求 z=x+y 的最值。 解：令 x=2cosay=sina 再利用三角有界即可。比你去=0 不知道快多少倍! 30 . 仅供有能力的童鞋参考的爆强公式 和差化积 sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]co sθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 积化和差 sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α +β)-sin(α-β)]/2 31 . 爆强定理 直观图的面积是原图的√2/4 倍。 32 . 三角形垂心爆强定理 (1)向量 OH=向量 OA+向量 OB+向量 OC(O 为三角形外心，H 为垂心) (2)若三角形的三个顶点都在函数 y=1/x 的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。 33 . 维维安尼定理 正三角形内(或边界上)任一点到三边的距离之和为定值，这定值等于该三角形的高。 34 . 爆强思路 如果出现两根之积 x1x2=m，两根之和 x1+x2=n 我们应当形成一种思路，那就是返回去构造一个二次函数 再利用△大于等于 0，可以得到 m、n 范围。 35 . 常用结论 过(2p，0)的直线交抛物线 y²=2px 于 A、B 两点。 O 为原点，连接 AO.BO。必有角 AOB=90 度 36 . 爆强公式 ln(x+1)≤x(x>-1)该式能有效解决不等式的证明问题。 举例说明：ln(1/(2²)+1)+ln(1/(3²)+1)+…+ln(1/(n²)+1)