2020 届高考适应性月考卷（六）
理科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D B B B A B D A A C D
【解析】
1． ，故选 C．
2． ，所以 ，故选 D．
3．由已知 ， ，所以 ，故选 B．
4． ，展开式中 的系数为 ，故选 B．
5．未服药组的指标 的取值相对集中，方差较小，所以 B 说法不对，故选 B．
6 ． 由 诱 导 公 式 ， 所 以 （ 舍 去 ） 或
，故选 A．
7． 是等腰直角三角形 ， 在椭圆上，代入得 ，故选
B．
8．方法一：由图可知， ，
所以把 的图象向右平移 个单位得到 的图象，故选 D．
方法二：两个函数的振幅和周期相同，由图，点 是 图象的一个最高点，而
由 ，得 是 图象的一个最高点，所以把 的图象向右平移 个单
位得到 的图象，故选 D．
9．当 时，截面是矩形；当 时，截面是菱形；当 时，截面是梯形，
{(0 1) (0 0) (0 1) (1 1) (1 0) (1 1)}A B = − − ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
(2 i)( i) 3 iy y y y+ + = + 13 1 3y x y= = =，
4=a b 2 2 2| 2 | 4 4 16− = − + =a b a a b b | 2 | 4− =a b
6 4 2 2 4(1 ) (1 ) (1 2 )(1 )x x x x x+ − = + + − 2x 1 0
4 4( 1)C C 3− + = −
y
2π πsin cos3 6
α α + = +
π π2 π ( )6 3k kα α + = + + ∈ Z
π π π2 π( ) 2 2 π( ) sin 2 16 3 2k k k kα α α α + + + = ∈ ⇒ = − + ∈ ⇒ = − Z Z
OAB△ 2 3OABS m⇒ = =△ ( 3 3)， 2b =
π( ) sin 2 3f x x = +
π π π π( ) sin 2 sin 26 12 3 12g x x x f x
= + = − + = −
，
( )f x π
12
( )g x
π 112A
， ( )f x
π2 03x − = π 16B
， ( )g x ( )f x π
12
( )g x
BE CF= 2BE CF= BE CF>故选 A．
10．取 ，已经有 ，不能进入循环，判断框应是 进入循环；进入循
环后第一次加上的应该是 ，所以先算 ，故选 A．
11．两条渐近线关于 轴对称， 是 的内角 的平分线， 中，斜边
，所以 ，一条渐近线的斜率为 ，故选 C．
12． ， 且 ，
， 令 ， 上 单 调 递 减 ， 所 以
，故选 D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号 13 14 15 16
答案
【解析】
13． ，分别作 与 的图象，并注意到指数函数的增长速度
最终会远远超过幂函数的增长速度，所以两函数图象有 3 个交点，
即 有 3 个零点．
14 ．如图 1 ，由已知，在底面 中， ，由
底面 ，易得 都是 ，所以球心是
的中点， ， ．
15．如图 2，设 ，则 且
， 解 得
．
1n = 11 1S a a= = =，即 i n<
2 12 1a a= + 2 1a a= +
x OA OBC△ BOC Rt OBC△
2OC OB= 60BOC∠ = ° 3 2 3
3 3
b c
a a
= ⇒ =
2( ) 2 2 3f x x ax b′ = + + − (1) 0 1f a b′ = ⇒ + = 21( ( ) ( 1) )a f x x′≠ − ≠ − 22 2 2 2
a b a
a
+ = +
( 0 1)a a< ≠ −且 1 12 0 12 2
a t = ∈ ， ， 2 (0 2)t t
+ 在 ，
2 9 92 2 2 32 2 2
a b a
a
+ = + ∈ + ∞ ， ，
3 5π 3 2
2( ) 0 ( 2)xf x x= ⇔ = ( 2)xy = 2y x=
( )f x
ABCD AB BC AD CD⊥ ⊥， PA ⊥
ABCD PAC PBC PCD△ ，△ ，△ Rt△
PC 5
2R = 5πS =
BD x=
24 3cos 2
xA x
−= 2 27 9BC x= =
2 2(4 3) 2 3 4 3cosx x x A+ − − − 1x = ，
3AB =∴
图 1
图 216．由已知 是以 4 为周期的奇函数， ，得
，又 ，所以 ，所
以 ．
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 12 分）
解：（1）高三备考学生每天完成数学作业的平均时间的平均值的估计值为
，
完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例估计值为 ．
………………………………………………………………………（6 分）
（2）以统计的频率作为概率，每个高三备考学生每天完成数学作业的时间不超过 45 分钟
的概率为 0.28，
所以 ，得 ． ………………………………（12 分）
18．（本小题满分 12 分）
解：（1）设 的首项为 ，公差为 ，取 ，
得 解得 或
当 时， 满足条件；
当 时， 不满足条件，舍去，
综上，数列 的通项公式为 . ………………………………………（6 分）
（2） ，记 ，
在 与 上都是增函数（图象
如
图 3），
( )f x 2
15 1 1 log (2 ) 22 2 2f f f a = − = − = − + = −
2a = (2) ( 2) 4 (2) ( 2) 0f f f f= − + − =（周期为 ）且 （奇函数） ( 2) (2) 0f f− = =
( ) 2a f a+ =
30 0.1 40 0.18 50 0.3 60 0.25 70 0.12 80 0.05 52.6× + × + × + × + × + × =
52.6 0.18300
≈
~ (100 0.28)X B ， ( ) 100 0.28 28E X = × =
{ }na 1a d 1 2n = ，
1 1 1
1 1 1
4 ( ) 1
4(2 ) ( )( 2 ) 1
a a a d
a d a d a d
= + +
+ = + + +
，
，
1 1
2
a
d
=
=
， 1
1
4
1
4
a
d
=
= −
，
，
1 1 2a d= =， 2
12 1 2 1n n na n a n S n+= − = + =， ，
1
1 1
4 4a d= = −， 3 4 3
1 1 04 2a a S= − = − =， ，
{ }na 2 1na n= −
1 2 1
8 9 2
n
n
a n
a n
+ +=− −
2 1 10( ) 19 2 9 2
xf x x x
+= = − +− −
( )f x ( 4.5)−∞， (4.5 )+ ∞，对数列 ，当 时， 递增且都大
于 ，
当 时， 递增且都小于 ，
数列 的最大项是第 4 项，值为 9，最小项是第 5 项，值为 . …………（12 分）
19．（本小题满分 12 分）
（1）证明：设点 ， ， ，
过 点 ， 的 直 线 方 程 为 ， 同 理 过 点 ， 的 直 线 方 程 为
，
因为点 是两切线的交点，
所以 ，即 恒过 . ………………………………………（6 分）
（2）解：设直线 为 ，与抛物线方程联立得 ，其中
，
， ，
因为 在 为直径的圆上，所以 ，
即
，
整理得 ，
即 ，解得 或 ，
当 时， ，圆心为 ，半径 ，
圆的标准方程为 ；
1
8
n
n
a
a
+
−
4n≤ 1
8
n
n
a
a
+
−
1−
5n≥ 1
8
n
n
a
a
+
−
1−
1
8
n
n
a
a
+
−
11−
1 1( )A x y， 2 2( )B x y， ( 2)P b −，
A P 1 1
1 ( )2 y y x x+ = B P
2 2
1 ( )2 y y x x+ =
P
1 ( 2)2 y bx− = 2 2y bx= + (0 2)，
AB 2( 2 )y kx k b= + = 2 2 0x kx− − =
0∆ >
1 2 2x x = − 1 2x x k+ =
(2 1)M ， AB 0AM BM =
1 1 2 2 1 2 1 2( 2 1)( 2 1) 0 ( 2)( 2) ( 1)( 1) 0x y x y x x y y− − − − = ⇔ − − + − − =， ，
1 2 1 2( 2)( 2) ( 1)( 1) 0x x kx kx⇔ − − + + + =
2
1 2 1 2( 1) ( 2)( ) 5 0k x x k x x+ + − + + =
2 2 3 0k k+ − = 1k = 3k = −
1k = 1 22P − ， 1 5
2 2
， 2 9
2r =
2 21 5 9
2 2 2x y − + − =
图 3当 时， ，圆心为 ，半径 ，
圆的标准方程为 . …………………………………（12
分）
20．（本小题满分 12 分）
（1）证明：如图 4，设 是 的中点，因为 ，
所以 ，且 ，
因为平面 平面 ，交线为 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，且 ，
四边形 是平行四边形，从而 ，
在 中， 是 的中点，所以 ，
所以 ，从而 四点共面. ………………………………（6 分）
（2）解：建系如图 5，因为 平面 ，
所以 就是二面角 的平面角，
，
所以 ， ， ，
是平面 的一个法向量，
是平面 的一个法向量，
，
因为二面角 是钝角，
所以二面角 的余弦值为 ． ………………………………………（12 分）
21．（本小题满分 12 分）
解：（1） ，
3k = − 3 22P − − ， 3 13
2 2
− ， 2 85
2r =
2 23 13 85
2 2 2x y + + − =
M AC 3DA DC= =
DM AC⊥ 2 2DM =
ACD ⊥ ABC AC DM ⊂ ACD
DM ⊥ ABC EF ⊥ ABC
DM EF∥ 2 2DM EF= =
DEFM DE MF∥
ABC△ M F， AC BC， MF AB∥
DE AB∥ A B E D， ， ，
BC ⊥ xCz
DCz∠ D BC E− −
3cos sin 33DCA DCz CD∠ = ∠ = ⇒ =
(1 0 2)CD = ， ， (1 4 2)BD = − ， ， (0 2 2 2)BE = − ， ，
( 2 0 1)m = − ， ， BCD
(3 2 2 1)n = ， ， BDE
5 5 7cos 213 21
m n = =
< ， >
E BD C− −
E BD C− − 5 7
21
−
2( ) ( 1) 1 ( 1)( 1)f x ax a x ax x′ = − + + = − −
图 4
图 5当 时， ，
则在 上， ， 单调递增；在 上， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
当 ，即 时，则在 上， ， 单调递增；在 和
上， ， 单调递减；
当 ，即 时，则在 上， ， 单调递减；在 和
上， ， 单调递增；
当 ，即 时，则在 上， ， 单调递减；在 和
上， ， 单调递增；
综上，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 和 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
………………………………………………………………………（6 分）
（2）当 时，函数有两个极值 和 ，
若函数 有三个不同的零点 ，即 ，
因为 ，所以 恒成立，
0a = ( ) 1f x x′ = −
( 1)−∞， ( ) 0f x′ > ( )f x (1 )+ ∞， ( ) 0f x′ < ( )f x
1a = 2( ) ( 1) 0f x x′ = − ≥ ( )f x
0a < 1 1a
< 1 1a
， ( ) 0f x′ > ( )f x 1
a
−∞ ， (1 )+ ∞，
( ) 0f x′ < ( )f x
0 1a< < 1 1a
> 11 a
， ( ) 0f x′ < ( )f x ( 1)−∞， 1
a
+ ∞ ，
( ) 0f x′ > ( )f x
1a > 1 1a
< 1 1a
， ( ) 0f x′ < ( )f x 1
a
−∞ ， (1 )+ ∞，
( ) 0f x′ > ( )f x
0a = ( )f x ( 1)−∞， (1 )+ ∞，
1a = ( )f x
0a < ( )f x 1 1a
， 1
a
−∞ ， (1 )+ ∞，
0 1a< < ( )f x ( 1)−∞， 1
a
+ ∞ ， 11 a
，
1a > ( )f x 1
a
−∞ ， (1 )+ ∞， 1 1a
，
0 1a ≠ ，
2
2
1 6 3 1
6
a b af a a
+ − =
23 6(1) 6
a a abf a
− +=
( )f x 1 (1) 0f fa
⇔ =
x m> 1m≤
1m≤ 1x > 0x m− >
( ) ( )( 2) ( ) 0f x x m x x x m= − + + − >
m 1m≤
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