2019~2020 学年度高三年级四月份测试题
数学试卷 B 2020.4
（考试时间 120 分钟 满分 150 分）
本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知命题 ： ， ，那么命题 的否定为
（A） ， （B） ，
（C） ， （D） ，
（2）设集合 ， ，则 =
（A） （B）
（C） （D）
（3）下列函数中既是奇函数，又在区间 上单调递减的是
（A） （B）
（C） （D）
（4）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
（A） （B）
（C） （D）
（5）为了宣传今年 月即将举办的“第十八届中国西部博览会”（简称“西博会”），组委会举办了“西博
会”知识有奖问答活动. 在活动中，组委会对会议举办地参与活动的 岁市民进行随机抽
样，各年龄段人数情况如下：
p x∀ ∈R e 1>x p
0x∃ ∈R 0e 1x ≤ x∀ ∈R e 1 x∀ ∈R e 1≤x
2{ | 3 4 0}ZA x x x= ∈ − − ≤ 2{ |e 1}xB x −= < A B
{ 1,0,1,2}− [ 1,2)−
{ 1,0,1}− [ 1,2]−
(0,1)
3( ) 2f x x= − + 1
2
( ) log | |f x x=
3( ) 3= −f x x x ( ) sinf x x=
3log 2=a 0.2log 0.3=b 11tan 3
π=c a b c
< > 1
2
F l A B
l x | | 3AB =
C
l x x P F x PA
PB P
2( ) e ( )xf x ax a= − ∈ R
( )y f x= (1, (1))f x a
( )f x [0,1] 2 a
( )f x a（21）（本小题 14 分）
已 知 集 合 ， 对 于
，
，定义 与 的差为 ； 与 之间的
距离为 ．
（Ⅰ）若 ，试写出所有可能的 ， ；
（Ⅱ） ，证明： ；
（Ⅲ） ， 三个数中是否一定有偶数？证明你的结论.
2019~2020 学年度高三年级四月份测试题
数学 B 参考答案 2020.4
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
（1） A （2） C （3）C （4） A （5） C
（6） D （7） B （8）D （9） B （10） D
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（11） （12） , （13） （答案不唯一）
（14） （15）①③
三、解答题（共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
（16）（本小题 13 分）
解：方案一：选条件①
因为
1 2{ | ( , , , ), {0,1}, 1,2, , }( 2)n n iS X X x x x x i n n= = ∈ = ≥ 1 2( , , , )nA a a a=
∈ nS
1 2( , , , )= ∈ n nB b b b S A B 1 1 2 2(| |,| |, ,| |)n nA B a b a b a b− = − − − A B
1 1 2 2( , )= | | + | | | |− − + + − n nd A B a b a b a b
(0, 1)A B− = A B
, , nA B C S∀ ∈ ( , ) ( , )d A C B C d A B− − =
, , nA B C S∀ ∈ ( , ), ( , ), ( , )d A B d A C d B C
80 3 4 1 *2 ( )n
na n−= − ∈N
2 1+
1( ) cos sin( )6 4f x x xω ω π= + −
…………3 分
，
又 ，所以 ，所以 . …………5 分
方案二：选条件②
因为 ， ，
所以 .
又 ，所以 ，所以 . …………5 分
方案三：选条件③
由题意可知， ，所以 ，所以 . …………1 分
又因为函数 图象经过点 ，所以 . …………3 分
因为 ，所以 ，所以 . …………5 分
（Ⅰ）因为 ， ，所以 . …………7 分
1cos (sin cos cos sin )6 6 4x x xω ω ωπ π= + −
23 1 1sin cos cos2 2 4x x xω ω ω= + −
3 1sin2 cos24 4x xω ω= +
1 3 1( sin2 cos2 )2 2 2x xω ω= +
1 sin(2 )2 6xω π= +
2
2T ω
π= = π 1ω = 1( ) sin(2 )2 6f x x
π= +
( 3sin ,cos2 )x xω ω=m 1 1( cos , )2 4xω=n
3 1 1( ) sin cos cos2 sin(2 )2 4 2 6f x x x x xω ω ω ω π= ⋅ = + = +m n
2
2T ω
π= = π 1ω = 1( ) sin(2 )2 6f x x
π= +
2
2T ω
π= = π 1ω = 1( ) sin(2 )2 6f x x
π= +
( )f x 1( , )6 2
π 1 1sin(2 )2 2 6
ϕπ= × +
| | 2
ϕ π<
6
ϕ π= 1( ) sin(2 )2 6f x x
π= +
0 2
θ π< < 1sin 2
θ =
6
θ π= 所以 . …………9 分
（Ⅱ）由 ，
得 …………12 分
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以函数 在 上的单调递减区间为 ， . …………13 分
（17）（本小题 14 分）
解:（Ⅰ） 由表可知，该患者共 6 天的体温不低于 ，记平均体温为 ，· ····1 分
． ··········4 分
所以，患者体温不低于 的各天体温平均值为 .
（Ⅱ） 的所有可能取值为 , , ． ·····························5 分
, ······························6 分
, ····························7 分
． ····························8 分
则 的分布列为： ················································9 分
P
所以 ． ·········································11 分
1 1( ) ( ) sin6 2 2 2f fθ π π= = =
32 2 2 ,2 6 2k x k k
π π π+ π ≤ + ≤ + π ∈Z
2 ,6 3k x k k
π π+ π ≤ ≤ + π ∈Z
0k = 2
6 3x
π ≤ ≤ π 1k = 7 5
6 3x
π π≤ ≤
( )f x [0,2 ]π 2[ , ]6 3
π π 7 5[ , ]6 3
π π
39 C x
1 (39.4 39.7 40.1 39.9 39.2+39.0) 39.55 C6
= + + + + = x
39 C° 39.55 C
X 0 1 2
3 0
3 2
3
5
1( 0) 10
C CP X C
= = =
2 1
3 2
3
5
6 3( 1) 10 5
C CP X C
= = = =
1 2
3 2
3
5
3( 2) 10
C CP X C
= = =
X
X 0 1 2
1
10
3
5
3
10
1 3 3 6( ) 0 1 210 5 10 5E X = × + × + × =（Ⅲ）“抗生素 C”治疗效果最佳可使用理由：
① “抗生素 B”使用期间先连续两天降温 1.0 又回 升
0.1 ，“抗生素 C”使用期间持续降温共计 1.2 ， 说 明
“抗生素 C”降温效果最好，故“抗生素 C”治疗 效 果
最佳．
② 抗生素 B”治疗期间平均体温 39.03 ，方差约为
；“抗生素 C”平均体温 38 ，方差约为 ，“抗生素 C”治疗期间体温离散
程 度 大 ， 说 明 存 在 某 个 时 间 节 点 降 温 效 果 明 显 ， 故 “ 抗 生 素 C ”治 疗 效 果 最
佳． ········································14 分
“抗生素 B”治疗效果最佳可使用理由：
（不说使用“抗生素 B”治疗才开始持续降温扣 1 分）
自使用“抗生素 B”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗生素 B”治疗当天共降
温 0.7 ，是单日降温效果最好的一天，故“抗生素 B”治疗效果最佳． ············14 分
（开放型问题，答案不唯一，但答“抗生素 A”效果最好不得分，理由与结果不匹配不得分，不用数据不得分）
（18）（本小题 14 分）
解:（Ⅰ）因为平面 平面 ， …………1 分
平面 平面 , …………2 分
平面 , ， …………3 分
所以 平面 , …………4 分
又因为 平面 ，
所以 ． …………5 分
（Ⅱ）因为 ， ，所以 ．
由（Ⅰ）得 平面 ，所以 ，
故 两两垂直．
如图,以 为原点， 所在直线分别为 轴，
建立空间直角坐标系 ，
C
C C
C
0.0156 C 0.1067
C
ABCD ⊥ PAD
ABCD PAD AD=
AB ⊂ ABCD AB AD⊥
AB ⊥ PAD
PD ⊂ PAD
AB PD⊥
2PA AD= = 2 2PD = PA AD⊥
AB ⊥ PAD AB PA⊥
, ,AB AD AP
A , ,AB AD AP , ,x y z
A xyz−
M
F则 ， ， ， ． …………6 分
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量是 ．
而 ， ，
设平面 的一个法向量为
则由 得 取 ，有 ， …………8 分
所以 ． …………10 分
由题知，二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 ． …………11 分
（Ⅲ）假设棱 上存在点 ， ，设 ． …………12 分
依题意，可知 ， ， ， …………13 分
所以 ， ． …………14 分
根据假设，有 而此方程组无解，故假设错误，问题得证． …………15 分
（19）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）由题意得：
……………………1 分
解得: ． ……………………2 分
所以椭圆的标准方程为： ……………………3 分
（II）依题意，若直线 的斜率不为零，可设直线 ， ．
(0,0,2)P (1,0,0)B (2,2,0)C (0,2,0)D
PA⊥ BCD BCD (0,0,1)=n
(1,0, 2)PB = − (2,2, 2)PC = −
PBC ( , , )x y z=m
0,
0,
PB
PC
⋅ = ⋅ =
m
m
2 0,
2 2 2 0.
x z
x y z
− =
+ − = 1z = (2, 1,1)= −m
1 6cos , 66
⋅〈 〉 = = =n mn m n m
P BC D− −
P BC D− − 6
6
BC F //MF PC , [0,1]BF BCλ λ= ∈
(0,0,1)M (1,2,0)BC = ( 1,2 ,0)F λ λ= +
( 1,2 , 1)MF λ λ= + − (2,2, 2)PC = −
1 2 ,
2 2 ,
1 2 ,
λ µ
λ µ
µ
+ =
=
− = −
2
2 2 2
2 3,
1 ,2
,
=
=
= +
b
a
c
a
a b c
2, 3, 1a b c= = =
2 2
14 3
x y+ =
l : 1( 0)l x my m= + ≠ 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y假设存在点 ，设 ，由题设， ，且 ， .
设直线 的斜率分别为 ，
则 ． …………4 分
因为 在 上，
故 ． …………5 分
而 轴上任意点到直线 距离均相等等价于“ 平分 ”，
继而等价于 ． …………………6 分
则
． ……………………8 分
联立 ，消去 ，得： ，
有 ． ……………………10 分
则 ，
即 ，故 或 （舍）． … …………………13 分
当直线 的斜率为零时， 也符合题意．
故存在点 ，使得 轴上任意点到直线 距离均相等． …………14 分
（20）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ） 因为 ，
故 ． …………1 分
依题意 ，即 ． …………2 分
当 时， ，此时切线不与 轴重合，符合题意，因此 ．…………3 分
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知， ,
P 0( ,0)P x 0 1x ≠ 0 1x x≠ 0 2x x≠
,PA PB 1 2,k k
1 2
1 2
1 0 2 0
,y yk kx x x x
= =− −
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1x my= +
1 1 2 21, 1x my x my= + = +
x ,PA PB PF APB∠
1 2 0k k+ =
1 2
1 2
1 0 2 0
y yk k x x x x
+ = +− −
1 2 2 1 0 1 2
1 0 2 0
( )
( )( )
x y x y x y y
x x x x
+ − += − −
1 2 0 1 2
1 0 2 0
2 (1 )( ) 0( )( )
my y x y y
x x x x
+ − += =− −
2 2
14 3
1
x y
x my
+ =
= +
x 2 2(3 4) 6 9 0m y my+ + − =
1 2 1 22 2
6 9,3 4 3 4
my y y ym m
− −+ = =+ +
0 0
1 2 2 2
1 0 2 0 1 0 2 0
18 6 6 24 60 (3 4)( )( ) (3 4)( )( )
m m mx m mxk k m x x x x m x x x x
− − + − ++ = = =+ − − + − −
04 0m mx− + = 0 4x = 0m =
l (4,0)P
(4,0)P x ,PA PB
2( ) e ( )xf x ax a= − ∈R
( ) e 2xf x ax′ = −
(1) e 2 0f a′ = − = e
2a =
e
2a = e(1) 02f = ≠ x e
2a =
( ) e 2xf x ax′ = −当 时，因为 , , ，
故 ，即 单增，因此 ．
依题意，当 时， ，所以 符合题意． …………5 分
当 时， ，令 ，有 ． …………6 分
, 变化如下：
— 0 +
极小值
故 ． …………7 分
当 时，即 时， ， 单调递增，
因此 ．
依题意，令 ，有 ． …………8 分
当 时，即 时， , ，
故存在唯一 使 ． …………9 分
此时有 ，即 ， , 变化如下： …………10 分
+ 0 —
极大值
所以 ， ． …………11 分
依题意，令 ， ，则 ， 在 单调递增，
所以 ，
所以 ，此时不存在符合题意的 ．
综上所述，当 ， 在 上的最大值不小于 ，
若 ，则 在 上的最大值小于 ，
所以 的取值范围为 ． …………………12 分
0a ≤ [0,1]x∈ e 0x > 2 0ax− ≥
( ) 0f x′ > ( )f x max( ) (1) ef x f a= = −
0a ≤ max( ) =e e 2f x a− ≥ > 0a ≤
0a > ( ) e 2xf x a′′ = − ( ) 0f x′′ = ln 2x a=
( )f x′′ ( )f x′
x ( ,ln 2 )a−∞ ln 2a (ln 2 , )a +∞
( )f x′′
( )f x′
min( ) 2 2 ln2 2 (1 ln2 )f x a a a a a′ = − = −
1 ln 2 0a− ≥ e0 2a< ≤ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x
max( ) (1) ef x f a= = −
e 2a− ≥ 0 e 2a< ≤ −
1 ln 2 0a− < e
2a > (1) e 2 0f a′ = − < (0) 1 0f ′ = >
0 (0,1)x ∈ 0( ) 0f x′ =
0
0e 2 0x ax− = 0
0e 2x ax= ( )f x′ ( )f x
x 0(0, )x 0x 0( ,1)x
( )f x′
( )f x
0
0 02 0
max 0 0
e( ) ( ) e e 2
x
x x xf x f x ax= = − = − 0 (0,1)x ∈
e( ) e 2
x
x xg x = − (0,1)x∈ (1 )e( ) 02
xxg x
−′ = > ( )g x (0,1)
e( ) (1) 22g x g< = <
max( ) 2f x < a
( ,e 2]a∈ −∞ − ( )f x [0,1] 2
( ,e 2]a∈ −∞ −/ ( )f x [0,1] 2
a ( ,e 2]−∞ −解法二：
（Ⅱ）当 时， 最大值不小于 2，等价于
在 上有解，显然 不是解,
即 在 上有解， ……………………4 分
设 ， ,
则 ． ……………………5 分
设 ， ，
则 ．
所以 在 单调递减， ， …………7 分
所以 ，所以 在 单调递增， ……………………9 分
所以 ． ……………………10 分
依题意需 ,
所以 的取值范围为 ． ……………………12 分
解法三:
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ,
（1）当 时， ,
设 ， ,
所以 在 单调递减，故 ． …………5 分
所以 ，所以 在 单调递增，
因此 ． …………7 分
依题意，令 ，得 ． …………8 分
（2）当 时， ,
设 , ,
[0,1]x∈ ( )f x
2( ) e 2xf x ax= − ≥ [0,1]x∈ 0x =
2
e 2x
a x
−≤ (0,1]x∈
2
e 2( )
x
g x x
−= (0,1]x∈
3
e 2e 4( )
x xxg x x
− +′ =
( ) e 2e 4x xh x x= − + (0,1]x∈
( ) e ( 1) 0′ = − ≤xh x x
( )h x (0,1] ( ) (1) 4 e 0h x h≥ = − >
( ) 0g x′ > g( )x (0,1]
maxg( ) (1) e 2x g= = −
e 2a ≤ −
a ( ,e 2]−∞ −
( ) e 2xf x ax′ = −
e
2a ≤ '( ) e 2 e ex xf x ax x= − ≥ −
( ) e e [0,1]xh x x x= − ∈ ( ) e e 0xh x′ = − ≤
( )h x [0,1] ( ) (1) 0h x h≥ =
( ) 0f x′ ≥ ( )f x [0,1]
max( ) (1) ef x f a= = −
e 2a− ≥ e 2a ≤ −
e
2a > 2 2e( ) e e 2
x xf x ax x= − ≤ −
2e( ) e 2
ϕ = −xx x [0,1]x∈则 ,
所以 在 单调递增， …………10 分
故 ，即 ，不符合题意． …………11 分
综上所述， 的取值范围为 ． ············12 分
（III）当 时， 有 0 个零点；当 时， 有 1 个零点
当 时， 有 2 个零点；当 时， 有 3 个零点．· ············15 分
（21）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ） ；
； …………1 分
； …………2 分
. …………3 分
（Ⅱ） 令 ，
对 ，
当 时，有 ； …………4 分
当 时，有 ． …………5 分
所以
． …………6 分
（Ⅲ） ， 三个数中一定有偶数. 理由如下：
解法一：
设 ，
( ) e e ( ) 0xx x h xϕ′ = − = ≥
( )xϕ [0,1]
max
e e( ) (1) e 22 2xϕ ϕ= = − = < ( ) 2f x <
a ( ,e 2]−∞ −
0a ≤ ( )y f x= 2e0 4a< < ( )y f x=
2e
4a = ( )y f x= 2e
4a > ( )y f x=
(0, 0), (0,1)A B= =
(0,1), (0, 0)A B= =
(1, 0), (1,1)A B= =
(1,1), (1, 0)A B= =
1 2 1 2 1 2( , , , ), ( , , , ), ( , , , )= = = n n nA a a a B b b b C c c c
1,2, ,= i n
0ic = || | | || | |i i i i i ia c b c a b− − − = −
1ic = || | | || |1 (1 ) | | |i i i i i i i ia c b c a b a b− − − = − − − = −
1 1 2 2 2 2 2 2( , ) || | | ||+|| | | ||+ +|| | | ||− − = − − − − − − − − − n n n nd A C B C a c b c a c b c a c b c
1 1 2 2| | | | | | ( , )= − + − + + − = n na b a b a b d A B
, , nA B C S∀ ∈ ( , ), ( , ), ( , )d A B d A C d B C
1 2 1 2 1 2( , , , ), ( , , , ), ( , , , )n n n nA a a a B b b b C c c c S= ⋅⋅⋅ = ⋅⋅⋅ = ⋅⋅⋅ ∈，
记 由（Ⅱ）可知: ，
， . …………8 分
所以 中 1 的个数为 , 中 1 的个数为 .
设 是使 成立的 的个数，则 . …………10 分
由此可知， 三个数不可能都是奇数，
即 三个数中一定有偶数. …………14 分
解法二：
因为 ，
且 与 奇偶性相同. …………8 分
所以 为偶数，
故 为偶数， …………10 分
所以 三个数不可能都是奇数，
即 三个数中一定有偶数. …………14 分
( , ) , ( , ) , ( , )d A B k d A C l d B C h= = =
0 (0,0, 0) nS= ⋅⋅⋅ ∈ ( , ) ( , ) (0, )d A B d A A B A d B A k= − − = − =
( , ) ( , ) (0, )d A C d A A C A d C A l= − − = − = ( , ) ( , )d B C d B A C A h= − − =
( 1,2, , )i ib a i n− = ⋅⋅⋅ k ( 1,2, , )i ic a i n− = ⋅⋅⋅ l
t 1i i i ib a c a− = − = i 2h l k t= + −
, ,k l h
( , ), ( , ), ( , )d A B d A C d B C
( ) ( ) ( ) 0i i i i i ia b b c c a− + − + − =
( ) ( ) ( )i i i i i ia b b c c a− + − + − | | | | | |i i i i i ia b b c c a− + − + −
| | | | | |i i i i i ia b b c c a− + − + −
( , ) ( , ) ( , )d A B d B C d A C+ +
( , ), ( , ), ( , )d A B d A C d B C
( , ), ( , ), ( , )d A B d A C d B C
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