高教学质量检测文科数学试卷及答案

数学（文科）试卷 第 页（共 5 页）1 高三教学质量检测数学（文科）试卷 （时间：120 分钟 分值：150 分） 第 I 卷 选择题（共 60 分） 一．选择题（共 12 题，每题 5 分，共 60 分） 1．已知集合 ，则 （  ） A． B． C． D． 2．已知复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，则 （  ） A． B． C． D． 3．“a＜2” 是 “ ” 的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 已知 则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 5．某学校为进行一项调查，先将高三年级 800 名同学依次编号为 1，2，3，…，800，然后采用系统抽样的 方法等距抽取 20 名同学，已知抽取到了 25 号，则下列号码没被抽到的是（  ） A． 185 B． 315 C． 465 D．625 6．函数 的部分图象大致为（  ） 7．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三 角形两直角边长分别为 5 步和 12 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子， 则豆子落在其内切圆外的概率是 ( ) A． B． C． D． }10 1,lg|{},424 1|{ >==≤≤= xxyyBxA x =BA ]2,2[− ),1( +∞ ]2,1(− ),2(]1,( +∞−−∞  z )2,1(− =+ i1 z i2 3 2 3 +− i2 1 2 3 +− i2 3 2 1 +− i2 3 2 1 + 2> cab >> abc >> cba >> xe exf x x cos1 1)( ⋅− += 2 15 π 3 20 π 21 15 π− 31 20 π− 数学（文科）试卷 第 页（共 5 页）2 8．将函数 图象上所有点向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，如果 在区间 上单调递减，那么实数 的最大值为（  ） A． B． C． D． 9.设 O 是坐标原点，F 是椭圆 C：푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1（a＞b＞0）的一个焦点，点 M 在 C 外，且 → 푀푂 = 3 → 푂퐹，P 是过 点 M 的直线 l 与 C 的一个交点，△PMF 是有一个内角为 120°的等腰三角形，则 C 的离心率等于（  ） A． 3 4 B． 3 3 C． 3 + 1 4 D． 3 2 10．已知三棱锥 则其外接球的 体积为（  ） A．4휋 3 B．4π C．32휋 3 D．4 3휋 11．《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多•达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆．该 油画规格为：纵 ，横 ．油画挂在墙壁上的最低点处 B 离地面 （如图所示）．有一身高 为 的游客从正面观赏它（该游客头顶 到眼睛 的距离为 ），设该游客离墙距离为 ， 视角为 ．为使观赏视角 最大， 应为（  ） A．77 B．80 C．100 D． 12．设函数 ，给出下列四个命题： ①不等式 的解集为 ； ②函数 在 上单调递增，在 上单调递减； ③若 时，总有 恒成立，则 ； ④若函数 有两个极值点，则实数 ． 则所有正确的命题的序号为（  ） A．①③ B．①② C．②③④ D．①③④ xxf 2cos)( = )(xg )(xg ],0[ a a 中，ABCP − ，平面ABCPB ⊥ ，BCAC ⊥ ，且， PBPABCAC 212 === cm77 cm53 cm237 cm175 T C cm15 xcm θ θ x .cm x xfxgxxxf )(')(,ln)( == 0)( >xg ),1( +∞ e )(xg ),0( e ),( +∞e 021 >> xx )()()(2 21 2 2 2 1 xfxfxxm −>− 1≥m 2)()( axxfxF −= )1,0(∈a 数学（文科）试卷 第 页（共 5 页）3 第 II 卷 非选择题（共 90 分） 二．填空题（共 4 题，每题 4 分，共 20 分） 13．已知向量 → 푎 = (2，1)， → 푏 = (푥，4)，若 → 푎 ⊥ → 푏，则| → 푎 + → 푏| =    ． 14. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1（a＞0，b＞0）的右焦点 F（3，0）到它的一条渐近 线的距离为 2，则双曲线的实轴长为   ． 15. 已知递增数列 的前 项和为 ， ，若 ，则 . 16. 已知△ABC 的三个内角为 A，B，C，且 sinA，sinB，sinC 成等差数列，则 sin2B+2cosB 的最大值为   ， 最小值为   ． 三．解答题（共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17—21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。） （一）必考题（共 60 分） 17.（12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ． （1）证明： ； （2）若面 面 ， ， ， ，求 到平面 的距离． 18.（12 分）甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看 不清，具体如下：等比数列 的前 项和为 ，已知    ， （1）判断 的关系并给出证明； （2）若 ，设 ，记数列 的前 项和为 ，求 的最大值. 甲同学记得缺少的条件是首项 的值，乙同学记得缺少的条件是公比 的值，并且他俩都记得第（1）问 的答案是 成等差数列． 如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你把条件补充完整并解答此题． { }na n nS 1 1a = 1 4 1n n na a S+ = − na = S ABCD− ABCD SB SD= BD SA⊥ SBD ⊥ ABCD SB SD⊥ 60BAD °∠ = 1AB = B SAD { }na n nS 321 ,, SSS 331 =− aa ||log2 nn ab = }{ nb n nT nT 1a q 231 ,, SSS 数学（文科）试卷 第 页（共 5 页）4 19.（12 分）如图，已知点 F 为抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点 F 的动直线 l 与抛物线 C 交于 M， N 两点，且当直线 l 的倾斜角为 45°时，|MN|＝16． （1）求抛物线 C 的方程． （2）试确定在 x 轴上是否存在点 P，使得直线 PM，PN 关于 x 轴对称？ 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 20. （12 分）随着人民生活水平的日益提高，某小区居民拥有私家车的数量与日俱增．由于该小区建成时间 较早，没有配套建造地下停车场，小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵．该小区的物业公司统计了近五 年小区登记在册的私家车数量（累计值，如 147 表示 2016 年小区登记在册的所有车辆数，其余意义相同）， 得到如下数据： 编号 1 2 3 4 5 年份 2014 2015 2016 2017 2018 数量 （单位：辆） 37 104 147 196 216 （1）若私家车数量 与年份编号 满足线性相关关系，求 关于 的线性回归方程，并预测 2020 年该小区 的私家车数量； （2）小区于 2018 年底完成了基础设施改造，划设了 120 个停车位．为解决小区车辆乱停乱放的问题，加强 小区管理，物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区．由于车位有限，物业公司决定在 2019 年度采用网络 竞拍的方式将车位对业主出租，租期一年，竞拍方案如下：①截至 2018 年已登记在册的私家车业主拥有竞 拍资格；②每车至多申请一个车位，由车主在竞拍网站上提出申请并给出自己的报价；③根据物价部门的规 定，竞价不得超过 1200 元；④申请阶段截止后，将所有申请的业主报价自高到低排列，排在前 120 位的业 主以其报价成交；⑤若最后出现并列的报价，则以提出申请的时间在前的业主成交，为预测本次竞拍的成交 最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的 40 位业主，进行了竞拍意向的调查，并对他们的拟报竞价进行 了统计，得到如图频率分布直方图： x y y x y x 数学（文科）试卷 第 页（共 5 页）5 （i）求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于 1000 元的人数； （ii）如果所有符合条件的车主均参与竞拍，利用样本估计总体的思想，请你据此预测至少需要报价多少元 才能竞拍车位成功？（精确到整数） 参考公式及数据：对于一组数据 ，其回归方程 的斜率和截距的最小二 乘估计分别为： ； ． 21.（12 分）已知函数 f（x）＝ex（x2+ax+1）（a∈R）． （1）求函数 f（x）的极值； （2）当 3＜a＜4 时，若函数 f（x）有两个极值点 x1，x2，且 x1＜x2， 求证： ― 5 푒3＜ 푓(푥1) 푓(푥2)＜ ― 3 푒4． （二）选考题（共 10 分）请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.（10 分）在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极 坐标方程为 ． （1）把曲线 的参数方程化为极坐标方程； （2）若曲线 与 交于两点 与 交于两点 求 ． 23.（10 分）已知绝对值不等式： . （1）当 时，求 的取值范围； （2）若对任意的实数 上述绝对值不等式恒成立，求 的取值范围． ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , ,..., ,n nx y x y x y ˆˆ ˆy bx a= + ( ) 1 2 1 ( ) ( ) n i ii n ii x x y y b a y b x x x = = − − = = − − ∑ ∑   ， ( )5 1 ( ) 450i i i x x y y = − − =∑ xOy 1C    = += θ θ sin2 cos22 y x θ O x 2C θθρ cossin3 += 3C 6 πθ = 1C 3C 1C ,, AO 2C ,, BO || AB 45|1||1| 2 +−>−++ aaxx 0=a x x a 数学（文科）试卷 第 页（共 5 页）6 高三教学质量检测数学（文科）答案 一．选择题 1-6 CDB ABA 7-12 CBB ADA 二．填空题 13. 5 14. 15. 16. （第一空 2 分，第二问 3 分） 16.解：∵sinA，sinB，sinC 成等差数列，∴2sinB＝sinA+sinC， 由正弦定理可得，2b＝a+c， 由余弦定理有，푐표푠퐵 = 푎2 + 푐2 ― 푏2 2푎푐 = (푎 + 푐)2 ― 푏2 ― 2푎푐 2푎푐 = 3푏2 2푎푐 ―1 ≥ 3푎푐 2푎푐 ―1 = 1 2（当且仅当 a＝b＝c 时取 等号），又 B 为三角形 ABC 内角，故퐵 ∈ (0， 휋 3]， 设푓(퐵) = 푠푖푛2퐵 + 2푐표푠퐵，퐵 ∈ (0， 휋 3]，则 f′（B）＝2cos2B﹣2sinB＝﹣4sin2B﹣2sinB+2，令 f′（B）＞ 0，解得0＜퐵＜ 휋 6，令 f′（B）＜0，解得휋 6＜퐵＜ 휋 3， 故函数 f（B）在(0， 휋 6)单调递增，在( 휋 6， 휋 3)单调递减， ∴푓(퐵)푚푎푥 = 푓( 휋 6) = 푠푖푛 휋 3 +2푐표푠 휋 6 = 3 3 2 ，푓(퐵)푚푖푛 = 푓( 휋 3) = 푠푖푛 2휋 3 +2푐표푠 휋 3 = 3 2 +1. 三．解答题 17.解：（1）连接 交 于 ，连接 ， 在菱形 中， ， 是 的中点， 又因为 ，所以 ，又 ， 所以 面 ，又 面 ，所以 ．..............................................................4 分 （2）因为面 面 ，面面 面 ， ， 面 ， 所以 面 ，即 是三棱锥 的高．..............................................................6 分 依题意可得， 是等边三角形，所以 ， ， 2 5 2 1n − .12 3 2 33 +， AC BD O SO ABCD BD AC⊥ O BD SB SD= BD SO⊥ AC SO O= BD ⊥ SAC SA ⊂ SAC BD SA⊥ SBD ⊥ ABCD SBD  ABCD BD= BD SO⊥ SO ⊂ SBD SO ⊥ ABCD SO S ABD− ABD∆ 1BD AD= = 3 2AO = 数学（文科）试卷 第 页（共 5 页）7 在等腰 ， ， .....................................8 分 经计算得 ， ， 等腰三角形 的面积为 ，.....................................................10 分 设点 到平面 的距离为 ， 则由 ，得 ，解得 ， 所以 到平面 的距离为 ．......................................................12 分 18．解：补充的条件为： ..................................................................................................................................2 分 （1）S1，S3，S2 成等差数列 证明：由题意可得 S1＝a1，S2＝a1+a2＝a1﹣ a1＝ a1，S3＝a1+a2+a3＝a1﹣ a1+ a1＝ a1， 可得 S1+S2＝2S3，因此 S1，S3，S2 成等差数列；....................................................................................................5 分 （2）证明：由 a1﹣a3＝3，可得 a1﹣ a1＝3，解得 a1＝4，................................. ........................................ .....6 分 ............................. ..................................................... .....8 分 .. ........................................................................................ .....10 分 .................................................. .....12 分 19．解：（1）当 l 的斜率为 1 时，∵퐹( 푝 2，0)，∴l 的方程为푦 = 푥 ― 푝 2．设 M（x1，y1），N（x2，y2）， 由{푦 = 푥 ― 푝 2， 푦2 = 2푝푥， 得푥2 ―3푝푥 + 푝2 4 = 0，则 x1+x2＝3p， ...............................................3 分 ∴|MN|＝x1+x2+p＝4p＝16，p＝4，∴抛物线 C 的方程为 y2＝8x． ..................................................5 分 （2）法一：假设满足条件的点 P 存在，设 P（a，0），由（1）知 F（2，0）， Rt SBD∆ 1 1 2 2SO BD= = 1 1 3 1 313 2 2 2 24S ABDV −  = × × × × =    2 2SD = 1SA = ASD 21 2 2 71 ( )2 2 4 8ASDS∆ = × × − = B SAD h B SAD S ABDV V− −= 1 3 3 24ASDS h∆× × = 21 7h = B SAD 21 7 2 1−=q nba n nnn n −===×= −−− 32)2 1()2 1(4 331 ，则所以 2 5 22 )32(2 2 1 nnnnTb n +−=−+== ，所以又 .332,2 5 取得最大值为时，或所以当且因为对称轴为 nTnNn =∈ ∗ 数学（文科）试卷 第 页（共 5 页）8 ①当直线 l 与 x 轴垂直时，由抛物线的对称性易知 PM，PN 关于 x 轴对称，此时只需 P 与焦点 F 不重合即 可． ..................................................6 分 ②当直线 l 不与 x 轴垂直时，设 l 的方程为 y＝k（x﹣2）（k≠0）， 由{푦 = 푘(푥 ― 2)， 푦2 = 8푥， 得 k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0， △＝（4k2+8）2﹣4•k2•4k2＝64k2+64＞0，푥1 + 푥2 = 4푘2 + 8 푘2 ，x1x2＝4．.................................... .....7 分 ∵直线 PM，PN 关于 x 轴对称，∴kPM+kPN＝0， .................................... .....8 分 ∵푘푃푀 = 푘(푥1 ― 2) 푥1 ― 푎 ，푘푃푁 = 푘(푥2 ― 2) 푥2 ― 푎 ． ..........................10 分 ∴a＝﹣2，此时 P（﹣2，0）． ...........................................11 分 综上，存在唯一的点 P（﹣2，0），使直线 PM，PN 关于 x 轴对称． ..........................12 分 法二：假设满足条件的点 P 存在，设 P（a，0），由（1）知 F（2，0）， 显然，直线 l 的斜率不为 0，设 l：x＝my+2，代入抛物线方程得：y2﹣8my﹣16＝0， 则 y1+y2＝8m，y1y2＝﹣16. .................................................6 分 푘푃푀 = 푦1 푥1 ― 푎，푘푃푁 = 푦2 푥2 ― 푎，kPM+kPN＝0 ........................................ .....7 分 ⇒（x2﹣a）y1+（x1﹣a）y2＝（my2+2﹣a）y1+（my1+2﹣a）y2＝2my1y2+（2﹣a）（y1+y2）＝0... .....9 分 ⇒2m×（﹣16）+（2﹣a）×8m＝0，∴a＝﹣2. ............................................11 分 ∴存在唯一的点 P（﹣2，0），使直线 PM，PN 关于 x 轴对称．..........................12 分 20.解：（1）由表中数据，计算得 ， ， ，..............................................2 分 ．故所求线性回归方程为 ，..............................................4 分 令 x=7，得 ；..............................................5 分 （2）（i）由频率直方图可知，有意竞拍报价不低于 1000 元的频率为：（0.25+0.05）×1=0.3， 共抽取 40 位业主，则 40×0.3=12，∴有意竞拍不低于 1000 元的人数为 12 人．.....................................8 分 （ii）由题意， ．..............................................9 分 由频率直方图估算知，报价应该在 900-1000 之间， ( )1 1 2 3 4 5 35x = + + + + = ( )1 37 104 147 196 216 1405y = + + + + = ( )5 1 5 2 2 2 22 1 ( ) 450 450 45( 2) ( 1) 0 1 2 10( ) i ii ii x x y y b x x = = − − = = = =− + − + + +− ∑ ∑   140 45 3 5a y bx= − = − × =  45 5y x= +  45 7 5 320y = × + = 120 5 216 9 = 数学（文科）试卷 第 页（共 5 页）9 设报价为 x 百元，则 ．..............................................11 分 解得 x≈9.361．∴至少需要报价 937 元才能竞拍成功．................................12 分 21．解：（1）由题意可得 f′（x）＝ex（x2+ax+1）+ex（2x+a）＝ex（x+1）（x+a+1）， .....................1 分 ①当 a＝0 时，﹣a﹣1＝﹣1，f′（x）≥0，函数 f（x）在 R 上单调递增，无极值； .........................2 分 ②当 a＜0 时，﹣a﹣1＞﹣1，令 f′（x）＞0，解得 x∈（﹣∞，﹣1）∪（﹣a﹣1，+∞），令 f′（x）＜0， 解得﹣1＜x＜﹣a﹣1，∴函数 f（x）在（﹣∞，﹣1）单调递增，在（﹣1，﹣a﹣1）单调递减，在（﹣a﹣1， +∞）单调递增，∴푓(푥)极大值 = 푓( ― 1) = 2 ― 푎 푒 ，푓(푥)极小值 = 푓( ― 푎 ― 1) = 2 + 푎 푒푎+1 ； ....................................4 分 ③当 a＞0 时，﹣a﹣1＜﹣1，令 f′（x）＞0，解得 x∈（﹣∞，﹣a﹣1）∪（﹣1，+∞），令 f′（x）＜0， 解得﹣a﹣1＜x＜﹣1，∴函数 f（x）在（﹣∞，﹣a﹣1）单调递增，在（﹣a﹣1，﹣1）单调递减，在（﹣1， +∞）单调递增，∴푓(푥)极大值 = 푓( ― 푎 ― 1) = 2 + 푎 푒푎+1 ，푓(푥)极小值 = 푓( ― 1) = 2 ― 푎 푒 ； ....................................6 分 （2）证明：由题意得 3＜a＜4，即 a＞0，由（Ⅰ）可知，x1＝﹣a﹣1，x2＝﹣1， 故푓(푥1) = 푒푥1(푥1 2 +푎푥1 +1) = 2 + 푎 푒푎+1 ，푓(푥2) = 푒푥2(푥2 2 +푎푥2 +1) = 2 ― 푎 푒 ， ∴ 푓(푥1) 푓(푥2) = 푒―푎 ⋅ 푎 + 2 2 ― 푎 = ― 푒―푎 ⋅ 푎 + 2 푎 ― 2， .................................................................9 分 令푔(푎) = 푒―푎 ⋅ 푎 + 2 푎 ― 2，则푔′(푎) = ― 푒―푎 ⋅ 푎2 (푎 ― 2)2＜0，∴g（a）在（3，4）上单调递减， ∴g（4）＜g（a）＜g（3），即 3 푒4＜푔(푎)＜ 5 푒3，又푔(푎) = ― 푓(푥1) 푓(푥2)， 故 ― 5 푒3＜ 푓(푥1) 푓(푥2)＜ ― 3 푒4．. .................................................................12 分 22．解：（1）∵曲线 C1 的参数方程为 （θ 为参数）， ∴消去参数 θ 得曲线 C1 的普通方程为（x﹣2）2+y2＝4，即 x2+y2﹣4x＝0， 由 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得曲线 C1 的极坐标方程为 ρ＝4cosθ．...................................................................5 分 （2）设点 A 的极坐标为（ ），点 B 的极坐标为（ ）， 则 ， ＝ ，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝ ．.............10 分 23．解（1）当 a＝0 时，原不等式变为：|x+1|+|x﹣1|＞4， ( ) 510 0.4 0.3 9x− × + = 数学（文科）试卷 第 页（共 5 页）10 故 或 或 ，解此不等式可得：x＞2 或 x＜﹣2，..............5 分 （2）由|x+1|+|x﹣1|≥2，则 2＞a2﹣5a+4 恒成立，所以 ．.........................10 分