2020年4月普通高等学校招生全国统一考试（江苏模拟卷）（二）数学试题（Word版含答案）

绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)(二) 数学 注意事项： 1. 本试卷共 160 分，考试时间 150 分钟． 2. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内． 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在答题卡相应位 置上． 1. 已知复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，若(z＋z)(z－z)＝8i，则 ab 的值为________． 2. 已知集合 M＝{y|y＝2－x＋1，x∈R}，N＝{x|x 1 3 ≥ 1}，则 M∩N＝________． 3. 某人打同一款游戏通关的时间分别为 x，9，10，11，9(单位：min)，已知这组数据的 平均数为 10，则方差为________． 4. 某马戏团有大猩猩 2 只，猴子 3 只，现从中任选 3 只去外地参加表演，则大猩猩和猴 子都被选中的概率为________． (第 5 题) 5. 根据如图所示的伪代码，可知输出的 S 的值为________． 6. 已知等差数列{an}满足 a5＝2，a11＝11，则 a 2 8－a 2 2＝________． 7. 函数 f(x)＝ 1＋ln x 1－ln x的定义域为________． 8. 设向量 a，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－1 2，则|a＋2b|＝________． 9. 已知 F1，F2 是双曲线 x2 m2－ y2 4－m2＝1(0∠BAD≥90° －C，AC>AB，则∠BAC 的取值范围为________． 二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分 14 分)已知向量 a＝(sin x，cos x)，x∈[－π，π]. (1) 已知 b＝(1，－ 3)，若 a，b 所成的角为π 3，求 x 的值； (2) 已知 c＝( 3，－1)，记 f(x)＝(a＋c)·(a－2c)，求 f(x)的值域．16. (本小题满分 14 分)如图，在平行四边形 ABCD 中，已知直线 BC⊥平面 ABE，F 为 CE 的中点． (1) 求证：直线 AE∥平面 BDF； (2) 若∠AEB＝90°，求证：平面 BDF⊥平面 BCE. (第 16 题)17. (本小题满分 14 分)如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 是一个棱长为 2 的空心蔬菜大棚， 由 8 个钢结构(地面没有)组合搭建而成的，四个侧面及顶上均被可采光的薄膜覆盖．已知 E 为柱 AA1 上一点(不在点 A，A1 处)，EA＝t.菜农需要在地面正方形 ABCD 内画出一条曲线 l 将 菜地分隔为两个不同的区域来种植不同品种的蔬菜以加强管理，现已知点 P 为地面正方形 ABCD 内的曲线 l 上任意一点，设 α，β 分别为在 P 点观测 E 和 D1 的仰角． (1) 若 α＝β，请说明曲线 l 是何种曲线，为什么？ (2) 若 E 为柱 AA1 的中点，且 αb>0)的长轴端点分别为 A1，A2，椭圆 C 的离心率为 e＝2 3，两条准线之间的距离为 9. (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 设 P 是曲线 C 上的一点，∠PA1A2＝α∈[π 4，π 3 ]，过 A2 作 A2R⊥A1P 于点 R，设 A2R 与曲线 C 交于点 Q，连接 PQ，求直线 PQ 的斜率的取值范围．19. (本小题满分 16 分)设 f(x)＝aex－a，g(x)＝ax－x2(a 为与自变量 x 无关的正实数). (1) 证明：函数 f(x)与 g(x)的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线； (2) 是否存在实数 k，使得f（x）＋a ax －ln x－1>k x对任意的 x∈(1 2，＋∞)恒成立？若存在， 求出 k 的取值范围，否则请说明理由． 20. (本小题满分 16 分)若对任意的 n∈N*，存在一个常数 M，使得 an≤M 成立，则称 M 为 an 的一个上界；若对任意的 n∈N*，an＋1≤an＋an＋2 2 成立，则称数列{an}为“凹数列”． (1) ①求证：任意一个正项等比数列{bn}为“凹数列”； ②构造一个正项“凹数列”{cn}，但数列{cn}不是等比数列，并给出证明； (2) 设无穷正项数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 1 为 Sn 的一个上界(n∈N*)，且数列{an}为 “凹数列”， 求证：0≤an－an＋1≤ 2 n（n＋1）(n∈N*).绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)(二) 数学Ⅱ(附加题)注意事项： 1. 附加题供选修物理的考生使用． 2. 本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟． 3. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内． 21. 【选做题】本题包括 A、B、C 共 3 小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域 内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤． A. 选修 4－2：矩阵与变换(本小题满分 10 分) 已知 T 变换将曲线 C1：x2 4＋y2＝1 变换为单位圆 x2＋y2＝1，S 变换将曲线 C2：x2 9－y2 4＝1 变换为双曲线 x2－y2＝1，求 ST 对应的矩阵． B. 选修 4－4：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在极坐标系中，已知直线 ρ＝ 2 cos (θ－π 4 ) 与圆 O：ρ＝8sin θ 相交于 A，B 两点，求△OAB 的面积．C. 选修 4－5：不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知实数 x，y，z 为正实数，求证：(1 x＋2 y＋z 3)(x 4＋y 5＋6 z)>93 25 5 .【必做题】第 22，23 题，每小题 10 分，共 20 分．解答时应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤． 22. (本小题满分 10 分)设 P，Q 为抛物线 C：y2＝4x 上的两点，点 P，Q 的纵坐标之和为 4. (1) 求直线 PQ 的倾斜角； (2) 已知 M 是抛物线 C 上的动点，过 M 作垂直于 x 轴的直线，与直线 y＝x 交于点 A， 点 B 满足MB → ＝2MA → ，连接 OB(其中 O 为原点)交抛物线 C 于点 N，试问：直线 MN 是否过定 点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 23. (本小题满分 10 分)设 a，b∈R，a≠0，a＋b≥0，数列{c r}的通项公式为 cr＝a b(an－ rbr)(1≤r≤n＋1)，n∈N*.令{cr}的各项之和为 Sn＋1，fn(a，b)＝Sn＋1 n＋1.(1) 计算：f1(a，b)，f2(a，b)，f3(a，b)，验证不等式 fn(a，b)≥(a＋b 2 )n 对 n＝1，2，3 成 立； (2) 证明不等式：fn(a，b)≥(a＋b 2 )n，并给出等号成立的充要条件．  2020 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)(二) 数学Ⅰ参考答案及评分标准 1. 2　【解析】 由 z＝a＋bi，得z＝a－bi，因为(z＋z)(z－z)＝8i，所以(a＋bi＋a－bi)[a＋ bi－(a－bi)]＝4abi＝8i，所以 ab＝2. 2. {y|y>1}　【解析】 因为 M＝{y|y>1}，N＝{x|x 1 3≥1}＝{x|x≥1}，所以 M∩N＝ {y|y>1}． 3. 0.8　【解析】 因为这组数据的平均数为 10，所以x＋9＋10＋11＋9 5 ＝10，解得 x＝ 11，所以这 5 个数据的方差为1 5[(11－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]＝0.8. 4. 9 10　【解析】 记 2 只大猩猩分别为 A，B，3 只猴子分别为 C，D，E，运用枚举法得 从中任意选 3 只构成的基本事件有 10 个，其中大猩猩和猴子都被选中的有 9 个，所以大猩猩 和猴子都被选中的概率为 9 10. 5. 55　【解析】 i＝1 时，运行结果为 S＝0＋12＝1，i＝2；i＝2 时，运行结果为 S＝1＋ 22＝5，i＝3；i＝3 时，运行结果为 S＝5＋3 2＝14，i＝4；i＝4 时，运行结果为 S＝14＋4 2＝ 30，i＝5；i＝5 时，运行结果为 S＝30＋52＝55，i＝6，退出循环，所以输出的 S 的值为 55. 6. 36　【解析】 设公差为 d，因为 a5＝2，a11＝11，所以 6d＝a11－a5＝9，所以 a 2 8－a 2 2＝ (a8＋a2)(a8－a2)＝2a5·6d＝ 36. 7. [1 e，e )　 【 解 析 】 要 使 函 数 f(x) ＝ 1＋ln x 1－ln x有 意 义 ， 则 1＋ln x 1－ln x≥0{（1＋ln x）（1－ln x） ≥ 0， 1－ln x ≠ 0 {（1＋ln x）（ln x－1） ≤ 0， 1－ln x ≠ 0  －1≤ln x