高三数学
一、选择是：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求，本卷共 9 题，每小题 5
分，共 45 分.
1．设集合 为实数集）， ， ，则
A． B． C． D．
2．下列函数中，在区间 上单调递减的是
A． B． C． D．
3．已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
4．设 ，则“ “是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必条件
5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了 200 分到 450 分之
间的 2000 名学生的成绩，并根据这 2000 名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所
示，则成绩在 ， 内的学生人数为
A．800 B．1000 C．1200 D．1600
(U R R= { | 0}A x x= > { | 1}B x x= (UA B = )
{ | 0 1}x x< < { | 0 1}x x< { | 1}x x { | 0}x x >
(0, )+∞ ( )
1
2y x= 2xy = 1
2
logy = x 1y x
= −
a lnπ= 1
2
log 5b =
1
2c e
−= ( )
a b c> > b a c> > c b a> > a c b> >
x R∈ | 1| 2x − < 2x x< ( )
[250 350] ( )6．已知函数 ， 的图象与直线 的两个相邻交点
的距离等于 ，则 的一条对称轴是
A． B． C． D．
7．设 为双曲线 的右焦点， 为 坐标原 点，以 为直径的圆
与圆 交于 ， 两点．若 ，则 的离心率为
A． B． C．2 D．
8．已知数列 满足 ，且 ，则数列 的通项公式为
A． B． C． D．
9．设 ， ，函数 若函数 恰有 3 个零
点，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分.
10．已知复数 ，其中 为虚数单位，若复数 为纯虚数，则实数 的值
是 ．
11．在 的展开式中， 的系数等于 ．
12．一个袋中装着标有数字 1，2，3，4，5 的小球各 2 个，从中任意摸取 3 个小球， 每个
小球被取出的可能性相等，则取出的 3 个小球中数字最大的为 4 的概率是 ．
13．曲线 在点 处的切线方程为 ．
14．已知 ， ， ，则 的最小值是 ．
15 ． 已 知 向 量 ， 满 足 ， ， 且 已 知 向 量 ， 的 夹 角 为 ，
，则 的最小值是 ．
三、解答题：本大题共 5 个小题，共 75 分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（15 分）在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ， ，
( ) 3sin cos ( 0)f x x xω ω ω= − > ( )y f x= 2y =
π ( )f x ( )
12x
π= −
12x
π=
3x
π= −
3x
π=
F
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > O OF
2 2 2x y a+ = P Q | | | |PQ OF= C ( )
2 3 5
{ }na 1 3a = *
1 4 3( )n na a n N+ = + ∈ { }na ( )
2 12 1n− + 2 12 1n− − 22 1n + 22 1n −
a b R∈
3 2
, 0,
( ) 1 1 ( 1) , 03 2
x x
f x x a x ax x
1a > − 0b < 1a > − 0b >
( 2 )(1 )z a i i= + + i z a
81( )
2
x
x
+ x
2( 1) xy x e= + (0,1)
0x > 0y > 3 5x y xy+ = 2x y+
a b | | 2a = | | 3b = a b 60°
( ) ( ) 0a c b c− − = | |c
ABC∆ A B C a b c sin 3 sinb A c B=， ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值．
17．（15 分）已知数列 是各项均为正数的等比数列 ， ，且 ， ，
成等差数列．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ， 为数列 的前 项和，记 ，证明：
．
18．（15 分）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 是椭圆 上且不在 轴上的一个动点， 为坐标原点，过右焦点 作 的平
行线交椭圆于 、 两个不同的点，求 的值．
19．（15 分）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）证明： ．
20．（15 分）已知 函数 ， 为实数，且 ．
（Ⅰ）当 时，求 的单调区间和极值；
（Ⅱ）求函数 在区间 ， 上的值域（其中 为自然对数的底数）．
3a = 2cos 3B =
b
cos(2 )6B
π−
{ }na ( *)n N∈ 1 2a = 12a 3a 23a
{ }na
2logn nb a= nS { }nb n
1 2 3
1 1 1 1
n
n
T S S S S
= + + +……+
1 2nT > 2
2
6(1, )2
C
Q C x O F OQ
M N 2
| |
| |
MN
OQ
{ }na n nS 2 1( *)n nS a n N= − ∈
{ }na
2
1
1 4
3
n
k ka=
1a = ( )f x
( )f x [1 ]e e一、选择是：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求，本卷共 9 题，每小题 5
分，共 45 分.
1.A
2.C
3.D
4B
5.B 学_科_网]
6.D
7.A
8.D
9.C
二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分.
10.2．
11 7．
12. ．
13. ．
14. ．
15.
三、解答题：本大题共 5 个小题，共 75 分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 因 为 ，
由正弦定理可得， ，[
因为 ，
故 ，即 ，
由余弦定理可得， ，
解可得， ．
因为 ，
7
40
1 0x y− + =
2 6 15
+
19 7
2
−
( )I sin 3 sinb A c B=
sin sin 3sin sinB A C B=
sin 0B ≠
sin 3sinA C= 3 3a c= =
22 9 1
3 6
b+ −=
6b =
( )II 2cos 3B =所以 ， ， ，
则 ．
17（Ⅰ）数列 是各项均为正数的等比数列 ， ，设公比为 ， ，[来源:学#科#网]
， ， 成等差数列，可得 ，即 ，
解得 （负值舍去），则 ， ；
（Ⅱ）证明： ，
， ，
则 ，
由数列 在 递增，可得 （1） ，
且 ，可得 ．
18（Ⅰ）由题可得 ，即 ， ，[来源:学§科§网]
将点 代入方程得 ，即 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为： ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
设直线 ，则直线 ，
联立 ，整理得 ，
所以 ，
联立 ，整理得
设 ， ， ， ，则 ， ，[来源:Z|xx|k.Com]
所以 ，
5sin 3B = 2 1cos2 2cos 1 9B B= − = − 4 5sin 2 2sin cos 9B B B= =
3 1 3 1 1 4 5 4 5 3cos(2 ) cos2 sin 2 ( )6 2 2 2 9 2 9 18B B B
π −− = + = × − + × =
{ }na ( *)n N∈ 1 2a = q 0q >
12a 3a 23a 3 1 22 2 3a a a= + 22 2 4 3 2q q= +
2q = 1
1 2n n
na a q −= = *n N∈
2 2log log 2n nb a= = n n=
1 ( 1)2nS n n= + 1 2 1 12( )( 1) 1nS n n n n
= = −+ +
1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 12(1 ) 2(1 )2 2 3 1 1n
n
T S S S S n n n
= + + +……+ = − + − +…+ − = −+ +
1{1 }1n
− + *N ( )f n f
1
2
=
( ) 1f n < 1 2nT ( ) 0f x′ <
1x = f 0=
(0,1) (1, )+∞
1 1( ) ( ) axII f x ax x
−′ = − =
10 a e
< ( ) 0f x′ ( )f x [1 ]e f ( )f x f
[0 1 ]a ae+ −
1a ( ) 0f x′ ( )f x [1 ]e f ( )f x f ， ；
当 时，易得 ， 时， ， 在 ， 上单调递增， 时，
， 在 ， 上单调递减，
故 当 时 ， 函 数 取 得 最 大 值 ， 最 小 值 为 （ 1 ） ， （ e ）
中最小的，
当 时， （e） （1），最小值 （1） ；
当 ， （e） （1），最小值 （e） ；
综上， 时，函数的值域 ， ，
当 时，函数的值域 ， ，
当 时，函数的值域 ， ．
[1 a ae+ − 0]
1 1ae
< < [1x∈ 1)a ( ) 0f x′ > ( )f x [1 ]e 1( , ]x ea
∈
( ) 0f x′ < ( )f x [1 ]e
1x a
= 1( ) 1f lna aa
= − − + f 0= f
1 ae a= − +
( )i 1 1
1ae e
< − f f f 0=
( )ii 1 11 ae
<
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