2020 届高三 3 月理科数学考试试卷
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本题共 12 道小题，每小题 5 分，满分共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，若 中有两个元素，则实数 a 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由 中有两个元素，可得 ,且 ，从而得到 a 的取值范围.
【详解】解：由 中有两个元素，可得 ,且 ，
故 ，实数 a 的取值范围是 ，
故选：A.
【点睛】本题主要考查元素与集合的关系及集合中元素的互异性，属于基础题.
2. 的展开式中二项式系数最大项是( )
A. 第 5 项 B. 第 10 项
C. 第 5 和 6 项 D. 第 9 和 10 项
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二项式系数的性质得展开式为 10 项中间两项的二项式系数最大.
【详解】展开式中共有 9+1=10 项，则二项式系数最大 为中间两项，即第 5 和第 6 项，
故选:：C
【点睛】本题考查求二项式系数的最大项，属于基础题.
3.若点 在抛物线 上， 为抛物线的焦点，则 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
的
{0, ,1}A a= { | 0 1}B x x= < ≤ A B
( )0,1 ( ]0,1
( ,0] (1, )−∞ +∞ ( ,0) [1, )−∞ ∪ +∞
A B a B∈ 1a ≠
A B a B∈ 1a ≠
0 1a< < ( )0,1
9
2
12x x
+
(1,2)A 2 2y px= F | |AF =【答案】B
【解析】
【分析】
由抛物线的定义转化即可求值.
【详解】因为点 在抛物线 上，即 ，所以 ，
故
故选：B
【点睛】本题考查由抛物线的定义转化求值问题，属于基础题.
4.已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知可得 μ，再由 P (-10，所以直线的斜率
平移直线得 ，由图象可知当直线 经过点 A 时,直线 的截距最大，
此时 z 最大.
由< ，解得 A(1,1) ,
此时目标函数 z= ax+ by(a> 0,b> 0)的最大值为 2，
即 a+ b=2
【
3
π φ kπ− + = ( ),3k k Z
ππ + ∈
3
π
3x
π +
0, 2x
π ∈
5,3 3 6x
π π π + ∈
1( ) sin ,13 2f x x
π = + ∈
,x y
2 1 0
0
2 2 1 0
x y
x y
x y
− − ≤
− ≥
+ − ≥
( 0, 0)z ax by a b= + > >
4a = 4b = 8a b+ = 2a b+ =
2 1 0
0
2 2 1 0
x y
x y
x y
− − ≤
− ≥
+ − ≥
a zy xb b
= − +
0ak b
= − <
a zy xb b
= − + a zy xb b
= − + a zy xb b
= − +
0
2 1 0
x y
x y
− =
− − =故选:：D
【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于简单题.
8.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
有等差数列的性质可得 ，再利用三角函数求值即可得解.
【详解】由等差数列的性质可得： ，解得 ，
则
故选：B
【点睛】本题考查等差数列下标和的性质，还考查了求三角函数的值，属于简单题.
9.若三条直线 ， ， 相交于同一点，则点 到原点的距离的最
小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
{ }na n nS 9 6S π= 5tan 2a
π − =
3 3
3
3
3
− 3−
1 9 52a a a+ =
( )1 9
9 5
96 92
a aS aπ += = = 5
2
3a
π=
5
2 3tan tan tan2 3 2 6 3a
π π π π − = − = =
3 0x y+ − = 1 0x y− + = 5 0mx ny+ − = ( ),m n
5 6 2 3 2 5【解析】
【分析】
联立直线求得交点，找出 m,n 的关系，从而表示出距离得到答案.
【详解】解：联立 ，解得 ， ．
∵三条直线 ， ， 相交于同一点，∴ ．
则点 到原点的距离的最小值为原点到直线 的距离 ．
故选 A．
【点睛】本题主要考查学生的计算能力，以及对点线距的掌握情况，难度不大.
10.过双曲线的右焦点 且垂直于 轴的直线交双曲线于 、 两点， （ 为左焦点）为等边三角
形、直角三角形时的离心率分别为 、 ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
计算 根据三角形的形状得出 与 的关系，从而可得双曲线的离心率.
【详解】把 x= c 代入双曲线方程 可得 ，即
若 为等边三角形，则 ，即 ，
所以 ，即 ，故 或 （舍）
若 为直角三角形，则 ， 即
所以 ，即 ，故 或 （舍）
故选：D
【
3 0
1 0
x y
x y
+ − =
− + = 1x = 2y =
3 0x y+ − = 1 0x y− + = 5 0mx ny+ − = 2 5m n+ =
( ),m n 2 5x y+ =
2 2
5 5
1 2
d = =
+
2F x A B 1F AB 1F
1e 2e ( )1 2 1e e − =
6 3+ 3 6 3− 6
2AF 1 2F F 2AF
2 2
2 2 1x y
a b
− =
2by a
= ±
2 2 2
2 1 2, 2b c aAF F F ca a
−= = =
1F AB 1 2 23F F AF= 2 2
2 3 c ac a
−= ⋅
2 23 2 3 0c ac a− − = 23 2 3 0e e− − = 1 3e = 3
3
−
1F AB 1 2 2F F AF= 2 2
2 c ac a
−=
2 22 0c ac a− − = 2 2 1 0e e− − = 2 1 2e = + 1 2−
( )1 2 1 6e e − =【点睛】本题考查由已知关系求双曲线的离心率，属于中档题.
11.函数 ， 的零点个数为( )
A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数零点的定义转化为两个函数对应图象交点个数问题，利用数形结合进行求解即可.
【详解】由 可知，
当 时 ； 时 ，
画出 与 在 的图像，因 ，则有两个零点；
由奇函数性质，在 也有两个零点；
所以一共 5 个零点.
故选：C
【点睛】本题考查求函数零点的个数问题，属于中档题.
12.设 ，定义区间 、 、 、 的长度均为 .在三棱锥 中，
， ，则 长的取值区间的长度为( )
A. B. 2 C. D. 4
【答案】B
【解析】
2( ) sinf x x x x= − ( , )x π π∈ −
( )2( ) sin sin 1f x x x x x x x= − = −
0x = (0) 0f = 0x ≠ 1sin 1 0,sinx x x x
− = =
siny x= 1y x
= (0, )x π∈ 2sin 12
π
π= >
( ,0)x π∈ −
b a> [ , )a b ( , ]a b ( , )a b [ , ]a b b a− A BCD−
2AB BC CA= = = AD BD⊥ CD
3 2 3【分析】
由题意画出图形，得到三棱锥 A- BCD 存在时 CD 的范围，则答案可求.
【详解】如图，
△ABC 是边长为 2 的等边三角形，取 AB 中点 O,连接 CO，DO,可得 CO= ,
因为 AD⊥BD,当 AD=BD 时，OD 最长为 1,则当等腰直角三角形 ABD 在平面 ABC 上时，CD 的最小值为
-1，最大值为 +1,
则要使三棱锥 A- BCD 存在，CD∈( -1, +1) ,
所以 CD 长的取值区间的长度为( +1) - ( -1)=2.
故选：B
【点睛】本题考查由立体几何图形成立限制边长范围问题，属于较难题.
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，满分共 20 分.
13.定积分 _________
【答案】2
【解析】
【分析】
找到 与 的原函数为 与 ，进而代值求解即可.
【详解】
故答案为：2
【点睛】本题考查求定积分的值，属于简单题.
14.若复数 为纯虚数，则实数 __________．
【答案】3
.
3
3
3
3 3
3 3
( )1 2
1
3 sin x x dx−
+ =∫
sin x 2x cos x− 31
3 x
( ) ( ) ( ) ( )1
32 3 1
1
1
13 sin 3 cos 3cos 1 3cos 1 1 23x x dx x x x−
−
+ = − + = − + − − − + − = ∫
2 2 3 ( 1)z a a a i= − − + + a =【解析】
分析：根据纯虚数的条件可得出等式 ，解出即可.
详解：由题可得 ，故答案为 3.
点睛：考查复数的分类，属于基础题.
15.已知正项数列 满足： ，其前 项和为 ，则
______.
【答案】2018
【解析】
【分析】
由已知求得数列 的通项公式，再由裂项相消求和求得前 项和为 ，计算即可求得答案.
【详解】由 及 得 ，
所以 ，
故 ，
所以 .
故答案为：2018
【点睛】本题考查数列求和中的裂项相消求和，属于简单题.
16.在 中， ， ， 、 分别是 、 中点， 、 分别在直线
、 上， ， ， ，则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题将其特殊化放在平面直角坐标系中，即可表示点 A.B,C 的坐标，进而表示 的坐标表示，即可
用 表示 ，再由基本不等式求得最小值.
2 2 3 0{
1 0
a a
a
− − =
+ ≠
2 2 3 0{
1 0
a a
a
− − =
+ ≠ 3a⇒ =
{ }na ( )2 2( 1) 1 1 0n nn n a n n a+ + + − − = n nS 20182019S =
{ }na n nS
( )( )( )2 1 1 0n nn n a a+ − + = 0na > ( ) 2
2 1 1
nnn n a a n n
+ − ⇒ = +
1 1 1
( 1) 1na n n n n
= = −+ +
1 1 1 1 1 1 1 11 12 2 3 3 4 1 1 1n
nS n n n n
= − + − + − + + − = − = + + +
2018
2018 201820182019 2019 1S =+= ×
ABC 5AB AC= = 2BC = D E AB AC M N DE
CA CN CAλ= 1DM DEλ= 0λ > BM BN⋅
2 3
,BM BN
λ BM BN⋅ 【 详 解 】 如 图 建 系 ， 即 有 ， 则 ，
，
所以 ，
由基本不等式可知 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为：
【点睛】本题考查求平面向量数量积的最小值，常特殊化处理在平面直角坐标系中，进而由基本不等式或
构造函数求最值，属于中档题.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分
17.在 中，角 、 、 所对边为 、 、 ， .
（1）求角 的大小；
（2） 的面积为 ，外接圆半径为 ，试判断 的形状.
【答案】（1） ；（2）等边三角形.
【解析】
【分析】
（1）遇切化弦，在根据两角和的正弦公式化简得出 ，即可求得答案.
(0,2), ( 1,0), (1,0)A B C− (2 ,2 )BN BC CN BC CAλ λ λ= + = + = −
1 1 1 ,12BM BD DM BD DMλ λ
= + = + = +
1 1 2 3(2 ) 22 2BM BN
λλ λλ λ
⋅ = − + + = +
2 32 2 32BM BN
λ
λ⋅ ≥ ⋅ = 2 3
3
λ =
BM BN⋅ 2 3
2 3
ABC A B C a b c cos (tan tan ) 2sinB A B C+ =
A
ABC 3 2 3
3
ABC
3
π
1cos 2A =（2）根据面积公式求得 ，根据半径求出 a，根据余弦定理求出 b+c，从而得出 的三边长，即
可判定形状.
【详解】（1）由已知， ，
∵ ，
∴ ，即
∵ ∴
（2）∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴ 为等边三角形
【点睛】本题考查由正弦定理与余弦定理判定三角形形状，还考查了由三角恒等变换化简求值，属于简单
题.
18.如图，边长为 3 的正方体 ， ， .
4bc = ABC
sin sincos 2sincos cos
A BB CA B
+ =
sin cos cos sincos 2sincos cos
A B A BB CA B
+⋅ =
cos 0B ≠ sin cos cos sin sin( ) sin 0A B A B A B C+ = + = ≠
sin 2sincos
C CA
= 1cos 2A =
0 A π< <
3A
π=
1 1 3sin 32 2 2S bc A bc= = × =
4bc =
2 sin
aR A
=
2 3 32 23 2a = × × =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
2 24 ( ) 2 (1 cos ) ( ) 12b c bc A b c= + − + = + −
0b c+ >
4b c+ =
4 (4 )bc b b= = −
2, 2b c= =
ABC
1 1 1 1ABCD A B C D−
1 3AA AE= 3BD BF= （1）证明： 面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由已知可证 ，即四边形 为平行四边形，可得 ，再由线面平行的判定定理
即可说明；
（2）以 为原点， ， ， 分别为 轴， 轴， 轴，建立直角坐标系，利用空间向量求得面
与面 的法向量，再由数量积求夹角的余弦值，最后观察下结论.
【详解】（1）在 上取点 ，使 ，则
∴四边形 为平行四边形
∴
而 面 ， 面
∴ 面
（2）以 为原点， ， ， 分别为 轴， 轴， 轴，建立直角坐标系
则
设面 与面 的法向量分别为
/ /AF 1EBD
1 1E BD A− −
2 7
7
MF AE∥= AFME / /AF EM
E DA DC 1DD x y z
1EBD 1 1BD A
1BD M 1
1
3BM BD=
1
1
3MF DD AE= =∥ ∥
AFME
/ /AF EM
AF ⊄ 1EBD EM ⊂ 1EBD
/ /AF 1EBD
D DA DC 1DD x y z
1 1(0,0,3), (3,0,3), (3,3,0), (3,0,1)D A B E
1 1 1 1( 3,0,2), (0,3, 1), (3,0,0), (3,3 3)ED EB D A D B= − = − = = −
1EBD 1 1BD A ( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2, , , , ,n x y z n x y z= = 则 ∴ 令 ∴ ∴ ,
,∴ , ,令 ，则 ∴
设二面角 的平面角为 ，则 为锐角，
【点睛】本题考查空间中线面平行的证明，还考查了求空间中二面角的余弦值，属于简单题.
19.袋中装有 6 个球，红蓝两色各半，从袋中不放回取球 次，每次取 1 个球.
（1）求下列事件的概率：
①事件 ： ，取出的球同色；
②事件 ： ，第 次恰好将红球全部取出；
（2）若第 次恰好取到第一个红球，求抽取次数 的分布列和数学期望.
【答案】（1）① ；② ；（2）分布列见解析， .
【解析】
【分析】
（1）① ，基本事件总数 n= =15, 取出的球同色包含的基本事件个数 m=2 =6,由古典概型概率计
算公式即可求得答案；
② ，基本事件总数 n= ，第 k 次恰好将红球全部取出包含的基本事件个数 m= ，由古典概型
概率计算公式即可求得答案；
（2） 的可能取值为 1，2，3，4，分别计算概率并列出分布列，再由数学期望计算公式即可求得答案.
【详解】（1）袋中装有 6 个球，红蓝两色各半，从袋中不放回取球 k (1≤k≤6， k∈Z)次，每次取 1 个球.
①k=2，基本事件总数 n= =15,
事件 A：k=2,取出的球同色包含的基本事件个数 m=2 =6,
所以事件 A 的概率
②k=5，基本事件总数 n=
事件 B：k=5，第 k 次恰好将红球全部取出包含的基本事件个数 m=
1 1
1
0
0
n ED
n EB
⋅ = ⋅ =
1 1
1 1
3 2 0
3 0
x z
y z
− + =
− = 1 1y = 1 13, 2z x= = 1 (2,1,3)n =
2 1 1
2 1
0
0
n D A
n D B
⋅ = ⋅ =
2
2 2 2
3 0
3 3 3 0
x
x y z
=
+ − = 2 0x = 2 1y = 2 1z =
2 (0,1,1)n =
1 1E BD A− − α α 1 2
1 2
| | 1 3 2 7cos 7| | | | 14 2
n n
n n
α ⋅ += = =
⋅ ⋅
(1 6, )k k k Z≤ ≤ ∈
A 2k =
B 5k = k
k k
2
5
3
10
7
4
2k = 2
6C 2
3C
5k = 5
6A 2 3 2
4 4 3C A A
k
2
6C
2
3C
2
3
2
6
2 2( ) 5
CP A C
= =
5
6A
2 3 2
4 4 3C A A所以事件 B 的概率
（2） 的可能取值为 1，2，3，4
，
∴ 的分布列为
1 2 3 4
∴
【点睛】本题考查由计数原理求得基本事件个数从而计算古典概型概率，还考查了列分布列进而求数学期
望，属于中档题.
20.如图，点 、 ，点 是圆 上一动点，线段 的垂直平分线交线段
于点 ，设点 的轨迹为曲线 .且直线 交曲线 于 两点（点 在 轴的上
方）.
2 3 2
4 4 3
5
6
3( ) 10
C A AP B A
= =
k
1
3
1
6
1( 1) 2
AP k A
= = =
1 1
3 3
2
6
3( 2) 10
C CP k A
= = =
2 1
3 3
3
6
3( 3) 20
A CP k A
= = =
3 1
3 3
4
6
1( 4) 20
A CP k A
= = =
k
k
P
1
2
3
10
3
20
1
20
1 3 3 1 7( ) 1 2 3 42 10 20 20 4E k = × + × + × + × =
(1,0)N ( 4,0)D − P 2 2: ( 1) 16M x y+ + = PN
PM Q Q R ( 1)( 0)y k x k= >+ R ,A B B x（1）求曲线 的方程；
（2）试判断直线 与曲线 的另一交点 是否与点 关于 轴对称？
【答案】（1） ；（2）是.
【解析】
【分析】
（1）如图所示， ，点 Q 的轨迹表示的曲线为椭圆，M
，N 为焦点，由此可求方程；
（2）设 ， ，将直线方程与椭圆方程联立化为： ，假
设点 C 与点 B 关于 x 轴对称，则 .下面证明 D，A, C 三点共线.即证明： , 即证明：
利用根与系数的关系证明: 0 即可.
【详解】（1）如图所示，
有
∴ 的轨迹是以 、 为焦点的椭圆，设其方程为
则 ,
∴ ，∴ ；
（2）联立 得
设 ，
R
DA R C B x
2 2
14 3
x y+ =
| | | | | | | | | | 4 2 | |QM QN QM QP MP MN+ = + = = > =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k+ + + − =
( )2 2C x y− DA DCk k=
1 2
1 24 4
y y
x x
−=+ + ( ) ( )1 2 2 14 4y x y x+ + + =
| | | | | | | | | | 4 2 | |QM QN QM QP MP MN+ = + = = > =
Q M N
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2 4, 1a c= =
2, 3a b= =
2 2
14 3
x y+ =
2 2
( 1)
14 3
y k x
x y
= + + =
( )2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k+ + + − =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y恒成立， ，
假设 与 关于 轴对称，则 ，下证 三点共线
即证 ，即证
∵ ，
∴
∴ 与 共线，
∴ 与 的另一交点 与 关于 轴对称
【点睛】本题考查由定义求椭圆的标准方程，还考查了由韦达定理表示根与系数的关系进而证明对称关系，
属于较难题.
21.已知函数 ， .
（1）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围；
（2）证明：当 ， 时， .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用极小值小于 0 进行求解，再分类讨论检验即可；
（2）设 ，求函数的导数，证明当 时， 恒成立即可.
【详解】（1）解： 令 有
当 时 ， 递减，当 时 ， 递增
∴当 时， 取得极小值同时也是最小值
∵ 有两个零点，则 即
∴
0>
2
1 2 2
8
3 4
kx x k
−+ = +
2
1 2 2
4 12
3 4
kx x
k
−=
+
C B x ( )2 2C x y− , ,D A C
DA DCk k= 1 2
1 24 4
y y
x x
−=+ +
( )1 1 1y k x= + ( )2 2 1y k x= +
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 24 4 1 4 1 4 2 5 8y x y x k x x k x x k x x x x+ + + = + + + + + = + + +
2 2
2 2 2
4 12 8 02 5 8 03 4 3 4 3 4
k k kk k k k
− − ×= + + = = + + +
( )2 2,C x y− ,D A
DA R C B x
( ) ( ) 1( )xf x x a e a R= − + ∈ 3( )g x x=
( )f x a
1a = 1 ,13x ∈ ( ) ( )f x g x>
1a >
( ) ( ) ( )F x f x g x= − 1 ,13x ∈ ( ) 0F x >
( ) ( ) ( 1)x x xf x e x a e x a e′ = + − = − + ( ) 0f x′ = 1x a= −
1x a< − ( ) 0f x′ < ( )f x 1x a> − ( ) 0f x′ > ( )f x
1x a= − ( )f x 1( 1) 1af a e −− = − +
( )f x ( 1) 0f a − < 1 1 0ae −− + <
1a >又 在 上递增，
∴ 在 上有且只有一个零点
，设 ，
∵ ，∴ ∴ 递增
∴
∴ ，又 在 上递减
∴ 在 上有且只有一个零点
综上所述 ；
（2）设
设 ，即
∵ ∴ ∴ 递减
又
∴ 在 内存在唯一的零点，设为
则当 时， ， 递增
当 时， 递减
又
∴ 成立，∴ 时， .
【点睛】本题考查由函数零点个数求参数取值范围，还考查了利用导数解决不等式恒成立问题，属于难题.
（二）选考题：满分共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分.
( ) 1 0, ( )f a f x= > ( 1, )a a−
( )f x ( 1, )a a−
2( )
a
a
e af a e
−= ( ) 2ah a e a= − ( ) 2ah a e′ = −
1a > 2 0ae − > ( )h a
( ) (1) 2 0h a h e> = − >
( ) 0f a− > ( )f x ( , 1)a a− −
( )f x ( , 1)a a− −
1a >
3( ) ( ) ( ) ( 1) 1xF x f x g x x e x= − = − − +
( )2( ) ( 1) 3 3x x xF x e x e x x e x′ = + − − = −
( ) 3xx e xϕ = − ( ) 3xx eϕ′ = −
1 ,13x ∈ ( ) 3 0x eϕ′ < − < ( )xϕ
31 1 0, (1) 3 03 e eϕ ϕ = − > = − ( ) 0, ( )F x F x′ >
0 1x x< < ( ) 0, ( ) 0, ( )x F x F xϕ ′< <
1 3 33 3
31 26 2 26 18 0, (1) 03 27 3 27
eF e F
− = − = > =
( ) 0F x > 1 ,13x ∈ ( ) ( )f x g x>选修 4-4：坐标系与参数方程
22.在平面直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
， ，设直线 与 交于 两点，直线 与 交于
两点.
（1）求曲线 普通方程及参数方程；
（2）当 时，求 面积的取值范围.
【答案】（1） ， （ 为参数）；（2） .
【解析】
【分析】
（1）两边同乘 ρ 后根据互化公式可得曲线 的普通方程，再得参数方程;
（2）联立极坐标方程组成方程组可得|OA|和|OB|，再根据直角三角形面积公式表示面积，最后根据三角函
数性质求取值范围.
【详解】（1） ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
的参数方程为 （ 为参数）
（2）联立 得
联立 得
∴
∵ ，∴ ，∴ .
【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程与参数方程之间的互化，还考查了在极坐标中表示面积进而由三
的
xOy x
1 : 4cosC ρ θ= 2 : 2sinC ρ θ= 3 :C θ α= 1C ,O A 4 : 2C
πθ α= + 2C
,O B
1C
,6 3
π πα ∈ OAB
2 2( 2) 4x y− + = 2 2cos
2sin
x
y
ϕ
ϕ
= +
=
ϕ 1 3S≤ ≤
1C
4cosρ θ= 2 4 cosρ ρ θ=
2 2 2 , cos , sinx y x yρ ρ θ ρ θ= + = =
2 2 4 0x y x+ − = 2 2( 2) 4x y− + =
1C 2 2cos
2sin
x
y
ϕ
ϕ
= +
=
ϕ
2
4cos
θ
ρ θ
=
= 4cosA
ρ α=
2
2sin
πθ α
ρ θ
= +
=
2sin 2cos2B
πρ α α = + =
21 1 1| | | | 4cos 2cos 4cos2 2 2A BS OA OB P P α α α= ⋅ = ⋅ = × × =
,6 3a
π π ∈
1 3cos2 2
α≤ ≤ 1 3S≤ ≤角函数性质求范围，属于简单题.
选修 4-5：不等式选讲
23.已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用分类讨论思想分 3 类去绝对值解不等式组，在求并集即为答案；
（2）由题可知 ，构建 ，即条件等价于 ，然后分别求出
与 的最小值，根据区间等条件相同可得 ，即可求得答案.
【详解】（1）当 时， ，∴ ∴
当 时， ∴ ∴
当 时， ∴ ∴
∴不等式 的解集为 .
（2） 设
由题意
，当且仅当 时取“=”号
，当且仅当 ，即 时取“=”号
∴ ，当且仅当 时
∴ .
【点睛】本题考查解绝对值不等式，还考查了由不等式恒成立求参数取值范围，属于中档题.
( ) | 1| | 2 |f x x x= − + −
( ) 3f x ≤
(0, )x∈ +∞ 4( )f x m x x
≤ − − m
{ | 0 3}x x≤ ≤ 5m ≥
4( )m f x x x
≥ + + 4( ) ( )g x f x x x
= + + max( )m g x≥
( )f x 4x x
+ max( )g x
2x ≥ 1 2 3x x− + − ≤ 3x ≤ 2 3x≤ ≤
1 2x< < 1 2 3x x− + − ≤ 1 3≤ 1 2x< <
1x ≤ 1 2 3x x− + − ≤ 0x ≥ 0 1x≤ ≤
( ) 3f x ≤ { | 0 3}x x≤ ≤
4( )m f x x x
≥ + + 4( ) ( ) , 0g x f x x xx
= + + >
min( ) , 0m g x x≥ >
( ) | 1| | 2 | |( 1) ( 2) | 1f x x x x x= − + − ≥ − − − = 1 2x≤ ≤
4 42 4x xx x
+ ≥ ⋅ = 4x x
= 2x =
min( ) 1 4 5g x = + = 2x =
5m ≥
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