2020 年四川省叙州区第一中学高三第二学月考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无
效。
第 I 卷 选择题（60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1． 是虚数单位，若复数 满足 ，则复数 的实部与虚部的和是
A．0 B．1 C．2 D．3
2．设全集 ，集合 ，B={x| ≤1}，则 =
A． B． C． D．
3．已知向量 ， ，若 ，则实数
A． B． C． D．
4．如图所示的是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，甲、乙两人这几场比赛得分
的平均数分别为 ， ，标准差分别为 ， ，则有
A． ， B． ，
C． ， D． ，
5．若 ， ， ，则实数 ， ， 的大小关系为
A． B． C． D．
6．函数 在 上的图象大致为
A． B．
i z 1zi i= − + z
U R= { }1 3A x x= < < 2log x A B∩
( ]1,2 ( )0,3 ( ]0,2 ( ]0,3
(1, 4)a = − (2, )b m= a b⊥ m =
2− 1
2
1
2
− 2
x甲 x乙 s甲 s乙
x x>甲 乙 s s> 乙甲 x x>甲 乙 s s< 乙甲
x x 乙甲 x x > a b c> > c a b> > b a c> >
2
2 sin( ) cos
x xf x x x
= + [ 2 ,2 ]π π−C． D．
7.若函数 的极小值为-1，则函数 的极大值为
A．3 B．-1 C． D．2
8．已知 是定义在 R 上的偶函数，且满足 ， 当 ，则
A．-1.5 B．-0.5 C．0.5 D．1.5
9．已知函数 ，则下列说法不正确的是
A．函数 的周期为 B．函数 的图像关于点 对称
C．将函数 的图像向右平行移动 个单位得到函数 的图像
D．函数 的图像关于直线 对称
10．已知点 在抛物线 上，点 在圆 上，则 的最小值为
A． B． C． D．
11．在三棱锥 中， , 是线段 上一
动点，线段 长度最小值为 ，则三棱锥 的外接球的表面积是[来源:Z&xx&k.Com]
A． B． C． D．
12．已知有穷数列 中， ，且 ，从数列 中依次取出
构成新数列 ，容易发现数列 是以-3 为首项，-3 为公比的等比数列，记数列
的所有项的和为 ，数列 的所有项的和为 ，则
A． B． C． D． 与 的大小关系不确定
第 II 卷 非选择题（90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
3( ) 3f x x x m= − + ( )f x
1
3
( )f x ( 3) ( )f x f x+ = 0 1, ( ) 3x f x x≤ ≤ =
(8.5)f =
( ) 2sin 2 3f x x
π = +
( )y f x= π ( )y f x= ,06
π −
( )y f x=
6
π
2sin2y x=
( )y f x=
3x
π=
P 2y x= Q 2 21( ) ( 4) 12x y+ + − = | |PQ
3 5 12
− 3 3 12
− 2 3 1− 10 1−
P ABC− PA ABC⊥ 平面 0120 , 2, 2,BAC AP AB M∠ = = = BC
PM 3 P ABC−
9
2
π
40π 9 2π 18π
{ }na 1,2,3, ,729n = 1(2 1)( 1)n
na n += − − { }na
2 5 14, , ,a a a { }nb { }nb { }na
S { }nb T
S T> S T= S T< S T13．若 满足约束条件 ，则 的最大值为__________.
14．设集合 ，且 ，则实数 的取值范围是 ．
15．在学校国庆文艺晚会上，有三对教师夫妇参加表演节目，要求每人只能参加一个单项表演节目.
按节目组节目编排要求，男教师的节目不能相邻，且夫妻教师的节目也不能相邻，则该 6 名教师表
演的节目的不同编排顺序共有______种.（用数字填写答案）
16 ． 已 知 数 列 的 首 项 是 ， 前 项 和 为 ， 且 ， 设
，若存在常数 ，使不等式 恒成立，则 的最小值为 ．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试
题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在 A，B 实验地分别用甲、乙方法
培育该品种花苗．为观测其生长情况，分别在 A，B 试验地随机抽选各 50 株，对每株进行综合评分，
将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为 80 及以上的花苗为优质花苗．
（I）求图中 a 的值，并求综合评分的中位数；
（II）用样本估计总体，以频率作为概率，若在 A，B 两块实验地随机抽取 3 棵花苗，求所抽取的花
苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；
（III）填写下面的列联表，并判断是否有 90%的把握认为优质花苗与培育方法有关．
优质花苗 非优质花苗 合计
甲培育法 20
乙培育法 10
合计
yx,
≤
≥+−
≥+
3
03
0
x
yx
yx
yxz −= 2
{ }na 1 1a = n nS 1 2 3 1( *)n nS S n n N+ = + + ∈
2log ( 3)n nc a= + k 1 ( *)( 25)
n
n
ck n Nn c
−≥ ∈+ k附：下 面的临界值表仅供参考．
0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001
2．072 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828
（参考公式： ，其中 ．）
18．（12 分）已知向量 与 共线，其中 A 是△ABC 的内角．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若 BC=2，求△ABC 面积 的最大值，并判断 S 取得最大值时△ABC 的形状.
19．（12 分）如图，在直四棱柱 中，底面 为梯形， ，
， ， ， ，点 在线段 上， ， .
（Ⅰ）证明： 平面 .
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
20．（12 分）已知 和 是平面直角坐标系中两个定点，过动
点 的直线 和 的斜率分别为 ， ，且 .
（Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）过点 作相互垂直的两 条直线与轨迹 交于 ， 两点，求证：直线 过定点.
21．已知函数 在点 处的切线方程为 ．
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）设函数 （ ），求 在 上的单调区间；
（III）证明： （ ）．
( )2
0P K k≥
0k
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
( )1sin 2A= ，m ( )3 sin 3cosA A= +，n
A
S
1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD AB CD∥
60BAD∠ = ° 1CD = 2AD = 4AB = G AB 3AG GB= 1 1AA =
1D G∥ 1 1BB C C
1 1A D G A− −
( )0,0O ( )0,2K
( ),M x y MO MK 1k 2k 1 2
1
2k k⋅ = −
( ),M x y C
K C A B AB
( ) bf x ax x
= + (1, (1))f 2 2y x= −
a b
2( ) ( ) ( 1)lng x mf x m x= − + m R∈ ( )g x (1, )+∞
1 1 1 11 ln(2 1)3 5 2 1 2 2 1
nnn n
+ + +…+ > + +− + *n N∈[来源:学.科.网]
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计
分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 中，曲线 的方程为 .以坐标原点 为极点， 轴正半轴
为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线 的极坐标方程；
（Ⅱ）直 线 ，直线 ，若 ， 与曲线 分别交于异于极点的
， 两点，求 的面积.
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）已知函数 .
（Ⅰ）当 时，解不等式 ；
（Ⅱ）若 ， ，求 的取值范围.
xOy C ( ) ( )2 23 4 25x y− + − = O x
C
( )1 : 6l R
πθ ρ= ∈ ( )2 : 3l R
πθ ρ= ∈ 1l 2l C
A B AOB∆
( ) 2f x x a x= − + +
0a = ( ) 4f x ≥
0x R∃ ∈ ( )0 2f x < a2020 年春四川省叙州区第一中学高三第二学月考试
理科数学参考答案
1．C 2．A 3．B 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D 9．D 10．A 11 ． D
12．A
13．9 14． 15．24 16．
17．解：（1）由 ，
解得 ．
令得分中位数为 x，由 ，
解得 ．
故综合评分的中位数为 82．5．
（2）由（1）与频率分布直方图 ，优质花苗的频率为 ，即概率为 0．6，
设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为 X，则 ，于是，
； ；
； ．其分布列为：
X 0 1 2 3
P[来源:Z.Com]
所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望 ．[来源:Z|xx|k.Com]
（3）结合（1）与频率分布直方图，优质花苗的频率为 ，则样本中，优质花
苗的颗数为 60 棵，列联表如下表所示：
优质花苗 非优质花苗 合计
甲培育 法 20 30 50
乙培育法 40 10 50
合计 60 40 100
1
36
0.005 10 0.010 10 0.025 10 10 0.020 10 1a× + × + × + × + × =
0.040a =
( )0.020 10 0.040 90 0.5x× + × − =
82.5x =
( )0.04 0.02 10 0.6+ × =
3~ 3 5X B
，
( ) 3
0
3
2 80 5 125P X C = = × =
( ) 2
1
3
3 2 361 5 5 125P X C = = × × =
( ) 2
2
3
3 2 542 5 5 125P X C = = × × =
( ) 3
3
3
3 273 5 125P X C = = × =
8
125
36
125
54
125
27
125
3 93 5 5EX = × =
( )0.04 0.02 10 0.6+ × =可得 ．
所以，有 90%的把握认为优质花苗与培育方法有关系．
18．解：（1）因为 m//n,所以 .
所以 ，即 ， 即 .
因为 , 所以 . 故 ， .
（2）由余弦定理，得 又 ，
而 ，（当且仅当 时等号成立）
所以 .
当△ABC 的面积取最大值时， .又 ，故此时△ABC 为等边三角形
19．（1）证明：连接 ，因为底面 为梯形， ， ， ，
则 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，则 .
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）作 于 ，以 点为坐标原点，分别以 ， ， 所
( )2
2 100 20 10 30 40 16.667 6.63560 40 50 50K
× − ×= ≈ >× × ×
( ) 3sin sin 3cos 02A A A⋅ + − =
1 cos2 3 3sin2 02 2 2
A A
− + − = 3 1sin2 cos2 12 2A A− = πsin 2 16A − =
( )0,πA∈ π π 11π2 6 6 6A − ∈ − ， π π2 6 2A− = π
3A =
2 24 b c bc= + − 1 3sin2 4ABCS bc A bc∆ = =
2 2 2 4 2 4b c bc bc bc bc+ ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≤ b c=
1 3 3sin 4 32 4 4ABCS bc A bc∆ = = ≤ × =
b c= π
3A =
1C B ABCD AB CD∥ 4 4AB CD= = 3AG GB=
1 1GB CD D C 1 1 1GB D C= =
1 1GBC D 1 1D G C B
1C B ⊂ 1 1BB C C 1D G ⊄ 1 1BB C C 1D G∥ 1 1BB C C
DH AB⊥ H D DH DC 1DD在直线为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则
， ， ， ， ，
所以 ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，得 .
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，得 .
所以 因为二面角 为锐角，所以其余弦值为 .
20 ．（Ⅰ）由题意，知 ，得 ，整理得 ，
故 的方程为 .（也可以写作 ）.
（Ⅱ）显然两条过点 的直线斜率都存在，设过点 的直线方程 ，
联立 ，解得 ， ，
设直线 的方程为： ，将 ， ，
代入得 ，整理得： ，
由于两直线垂直，斜率乘积为-1，根据韦达定理 ，即 ，故直线 过定点
.
21．解：（1）∵ ，∴ ，依题意得
解得 ∴ 。
x y z D xyz−
( )1 0,0,1D ( )1 3, 1,1A − ( )3, 1,0A − ( )1 0,0,1D ( )3,2,0G
( )1 1 3, 1,0D A = − ( )1 3,2, 1D G = − ( )0,3,0AG =
1 1A D G ( )1 1 1, ,m x y z=
1 1 1 1
1 1 1 1
3 0,
3 2 0,
D A m x y
D G m x y z
⋅ = − =
⋅ = + − =
1 1x = ( )1, 3,3 3m =
1AD G ( )2 2 2, ,n x y z=
2
1 2 2 2
3 0,
3 2 0,
AG n y
D G n x y z
⋅ = = ⋅ = + − =
2 1x = ( )1,0, 3n =
1 9 5 31cos , 314 31
m n
+= =
×
1 1A D G A− − 5 31
31
1 2
1
2k k⋅ = − 2 1
2
y y
x x
−⋅ = − ( )21 2 02 x y y+ − =
C ( ) ( )2
21 1 02
x y x+ − = ≠ 2 22 4 0x y y+ − =
K K 2y kx= +
2 2
2
2 4 0
y kx
x y y
= +
+ − = 2
4
2 1
kx k
−= + 2
2
2 1y k
= +
AB 0Ax By C+ + =
2
4
2 1
kx k
−= + 2
2
2 1y k
= +
2 2
4 2 02 1 2 1
kA B Ck k
− + + =+ +
22 4 2 0Ck Ak B C− + + =
2 12
B C
C
+ = − 2 3 0B C+ = AB
20, 3
( ) bf x ax x
= + ( ) 2
bf x a x
−′ = ( )
( )
1 2
1 0
f a b
f a b
= − = = + =
′
1
1
a
b
=
= − 1, 1a b= = −（2）由（1）知 ，∴
故函数 在 的单调性为：当 时， 的递减区间为 ；
当 时， 的递减区间为 ，递增区间为 ；
当 ；
当
（3）由（2）知 时，
∴ ，即 ，令 ，
得 ，即 ,
所以 ，上式中 n=1，2，3，…，n，
然后 n 个不等式相加得 （ ）。
故不等式成立。
22．（1） 曲线 的普通方程为 ，即 .
曲线 的极坐标方程为 .
（2）设 ， .把 代入 ，得 ，
.把 代入 ，得 ，
.
.
23．解：（1）当 时，函数 .当 时， ，
( ) ( )21 1 ln ,( 0)g x m x m x xx
= − − + > ( ) ( )( )'
2
1mx x mg x x
− −=
( )g x ( )1,+∞ 0m ≤ ( )g x ( )1,+∞
0 1m< < ( )g x 11, m
1 ,m
+∞
( ) ( )1 1m g x= + ∞时， 的递增区间为 ，
( ) ( ) ( )1 1 , ,m g x m m> +∞时， 的递减区间为 ， 递增区间为
1m = ( ) ( )1g x + ∞在 ， 为增函数，
( ) ( )1 0g x g> = 1 2ln ( 1)x x xx
− > > 2 1, *2 1
nx n Nn
+= ∈−
2 1 2 1 2 12ln2 1 2 1 2 1
n n n
n n n
+ − +− >− + −
2 2 2 11 (1 ) 2ln2 1 2 1 2 1
n
n n n
++ − − >− + −
1 1 2 1 1 1 1ln ( )2 1 2 2 1 2 2 1 2 1
n
n n n n
+> + −− − − +
( )1 1 1 11 ln 2 13 5 2 1 2 2 1
nnn n
+ + +…+ > + +− + *n N∈
C ( ) ( )2 23 4 25x y− + − = 2 2 6 8 0x y x y+ − − =
∴ C 6cos 8sinρ θ θ= +
1
π, 6A ρ
2
π, 3B ρ
π
6
θ = 6cos 8sinρ θ θ= + 1 4 3 3OAρ = = +
π4 3 3, 6A ∴ +
π
3
θ = 6cos 8sinρ θ θ= + 2 3 4 3OBρ = = +
π3 4 3, 3B ∴ + 1 2
1 sin2AOBS AOBρ ρ∆∴ = ∠ ( )( )1 π π4 3 3 3 4 3 sin2 3 6
= + + −
25 312 4
= +
0a = ( ) 2f x x x= + +
2 2, 2
2 2 0
2 2 0
x x
x
x x
− − ≤ −
= − < 2 2 4x + ≥ 1x ≥ ( ) 4f x ≥
] [( ),3 1,−∞ ∪ +∞
0x R∃ ∈ ( )0 2f x < ( ) 2f x < ( ) 2f x x a x= − + + ≥
2 2x x a a+ − + = + 2 2a + < 4 0a− < < a ( )4,0−
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