1
2019—2020 学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）
数学 I
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置
上．）
1．已知 i 为虚数单位，复数 ，则 ＝ ．
2．已知集合 A＝ ，B＝ ，若 A B 中有且只有一个元素，则
实数 a 的值为 ．
3．已知一组数据 1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是 ．
4．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 (a＞0)的一条渐近线方程为 ，
则 a＝ ．
5．甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，乙获胜的概率是 ，则乙不输的概率
是 ．
6．右图是一个算法的流程图，则输出的 x 的值为 ．
7．“直线 l1： 与直线 l2： 平行”是“a＝2”的 条件（填
“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．
8．已知等差数列 的前 n 项和为 ， ， ，则 ＝ ．
9．已知点 M 是曲线 y＝2lnx＋x2﹣3x 上一动点，当曲线在 M 处的切线斜率取得最小值时，
该切线的方程为 ．
10．已知 ， ( ， )，则 ＝ ．
11．如图在矩形 ABCD 中，E 为边 AD 的中点，AB＝1，BC＝2．分别以 A，D 为圆心，1
为半经作圆弧 EB，EC，将两圆弧 EB，EC 及边 BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕
1
1 iz = + z
{ }0 1x x≤ ≤ { }1 3x a x− ≤ ≤
2 2
2 14
x y
a
− = 2
3y x=
1
2
1
3
1 0ax y+ + = 4 3 0x ay+ + =
{ }na nS 1 9a = 9 5 49 5
S S− = − na
3cos2 4sin( )4
πα α= − α ∈
4
π π sin 2α2
直线 AD 旋转一周，所形成的几何体的体积为 ．
12．在△ABC 中，( )⊥ ( ＞1)，若角 A 的最大值为 ，则实数 的值
是 ．
13．若函数 (a＞0 且 a≠1)在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，则 a 的
取值范围是 ．
14．如图，在△ABC 中，AB＝4，D 是 AB 的中点，E 在边 AC 上，AE＝2EC，CD 与 BE
交于点 O，若 OB＝ OC，则△ABC 面积的最大值为 ．
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分 14 分）
在 △ ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 应 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且 满 足
．
（1）求 A；
（2）已知 a＝ ，B＝ ，求△ABC 的面积．
16．（本小题满分 14 分）
如图，在四棱锥 P—ABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，BD⊥DC，△PCD 为正
三角形，平面 PCD⊥平面 ABCD，E 为 PC 的中点．
（1）证明：AP∥平面 EBD ；
（2）证明：BE⊥PC．
AB ACλ− BC λ
6
π λ
( ) xf x a=
2
cosA 3 sin B 0b a− =
2 3 3
π3
17．（本小题满分 14 分）
某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道 l1 和 l2 通过一段抛物线
形状的栈道 AB 连通（道路不计宽度），l1 和 l2 所在直线的距离为 0.5（百米），对岸堤岸线 l3
平行于观光道且与 l2 相距 1.5（百米）（其中 A 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于 l3，
且交 l3 于 M ），在堤岸线 l3 上的 E，F 两处建造建筑物，其中 E，F 到 M 的距离为 1 （百
米），且 F 恰在 B 的正对岸（即 BF⊥l3）．
（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道 AB 的方程；
（2）游客（视为点 P）在栈道 AB 的何处时，观测 EF 的视角(∠EPF)最大？请在（1）
的坐标系中，写出观测点 P 的坐标．
18．（本小题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： (a＞b＞0)的离心率为
．且经过点(1， )，A，B 分别为椭圆 C 的左、右顶点，过左焦点 F 的直线 l 交椭圆 C
于 D，E 两点（其中 D 在 x 轴上方）．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若△AEF 与△BDF 的面积之比为 1：7，求直线 l 的方程．
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
1
2
3
24
19．（本小题满分 16 分）
已知函数 (m R)的导函数为 ．
（1）若函数 存在极值，求 m 的取值范围；
（2）设函数 （其中 e 为自然对数的底数），对任意 m R，若
关于 x 的不等式 在(0， )上恒成立，求正整数 k 的取值集合．
20．（本小题满分 16 分）
已知数列 ， ，数列 满足 ，n ．
（1）若 ， ，求数列 的前 2n 项和 ；
（2）若数列 为等差数列，且对任意 n ， 恒成立．①当数列 为等
差数列时，求证：数列 ， 的公差相等；②数列 能否为等比数列？若能，请写
出所有满足条件的数列 ；若不能，请说明理由．
3 2 22( ) 3f x x mx m x= − + ∈ ( )f x′
( ) ( ) ( )g x f x f x′= −
( ) (e ) (ln )xh x f f x′ ′= + ∈
2 2( )h x m k≥ + +∞
{ }na { }nb { }nc n
n
n
a nc
b n
=
， 为奇数
， 为偶数 N∗∈
na n= 2n
nb = { }nc 2nT
{ }na N∗∈ 1n nc c+ > { }nb
{ }na { }nb { }nb
{ }nb5
第 II 卷（附加题，共 40 分）
21．【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分，
解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A．选修 4—2：矩阵与变换
已知矩阵 ，且二阶矩阵 M 满足 AM=B，求 M 的特征值
及属于各特征值的一个特征向量。
B．选修 4—4：坐标系与参数方程
在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 l 的 参 数 方 程 为
，以原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐
标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ=4sinθ。
（1）求曲线 C 的普通方程；
（2）求曲线 l 和曲线 C 的公共点的极坐标。
C．选修 4—5：不等式选讲
已知正数 x，y，z 满足 x+y+z=t（t 为常数），且 的最小值为 ，求实
数 t 的值。
2 2
2
4 9
x y z+ + 8
76
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程
或演算步骤．
22．（本小题满分 10 分）
某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满 200 元，有一次抽奖机会（即满 200 元可
以抽奖一次，满 400 元可以抽奖两次，依次类推）。抽奖的规则如下：在一个不透明口
袋中装有编号分别为 1，2，3，4，5 的 5 个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一
个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大
（如 1，2，5），则获得一等奖，奖金 40 元；若摸得的小球编号一次比一次小（如 5，
3，1），则获得二等奖，奖金 20 元；其余情况获得三等奖，奖金 10 元.
（1）某人抽奖一次，求其获奖金额 X 的概率分布和数学期望;
（2）赵四购物恰好满 600 元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好
为 60 元的概率.
23．（本小题满分 10 分）
已知抛物线 C:x2=4py（p 为大于 2 的质数）的焦点为 F，过点 F 且斜率为 k(k≠0)的
直线交 C 于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线交 y 轴于点 E，抛物线 C 在点 A，B 处
的切线相交于点 G.记四边形 AEBG 的面积为 S.
（1）求点 G 的轨迹方程；
（2）当点 G 的横坐标为整数时，S 是否为整数？若是，请求出所有满足条件的 S
的值；若不是，请说明理由.7
2019—2020 学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）
数学 I
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置
上．）
1．已知 i 为虚数单位，复数 ，则 ＝ ．
答案：
考点：复数
解析： ．
2．已知集合 A＝ ，B＝ ，若 A B 中有且只有一个元素，则
实数 a 的值为 ．
答案：2
考点：集合交集运算
解析：由题意知 a﹣1＝1，得 a＝2．
3．已知一组数据 1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是 ．
答案：0.08
考点：方差
解析：首先求得 ，
．
4．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 (a＞0)的一条渐近线方程为 ，
则 a＝ ．
答案：3
考点：双曲线的渐近线
解析：由题意知： ，∴a＝3．
5．甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，乙获胜的概率是 ，则乙不输的概率
是 ．
1
1 iz = + z
2
2
1 1 1 2i1 i 2 2 2z z= = − ⇒ =+
{ }0 1x x≤ ≤ { }1 3x a x− ≤ ≤
2x =
2 2 2 2 2 21[(1.6 2) (1.8 2) (2 2) (2.2 2) (2.4 2) ] 0.085S = − + − + − + − + − =
2 2
2 14
x y
a
− = 2
3y x=
2 2
3a
=
1
2
1
38
答案：
考点：概率
解析：乙不输包括乙获胜或和棋，故 P＝ ＋ ＝ ．
6．右图是一个算法的流程图，则输出的 x 的值为 ．
答案：6
考点：算法与流程图
解析：第一次：x＝4，y＝16，
第二次：x＝5，y＝32，
第三次：x＝6，y＝64，此时 64＞10×6＋3，输出 x，故输出 x 的值为 6．
7．“直线 l1： 与直线 l2： 平行”是“a＝2”的 条件（填
“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．
答案：必要不充分
考点：两直线平行，充要性
解析：“直线 l1： 与直线 l2： 平行”等价于 a＝±2，
故“直线 l1： 与直线 l2： 平行”是“a＝2”的必要不充
分条件．
8．已知等差数列 的前 n 项和为 ， ， ，则 ＝ ．
答案：
考点：等差数列及其性质
解析： ．
9．已知点 M 是曲线 y＝2lnx＋x2﹣3x 上一动点，当曲线在 M 处的切线斜率取得最小值时，
该切线的方程为 ．
答案：
5
6
1
3
1
2
5
6
1 0ax y+ + = 4 3 0x ay+ + =
1 0ax y+ + = 4 3 0x ay+ + =
1 0ax y+ + = 4 3 0x ay+ + =
{ }na nS 1 9a = 9 5 49 5
S S− = − na
2 11n− +
29 ( 1)( 1) 10 2 11n
n n
S n S n n a nn
= + − − ⇒ = − + ⇒ = − +
3y x= −9
考点：导数与切线，基本不等式
解析： ， ＝1 时有最小值 1，此时 M(1，﹣2)，
故切线方程为： ，即 ．
10．已知 ， ( ， )，则 ＝ ．
答案：
考点：两角和与差的三角函数，二倍角的三角函数，同角三角函数关系式
解析：∵ ，∴ ，
则 ， ．
11．如图在矩形 ABCD 中，E 为边 AD 的中点，AB＝1，BC＝2．分别以 A，D 为圆心，1
为半经作圆弧 EB，EC，将两圆弧 EB，EC 及边 BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕
直线 AD 旋转一周，所形成的几何体的体积为 ．
答案：
考点：圆柱与球的体积
解析： ．
12．在△ABC 中，( )⊥ ( ＞1)，若角 A 的最大值为 ，则实数 的值
是 ．
答案：3
考点：平面向量数量积
解析：
，解得 ＝3．
13．若函数 (a＞0 且 a≠1)在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，则 a 的
2 2 3M
M
k xx
= + − Mx
2 1y x+ = − 3y x= −
3cos2 4sin( )4
πα α= − α ∈
4
π π sin 2α
1
9
−
3cos2 4sin( )4
πα α= − 3(cos sin )(cos sin ) 2 2(cos sin )α α α α α α+ − = −
2 2sin cos 3
α α+ = 1sin 2 9
α = −
2
3
π
2 34 21 3 13 3V
π ππ= ⋅ − ⋅ =
AB ACλ− BC λ
6
π λ
2 2(AB AC) ( AB AC) ( 1) cosA 0c b bcλ λ λ− ⋅ − + = − − + + =
1 2 3cosA ( )1 1 2
b c
c b
λ λ
λ λ= + ≥ =+ + λ
( ) xf x a=10
取值范围是 ．
答案：(1， )
考点：函数与导数综合
解析：由题意知： 与 的图像在(1， )上恰有两个交点
考查临界情形： 与 切于 ，
．
14．如图，在△ABC 中，AB＝4，D 是 AB 的中点，E 在边 AC 上，AE＝2EC，CD 与 BE
交于点 O，若 OB＝ OC，则△ABC 面积的最大值为 ．
答案：
考点：向量与解三角形、圆的综合
解析：设
B，O，E 共线，则 ，解得 ，从而 O 为 CD 中点，故 ，
在△BOD 中，BD＝2， ，易知 O 的轨迹为阿圆，其半径 ，
故 ．
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分 14 分）
在 △ ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 应 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且 满 足
．
（1）求 A；
（2）已知 a＝ ，B＝ ，求△ABC 的面积．
解：（1）由正弦定理： ，得：
2
ee
( ) xf x a= 2y x= +∞
0
xy a= 2y x= 0x
0
0
2 2 2
0 0
0
0 0
(1, )
ln 2
x
e e
x
a x a e a e
a a x
= ⇒ = ⇒ ∈ =
2
8 2
3
2 2 2 2CO CD CA CB CE CB
λ λ λ λλ= = + = +
3 12 2
λ λ+ = 1
2
λ = 2OB OD=
2OB OD= 2 2r =
4 2 8 2ABC BODS S BD r= ≤ ⋅ =△ △
cosA 3 sin B 0b a− =
2 3 3
π
sin sin
a b
A B
= sin cos 3sin sin 0B A A B− =11
B 为△ABC 内角，故 sinB＞0，所以 ，
若 ，则 ，与 矛盾，故 ，
因此 ，又 A 为△ABC 内角，所以 ；
（2）由正弦定理得： ，
故 ．
16．（本小题满分 14 分）
如图，在四棱锥 P—ABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，BD⊥DC，△PCD 为正
三角形，平面 PCD⊥平面 ABCD，E 为 PC 的中点．
（1）证明：AP∥平面 EBD ；
（2）证明：BE⊥PC．
证明：（1）连结 AC 交 BD 于点 O，连结 OE
因为四边形 ABCD 为平行四边形
∴O 为 AC 中点，
又 E 为 PC 中点，
故 AP∥OE，
又 AP 平面 EBD，OE 平面 EBD
所以 AP∥平面 EBD ；
（2）∵△PCD 为正三角形，E 为 PC 中点
所以 PC⊥DE
因为平面 PCD⊥平面 ABCD，
平面 PCD 平面 ABCD＝CD，
又 BD 平面 ABCD，BD⊥CD
∴BD⊥平面 PCD
又 PC 平面 PCD，故 PC⊥BD
又 BD DE＝D，BD 平面 BDE，DE 平面 BDE
故 PC⊥平面 BDE
又 BE 平面 BDE，
所以 BE⊥PC．
17．（本小题满分 14 分）
cos 3sinA A=
cos 0A = sin 0A = 2 2sin cos 1A A+ = cos 0A ≠
3tan 3A =
6A
π=
sin 6sin
a Bb A
= =
2C A B
ππ= − − =
1 6 32S ab= =
⊄ ⊂
⊂
⊂
⊂ ⊂
⊂12
某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道 l1 和 l2 通过一段抛物线
形状的栈道 AB 连通（道路不计宽度），l1 和 l2 所在直线的距离为 0.5（百米），对岸堤岸线 l3
平行于观光道且与 l2 相距 1.5（百米）（其中 A 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于 l3，
且交 l3 于 M ），在堤岸线 l3 上的 E，F 两处建造建筑物，其中 E，F 到 M 的距离为 1 （百
米），且 F 恰在 B 的正对岸（即 BF⊥l3）．
（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道 AB 的方程；
（2）游客（视为点 P）在栈道 AB 的何处时，观测 EF 的视角(∠EPF)最大？请在（1）
的坐标系中，写出观测点 P 的坐标．
解：（1）以 A 为原点，l1 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建系
由题意知：B(1，0.5)，设抛物线方程为
代入点 B 得：p＝1，故方程为 ，x [0，1]；
（2）设 P( ， )，t [0， ]，作 PQ⊥l3 于 Q，记∠EPQ＝ ，∠FPQ＝
， ，
令 ， ，则：
当且仅当 即 ，即 ，即 时取等
故 P( ， )时视角∠EPF 最大，
答：P( ， )时，视角∠EPF 最大．
2 2x py=
2 2x y= ∈
2t 2t ∈ 2
2
α β
2 1EQ t= + 22PQ t= − 1 2FQ t= −
22 2
2 4 2
2 2
2 1 1 2
tan tan 2(2 )2 2tan tan( ) 1 21 tan tan 2 31 (2 )
t t
tt tEPF t t t
t
α βα β α β
+ −++ −− −∠ = + = = =−− − +− −
2 32 [ 2]2t x− = ∈ ， 2 2t x= −
2 2
2 2 2 3 1tan 3(2 ) 2 1 2 3 22
x xEPF x x x x x x
+∠ = = = ≤− + − − + + −
3x x
= 3x = 2 2 3t = − 6 3
2t
−=
3 1− 2 3−
3 1− 2 3−13
18．（本小题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： (a＞b＞0)的离心率为
．且经过点(1， )，A，B 分别为椭圆 C 的左、右顶点，过左焦点 F 的直线 l 交椭圆 C
于 D，E 两点（其中 D 在 x 轴上方）．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若△AEF 与△BDF 的面积之比为 1：7，求直线 l 的方程．
解：（1）设焦距为 2c，由题意知： ；
（2）由（1）知：F(﹣1，0)，设 l： ，D( ， )，E( ， )， ＜0＜
①，
，
，
由①②得： ， ，
代入③得： ，又 ，故 ，
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
1
2
3
2
22 2
2 2
2 2 2 2
1 9 1 44
3 : 14 31 1
2
aa b x yb a c b C
c c
a
+ = =
= − ⇒ = ⇒ + =
= =
1x my= − 1x 1y 2x 2y 2y 1y
1
1
1 2
2
2
1 ( ) 3 72= 71 3( )( )2
BDF
AEF
a c yS y y yS ya c y
+
= = ⇒ = −−− −
△
△
2 2
2 2
1 (3 4) 6 9 0
3 4 12
x my m y my
x y
= − ⇒ + − − = + =
2144( 1)m= +
2 1 2 2
1 2 2
1 2 2
6
3 6 1 3 4
93 4
3 4
my ym m my m y y m
+ =± + += ⇒ −+ = +
，
②
③
2 2
9
2(3 4)
my m
−= + 1 2
21 0 02(3 4)
my mm
= > ⇒ >+
2
2
2 2 2
189 9 16
4(3 4) 3 4 9
m mm m
− −= ⇒ =+ + 0m > 4
3m =14
因此，直线 l 的方程为 ．
19．（本小题满分 16 分）
已知函数 (m R)的导函数为 ．
（1）若函数 存在极值，求 m 的取值范围；
（2）设函数 （其中 e 为自然对数的底数），对任意 m R，若
关于 x 的不等式 在(0， )上恒成立，求正整数 k 的取值集合．
解：（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
则 ，
由题意可知 ，解得 ；
（2）由（1）可知， ，
所以
因为
整理得 ，
设 ，则 ，所以 单调递增，
又因为 ，且 ＋m﹣ ，
所以存在 ，使得 ，
设 ，
则 ，
设 ，则 ， ，
所以 单调递增，因为 ，
所以存在 ，使得 ，即 ，
3 3
4 4y x= +
3 2 22( ) 3f x x mx m x= − + ∈ ( )f x′
( ) ( ) ( )g x f x f x′= −
( ) (e ) (ln )xh x f f x′ ′= + ∈
2 2( )h x m k≥ + +∞
3 2 22( ) 3f x x mx m x= − + 2 2( ) 2 2f x x mx m′ = − +
3 2 2 22( ) ( ) ( ) ( 2) ( 2 )3g x f x f x x m x m m x m′= − = − + + + −
2 2( ) 2 2( 2) 2g x x m x m m′ = − + + +
2 24( 2) 8( 2 ) 0m m m∆ = + − + > ( 2,2)m∈ −
2 2( ) 2 2f x x mx m′ = − +
2 2 2( ) 2 2 2(ln ) 2 ln 2x xh x e me x m x m= − + − +
2 2 2 2 2( ) 2 2 2(ln ) 2 ln 2x xh x e me x m x m m k= − + − + ≥ +
2 2 2 22( ln ) 2 2(ln ) 0x xm e x m e x k− + + + − ≥
( ) lnxH x e x= + 1( ) 0xH x e x
′ = + > ( )H x
11( ) 1mm eH e e m m
−− = + − > 1mee m
− <
( ) lnxH x e x m= + =
2 2 2 2( ) 2( ln ) 2 2(ln )x xF m m e x m e x k= − + + + −
2 2
min( ) ( ln ) ( ln )x xF m F e x e x k= + = + −
( ) lnxG x e x= − 1( ) xG x e x
′ = − 2
1( ) xG x e x
′′ = +
( )G x′ 1( ) 2 02G e′ = − < (1) 1 0G e′ = − >
0
1( ,1)2x ∈ 0( ) 0G x′ = 0
0
1xe x
=15
且当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
因为 ，所以 ，
又由题意可知 ，所以 ，
解得 ，所以正整数 k 的取值集合为{1，2}．
20．（本小题满分 16 分）
已知数列 ， ，数列 满足 ，n ．
（1）若 ， ，求数列 的前 2n 项和 ；
（2）若数列 为等差数列，且对任意 n ， 恒成立．①当数列 为等
差数列时，求证：数列 ， 的公差相等；②数列 能否为等比数列？若能，请写
出所有满足条件的数列 ；若不能，请说明理由．
解：（1）因为 ， ，所以 ， 且 ，
由题意可知，数列 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，
数列 是首项和公比均为 4 的等比数列，
所以 ；
（2）①设数列 的公差为 ，数列 的公差为 ，
当 n 为奇数时， ，
若 ，则当 时， ，
0(0, )x x∈ ( ) 0G x′ < 0( , )x x∈ +∞ ( ) 0G x′ >
( )G x 0(0, )x 0( , )x +∞
0
min 0 0 0
0
1( ) ( ) lnxG x G x e x x x
= = − = +
0
1( ,1)2x ∈ 0 0
0
1 5( ) (2, )2G x x x
= + ∈
2 2( ( )) 0G x k− ≥ 2 2 2 2
min 0( ( ) ) ( ( )) 0G x k G x k− = − ≥
0( )k G x≤
{ }na { }nb { }nc n
n
n
a nc
b n
=
， 为奇数
， 为偶数 N∗∈
na n= 2n
nb = { }nc 2nT
{ }na N∗∈ 1n nc c+ > { }nb
{ }na { }nb { }nb
{ }nb
na n= 2n
nb = 2 2na a+ − = 2 4n
n
b
b
+ = 1 1 1c a= = 2 2 4c b= =
{ }2 1nc −
{ }2nc
1
2
2
( 1) 4(1 4 ) 4 422 1 4 3 3
n n
n
n nT n n
+− −= + × + = + −−
{ }na d { }nb 1d
1 ( 1)n nc a a n d= = + − 1 1 1 1n nc b b nd+ += = +
1d d< 1 1
1
a d bn d d
− −> − 1 1 1( ) 0n nc c d d n d a+ − = − + − 1 1 1
1
b d an d d
− −> − 1 1 1 1 1( ) 0n nc c d d n a d b+ − = − + + − <
1n nc c+ < 1d d≤
1d d=
{ }nb
1n nc c+ > 2 1n n nc c c+ +> > 2 2 0n na a d+ − = > 22 1n
n
b qb
+ = >
2
1
41 log ( 1)q
dn b q
> + −
12 2
2 1( 1) ( 1) 4n
n n nb b b q b q q d−
+ − = − = ⋅ ⋅ − >
1 1n n na b a− +< < 2 1 3( , )n n nb a a+ + +∉
1 1n n nc c c− +< < 1 2 3n n nc c c+ + +< <
{ }nb
a b
c d
1 3 3 3 2 3
2 1 2 2 1 1
a b a c b d
c d a c b d
+ + − = = + +
3 2
3 3
2 1
2 1
a c
b d
a c
b d
+ = −
+ = + =
+ =
1, 0, 1, 1a b c d= = = − = 1 0
1 1
− 17
则矩阵 M 的特征方程为 ，解得 ，即特征值为 1，
设特征值 的特征向量为 ，则 ，
即 ， 解 得 x ＝ 0 ， 所 以 属 于 特 征 值 的 的 一 个 特 征 向 量 为
．
B．选修 4—4：坐标系与参数方程
在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 l 的 参 数 方 程 为
，以原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐
标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ=4sinθ。
（1）求曲线 C 的普通方程；
（2）求曲线 l 和曲线 C 的公共点的极坐标．
解：（1）∵曲线 C 的极坐标方程为 ，
∴ ，则
即：
（2） ，
∴ ，
∴
（舍）或 ，
公共点( ，3)，极坐标(2 ， )．
C．选修 4—5：不等式选讲
2( ) ( 1) 0f λ λ= − = 1λ =
1λ = x
y
α =
Mα λα=
x x
x y y
= − + 1λ =
0
1
α =
4sinρ θ=
2 4 sinρ ρ θ= 2 2 4x y y+ =
2 2( 2) 4x y+ − =
2 2
2 2
2 cos 2cos 12
3 2 3 cos 3(2cos 1)2 2
x
y
αα
α α
= + = +
= + = +
3y x= 1x >
2 23 4 3x x x+ =
0x = 3x =
3 3 3
π18
已知正数 x，y，z 满足 x+y+z=t（t 为常数），且 的最小值为 ，求实
数 t 的值。
解：因为
即 ，当且仅当 ， ， 时，上述等号成立，
所以 ，即 ，又 x，y，z＞0，∴x+y+z=t＝4．
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程
或演算步骤．
22．（本小题满分 10 分）
某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满 200 元，有一次抽奖机会（即满 200 元可
以抽奖一次，满 400 元可以抽奖两次，依次类推）。抽奖的规则如下：在一个不透明口
袋中装有编号分别为 1，2，3，4，5 的 5 个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出
一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大
（如 1，2，5），则获得一等奖，奖金 40 元；若摸得的小球编号一次比一次小（如 5，
3，1），则获得二等奖，奖金 20 元；其余情况获得三等奖，奖金 10 元.
（1）某人抽奖一次，求其获奖金额 X 的概率分布和数学期望;
（2）赵四购物恰好满 600 元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好
为 60 元的概率.
解：由题意知，随机变量 X 的可能取值为 10，20，40
且 ， ，
所以 ，
即随机变量 X 的概率分布为
X 10 20 40
P
所以随机变量 X 的数学期望 ；
（2）由题意知，赵四有三次抽奖机会，设恰好获得 60 元为事件 A，
因为 60＝20×3＝40＋10＋10，
2 2
2
4 9
x y z+ + 8
7
2 2 2 2
2 2 2 2 2 21 9 9 1
4 9 4 49 9 196 196 14
x y x yz t t z t t+ + = + + + + + −
21 1( )7 14t x y z t≥ + + −
2 2
2
4 9
x y z+ + 21
14 t≥ 2
7x t= 9
14y t= 1
14z t=
21 8
14 7t = 2 16t =
3
5
3
5
1( 40) 6
CP X A
= = =
3
5
3
5
1( 20) 6
CP X A
= = =
2( 10) 1 ( 40) ( 20) 3P X P X P X= = − = − = =
2
3
1
6
1
6
2 1 1 50( ) 10 20 403 6 6 3E X = × + × + × =19
所以 ．
23．（本小题满分 10 分）
已知抛物线 C:x2=4py（p 为大于 2 的质数）的焦点为 F，过点 F 且斜率为 k(k≠0)
的直线交 C 于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线交 y 轴于点 E，抛物线 C 在点 A，B
处的切线相交于点 G.记四边形 AEBG 的面积为 S.
（1）求点 G 的轨迹方程；
（2）当点 G 的横坐标为整数时，S 是否为整数？若是，请求出所有满足条件的 S
的值；若不是，请说明理由.
解：（1）设 ，则 ，
抛物线 C 的方程可化为 ，则 ，
所以曲线 C 在点 A 处的切线方程为 ，
在点 B 处的切线方程为 ，
因为两切线均过点 G，所以 ，
所 以 A ， B 两 点 均 在 直 线 上 ， 所 以 直 线 AB 的 方 程 为
，
又因为直线 AB 过点 F(0，p)，所以 ，即 G 点轨迹方程为 ；
3 1 2
3
1 2 1 49( ) ( ) ( )6 3 6 216P A C= + ⋅ =
21
4y xp
= 1
2y xp
′ =
1 1 1 1 1
1 1( )2 2y x x x y x x yp p
= − + = −
0 1 0 1
1
2y x x yp
= − 0 2 0 2
1
2y x x yp
= −
0 0
1
2y x x yp
= −
0 0
1
2y x x yp
= −
0y p= − y p= −20
（2）设点 G( ， )，由（1）可知，直线 AB 的方程为 ，
即 ，
将直线 AB 的方程与抛物线联立， ，整理得 ，
所以 ， ，解得 ，
因为直线 AB 的斜率 ，所以 ，
且 ，
线段 AB 的中点为 M ，所以直线 EM 的方程为：
，
所以 E 点坐标为(0， )，
直线 AB 的方程整理得 ，
则 G 到 AB 的距离 ，
则 E 到 AB 的距离 ，
所以 ，
设 ，因为 p 是质数，且 为整数，所以 或 ，
当时 ， ， 是无理数，不符题意，
0x p− 0
1
2p x x yp
− = −
0
1
2y x x pp
= +
0
2
1
2
4
y x x pp
x py
= +
=
2 2
02 4 0x x x p− − =
1 2 02x x x+ = 2
1 2 4x x p= − 2 2
1 2 02 4x x x p− = +
0
1 02k xp
= ≠ 0 0x ≠
2 2
2 0
1 2
41 x pAB k x x p
+= + − =
2
0 0
1( , )2x x pp
+
2
0 0
0
2 1( ) 2
py x x x px p
= − − + +
2
0
1
2 x pp
+
2
0 2 2 0x x py p− + =
2 2
0 2 2
1 02 2
0
4
4
4
x p
d x p
x p
+
= = +
+
2 2
0 2 2
2 02 2
0
4
4
4
x p
d x p
x p
− −
= = +
+
2 2 2 2
0 0
1 2
( 4 ) 41 ( )2
x p x pS AB d d p
+ += + =
0x mp= 0x 1m p
= ( 0)m Z m∈ ≠
1m p
= 0 1x = ±
2 2 2 2
0 0( 4 ) 4x p x pS p
+ +=21
当 时， ，
因为当 时， ，即 是无理数，所以 不符题意，
当 时， 是无理数，不符题意，
综上，当 G 点横坐标为整数时，S 不是整数．
( 0)m Z m∈ ≠ 2 2 2( 4) 4S m p m= + +
2m ≥ 2 24 ( 1)m m+ < + 2 4m + 2m ≥
1m = ± 2 4 5m + =
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