四川省2019-2020学年高三3月月考数学(理)试题（解析版）

四川省高 2020 届高三 3 月月考 高三数学试题（理工类） 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的. 1.已知集合 ， ，则 中元素 个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合 A 表示以 为圆心， 为半径的单位圆上所有点组 成的集合，集合 B 表示直线 上所有的点组成的集合，又圆 与直线 相交于两点 ， ，则 中有 2 个元素.故选 B. 【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这 是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字 母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 2.已知 为虚数单位， ，复数 为正实数，则实数 的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据复数的分类，实部大于 0，虚部等于 0，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，复数 为正实数， 所以 ，解得 ， 所以实数 的取值集合为 . 的{ }2 2( , ) 1A x y x y= + = { }( , )B x y y x= = A B ( )0,0 1 y x= 2 2 1x y+ = y x= 2 2,2 2       2 2,2 2  − −    A B i m R∈ ( ) ( )2 22 8 8z m m m m i= − + + + − m { }0 { }8 { }0,8 ( )2,4− ( ) ( )2 22 8 8z m m m m i= − + + + − 2 2 2 8 0 8 0 m m m m − + + >  − = 0m = m { }0故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的分类，着重考查了计算能力，属于基础题. 3.下列函数中为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用函数的奇偶性的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，根据函数奇偶性的定义，可得： 对于 A 中，函数 的定义域为 ，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数； 对于 B 中，函数 的定义域为 R，且 ， 所以函数 为奇函数； 对于 C 中，函数 的定义域为 ，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数； 对于 D 中，函数 的定义域为 R，且 ，所以函数 为偶函数. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定，解答中熟记函数奇偶性的定义和判定方法，准确运算是解 答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4.已知双曲线 的一个顶点与抛物线 的焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由双曲线的方程求得其顶点坐标，再由抛物线的方程求出抛物线的焦点坐标，根据题意列出方程，即可求 解. y x= x xy e e−= − lny x= 2 cosy x x= y x= [0, )+∞ x xy e e−= − ( ) ( )( )x x x xf x e e e e f x− −− = − = − − = − x xy e e−= − lny x= (0, )+∞ 2 cosy x x= ( )2 2( ) ( ) cos( ) cosf x x x x x f x− = − − = = 2 cosy x x= 2 2 14 yx − = ( )2 2 0y px p= > 1x = − 1 2x = − 1x = 1 2x =【详解】由题意，双曲线 ，可得 ，所以其顶点坐标为 ， 又由抛物线 的焦点坐标为 ， 所以 ，所以 ，所以抛物线的准线方程为 . 故选：A. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质，以及抛物线的标准方程及几何性质的应用，着重 考查了计算能力，属于基础题. 5.如图是 2017 年第一季度五省 GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ） A. 2017 年第一季度 GDP 增速由高到低排位第 5 的是浙江省 B. 2017 年第一季度 GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有 1 个 C. 去年同期河南省的 GDP 总量不超过 4000 亿元 D. 与去年同期相比，2017 年第一季度五个省的 GDP 总量均实现了增长 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 2017 年第一季度 GDP 总量和增速由高到低排位，均居同一为的省，即可求解. 【详解】由 2017 年第一季度五省 GDP 情况图，可得： 在 A 中，2017 年第一季度 GDP 增速由高到低排位第 5 的是浙江省，所以是正确的； 在 B 中，2017 年第一季度 GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏省和河南省，共 2 个，所 以不正确； 在 C 中，去年同期河南省的 GDP 总量不超过 4000 亿元，所以是正确的； 在 D 中，与去年同期相比，2017 年第一季度五个省的 GDP 总量均实现了增长，故是正确的. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了折线图、柱形图的识别与应用，着重考查了数据处理能力，以及数形结合思想的 2 2 14 yx − = 1, 2a b= = ( 1,0),(1,0)− ( )2 2 0y px p= > ( ,0)2 pF 12 p = 2p = 1x = −应用，属于基础题. 6.若 的展开式中的第 2、3、4 项的二项式系数成等差数列，则 （ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】 由二项展开式的二项式系数成等差数列，列出方程，求得 ，代入即可求解. 【详解】由题意， 的展开式中的第 2、3、4 项的二项式系数成等差数列， 可得 ，解得 ， 由三角函数的诱导公式，可得 . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，以及三角函数的求值问题，其中解答中熟记二项展开式的二 项式系数，以及熟练应用三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7.已知函数 f(x)＝a＋log2(x2＋a)(a>0)的最小值为 8，则实数 a 的取值属于以下哪个范围(　　) A. (5，6) B. (7，8) C. (8，9) D. (9，10) 【答案】A 【解析】 【分析】 根复合函数的单调性，得到函数 f(x)的单调性，求解函数的最小值 f(x)min＝8，构造新函数 g(a)＝a＋log2a－8 ，利用零点的存在定理，即可求解. 【详解】由题意，根复合函数的单调性，可得函数 f(x)在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上递减， 所以函数 f(x)的最小值 f(x)min＝f(0)＝a＋log2a＝8， 令 g(a)＝a＋log2a－8，a>0， 则 g(5)＝log25－30， 又 g(a)在(0，＋∞)上 增函数， 所以实数 a 所在的区间为(5，6)． 是 ( )*(1 )nx n N− ∈ sin 3n ππ − =   1 2 1 2 1 2 − 3 2 3 2 3 2 − 7n = ( )*(1 )nx n N− ∈ 2 1 32 n n nC C C= + 7n = 3sin 7 sin3 3 2 π ππ − = =  【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及零点的存在定理的应用，其中解答中根据复合函数的 单调性，求得函数的最小值，构造新函数，利用零点的存在定理求解是解答的关键，着重考查了分析问题 和解答问题的能力，属于中档试题. 8.已知函数 的图象是由 的图象向右平移 个单位长度得到的，若函数 在 区间 上单调递增，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 结合函数的图象平移和诱导公式，求得 的解析式，再利用余弦函数的性质，取出函数 的单调递 增区间，最后结合已知条件，即可求解. 【详解】由题意， 的图象向右平移 个单位长度， 可得 ， 令 ，解得 ， 当 时，可得单调递增区间 ， 因为 在区间 上单调递增，所以 ，解得 ， 所以实数 的最大值为 . 故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及余弦函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用 三角函数的图象变换求得函数的解析式，合理应用余弦函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与 运算能力，属于中档试题. 9.已知奇函数 在 R 上是增函数， .若 ，则 的 大小关系为（ ） A. B. C. D. 为 ( )g x ( ) 3sin2 4f x x π = −   6 π ( )g x , 2 aπ     a 8 3 π 5 2 π 3π 7 3 π ( )g x ( )g x ( ) 3sin2 4f x x π = −   6 π ( ) 3sin 2[( ) ] sin(2 )6 4 6g x x x π π π= − − = + 2 2 2 ,2 6 2k x k k Z π π ππ π− + ≤ + ≤ + ∈ ,3 6k x k k Z π ππ π− + ≤ ≤ + ∈ 1k = 2 7[ , ]3 6 π π ( )g x , 2 aπ     1 7 2 6a π≤ 7 3a π≤ a 7 3 π ( )f x ( ) ( )g x xf x= 0.8 2( log 5.1), (2 ), (3)a g b g c g= − = = , ,a b c a b c< < c b a< < b a c< < b c a< ( )f x R ( ) ( )0 0f x f> = 1 20 x x≤ < ( ) ( )1 20 f x f x≤ < ( ) ( )1 1 2 2x f x x f x< ( ) ( )1 2g x g x< ( )g x [ )0,+∞ ( ) ( )2 2log 5.1 log 5.1a g g= − = 0.8 2 2 23 log 8 log 5.1 log 4 2 2= > > = > ( ) ( ) ( )0.8 23 log 5.1 2g g g> > c a b> > 20 3 π 28 3 π 4 3π 20 5 3 π【分析】 根据给定的几何体的三视图画出几何体的直观图，求出外接球的半径，然后求解几何体的外接球的体积. 【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图，可得该几何体表示一个底面为边长为 2 的正方形，高为 的四棱锥，点 P 在底面上的射影在 AB 上， 四棱锥的外接球的球心是经过底面 ABCD 的中心的垂线与经过 的外心与平面的垂线的交点， 可建立如图所示的空间直角坐标系，设 ， 可得 ，解得 ， 由球的性质，可得外接球的半径为 ， 所以几何体的外接球的体积为 . 故选：D. 【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，以及几何体的外接求得体积的计算，其中解答总根 据几何体的结构特征求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及计算能力. 11.在 中， ，若点 是 所在平面上的动点，且满足 ， 则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 3 PAD∆ 3 2 2(0,0, ), ( , , 3), ( 2,0,0)2 2O z P A− 2 2 2 2 23 2 2( ) ( ) ( 3 ) ( 2)2 2 z z+ − + − = + 3z = 5R OA= = 3 34 4 20 5( 5)3 3 3V R ππ π= = × = ABC 2 4AC AB AB BC⋅ = = =    P ABC 4PA PC⋅ =  PB ( ) ( )2 3 2 ,2 3 2 − +  [3 5,3 5]− + 0,2 5   0,4 3  由 ，得到 ，即 ，得出 为直角三角形，建立如图所示的直角坐标 系，点 P 在以 为圆心，3 为半径的圆上，结合圆的性质，即可求解. 【详解】由题意，在 中， ， 所以 ， 所以 ，即 ， 所以 的边长分别为 的直角三角形，且 B 角为直角， 建立如图所示的直角坐标系，则 ， 因为点 P 是 所在平面上的动点，且满足 ， 设 ，则 ， 所以 ， 即点 P 在以 为圆心，3 为半径的圆上， 因为 , 所以 的取值范围是 . 故选：B. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及利用坐标法解决向量问题中的应用，着重考查了 推理与计算能力，属于中档试题. 12.若函数 与 的图象有共同的切线 ，则实数 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 4AC AB⋅ =  0AB BC⋅ =  AB BC⊥ ABC∆ (2,1)D ABC∆ 2 4AC AB AB BC⋅ = = =    2 ( ) 4 4AC AB AB BC AB AB AB BC AB BC⋅ = + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ =          0AB BC⋅ =  AB BC⊥ ABC∆ 4,2,2 3 (0,0), (0,2), (4,0)B A C ABC∆ 4PA PC⋅ =  ( , )P x y 2 2( ,2 ) (4 , ) 4 2PA PC x y x y x x y y⋅ = − − ⋅ − − = − + −  2 2( 2) ( 1) 9x y− + − = (2,1)D 5BD OD= = PB [3 5,3 5]− + ( ) ln 1 mxf x x x = + + ( ) 2 1g x x= + ( )0y ax a= > m =【分析】 联立 和 ，运用判别式为 0，求得 的值，设切线与 的图象相切于点 ，求得 的导数，得出关于 的方程，消去 ，构造函数 ，利用导数求得函数的单调性， 即可求解. 【详解】由 和 联立，可得 ， 可得 ，解得 和 （舍去）， 所以切线方程 ， 设切线与 的图象相切于点 ， 由函数 ，则 ， 可得 ，且 ， 代入整理得 ， 设 ，则 ， 当 时，可得 ， 可得函数 在 上单调递增， 又由 ，则 的根为 1，即 ， 代入 ，可得 . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了导数在函数中的应用，以及利用导数的几何意义的应用，着重考查了函数与方程 思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案直接填在答题卡上. 13.若 x，y 满足约束条件 ，则 z＝3x－4y 的最小值为________. 【答案】 为 ( )0y ax a= > ( ) 2 1g x x= + a ( )y f x= ( , )s t ( )f x ,m s m ( )h s ( )0y ax a= > ( ) 2 1g x x= + 2 1 0x ax+ − = 2( ) 4 0a∆ = − − = 2a = 2a = − 2y x= ( )y f x= ( , )s t ( ) ln 1 mxf x x x = + + ( ) 2 1 ( 1) mf x x x ′ = + + ( ) 2 1 2( 1) mf s s s ′ = + =+ 2 ln 1 mxs s s = + + 2ln 2 1 0s s s+ − + = ( ) 2ln 2 1h s s s s= + − + ( ) 1 4 1h s ss ′ = + − 0s > 1 14 1 2 4 1 3 0s ss s + − ≥ ⋅ − = > ( )h x (0, )+∞ ( )1 0h = 2ln 2 1 0s s s+ − + = 1s = 2 ln 1 mxs s s = + + 4m = 0 2 0 0 x y x y y − ≥  + − ≤  ≥ 1−【解析】 【分析】 作出可行域，结合目标函数与可行域的关系，寻找满足条件的最值点即可 【详解】画出可行域如图阴影部分所示. 由 z＝3x－4y，得 ， 作出直线 ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点 A(1，1)处时取最小值，故 zmin＝3×1－4×1 ＝－1. 故答案为 【点睛】本题考查由可行域求目标函数最值，正确作图是解题关键，属于基础题 14.下面程序的运行结果是____________. WHILE　 WEND PRINT　S END 【答案】10 【解析】 【分析】 根据题意，模拟程序语言的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果，得到答案. 3 4 4 zy x= − 3 4y x= 1− i 1＝ S 0＝ i 4< S S*i 1＝ ＋ i i 1＝ ＋【详解】模拟程序的运行过程，如下： ， 满足条件 ，执行循环体， ； 满足条件 ，执行循环体， ； 满足条件 ，执行循环体， ； 此时，不满足条件 ，推出循环，输出 S 的值 10. 故答案为：10. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算输出问题，其中解答中根据程序语言的运行过程，逐 次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 15.设 的内角 的对边分别为 ，且满足 ， ， ，则边长 的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】 利用同角三角函数的基本关系式，正弦定理化简已知等式，得到 ，再由余弦定理得到 ，求得角 C，最后利用三角形的内角和定理求得 B 的值，进而根据正弦定理，即可求解 的值， 得到答案. 【详解】由题意，因为 ， 可得 ， 可得 ， 由正弦定理，可得 ， 由余弦定理可得 ， 因为 ，所以 ， 又因为 ， ，所以 , 1, 0i S= = 4i < 1, 2S i= = 4i < 3, 3S i= = 4i < 10, 4S i= = 4i < ABC , ,A B C , ,a b c 4A π= 2a = 2 2 2cos cos sinB C A− − sin sinA B= − b 2 6 2 + 2 2 2a b c ab+ − = 1cos 2C = b 2 2 2cos cos sinB C A− − sin sinA B= − 2 2 2(1 sin ) (1 sin ) sin sin sinB C A A B− − − − = − 2 2 2sin sin sin sin sinA B C A B+ − = 2 2 2a b c ab+ − = 2 2 2 1cos 2 2 2 a b c abC ab ab + −= = = (0, )C π∈ 3C π= 4A π= 2a = 5( ) 12B A C ππ= − + =由正弦定理 ，可得 . 故答案为： . 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系式，正弦定理、余弦定理，以及三角形的内角和定理在 解三角形中的综合应用，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题. 16.空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个 平面的距离.已知平面 两两互相垂直，点 ，点 到 的距离都是 2，点 是 上的动点， 满足 到 的距离是 到点 距离的 2 倍，则点 的轨迹上的点到 的距离的最大值是__________． 【答案】 【解析】 如图所示，在正方体 中， 平面 对应平面 ，点 位于平面 内满足题意， 原问题等价于在平面直角坐标系中有点 ，存在点 到 轴的距离为该点到 点距离的 2 倍，求该点 到 轴的距离的最大值. 设 ， 由题意得： ， 整理得： ， 所以所求最大值为 ． sin sin a b A B = 5 2 sin( )2 sinsin 2 64 312 sin 22sin 4 2 a Bb A π ππ π ⋅ +⋅⋅ += = = = 2 6 2 + , ,α β γ A α∈ A ,β γ P α P β P A P γ 2 32 3 + 1 1 1 1EFGH A B C D− , ,α β γ 1 1 1 1, ,EHA D EFB A EFGH A α (2 2)A ， P y A x ( )P x y， 2 22 ( 2) ( 2)x x y= − + − 21 8 162 32 3 3y x = ± − − +   2 32 3 +三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 17.已知数列 的前 项和为 ，满足 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）记 ，设数列 的前 项和为 ，证明： . 【答案】（1） ；（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）直接利用数列的递推关系式，结合 ，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）得 ，利用乘公比错位相减法，即可求得数列的前 n 项和 ，再结合放缩法，即可求解 . 【详解】（1）当 时， ， 因为当 时， 满足上式. 故数列 的通项公式 . （2）由（1）知 ，可得 ， 则 （1） { }na n nS 12 2n nS n+= + − n∈ +N { }na ( )2log 1 1 n n n ab a −= − { }nb n nT 2nT < 2 1n na = + 1n n na S S −= − nb 2n n= nT 2n ≥ 1 1 2 2 [2 ( 1) 2] 2 1n n n n n na S S n n+ −= − = + − − + − − = + 1n = 1 1 3a S= = { }na 2 1n na = + 2 1n na = + 2log ( 1) 1 n n n ab a −= − 2n n= 2 1 1 1 1 11 2 ( 1)2 2 2 2n n nT n n−= × + × + ⋅⋅⋅+ − × + × （2） 两式相减，可得 所以 又因为当 ，可得 ，所以 ， 即 . 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问 题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错 等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等. 18.四川省是一所国家级示范高中，具有悠久的办学历史、丰富的办学经验.近年来，双中共为国内 外高校输送合格新生 20000 余名，其中为清华、北大、复旦、人大等一流学府输送新生 1800 余名，上本科 线人数年年超过千人，培养出省、市、县高考冠军 17 名，位居成都市同类学校前茅.该校高三某班有 50 名 学生参加了今年成都市“一诊”考试，其中英语成绩服从正态分布 ，数学成绩的频率分布直方图 如下： （1）如果成绩 140 分及以上为单科特优，则该班本次考试中英语、数学单科特优大约各多少人？ （2）试问该班本次考试中英语和数学平均成绩哪个较高，并说明理由； （3）如果英语和数学两科都为单科特优共有 5 人，把（1）中的近似数作为真实值，从（1）中这些同学中 随机抽取 3 人，设三人中英语和数学双科特优的有 人，求 的分布列和数学期望. 参考公式及数据： 2 3 +1 1 1 1 1 11 2 ( 1)2 2 2 2 2n n nT n n= × + × + ⋅⋅⋅+ − × + × 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2n n nT n += + +⋅⋅⋅+ − × 1 111 1 1 1 221 212 2 2 2 21 2 n n n n n n nT n n− − += + +⋅⋅⋅+ − × = − × = − − n N +∈ 2 02n n+ > 22 22n n nT += − < 2nT < ( )2120,10N ξ ξ则 【答案】（1）英语有 人，数学有 人；（2）数学，理由见解析；（3）分布列见解析， 【解析】 【分析】 （1）由英语成绩服从正态分布 ，求出英语成绩为单科特优的概率为 ，由此能求出英语成绩 为单科特优的同学的人数，由图形先求出 ，由此能求出数学成绩特优的同学的人数； （2）英语的平均价成绩为 120 人，数学的平均成绩为 127 分，从而数学的平均成绩更高； （3）英语和数学双科特优的有 5 人，单科特优的有 8 人，得到 的取值为 ，分别求出相应的概率， 由此求得随机变量 的分布列和数学期望. 【详解】（1）由题意，英语成绩服从正态分布 ， 所以英语成绩为单科特优的概率为 ， 所以英语成绩为单科特优的同学约有 人， 因为 ，解得 数学成绩特别优秀的同学约有 人. （2）英语的平均成绩为 120 分， 数学的平均成绩为 分， 因为 ，所以数学的平均成绩更高. （3）英语和数学双科特优的有 5 人，单科特优的有 8 人， 从中抽取 3 人，随机变量 可能取值有 0，1，2，3， ； ； ； 2~ ( , )X N µ σ ( ) 0.46P xµ σ µ σ− < < + = ( 2 2 ) 0.60P xµ σ µ σ− < < + = ( 3 3 ) 0.96P xµ σ µ σ− < < + = 10 8 15 13 2(120,10 )N 0.2 a ξ 0,1,2,3 ξ 2(120,10 )N 1 1( 140) (1 0.60) 0.202P P X= ≥ = − × = 50 0.2 10× = 0.02 0.06 0.10 0.42 0.24 1a+ + + + + = 0.16a = 50 0.16 8× = 95 0.02 105 0.06 115 0.10 125 0.42 135 0.24 145 0.16 127.8× + × + × + × + × + × = 127.8>120 ξ 3 8 3 13 28( 0) 143 CP C ξ = = = 1 2 5 8 3 13 70( 1) 143 C CP C ξ = = = 2 1 5 8 3 13 40( 2) 143 C CP C ξ = = = 3 5 3 13 5( 3) 143 CP C ξ = = =故 的分布列为： 0 1 2 3 所以 的数学期望为 （人）. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的频数、平均数，以及离散型随机变量的分布列和数学期望的求 解，同时涉及的古典概型的概率的计算等知识的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档 试题. 19.如图，直三棱柱 中， ， 、 、 分别是线段 、 、 的 中点， ， ， 在线段 上运动，设 . （1）证明： ； （2）是否存在点 ，使得平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 ？若存在，试确定点 的位 置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在， 在 上，且 【解析】 【分析】 ξ ξ P 28 143 70 143 40 143 5 143 ξ 28 70 40 5 15( ) 0 1 2 3143 143 143 143 13E ξ = × + × + × + × = 1 1 1ABC A B C− 1 1 2AC BC AA= = N D E AB 1AA 1CC 1DC BD⊥ 1 1 4BM BB=  P DE ( )EP ED Rλ λ= ∈  1DC BC⊥ P PMN ABC 60° P P ED 7 3 5 2EP −=（1）推导出 ， ，由线面垂直的判定定理，得到 面 ，由此证得 ； （2）以 为坐标原点，分别以 的方向分别为 轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量 法求得存在点 P，使得平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 . 【详解】（1）在 中， ，得 同理可得 ，所以 ， 得 ，又 ， 由线面垂直的判定定理，可得 面 ， 又由 面 ，所以 . （2）由(Ⅰ)可得 ，不妨设 ， ， 以 为坐标原点，分别以 的方向分别为 轴正方向建立空间直角坐标系， 则 ， 故 设平面 的法向量为 所以 ， 令 ，则 ， ，得 ， 取平面 的一个法向量为 ， 假设存在点 满足题意， 则 ， 化简得 ，解得 或 ， 又由 ，所以 ， 1DC DC⊥ 1DC BD⊥ 1DC ⊥ BCD 1DC BC⊥ C 1, ,CA CB CC   , ,x y z PMN ABC 60° Rt DAC AD AC= 45ADC∠ = ° 1 1 45A DC∠ = ° 1 90CDC∠ = ° 1 1,DC DC DC BD⊥ ⊥ DC BD D= 1DC ⊥ BCD BC ⊂ BCD 1DC BC⊥ AC BC⊥ 2AC BC= = 1 4CC = C 1, ,CA CB CC   , ,x y z 1(2,0,0), (0,2,0), (0,0,0), (0,2,4), (1,1,0)), (0,1,0), (0,2,1)A B C B N N M ( 1,1,1)NM = − (2,0,0) (2 ,0,0)EP ED CAλ λ λ λ= = = =   ( 1, 1,0) (0,0,2) (2 ,0,0) (2 1, 1,2)NP NC CE EP λ λ= + + = − − + + = − −    PMN ( , , )n x y z= 00 (2 1) 2 00 x y zNM n x y zNP n λ  − + + =⋅ = ⇒  − − + =⋅ =      (2 2) 3 0x zλ⇒ − + = 3x = 2 2z λ= − 2 1y λ= + (3,2 1,2 2 )n λ λ= + − ABC (0,0,1)m = P 2 2 2 2 1, 29 (2 1) (2 2 ) m ncos m n m n λ λ λ −⋅< > = = = + + + −      24 14 1 0λ λ− + = 7 3 5 4 λ −= 7 3 5 4 λ += [0,1]λ ∈ 7 3 5 4 λ −=综上，存在点 ，使得平面 与平面 的夹角为 . 【点睛】本题考查了线面垂直的判定及应用，以及空间角的求解与应用，意在考查学生的空间想象能力和 逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关 键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的 夹角公式求解. 20.已知在 中，两直角边 ， 的长分别为 和 ，以 的中点 为原点， 所在直线 为 轴，以 的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系，椭圆 以 ， 为焦点，且经过点 . （1）求椭圆 的方程； （2）直线 ： 与 相交于 ， 两点，在 轴上是否存在点 ，使得 为等边三角形， 若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ；（2）存在， 或 【解析】 【分析】 （1）由题意，得到椭圆的定义求得 的值，再结合 的关系，求得 ，即可得到椭圆的标准方 程； （2）假设存在 轴上存在点 点，由题意联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式， 求得点 P 的坐标，进而求出弦长，再根据 C 到弦 AB 的中点 P 的距离为弦长的 倍，结合 ，求 得 C 的坐标，进而求得 的值. 【详解】（1）由题意，根据椭圆的定义，可得 ， 所以 ，又 ， P PMN ABC 60° Rt MEF EF FM 2 2 1 EF O EF x EF y Γ E F M Γ l y x m= − + Γ A B y C ABC l 2 2 14 2 x y+ = 3 10 5y x= − + 3 10 5y x= − − 2a , ,a b c 2 2b = y C 3 2 CP AB⊥ m 2 | | | | 3 1 4a ME MF= + = + = 2a = 2c =又 ，又焦点 x 轴上， 故所求椭圆方程为 . （2）假设在 轴上存在点 ，使得 为正三角形. 设 ，线段 AB 的中点为 ，则 . 又 ，整理得 ， 则 ，解得 ， 又 所以 ， ， 即 ，则 ， 令 ，则 ，即 ， ， 所以 ， 解得 ，满足条件 所以在 轴上存在点 ，使得 为正三角形. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目， 通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子 的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能 力等. 21.已知 （ 为自然对数的底数）， . 在2 2 2 2b a c= − = 2 2 14 2 x y+ = y C ABC 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ( , )P PP x y 3| | | |2PC AB= 2 2 14 2 y x m x y = − + + = 2 23 4 2 4 0x mx m− + − = 28(6 ) 0m∆ = − > 6 6m− < < 2 1 2 1 2 4 2 4,3 3 m mx x x x −+ = = 2 2 2 1 2 1 2 4 6| | 1 ( ) 4 3 mAB k x x x x −= + + − = 1 2 2 2 3P x x mx += = 3P P my m x= − = 2( , )3 3 m mP : 3 mPC y x= − 0x = 3 my = − (0, )3 mC − 3| | | |2PC AB= 2 2 24 4 3 4 6 9 9 2 3 m m m−+ = × 3 10 5m = ± y C ABC ( ) xf x e−= e ( ) ( )g x ax a R= ∈（1）当 时，求函数 的极小值； （2）当 时，关于 的方程 有且只有一个实数解，求实数 的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】 【分析】 (1)由题意，当 时 ，然后求导函数，分析单调性求得极值； (2)先将原方程化简，然后换元转化成 只有一个零点，再对函数进行求导 ，讨论单调性，利用零点存在性定理求得 a 的取值. 【详解】（1）当 时 ， 令 解得 递减 极小值 递增 （2）设 ， 令 ， ， ，设 ， ， 由 得， ， 在 单调递增， 1a = ( ) ( ) ( )h x f x g x= + 0t ≥ t ( 1) ln( 1) ( )f t t e g t− − + + − = a 1a = ( ) ( ) ( ), xh x f x g x e x−= + = + ( ) e ln e , 1xF x ax x a x= − + − + ≥ 1a = ( ) ( ) ( ), xh x f x g x e x−= + = + ( ) 1,xh x e−′ = − + ( ) 0,h x′ = 0x = x ( ),0−∞ 0 ( )0,+∞ ( )h x′ - 0 + ( )h x ( ) ( )= 0 1h x h∴ = 极小值 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 ln 1 e e ln 1 ett f t t g t at tϕ += − − + + − − = − + + − ( )1 1t x x+ = ≥ ( ) e ln e , 1xF x ax x a x= − + − + ≥ ( ) 1' exF x a x = − + ( ) ( ) 1ext x F x a x = − +′ = ( ) 2 1ext x x =′ − 1x ≥ 2 2 11, 0 1 xx e ex ≥ ∴ < ≤ ≥ ( ) 2 1' e 0xt x x = − > ( )t x ( )1,+∞即 在 单调递增， ， ①当 ，即 时， 时， ， 在 单调递增,又 ， 此时 在当 时，关于 的方程 有且只有一个实数解. ②当 ，即 时， ，又 故 ，当 时， ， 单调递减，又 ， 故当 时， ， 在 内，关于 的方程 有一个实数解 . 又 时， ， 单调递增， 且 ，令 ， , ,故 在 单调递增，又 故 在 单调递增，故 ，故 ，又 ，由零点存在定理可知， . 故当 时， 的方程 有两个解为 和 综上所述：当 时 的方程 有且只有一个实数解 【点睛】本题主要考查了导函数的应用，讨论单调性和零点的存在性定理是解题的关键点，属于难题. 如果函数 y= f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a).f(b) ≥ ( )F x ( )1,+∞ ( )1 0F = e 1a ≤ + 1x ≥ x e ln e 0x ax x a− + − + = 1 0e a+ − < 1a e> + ( ) ( ) 11 0, ' ln 0lnF F a a a a aa = − + − =′ ( )ln ln 1 1a e> + > ( ) ( )0 01,ln , 0x a F x′∃ ∈ = ( )01,x x∈ ( ) 0F x′ < ( )F x ( )1 0F = ( ]01,x x∈ ( ) 0F x < [ )01, x x e ln e 0x ax x a− + − + = 1x = ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0F x′ > ( )F x ( ) 2 2ln 1a aF a e a a a e e a= + − + − > − + ( ) ( )2 1 1xk x e x x= − + ≥ ( ) ( ) 2xs x k x e x= = −′ ( ) e 2 e 2 0xs x = − > − >′ ( )k x′ ( )1,+∞ ( )1 0k′ > ( )k x ( )1,+∞ ( ) ( )1 0k a k> > ( ) 0F a > 0e aa x> > ( ) ( )1 0 1, , 0x x a F x∃ ∈ = 1a e> + x e ln e 0x ax x a− + − + = 1x = ( )1 0 ,x x a∈ e 1a ≤ + t， ( ) ( ) ( )1 ln 1f t t e g t− − + + − = xOy 1C 2 2 1x y+ = 1C 2x x y y =′ ′   = 2C x 2C A B 2C OA OB⊥ 2 2 1 1 OA OB +【答案】（1） ；（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）将 代入 ，求得曲线 的直角坐标方程，将 ，代入取得曲 线 的极坐标方程； （2）设 ，得到 ， ，由此证得 为定值. 【详解】（1）设曲线 上任意一点 ， 将 代入 ，可得 ， 即 为曲线 的直角坐标方程. 将 ，代入 ，可得 ， 即 为曲线 的极坐标方程. （2）由于 ，可设 ， 则 ， ， 于是 . 【点睛】本题主要考查了曲线的图象变换，曲线的极坐标方程的求法，以及曲线的极坐标方程的应用，着 重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 23.已知函数 . （1）若函数 的最小值为 4，求正实数 的值； 2 2 2 4 cos 4sin ρ θ θ= + 2 xx y y ′ ′  =  = 2 2 1x y+ = 2C cos , sinx yρ θ ρ θ= = 2C 1 2( , ), ( , )2A B πρ θ ρ θ + 2 1 2 2 4 cos 4sin ρ θ θ= + 2 2 2 2 4 sin 4cos ρ θ θ= + 2 2 1 1 OA OB + 2C ( , )p x y′ ′ ′ 2 xx y y ′ ′  =  = 2 2 1x y+ = 2 2 14 x y ′ ′+ = 2 2 14 x y+ = 2C cos , sinx yρ θ ρ θ= = 2 2 14 x y+ = 2 2( cos ) ( sin ) 14 ρ θ ρ θ+ = 2 2 2 4 cos 4sin ρ θ θ= + 2C OA OB⊥ 1 2( , ), ( , )2A B πρ θ ρ θ + 2 1 2 2 4 cos 4sin ρ θ θ= + 2 2 2 2 4 sin 4cos ρ θ θ= + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 cos 4sin sin 4cos 5 4 4OA OB θ θ θ θ ρ ρ + + ++ = + = = ( ) 3f x x x a= − + + ( )f x a（2）在（1）的条件下，若 ，求证： . 【答案】（1）1；（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值，求得函数的最小值，结合最小值为 4，可求解； （2）根据 ，利用基本不等式，即可作出证明. 【详解】（1）由题意，实数 ， 当 时， ，此时 ， 当 时， ，此时 ， 当 时， ，此时 ， 综上可知， ，解得 . （2）证明：由（I）知 ，所以 ， 又因为 ， ， ， 【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，以及不等式的证明，其中解答中熟记含绝对值不等式 的求解方法，合理应用基本不等式是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与论证能力，属于 中档试题. m n l a− + = 2 2 2 1 3m n l+ + ≥ m n l a− + = 0a > x a≤ − ( ) 2 3f x x a= − + − min( ) ( ) 3f x f a a= − = + 3a x− < < ( ) 3 3f x x x a a= − + + + = + min( ) ( ) 3f x f a a= − = + 3x ≥ ( ) 2 3f x x a= − + min( ) (3) 3f x f a= = + min( ) 3 4f x a= + = 1a = 1a = 1m n l− + = 2 2 2m n mn+ ≥ − 2 2 2m l ml+ ≥ 2 2 2n l nl+ ≥ − 2 2 22 ) 2 2 2m n l mn ml nl∴ + + ≥ − + −（ 2 2 2 2 2 2 23 ) 2 2 2 ( ) 1m n l m n l mn ml nl m n l∴ + + ≥ + + − + − = − + =（ 2 2 2 1 3m n l∴ + + ≥