高 2020 级高三下期第二次学月考试
理科数学试题卷
一、选择题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A． ，“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．“ 为真命题”是“ 为真命题”的必要不充分条件
C．命题“ ，使得 ”的否定是：“ ， ”
D．命题 “ ， ”，则 是真命题
4．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺.斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二
斤.由本至末递次减，中间三尺重几何.”意思是：“现有一根金锤，长 尺，头部 尺，重 斤；尾部 尺，
重 斤.且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤.”（ ）
A． 斤 B． 斤 C． 斤 D． 斤
5．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
6．过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 两点，若线段 中点的横坐标为 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
( )( ){ }2 3 3 0A x Z x x= ∈ + − < { }1 lnB x y x= = − A B =
( ]0,e { }0,e { }1,2 ( )1,2
z 11 2 1 2i iz
+ = + i z
4 4i 4− 4i−
a R∈ 1 1a
< 1a >
p q∧ p q∨
x R∃ ∈ 2 2 3 0x x+ − < x R∀ ∈ 2 2 3 0x x+ − >
:p x R∀ ∈ sin cos 2x x+ ≤ p¬
5 1 4 1
2
6 7 8 9
sin 5a
π=
2log 3b =
2
31
4c =
a c b< < b a c< < c a b< < c b a< <
( )2 2 0y px p= > F ,A B AB 3
5
2AB p= p =
8 2 6 47．一架飞机有若干引擎，在飞行中每个引擎正常运行的概率为 ，且相互独立。已知 引擎飞机中至少有
个引擎正常运行，飞机就可安全飞行； 引擎飞机要 个引擎全部正常运行，飞机才可安全飞行。若已知
引擎飞机比 引擎飞机更安全，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．下列关于函数 的图像或性质的说法中，正确的个数为（ ）
①函数 的图像关于直线 对称
②将函数 的图像向右平移 个单位所得图像的函数
③函数 在区间 上单调递增
④若 ，则
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
9．已知 ， 且 中有三个元素，若 中的元素可构成等差数列，则这样的集合
共有（ ）个
A． B． C． D．
10 ． 已 知 三 棱 锥 的 四 个 顶 点 在 同 一 个 确 定 的 球 面 上 ， 底 面 满 足 ，
，若该三棱锥体积的最大值为 ，则其外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
11．若曲线 和 上分别存在点 和 ，使得
是以原点 为直角顶点的直角三角形，且斜边 的中点在 轴上，则实数 的取值范围是（ ）
p 4
3 2 2
4 2 p
2 ,13
1 ,13
20, 3
10, 3
( ) 12sin 2 6f x x
π = +
( )f x 8
3x
π=
( )f x 3
π 12sin 2 3y x
π = +
( )f x 5,3 3
π π −
( )f x a= 1cos 2 3 2
ax
π − =
1 2 3 4
{ }1,2,3,...,40S = A S⊆ A A A
460 760 380 190
P ABC− ABC∆ 6BA BC= =
2ABC
π∠ = 3
8π 16π 16
3
π 32
3
π
( ) ( ) ( )21 1 1ln 1f x e x ea x
= − < < −+ ( ) ( )3 2 0g x x x x= − + < A B
AOB∆ O AB y aA． B． C． D．
12．在平面直角坐标系 中， 和 是圆 上的两点，且 ，点 ，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．双曲线 的渐近线与圆 相切，则 ______.
14．某个四棱柱被一个平面所截，得到的几何的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______.
15． 的展开式中 的系数为 ，则 ______.
16 ． 已 知 数 列 满 足 ： ， . 设 ，
，且数列 是单调递增数列，则实数 的取值范围是______.
三、解答题
17．如图，在 中，点 在 边上， ， ， .
( )2,e e
2
, 2
ee
( )21,e [ )1,e
xOy A B ( )2 2: 1 1C x y− + = 2AB = ( )2,1P
2PA PB−
5 2, 5 2 − + 5 1, 5 1 − − +
6 2 5,6 2 5 − + 7 2 10,7 2 10 − +
2 2
16 3
x y− = ( ) ( )2 2 23 0x y r r− + = > r =
( ) ( )611 0x ax ax
+ + >
2x 240 2
0
4a
x dx− =∫
{ }na 1 1a = ( )*
1 2
n
n
n
aa n Na+ = ∈+ ( ) ( )*
1
12 1n
n
b n n Na
λ+
= − ⋅ + ∈
2
1 5b λ λ= − { }nb λ
ABC∆ D BC 60ADC∠ = 2 7AB = 4BD =（1）求 的面积.
（2）若 ，求 的值.
18 ． 如 图 ， 在 斜 三 棱 柱 中 ， 正 三 角 形 的 边 长 为 ， ， ，
.
（1）求证：面 面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
19．为了了解同学们的视力情况，学校研究性学习小组对高三学生视力情况进行调查，在高三的全体
名学生中随机抽取了 名学生的体检表，并得到左图的频率分布直方图.
（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在 5.0 以下的人数；
ABD∆
120BAC∠ = sin C
1 1 1ABC A B C− ABC 2 1 3BB = 1 10AB =
1 60CBB∠ =
ABC ⊥ 1 1BCC B
1C BB A− −
1000
100（2）小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与成绩是否有关系，对年
级名次在 名和 名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的
概率不超过 的前提下认为视力与成绩有关系？
（3）在（2）中调查的 名学生里，按分层抽样从不近视的学生中抽取了 人，进一步调查他们良好的护
眼习惯.现从这 人中随机选出 人，记名次在 名的学生人数为 ，求 的分布列和数学期望.
附： ，
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
20．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，焦距为 ，直线 与椭圆相交
于 、 两点， 关于直线 的对称点 恰好在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）与直线 垂直的直线 与线段 （不包括端点）相交，且也椭圆相交 、 两点，求四边形
面积的取值范围.
21．已知函数 ， 是 的导函数.
（1）若 ，当 时，函数 在 内有唯一的极大值，求 的取值范围；
1~ 50 951~1000
0.05
100 9
9 3 1~ 50 X X
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
( )2P K k≥
k
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 1F 2F 4 1 : bl y xc
=
A B 2F 1l E
1l 2l AB C D ABCD
( ) ( )sin lnf x x a x b= − + ( )g x 9f x
0a > 1b = ( )g x 0, 2
π
a（2）若 ， ，试研究 的零点个数.
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点为极点，以 轴
的正半轴为极轴，建立极坐标系.
（Ⅰ）写出曲线 的极坐标方程；
（Ⅱ）设点 的极坐标为 ，过点 的直线 与曲线 相交于 两点，若 ，求
的弦长.
23．已知 ，函数 ，
（1）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
（2）在（1）中 的最大值为 ，若 ，证明：
高 2020 级高三下期第二次学月考试
理科数学试题卷参考答案
一、选择题
CCAD；CDBB；CDBA
4．解析：原问题等价于等差数列中，已知 ， ，求 的值.由等差数列的性质可知：
， ，则 ，即中间三尺共重 斤.故选 D.
5．解析：因为 ，故选 C.
6 ． 解 析 ： 设 的 坐 标 分 别 为 ， ， 线 段 中 点 的 横 坐 标 为 ， 则 ，
，由此解得 .故选 D.
7．解析：设事件 为“ 引擎飞机安全飞行”，则 .
1a = 1, 2b e
π ∈ −
( )f x
xOy C 2cos
2 2sin
x
y
θ
θ
=
= +
θ x
C
M 2, 4
π
M l C ,A B 2MA MB= AB
1a > − ( ) 2 2 1f x x a x= − + + ( ) 24 3g x x ax= + −
1 ,2 2
ax ∈ −
( ) ( )f x g x≥ a
a m bc ca ab ma b c
+ + = a b c m+ + ≤
1 4a = 5 2a = 2 3 4a a a+ +
2 4 1 5 6a a a a+ = + = 1 5
3 32
a aa
+= = 2 3 4 9a a a+ + = 9
1 12c a b< < < <
,A B ( )1 1,x y ( )2 2,x y AB 3 1 2 32
x x+ =
1 2
5
2AB p x x p= = + + 4p =
A 4 ( ) ( )3 3 4 4
4 41P A C P P C P= − +设事件 为“ 引擎飞机成功飞行”，则 ，
依题意： ，即 ，进而解出 ，故选 B.
8．解析：令 ，解得 ，当 时，则 ，故①正确；
将函数 的图像向右平移 个单位得 ，故②错误；
令 ，得 ，故③错误；
若 ， ， ，故④正
确.故选 B.
9．解析：设 中构成等差数列的元素为 ，则有 ，由此可得 应该同奇同偶，而当
同奇同偶时，则必存在中间项 ，所以问题转变为只需在 中寻找同奇同偶数的情况. 同为奇数的
可能的情况为 ，同为偶数的可能的情况为 ，所以一共有 中，故选 C.
10．解析：因为 是等腰直角三角形，所以外接的半圆半径是 ，设外接球的半径是
，球心 到该底面的距离 ，则 ， ，由题设 ，最
大体积对应的高为 ，故 ，即 ，解之得 ，所以外接球的体积
是 ，故选 D.
11．解析： ，则 ， ，则
∴ ， ，易求得 ，故选 B.
12．解： ，取 中点为 ， ，且 ，延长 至 ，使得 ，
则 ， ，所以 的轨迹是以 为圆心， 为半径
B 2 ( ) 2P B p=
( ) ( )P A P B> ( )3 3 4 4 2
4 41C p p C p p− + > 1 13 p< <
( )1
2 6 2x k k Z
π π π+ = + ∈ ( )2 23x k k Z
π π= + ∈ 1k = 8
3x
π=
( )f x 3
π 1 12sin 2sin2 3 6 2y x x
π π = − + =
( )12 22 2 6 2k x k k Z
π π ππ π− + < + < + ∈ ( )4 24 43 3k x k k Z
π ππ π− + < < + ∈
( )f x a= 12sin 2 6x a
π + =
1 1 1cos sin sin2 3 2 2 3 2 6 2
ax x x
π π π π − = + − = + =
A , ,a b c 2b a c= + ,a c ,a c
b 1 40− ,a c
2
20C 2
20C 2
202 380C⋅ =
ABC∆ 1 12 32r = × =
R O d 1 6 32ABCS∆ = × = 3BD = 1 1 6 33 6ABCV S h h∆= = × =
3SD h= = 2 2 3R d= + ( )22 3 3R R= − + 2R =
34 32
3 3R
ππ =
( )0
0
1, ln 1A x a x
+
( )3 2
0 0 0,B x x x− + OA OB⊥ ( ) 3 2
0 0 0
0 0
1
ln 1 1a x x x
x x
+ +⋅ = −−
( )0
0
1
ln 1
xa x
+= + ( )( )2
0 1, 1x e e∈ − −
2
, 2
ea e
∈
2AB = AB M 2
2CM = CM AB⊥ MA Q 3 23 2MQ MA= =
2 3PA PB PM MA PQ− = + = 2 2 5QC MC MQ= + = Q C 5的圆， ，所以 .（注：也可以用圆的参数方程来做）
二、填空题
13．
14．解析：由于长方体被平面所截，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体，从而拼成了一个长
方体，∵长方体由两个完全一样的几何体拼成，∴所求体积为长方体体积的一半.从图上可得长方体的底面
为正方形，且边长为 ，长方体的高为 ，∴，∴ .
15．解析：由条件知 的展开式中 的系数为 ，解得 .
.
16．解析：∵数 满足： ， .∴ ，化为 ，
∴ 数 列 是 等 比 数 列 ， 首 项 为 ， 公 比 为 ， ∴ ， ∴
，∵ ，且数列 是单调递增数列，∴ ，∴
，解得 ；再由 ，可得 ，对于任意的 恒成立，∴
.综上，答案为 .
17 ． 解 析 ： （ 1 ） 由 题 意 ， ， 在 中 ， 由 余 弦 定 理 可 得
， 即 或 （ 舍 ），∴
的面积 .
（ 2 ） 在 中 ， 由 正 弦 定 理 得 ， 代 入 得 ， 由 为 锐 角 ， 故
，所以 .
2PC = 5 2, 5 2PQ ∈ − +
3r =
2 3 1 4+ = 1 82V V= =方体长
( ) ( )611 0x ax ax
+ + >
2x 2 4
6 240C a = 2a =
2
0
14 44
a
x dx π π− = × × =∫
{ }na 1 1a = ( )*
1 2
n
n
n
aa n Na+ = ∈+ 1
1 2 1
n na a+
= +
1
1 21 2
n na a+
+ = +
1 1
na
+
1
1 1 2a
+ = 2 1 1 2n
na
+ =
( ) ( )1
12 1 2 2n
n
n
b n na
λ λ+
= − + = − ⋅
2
1 5b λ λ= − { }nb 2 1b b>
( ) 21 2 2 5λ λ λ− ⋅ > − 1 2λ− < < 2 1n nb b+ +> 12
nλ < + *n N∈
3
2
λ < 31 2
λ− < <
120BDA∠ = ABD∆
2 2 2 2 cos120AB BD AD BD AD= + − ⋅ ⋅ 228 16 4 2AD AD AD= + + ⇒ = 6AD = −
ABD∆ 1 1 3sin 4 2 2 32 2 2S DB DA ADB= ⋅ ⋅ ⋅ ∠ = × × × =
ABD∆
sin sin
AD AB
B BDA
= ∠
21sin 14B = B
5 7cos 14B = ( ) 21sin sin 60 sin 60 cos cos60 sin 7C B B B= − = − = 18．解析：（1）取 的中点 ，连接 和 ，∵底面 是边长为 的正三角形，
∴ ， 且 ； ∵ ， ， ，
，
∴ ，又∵ ，∴ ，∴ .
又∵ ，∴ 平面 ，又∵ 平面 ，∴平面 平面 .
（2）如图所示，以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，可知
，则 ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
设 为平面 的法向量，则 ，
即 ，令 ，得 ；
设 为平面 的法向量，则 ；
，可分析坯布角 的平面角 为锐角，∴ .
19．解析：（1）由图可知，第一组有 人，第二组 人，第三组 人，因为后四组的频数成等差数列，所
以后四组频数依次为 ，所以视力在 以下的频率为 ，
故全年级视力在 以下的人数约为 人
（2）
因此在犯错误的概率不超过 的前提下，可以认为视力与学习成绩有关系.
BC O OA 1OB ABC 2
OA BC⊥ 3OA = 1 3BB = 1 60CBB∠ = 1OB =
2 2 2
1 1 3 2 1 3 cos60 7OB = + − × × × =
1 7OB = 1 10AB = 2 2 2
1 110OA OB AB+ = = 1OA OB⊥
1 0OB BC = OA ⊥ 1 1BCC B OA ⊂ ABC ABC ⊥ 1 1BCC B
O OC x OA y OH z
2BH = ( )0, 3,0A ( )1,0,0B − ( )1,0,0C ( )0,0, 3H 1
1 3 3,0,2 2B
1
1 3 3, 3,2 2AB
= −
( )1, 3,0AB = − − ( )1, 3,0AC = −
( )1 1 1 1, ,n x y z= 1ABB 1
1 1
0,
0
n AB
n AB
⋅ = ⋅ =
1 1
1 1 1
3 0
1 3 33 02 2
x y
x y z
− − =
− + =
1 1y = ( )1 3,1,1n = −
( )2 2 2 2, ,n x y z= 1CBB ( )2 0,1,0n =
1 2
1 2
1 2
1 5cos , 55 1
n nn n n n
⋅= = =⋅ ⋅ 1C BB A− − θ 5cos 5
θ =
3 7 27
27,24,21,18 5.0 1 0.18 0.82− =
5.0 821000 820100
× =
( )2
2 100 41 18 32 9 300 4.110 3.84150 50 73 27 73k
× × − ×= = ≈ >× × ×
0.05（3）可知 人中年级名次在 的有 人， 的有 人， 可取 .
， ， ， ，
的分布列为
0 1 2 3
20．解析：（1）由椭圆焦距为 ，设 ， ，连结 ，设 ，则 ，
又 ， 得 ， ， ， ∴ ，
， ，
，∴ ， ，所以椭圆方程为 .
（ 2 ） 设 直 线 方 程 ： ， 、 ， 由 ， 得
， 所 以 ， 由 （ 1 ） 知 直 线 ， 代 入 椭 圆 得
， ， 得 ， 由 直 线 与 线 段 相 交 于 点 ， 得
，
， 而 ，
9 1~ 50 3 951~1000 6 X 0,1,2,3
( ) 3
6
3
9
200 84
CP X C
= = = ( ) 2 1
6 3
3
9
451 84
C CP X C
= = = ( ) 1 2
6 3
3
9
182 84
C CP X C
= = = ( ) 3
3
3
9
13 84
CP X C
= = =
X
X
P 20
84
45
84
18
84
1
84
( ) 20 45 18 10 1 2 3 184 84 84 84E X = × + × + × + × =
4 ( )1 2,0F − ( )2 2,0F 1EF 1 2EF F α∠ = tan b
c
α =
2 2 2a b c= + sin b
a
α = cos c
a
α = 1 2OE OF OF c= = = 1 2 90F EF∠ =
2
1
22 cos cEF c a
α= ⋅ = 2
22 sin bcEF c a
α= ⋅ =
1 2 2EF EF a+ = 2b c= = 2 8a =
2 2
18 4
x y+ =
2l y x m= − + ( )1 1,C x y ( )2 2,D x y
2 2
18 4
x y
y x m
+ =
= − +
2 23 4 2 8 0x mx m− + − =
1 2
2
1 2
4
3
2 8
3
x x m
mx x
+ = − =
1 :l y x=
2 26, 63 3A − −
2 26, 63 3B
8 3
3AB = 2l AB P
4 46, 63 3m ∈ −
( ) ( )22
2 2
1 2 1 2 1 2
4 2 816 42 2 8 2 129 3 3
mmCD x x x x x x m
−
= − = + − = − = − +
2
1lk = −， 知 ， ∴ ， 由 ， 得
，
所以 ，∴四边形 面积的取值范围为 .
21．【解析】：（1）当 时， ， ，
在 是减函数，且 ， ，
①，当 ， 时， 恒成立， 在 是增函数，无极值；
②，当 ， 时， ，使得 ， ， ，
单调增；
， ， 单调减， 为 唯一的极大值点，所以
（2） ， ， ， ，可知，
（i） 时， ，无零点；所以只需研究 ， ，
（ii） 时， ，可知 单调减，
， ， 唯一的 ， ；
（ iii ） 当 ， 是 减 函 数 ， 且 ，
1
1lk = 2 1l l⊥ 21 16 3 122 9ACBDS AB CD m= × = − + 4 46, 63 3m ∈ −
2 32 ,03m − ∈ −
216 3 32 3212 ,9 9 3m − + ∈ ACBD 32 32,9 3
1b = ( ) ( )sin ln 1f x x a x= − − ( ) ( ) cos 1
ag x f x x x
′= = − + ( )0a >
( ) ( )2sin
1
ag x x
x
′ = − +
+ 0, 2
π
( )0 0g a′ = > 212 12
ag
π
π
′ = − + +
02g
π ′ ≥
2
12a
π ≥ +
( ) 0g x′ ≥ ( )g x 0, 2
π
02g
π ′ ( )g x
0 , 2x x
π ∈
( ) 0g x′ < ( )g x 0x ( )g x
2
0, 12a
π ∈ +
1a = ( ) ( )sin lnf x x x b= − + ( ),x b∈ − +∞ 1, 2b e
π ∈ −
( ),x π∈ +∞ ( ) 0f x < ( ),b π− ( ) 1cosf x x x b
′ = − +
,2x
π π ∈
( ) 1cos 0f x x x b
′ = − − + − =
( ) 0f π < ∃ ,2s
π π ∈
( ) 0f s =
, 2x b
π ∈ −
( ) ( )2
1sinf x x
x b
′′ = − +
+
( ) 2
10 0 0f b
′′ = + >，则 ， ， 在 是增函数， 是减
函数，并且 ， ， ，
所以 ， ； ， ，且知 在 减，在 增，
在 减.
又因为 ， ， ，所以 ， ，
， ，综上所述，由（i）（ii）（iii）可知， 有 个零点.
22．解：（1）由 （ 为参数），得 ，即 ，所以
（2）设直线 的参数方程是 （ 为参数），曲线 的直角坐标方程是 ，联
立 方 程 可 得 ， 对 应 的 参 数 分 别 为 ， 所 以 ， 且
，所以 ，则 ， 或 ， ，所以
23 ． 解 ： （ 1 ） 当 时 ， ， 所 以 可 化 为
， 又 的 最 大 值 必 为 、 之 一 ， ∴ 即
即 .又 ，所以 .所以 取值范围为 .
2
11 02
2
f
b
π
π
′′ = − + 1 02
2
f
b
π
π
′ = − ( )0 0 ln 0f b= − < 02f
π >
( ),0m b∃ ∈ − ( ) 0f m =
0, 2n
π ∃ ∈
( ) 0f n = ( )f x 3
2cos
2 2cos
x
y
θ
θ
=
= +
θ 2 2 4 0x y y+ − = 2 4 sin 0ρ ρ θ− = 4sinρ θ=
l 1 cos
1 sin
x t
y t
θ
θ
= + ⋅
= + ⋅
θ C 2 2 4 0x y y+ − =
( )2 2 cos sin 2 0t tθ θ+ − − = ,M N 1 2,t t 1 2 2t t⋅ = −
2MA MB= 1 22t t= − 1 2t = 2 1t = − 1 2t = − 2 1t = 1 2 3AB t t= − =
1 ,2 2
ax ∈ −
( ) ( ) ( )2 2 1 1f x a x x a= − + + = + ( ) ( )f x g x≥
( )1a g x+ ≥ ( ) 24 3g x x ax= + − 1
2g − 2
ag
11 2
1 2
a g
aa g
+ ≥ − + ≥
2
4 23
a
a
≥ −− ≤ ≤
4 23 a− ≤ ≤ 1a > − 1 2a− < ≤ a ( ]1,2−（ 2 ） 由 （ 1 ） 可 知 ， 所 以 ， 得 ， ∴ ， ∵
， ， ，
∴ ，即 ， .
2m = 2bc ca ab
a b c
+ + = 2 2 2 2 2 2 2b c a c b a abc+ + = 0abc >
2 2 2 2 22b c a c abc+ ≥ 2 2 2 2 22a c a b a bc+ ≥ 2 2 2 2 22b c a b acb+ ≥
( )2 2 2 2 2 2b c a c b a abc a b c+ + ≥ + + ( )2abc abc a b c≥ + + 2a b c+ + ≤
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