绝密★启用前
2020 年安徽省“江南十校”综合素质检测
文科数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合 A＝{x|x＋3>1}，B＝{x|2x－1c>a B.a>b>c C.c>a>b D.c>b>a
8.执行下面的程序框图，则输出 S 的值为
A. B. C. D.
9.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于 2 的偶数都可以写成两个
质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1＋1”问题。它是 1742 年由数学家哥德巴赫提出的，
我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩。若将 6 拆
成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为
A. B. C. D.
10.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 acosB＋bcosA＝2ccosC，c＝ ，a＋
b＝5，
则△ABC 的面积为
A. B. C.3 D.4
11.已知椭圆 C： 的焦距为 2c，F 为右焦点，直线 x＝ 与椭圆 C 相
交于 A，B 两点，△ABF 是等腰直角三角形。点 P 的坐标为(0， )，，若记椭圆 C 上任一点 Q
到点 P 的距离的最大值为 d，则 的值为
A. B. C. D.
12.已知 f(x)＝1－2cos2(ωx＋ )(ω>0)。给出下列判断：
①若 f(x1)＝1，f(x2)＝－1，且|x1－x2|min＝π，则 ω＝2；
5
π 3
5
π
21 a− 21 a− 21 a− 21 a−
2
1
12
− 23
60
11
20
43
60
1
5
1
3
3
5
2
3
7
3
2
3 3
2 3 3
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 4
3
c
2
b
d
c
3 2 10
2
3
2
3
π②存在 ω∈(0，2)，使得 f(x)的图象右移 个单位长度后得到的图象关于 y 轴对称；
③若 f(x)在[0，2π]上恰有 7 个零点，则 ω 的取值范围为[ ， )；
④若 f(x)在[－ ， ]上单调递增，则 ω 的取值范围为(0， ]。
其中，判断正确的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知函数 f(x)＝lnx＋x2，则曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 。
14.已知双曲线 C： 的离心率为 ，则双曲线 C 的右顶点到双曲线的渐近
线的距离为 。
15.在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0，1)和点 B(－3，4)，若点 C 在∠AOB 的平分线上，且|
|＝3 ，则向量 的坐标为 。
16.已知在三棱锥 A－BCD 中，A，B，C，D 四点均在以 O 为球心的球面上，若 AB＝AC＝AD
＝ ，CD＝2 ，∠CBD＝60°，则球 O 的表面积为 。
三解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分。
17.(本小题满分 12 分)
已知数列{an}是递增的等比数列，Sn 是其前 n 项和，a2＝9，S3＝39。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记 bn＝ ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn。
18.(本小题满分 12 分)
移动支付是指移动客户端利用手机等电子产品来进行电子货币支付，移动支付将互联网、终
端设备金融机构有效地联合起来，形成了一个新型的支付体系，使电子货币开始普及。某机
构为了研究不同年龄人群使用移动支付的情况，随机抽取了 100 名市民，得到如下表格：
6
π
41
24
47
24
6
π
4
π 2
3
2
2
2 1( 0)yx bb
− = > 2
OC
10 OC
2 5 3
2 1
n
n
a
−(1)画出样本中使用移动支付的频率分布直方图，并估计使用移动支付的平均年龄；
(2)完成下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为使用移动支付与年龄有
关系?
附： ，n＝a＋b＋c＋d。
19.(本小题满分 12 分)
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB//CD，CD＝2AB＝4，AD＝ ，△
PAB 为等腰直角三角形，PA＝PB，平面 PAB⊥底面 ABCD，E 为 PD 的中点。
(1)求证：AE//平面 PBC；
(2)求三棱锥 P－EBC 的体积。
20.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)＝x2－(2＋a)x＋alnx(a∈R)。
(1)当 a>0 时，讨论 f(x)的单调区间；
(2)若对 x∈(0，＋∞)，f(x)≥(a＋1)lnx－2x 成立，求实数 a 的取值范围。
21.(本小题满分 12 分)
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
2
∀已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)，若圆 M：(x－1) 2＋y2＝3 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，且|AB|
＝2 。
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)过点 P(1，1)的直线 l1 与抛物线 C 相切，斜率为－ 的直线 l2 与抛物线 C 相交于 D，E 两
点，直线 l1，l2 交于点 Q，求证：|PQ|2＝|DQ||EQ|。
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一
题计分。
22.(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为 (m 为参数)，直线 l2 的参数方程
(n 为参数)。若直线 l1，l2 的交点为 P，当 k 变化时，点 P 的轨迹是曲线 C。
(1)求曲线 C 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线 l3 的极
坐标方程为 θ＝α(ρ≥0)，tanα＝ (0
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