江苏徐州市一中2019-2020高二数学下学期开学收心检测试题（Word版有答案）

绝密★启用前 2019～2020 学年度高二年级第二学期开学收心检测 数 学 2020. 4 注意事项： 1．测试范围为导数及其应用、数系的扩充与复数的引入、计数原理、概率和统计案例。 2．本卷试题及答案共 10 页，包括单项选择题（第 1 题～第 8 题，共 40 分）、多项选择题（第 9 题～第 12 题，共 20 分）、填空题（第 13 题～第 16 题，共 20 分）、解答题（第 17 题～第 22 题，共 70 分），满分 150 分。考试时间 120 分钟。 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1．已知 a＋bi(a，b∈R)是1－i 1＋i 的共轭复数，则 a＋b＝ A．－1 B．－1 2 C．1 2 D．1 2．设随机变量 X 服从二项分布，且均值 E(X)＝3，p＝1 5 ，则方差 V(X)＝ A．3 5 B．4 5 C．12 5 D．2 3． 的展开式中 x4 的系数是 A．－210 B．－120 C．120 D．210 4．已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a 在 x＝1 处取得极大值 10，则a b 的值为 A．－2 3 B．2 3 C．1 3 D．－1 3 5．一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的，3 个旧的，从盒中任取 3 个球来用，用完后装回盒中 （新球用完后即成旧球），此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，其分布列为 P(X＝k)，则 P(X ＝5)的值为 A．27 55 B．13 35 C． 3 15 D．11 27 6．设某中学的高中女生体重 y(单位：kg)与身高 x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数 据(xi，yi)(i＝1,2,3，…，n)，用最小二乘法近似得到线性回归方程为 ＝0.85x－85.71，则下列 101      − xx yˆ结论中不正确的是 A．y 与 x 具有正线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心 C．若该中学某高中女生身高增加 1 cm，则其体重约增加 0.85 kg D．若该中学某高中女生身高为 160 cm，则可断定其体重必为 50.29 kg 7．已知函数 ，若过原点的直线 l 与曲线 y＝f(x)有三个交点，则直线 l 的斜率的取 值范围为 A． B． C． D． 8．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通 6 座以下私家车投保交强险的基准保费为 a 元， 在下一年续保时，实行费率浮动机制，保费与车辆发生道路交通事故出险的情况相联系，最终 保费＝基准保费×(1＋与道路交通事故相联系的浮动比率)，具体情况如下表： 交强险浮动因素和浮动费率比率表 类别 浮动因素 浮动比率 A1 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 10% A2 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 20% A3 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮 30% A4 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 0% A5 上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路交通事故 上浮 10% A6 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮 30% 为了解某一品牌普通 6 座以下私家车的投保情况，随机抽取了 100 辆车龄已满三年的该品牌同 型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表： 类型 A1 A2 A3 A4 A5 A6 数量 20 10 10 38 20 2 若以这 100 辆该品牌的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，则随机抽取一辆该品牌车 在第四年续保时的费用的期望为 A．a 元 B．0.958a 元 C．0.957a 元 D．0.956a 元 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分。 9．下列说法中不正确的是 A．在复平面内，虚轴上的点均表示纯虚数 ),( yx xe xxxf 12)( 2 −+= )2,( e −∞ )2,0( e )2,2( ee )2,0( eB．若(a2－1)＋(a2＋3a＋2)i(a∈R)是纯虚数，则实数 a＝±1 C．设 a，b，c，d∈R，若a＋bi c＋di(c＋di≠0)为实数，则 bc－ad＝0 D．若 i 为虚数单位，右图中复数平面内的点 Z 表示复数 z，则表示复数 z(1＋i)的点是 H 10．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目， 下列说法错误的是 A．若任意选择三门课程，选法总数为 A37 B．若物理和化学至少选一门，选法总数为 C12C25 C．若物理和历史不能同时选，选法总数为 C37－C15 D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为 C12C25－C15 11．对某两名高三学生连续 9 次数学测试的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图．下列有关 这两名学生数学成绩的分析中，正确的结论是 A．甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，与正态曲线相近，故而平均成绩为 130 分 B．根据甲同学成绩折线图中的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内 C．乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关 D．乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过 40 分 12．下列不等式中正确的是 A．ln 3＜ 3ln 2 B．ln π＜ π e C． ＜15 D．3eln 2＞4 2 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．某元宵灯谜竞猜节目，有 6 名守擂选手和 6 名复活选手，从复活选手中挑选 1 名选手为攻擂者， 从守擂选手中挑选 1 名选手为守擂者，则攻擂者、守擂者的 不 同构成方式共有__________种． 14．已知函数 f(x)＝ x＋a x2＋1(a∈R)的值域是 ，则常数 a＝ _______，m＝_______．（本题第一空 2 分，第二空 3 分．） 15．《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（含 乾、 152    − m,4 1坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每卦有三个爻组成（“ ”表示一个阳爻，“ ”表 示一个阴爻），从八卦中任取两卦，这两卦的六爻中恰有三个阳爻和三个阴爻的概率为 __________． 16．设函数 f(x)＝x2－xln x＋2，若存在区间[a，b]⊆ ，使 f(x)在[a，b]上的值域为[k(a＋2)，k(b ＋2)]，则 k 的取值范围是__________． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）已知 i 为虚数单位，复数 z1与 z2在复平面上所对应的点关于 y 轴对称，且 z1(1－i)＝z2(1 ＋i)，|z1|＝ 2． （1）求 z1 的值； （2）若 z1 的虚部大于零，且 （m，n∈R），求 m，n 的值． 18．（12 分）某城市有一块半径为 40 m 的半圆形绿化区域（以 O 为圆心，AB 为直径），现计划对 其进行改建．在 AB 的延长线上取点 D，OD＝80 m，在半圆上选定一点 C，改建后的绿化区域 由扇形区域 AOC 和三角形区域 COD 组成，其面积为 S m2．设∠AOC＝x rad． （1）写出 S 关于 x 的函数关系式 S(x)，并指出 x 的取值范围； （2）试问∠AOC 多大时，改建后的绿化区域面积 S 取得最大值．      ∞+,2 1 1 1 m z n iz + = +19．（12 分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校 200 名高三学生平均每 天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟） 平均每天锻炼 的时间/分钟 [0，10) [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) 总人数 20 36 44 50 40 10 将学生日均体育锻炼时间在[40，60)的学生评价为“锻炼达标”； （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的 2×2 列联表； 锻炼不达标 锻炼达标 总计 男 女 20 110 总计 并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“锻炼达标”与性别 有关？ （2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出 10 人，进行体育锻炼体会交流， ①求这 10 人中，男生、女生各有多少人？ ②从参加体会交流的 10 人中，随机选出 2 人做重点发言，记这 2 人中女生的人数为 X，求 X 的分布列和期望． 参考公式：K2＝ n(ad－bc)2 (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中 n＝a＋b＋c＋d． 临界值表 P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.63520．（12 分）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几 何排列．中国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章 算法》一书中出现了杨辉三角．在欧洲，帕斯卡在 1654 年 也发现了这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角 形．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它 把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直 观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结 合． （1）记杨辉三角的前 n 行所有数之和为 Tn，求 Tn 的通项公式； （2）在杨辉三角中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为 3∶4∶5？若存在，试求出 是第几行；若不存在，请说明理由； （3）已知 n，r 为正整数，且 n≥r＋3．求证：任何四个相邻的组合数 ， ， ， 不 能构成等差数列． r nC 1C +r n 2C +r n 3C +r n 第 0 行 1 第 1 行 1 1 第 2 行 1 2 1 第 3 行 1 3 3 1 第 4 行 1 4 6 4 1 第 5 行 1 5 10 10 5 1 第 6 行 1 6 15 20 15 6 1 21．（12 分）已知函数 ，函数 ，其中 ，x0 是 g(x)的一个 极值点，且 g(x0)＝2． （1）讨论 f(x)的单调性； （2）求实数 x0 和 a 的值； （3）证明 ． xxxxf ln2)( 2 −= 2)(ln)( xx axxg −+= R∈a )12ln(2 1 14 1 1 2 +> − ∑ = n k n k )( *N∈n22．（12 分）绿色已成为当今世界主题，绿色动力已成为时代的驱动力，绿色能源是未来新能源行 业的主导．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对 100 辆汽车 进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的 最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计这 100 辆汽车的单次最大续航里程的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点值 代表）； （2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程 X 近似地服从正态分布 ，经计算第（1）问中样本标准差 s 的近似值为 50．用样本平均数 作为 的近似 值，用样本标准差 s 作为 的估计值； （ⅰ）现从该汽车公司最新研发的新能源汽车中任选一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰 好在 200 千米到 350 千米之间的概率； （ⅱ）从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取 10 辆，设这 10 辆汽车中单次最大续 航里程恰好在 200 千米到 350 千米之间的数量为 Y，求 E(Y)； （3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动， 客户可根据抛掷硬币的结果，操纵微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利 大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正、反面的概率都是1 2 ，方格图上标有第 0 格、第 1 格、第 2 格、…、第 50 格．遥控车向前移动一格（从 k 到 k＋1），若掷出方面， x ),( 2σµN x µ σ遥控车向前移动两格（从 k 到 k＋2），直到遥控车移到第 49 格（胜利大本营）或第 50 格 （失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第 n 格的概率为 Pn（n＝1，2，…，50），其 中 P0＝1，试说明{Pn－Pn－1}是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源 汽车． 参 考 数 据 ： 若 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 ， 则 ≈0.682 7， ≈0.954 5， ≈0.997 3． ξ ),( 2σµN )( σµξσµ +≤ ( ) ( )1 2g x g> = 21 (ln ) 2x xx + − > 2 21 (ln )x x x  − >   1 0,ln 0x x x − > > 1 lnx x x − > *2 1,2 1 kx k Nk += ∈− 2 1 2 1 ln(2 1) ln(2 1)2 1 2 1 k k k kk k + −− > + − −− + 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 4 1 k k k k k + −− =− + − 21 1 2 (ln(2 1) ln(2 1)) ln(2 1) 4 1 n k n k k k n k == > + − − = + − ∑ ∑．…………………………………12 分21 1 1 ln(2 1)( )24 1 n i n n N k ∗ = ∴ > + ∈ − ∑