2020 年高考冲刺数学模拟试卷（理科）
一、选择题（共 12 小题）
1．已知集合 A＝{x|x2﹣2x≥3}，B＝{x|0＜x＜4}，则 A∩B＝（ ）
A．（﹣1，4） B．（0，3] C．[3，4） D．（3，4）
2．已知复数 z＝m﹣1+（m﹣3）i（m∈Z）在复平面内对应的点在第四象限，则 ＝（
）
A． B． C．1 D．
3．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，
扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，A
为 OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率
是（ ）
A． B． C． D．
4．设 a＝ ， ， ，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
5．已知向量 、 ，若 ＝4，且 ⊥ ，则 与 的夹角是（ ）
A． B． C．π D．
6．函数 在[﹣π，0）∩（0，π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．在如图算法框图中，若 a＝6，程序运行的结果 S 为二项式（2+x）5 的展开式中 x3 的系
数的 3 倍，那么判断框中应填入的关于 k 的判断条件是（ ）A．k＜3 B．k＞3 C．k＜4 D．k＞4
8．设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 3S3＝S2+S4，a2＝﹣1，则 a5＝（ ）
A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12
9．为了解学生课外使用手机的情况，某学校收集了本校 500 名学生 2019 年 12 月课余使用
手机的总时间（单位：小时）的情况．从中随机抽取了 50 名学生，将数据进行整理，得
到如图所示的频率分布直方图．已知这 50 名学生中，恰有 3 名女生课余使用手机的总时
间在[10，12]，现在从课余使用手机总时间在[10，12]的样本对应的学生中随机抽取 3 名
，则至少抽到 2 名女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为 C
的左，右顶点．P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与
y 轴交于点 E．若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知正三棱锥 S﹣ABC 的侧棱长为 ，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的体积是（ ）
A．16π B． C．64π D．
12．已知函数 f（x）的定义域是 R，对任意的 x∈R，有 f（x+2）﹣f（x）＝0．当 x∈[﹣1，
1）时 f（x）＝x．给出下列四个关于函数 f（x）的命题：
①函数 f（x）是奇函数；
②函数 f（x）是周期函数；
③函数 f（x）的全部零点为 x＝2k，k∈Z；
④当 x∈[﹣3，3）时，函数 的图象与函数 f（x）的图象有且只有 4 个公共点
其中，真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共 4 小题）
13．已知函数 f（x）＝ax3+x+1 的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，5），则 a＝ ．
14．若实数 x、y 满足 ，则 z＝3x+2y 的最大值为 ．
15．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 a1+3a2+…+3n﹣1an＝n，则 S4＝ ．
16．已知双曲线 C： 的右顶点为 A，以点 A 为圆心，b 为半径作圆，且
圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点若 ＝ （O 为坐标原点），则双曲
线 C 的标准方程为 ．
三、解答题（共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考
题：共 60 分
17．已知△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ，b＝1．
（Ⅰ）若 ，求 c；
（Ⅱ）若 a＝2c，求△ABC 的面积．
18．如图，空间几何体 ABCDE 中，△ABC、△ACD、△EBC 均是边长为 2 的等边三角形，
平面 ACD⊥平面 ABC，且平面 EBC⊥平面 ABC，H 为 AB 中点．
（1）证明：DH∥平面 BCE；（2）求二面角 E﹣AC﹣B 的余弦值．
19．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在
全公司范围内举行一次乙肝普查为此需要抽验 669 人的血样进行化验，由于人数较多，
检疫部门]制定了下列两种可供选择的方案．
方案一：将每个人的血分别化验，这时需要验 669 次．
方案二：按 k 个人一组进行随机分组，把从每组 k 个人抽来的血混合在一起进行检验，
如果每个人的血均为阴性则验出的结果呈阴性，这 k 个人的血就只需检验一次（这时认
为每个人的血化验 次）：否则，若呈阳性，则需对这 k+1 个人的血样再分别进行一次
化验，这时该组 k 个人的血总共需要化验 k+1 次．假设此次普查中每个人的血样化验呈
阳性的概率为 p，且这些人之间的试验反应相互独立．
（1）设方案二中，某组 k 个人中每个人的血化验次数为 X，求 X 的分布列
（2）设 p＝0.1，试比较方案二中，k 分别取 2，3，4 时，各需化验的平均总次数；并指
出在这三种分组情况下，相比方案一，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果
四舍五入保留整数）
20．已知抛物线 y2＝﹣2px（p＞0）的焦点为 F，x 轴上方的点 M（﹣2，m）在抛物线上，
且|MF|＝ ，直线 l 与抛物线交于 A，B 两点（点 A，B 与 M 不重合），设直线 MA，MB
的斜率分别为 k1，k2．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当 k1+k2＝﹣2 时，求证：直线 l 恒过定点并求出该定点的坐标．
21．已知函数 f（x）＝lnx﹣aex+1（a∈R）．
（1）当 a＝1 时，讨论 f（x）极值点的个数；
（2）若函数 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分[选修 4 一 4：坐标系与参数方程]22．以平面直角坐标系 xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立
极 坐 标 系 ， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 ， 曲 线 C 的 参 数 方 程 为
（θ 为参数）．
（1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；
（2）以曲线 C 上的动点 M 为圆心、r 为半径的圆恰与直线 l 相切，求 r 的最小值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x+1|+|2x﹣4|．
（1）求不等式 f（x）≤5 的解集；
（2）若函数 y＝f（x）图象的最低点为（m，n），正数 a，b 满足 ma+nb＝6，求
的取值范围．参考答案
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求）
1．已知集合 A＝{x|x2﹣2x≥3}，B＝{x|0＜x＜4}，则 A∩B＝（ ）
A．（﹣1，4） B．（0，3] C．[3，4） D．（3，4）
【分析】先求出集合 A，B，由此能求出 A∩B．
解：∵集合 A＝{x|x2﹣2x≥3}＝{x|x≤﹣1 或 x≥3}，
B＝{x|0＜x＜4}，
∴A∩B＝{x|3≤x＜4}＝[3，4）．
故选：C．
2．已知复数 z＝m﹣1+（m﹣3）i（m∈Z）在复平面内对应的点在第四象限，则 ＝（
）
A． B． C．1 D．
【分析】由已知列式求得 m，再由商的模等于模的商求解．
解：由题意可得， ，解得 1＜m＜3．
又∵m∈Z，∴m＝2，
则 z＝1﹣i，
∴ ＝ ．
故选：A．
3．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，
扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，A
为 OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率
是（ ）A． B． C． D．
【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出．
解：不妨设 OA＝1，扇形中心角为 θ．
∴此点取自扇面（扇环）部分的概率＝ ＝ ．
故选：C．
4．设 a＝ ， ， ，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
【分析】由指数函数、对数函数的单调性，并与 0，1 比较可得答案．
【 解 答 】 解 析 ： ∵ 由 指 数 、 对 数 函 数 的 性 质 可 知 ： ，
，
∴有 a＜b＜c
故选：A．
5．已知向量 、 ，若 ＝4，且 ⊥ ，则 与 的夹角是（ ）
A． B． C．π D．
【分析】设向量 、 的夹角为 θ，由平面向量的数量积运算求出 cosθ 与 θ 的值．
解：设向量 、 的夹角为 θ，由 ＝4，且 ⊥ ，
得（ + ）•（ ﹣2 ）＝ ﹣ ﹣2 ＝16﹣4×4×cosθ﹣2×16＝0，
解得 cosθ＝﹣1，
又 θ∈[0，π]，
所以 与 的夹角是 θ＝π．
故选：C．
6．函数 在[﹣π，0）∩（0，π]的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【分析】由函数的奇偶性及特殊点，观察选项即可得解．
解：∵ ，
∴函数 f（x）为奇函数，
又∵ ，
∴选项 D 符合题意．
故选：D．
7．在如图算法框图中，若 a＝6，程序运行的结果 S 为二项式（2+x）5 的展开式中 x3 的系
数的 3 倍，那么判断框中应填入的关于 k 的判断条件是（ ）
A．k＜3 B．k＞3 C．k＜4 D．k＞4
【分析】根据二项式（2+x）5 展开式的通项公式，求出 x3 的系数，模拟程序的运行，可
得判断框内的条件．
解：∵二项式（2﹣x）5 展开式的通项公式是 Tr+1＝ •25﹣r•xr，
令 r＝3，
∴T3+1＝ •22•x3；
∴x3 的系数是 •22•13＝40．∴程序运行的结果 S 为 120，
模拟程序的运行，由题意可得
k＝6，S＝1
不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝6，k＝5
不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝30，k＝4
不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝120，k＝3
此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出 S 的值为 120．
故判断框中应填入的关于 k 的判断条件是 k＜4？
故选：C．
8．设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 3S3＝S2+S4，a2＝﹣1，则 a5＝（ ）
A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12
【分析】利用等差数列的求和公式与通项公式即可得出．
解：设等差数列{an}的公差为 d，∵3S3＝S2+S4，a2＝﹣1，
∴3[3×（﹣1）]＝2×（﹣1）﹣d+4×（﹣1）+2d，
解得 d＝﹣3．
则 a5＝﹣1+3×（﹣3）＝﹣10．
故选：B．
9．为了解学生课外使用手机的情况，某学校收集了本校 500 名学生 2019 年 12 月课余使用
手机的总时间（单位：小时）的情况．从中随机抽取了 50 名学生，将数据进行整理，得
到如图所示的频率分布直方图．已知这 50 名学生中，恰有 3 名女生课余使用手机的总时
间在[10，12]，现在从课余使用手机总时间在[10，12]的样本对应的学生中随机抽取 3 名
，则至少抽到 2 名女生的概率为（ ）
A． B． C． D．【分析】基本事件总数 n ＝ ＝56 ，至少抽到 2 名女生包含的基本事件个数 m ＝
＝16，由此能求出至少抽到 2 名女生的概率．
解：∵这 50 名学生中，恰有 3 名女生的课余使用手机总时间在[10，12]，
调余时间使用手机总时间在[10，12]的学生总数为：50×0.08×2＝8（名），
∴从课余使用手机总时间在[10，12]的样本对应的学生中随机抽取 3 名，
基本事件总数 n＝ ＝56，
至少抽到 2 名女生包含的基本事件个数 m＝ ＝16，
∴至少抽到 2 名女生的概率为 p＝ ．
故选：C．
10．已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为 C
的左，右顶点．P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与
y 轴交于点 E．若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意可得 F，A，B 的坐标，设出直线 AE 的方程为 y＝k（x+a），分别令 x＝﹣
c，x＝0，可得 M，E 的坐标，再由中点坐标公式可得 H 的坐标，运用三点共线的条件：
斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．
解：由题意可设 F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），
设直线 AE 的方程为 y＝k（x+a），
令 x＝﹣c，可得 M（﹣c，k（a﹣c）），令 x＝0，可得 E（0，ka），
设 OE 的中点为 H，可得 H（0， ），
由 B，H，M 三点共线，可得 kBH＝kBM，
即为 ＝ ，
化简可得 ＝ ，即为 a＝3c，
可得 e＝ ＝ ．
另解：由△AMF∽△AEO，可得 ＝ ，
由△BOH∽△BFM，
可得 ＝ ＝ ，
即有 ＝ 即 a＝3c，
可得 e＝ ＝ ．
故选：A．
11．已知正三棱锥 S﹣ABC 的侧棱长为 ，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的体积
是（ ）
A．16π B． C．64π D．
【分析】正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的
半径，再由勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的体积公式求出体
积．
解：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形 ABC 的外接圆的圆心 O'，外
接圆的半径 r，
正三棱锥的外接球的球心在高 SO'所在的直线上，设为 O，连接 OA 得：r＝ ，∴
r＝2 ，即 O'A＝2 ，
所以三棱锥的高 h＝ ＝ ＝6，
由勾股定理得，R2＝r2+（R﹣h）2，解得：R＝4，
所以外接球的体积 V＝ πR3＝ π．
故选：D．
12．已知函数 f（x）的定义域是 R，对任意的 x∈R，有 f（x+2）﹣f（x）＝0．当 x∈[﹣1，
1）时 f（x）＝x．给出下列四个关于函数 f（x）的命题：①函数 f（x）是奇函数；
②函数 f（x）是周期函数；
③函数 f（x）的全部零点为 x＝2k，k∈Z；
④当 x∈[﹣3，3）时，函数 的图象与函数 f（x）的图象有且只有 4 个公共点
其中，真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】通过题中给的知识点，判断周期性，奇偶性，求出每一段的解析式．
解：∵对任意的 x∈R，有 f（x+2）﹣f（x）＝0，
∴对任意的 x∈R，有 f（x+2）＝f（x），
∴f（x）是以 2 为周期的函数，②对，
∴f（1）＝f（1﹣2）＝f（﹣1），
又∵当 x∈[﹣1，1）时 f（x）＝x，
∴f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，
∴函数 f（x）不是奇函数，①错，
∵f（0）＝0，
∴f（2k）＝f（0）＝0，k∈Z，③对，
∵当 x∈[﹣1，1）时 f（x）＝x，
令 f（x）＝g（x），解之得 x＝1（舍），x＝﹣1；
当 x∈[1，3）时 f（x）＝f（x﹣2）＝x﹣2，
令 f（x）＝g（x），解之得 x＝1﹣ （舍），x＝1+ ；
当 x∈[﹣3，﹣1）时 f（x）＝f（x+2）＝x+2，
令 f（x）＝g（x），解之得 x＝﹣1+ （舍），x＝﹣1﹣ ；
∴共有 3 个公共点，④错，
故选：B．
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知函数 f（x）＝ax3+x+1 的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，5），则 a＝
．
【分析】利用导数求出曲线在 x＝1 处的切线方程，代入已知点的坐标求解 a 值．
解：∵f（x）＝ax3+x+1，∴f′（x）＝3ax2+1，∴f′（1）＝3a+1，而 f（1）＝a+2，
∴切线方程为 y﹣a﹣2＝（3a+1）（x﹣1），
∵切线过点（2，5），∴5﹣a﹣2＝（3a+1）（2﹣1），
解得：a＝ ．
故答案为： ．
14．若实数 x、y 满足 ，则 z＝3x+2y 的最大值为 10 ．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优
解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
解：由实数 x、y 满足 ，作出可行域如图，
联立 ，解得 A（4，﹣1），
化目标函数 z＝3x+2y 为 y＝﹣ x+ ，
由图可知，当直线 y＝﹣ x+ 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 z＝3×
4﹣2×1＝10．
故答案为：10．
15．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 a1+3a2+…+3n﹣1an＝n，则 S4＝ ．
【分析】利用已知条件求出首项，推出数列的通项公式，判断数列是等比数列，然后求解数列的和．
解： ，可得 n＝1 时，a1＝1，
n≥2 时， ，又 ，
两式相减可得 3n﹣1an＝1，即 ，上式对 n＝1 也成立，
可得数列{an}是首项为 1，公比为 的等比数列，
可得 ．
故答案为： ．
16．已知双曲线 C： 的右顶点为 A，以点 A 为圆心，b 为半径作圆，且
圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点若 ＝ （O 为坐标原点），则双曲
线 C 的标准方程为 ．
【分析】利用已知条件，转化求解 A 到渐近线的距离，推出 a，c 的关系，求解双曲线
的 a，b 即可得到双曲线的标准方程．
解：双曲线 C： 的右顶点为 A（ ，0），
以 A 为圆心，b 为半径做圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点．
则点 A 到渐近线 bx﹣ y＝0 的距离为|AB|＝ ＝ ，
∵AN＝r＝b，∴|BN|＝ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴|OB|＝5|BN|＝ ，
∵|OA|＝ ，AB＝ ，OB＝ ，OB2+AB2＝OA2，即 ，解得 b＝1
，∴双曲线方程为： ．
故答案为： ．
三、解答题（共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考
题：共 60 分
17．已知△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ，b＝1．
（Ⅰ）若 ，求 c；
（Ⅱ）若 a＝2c，求△ABC 的面积．
【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式化简 ，可得 B．由 ，求出 C，b
＝1，正弦定理求 c；
（Ⅱ）根据 B 和 b＝1，a＝2c，余弦定理求解出 ac，根据△ABC 的面积 S＝ acsinB 可
求解．
解：（Ⅰ）由已知 ，
整理得 ．
因为 0＜B＜π，
所以 ．
故 ，
解得 ．由 ，且 A+B+C＝π，
得 ．
由正弦定理： ，
即 ，
解得： ．
（Ⅱ）由余弦定理：b2＝a2+c2﹣2accosB，
又 ，
所以 ，
解得 ．
由此得 a2＝b2+c2，
故△ABC 为直角三角形，
， ．
其面积
18．如图，空间几何体 ABCDE 中，△ABC、△ACD、△EBC 均是边长为 2 的等边三角形，
平面 ACD⊥平面 ABC，且平面 EBC⊥平面 ABC，H 为 AB 中点．
（1）证明：DH∥平面 BCE；
（2）求二面角 E﹣AC﹣B 的余弦值．
【分析】（1）分别取 AC，BC 的中点 P，Q，连接 DP，EQ，PQ，PH，DH．证明 EQ∥
DP，推出 DP∥平面 EBC，PH∥面 EBC，得到面 BCE∥面 DPH，即可证明 DH∥平面
BCE．
（2）法 1：以点 P 为原点，以 PA 为 x 轴，以 PB 为 y 轴，以 PD 为 z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，求出面 ABC 的法向量，面 EAC 的法向量，设二面角 E﹣AC﹣B 的平
面角为 θ，空间向量的数量积求解即可；
法 2：过 Q 点作 AC 垂线，垂足为 F，连接 EF．说明∠EFQ 为二面角 E﹣AC﹣B 的平
面角．通过求解三角形推出结果即可．
【解答】（1）证明：分别取 AC，BC 的中点 P，Q，连接 DP，EQ，PQ，PH，DH．
由平面 ACD⊥平面 ABC，且交于 AC，DP⊂平面 ACD，DP⊥AC 有 DP⊥面 ABC，
由平面 EBC⊥平面 ABC，且交于 BC，EQ⊂平面 BCE，EQ⊥BC 有 EQ⊥面 ABC
所以 EQ∥DP，
，所以 DP∥平面 EBC，
由 AP＝PC，AH＝HB 有 PH∥BC，
，所以 PH∥面 EBC，
，所以面 BCE∥面 DPH，
所以 DH∥平面 BCE
（2）解：法 1：以点 P 为原点，以 PA 为 x 轴，以 PB 为 y 轴，以 PD 为 z 轴，建立如图
所示空间直角坐标系由 EQ⊥面 ABC，所以面 ABC 的法向量可取 ＝（0，0，1），
点 A（1，0，0），点 C（﹣1，0，0），点 ， ，
，
设面 EAC 的法向量 ＝（x，y，z），所以 ，取 ＝（0，2，﹣1）
，
设 二 面 角 E ﹣ AC ﹣ B 的 平 面 角 为 θ ， 据 判 断 其 为 锐 角 .
，
法 2：过 Q 点作 AC 垂线，垂足为 F，连接 EF．
由（1）问可知 EQ⊥AC，又因为 QP⊥AC，所以 AC⊥平面 EFQ，则有 AC⊥EF．
所以∠EFQ 为二面角 E﹣AC﹣B 的平面角．
由题可知 ，所以 ，则 ，
所以， ．
19．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在
全公司范围内举行一次乙肝普查为此需要抽验 669 人的血样进行化验，由于人数较多，
检疫部门]制定了下列两种可供选择的方案．
方案一：将每个人的血分别化验，这时需要验 669 次．
方案二：按 k 个人一组进行随机分组，把从每组 k 个人抽来的血混合在一起进行检验，
如果每个人的血均为阴性则验出的结果呈阴性，这 k 个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验 次）：否则，若呈阳性，则需对这 k+1 个人的血样再分别进行一次
化验，这时该组 k 个人的血总共需要化验 k+1 次．假设此次普查中每个人的血样化验呈
阳性的概率为 p，且这些人之间的试验反应相互独立．
（1）设方案二中，某组 k 个人中每个人的血化验次数为 X，求 X 的分布列
（2）设 p＝0.1，试比较方案二中，k 分别取 2，3，4 时，各需化验的平均总次数；并指
出在这三种分组情况下，相比方案一，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果
四舍五入保留整数）
【分析】（1）根据题意，某组 k 个人中每个人的血化验次数为 X＝ ，每个人
的血样化验呈阳性的概率为 p，则呈阳性的概率 q＝1﹣p，求出概率，写出分布列即可；
（ 2 ） 根 据 （ 1 ） 可 得 方 案 二 的 数 学 期 望 E （ X ） ＝
，p＝0.1，求出 k＝2，3，4 时化验的
平均次数，求出化验次数最少的情况，与方案一对比，得出结论．
解：（1）根据题意，每个人的血样化验呈阳性的概率为 p，则呈阳性的概率 q＝1﹣p，
所以 k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为（1﹣p）k，呈阳性反应的概率为 1﹣（1﹣p）
k，
故 X＝ ，
P（X＝ ）＝（1﹣p）k，P（X＝ ）＝1﹣（1﹣p）k，
故 X 的分布列为：
X
P
（1﹣p）k
1﹣
（1﹣p）k
（ 2 ） 根 据 （ 1 ） 可 得 方 案 二 的 数 学 期 望 E （ X ） ＝
，p＝0.1，
当 k＝2 时，E（X）＝ ，此时 669 人需要化验总次数为 462 次；
当 k＝3 时，E（X）＝ ，此时 669 人需要化验总次数为 404 次；当 k＝4 时，E（X）＝ ，此时 669 人需要化验总次数为 397 次；
故 k＝4 时，化验次数最少，
根据方案一，化验次数为 669 次，
故当 k＝4 时，化验次数最多可以平均减少 669﹣397＝272 次．
20．已知抛物线 y2＝﹣2px（p＞0）的焦点为 F，x 轴上方的点 M（﹣2，m）在抛物线上，
且|MF|＝ ，直线 l 与抛物线交于 A，B 两点（点 A，B 与 M 不重合），设直线 MA，MB
的斜率分别为 k1，k2．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当 k1+k2＝﹣2 时，求证：直线 l 恒过定点并求出该定点的坐标．
【分析】（Ⅰ）利用抛物线的定义以及性质，列出方程求出 p，即可求抛物线的方程；
（Ⅱ）当 k1+k2＝﹣2 时，设出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理转化求解直线 l 恒
过定点并求出该定点的坐标．
解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以 ，
∴p＝1 抛物线的方程为 y2＝﹣2x；
（Ⅱ）证明：由（1）可知，点 M 的坐标为（﹣2，2）
当直线 l 斜率不存在时，此时 A，B 重合，舍去．
当直线 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝kx+b
设 A（x1，y1），B（x2，y2），
将 直 线 l 与 抛 物 线 联 立 得 ： k2x2+ （ 2kb+2 ） x+b2 ＝ 0 ，
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
又 ，
即（kx1+b﹣2）（x2+2）+（kx2+b﹣2）（x1+2）＝﹣2（x1+2）（x2+2）2kx1x2+2k（x1+x2
）+b（x1+x2）﹣2（x1+x2）+4b﹣8＝﹣2x1x2﹣4（x1+x2）﹣8
将①带入得，b2﹣b﹣2﹣2k（b+1）＝0
即（b+1）（b﹣2﹣2k）＝0
得 b＝﹣1 或 b＝2+2k．当 b＝﹣1 时，直线 l 为 y＝kx﹣1，此时直线恒过（0，﹣1）
当 b＝﹣2﹣2k 时，直线 l 为 y＝kx+2k+2＝k（x+2）+2，此时直线恒过（﹣2，2）（舍
去）
所以直线 l 恒过定点（0，﹣1）．
21．已知函数 f（x）＝lnx﹣aex+1（a∈R）．
（1）当 a＝1 时，讨论 f（x）极值点的个数；
（2）若函数 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围．
【分析】（1）将 a＝1 代入，求导得到 f′（x）在（0，+∞）上单调递减，则 f′（x）
在（ ，1）上存在唯一零点 x0，进而可判断出 x0 是 f（x）的极大值点，且是唯一极值
点；
（2）令 f（x）＝0，得到 a＝ ，则 y＝a 与 g（x）＝ 的图象在（0，+∞）
上有 2 个交点，利用导数，数形结合即可得到 a 的取值范围．
解：（1）当 a＝1 时，f（x）＝lnx﹣ex+1（x＞0），则 f′（x）＝ ﹣ex，
显然 f′（x）在（0，+∞）上单调递减，又 f′（ ）＝2﹣ ＞0，f′（1）＝1﹣e＜0
，
所以 f′（x）在（ ，1）上存在唯一零点 x0，
当 x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，当 x∈（x0，+∞）时，f′（x）＜0，
所以 x0 是 f（x）的极大值点，且是唯一极值点；
（2）令 f（x）＝0，a＝ ，令 y＝a，g（x）＝ ，则 y＝a 与 g（x）的图象
在（0，+∞）上有 2 个交点，
g′（x）＝ （x＞0），令 h（x）＝ ，则 h′（x）＝﹣ ﹣ ＜0，
所以 h（x）在（0，+∞）上单调递减，而 h（1）＝0，
故当 x∈（0，1）时，h（x）＞0，即 g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当 x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即 g′（x）＜0，g（x）单调递减，
故 g（x）max＝g（1）＝ ，
又 g（ ）＝0，当 x＞1 时，g（x）＞0，作出图象如图：由图可得：0＜a＜ ，
故 a 的取值范围是（0， ）．
（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分[选修 4 一 4：坐标系与参数方程]
22．以平面直角坐标系 xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立
极 坐 标 系 ， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 ， 曲 线 C 的 参 数 方 程 为
（θ 为参数）．
（1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；
（2）以曲线 C 上的动点 M 为圆心、r 为半径的圆恰与直线 l 相切，求 r 的最小值．
【分析】（1）由 ρsin（θ+ ）＝2，得 ρsinθ+ ρcosθ＝2，将 ρsinθ＝y，ρcosθ＝x
代 入 上 式 ， 得 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 为 x+ ﹣ 4 ＝ 0 ． 由 曲 线 C 的 参 数 方 程
（θ 为参数），得曲线 C 的普通方程为 + ＝1
（2）利用点到直线的距离以及三角函数性质可得．
解：（1）由 ρsin（θ+ ）＝2，得 ρsinθ+ ρcosθ＝2，
将 ρsinθ＝y，ρcosθ＝x 代入上式，得直线 l 的直角坐标方程为 x+ ﹣4＝0．
由曲线 C 的参数方程 （θ 为参数），得曲线 C 的普通方程为 + ＝1．
（2）设点 M 的坐标为（2cosθ， sinθ），则 点 M 到 直 线 l ： x+ ﹣ 4 ＝ 0 的 距 离 为 d ＝ ＝
，其中 tanφ＝ ．
当 d＝r 时，圆 M 与直线 l 相切，
故当 sin（θ+φ）＝1 时，取最小值，且 r 的最小值为 ．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x+1|+|2x﹣4|．
（1）求不等式 f（x）≤5 的解集；
（2）若函数 y＝f（x）图象的最低点为（m，n），正数 a，b 满足 ma+nb＝6，求
的取值范围．
【分析】（1）先将 f（x）写为分段函数的形式，然后根据 f（x）≤5 分别解不等式即可
；
（2）先求出 f（x）的最小值，然后根据 f（x）图象的最低点为（m，n），求出 m 和 n
的值，再利用基本不等式求出 的取值范围．
解：（1）f（x）＝|x+1|+|2x﹣4|＝ ，
∵f（x）≤5，∴ 或 或 ，
∴ 或 x∈[0.2）或 x∈∅，∴ ，
∴不等式的解集为 ．
（2）∵ ，∴当 x＝2 时，f（x）取得最小值 3．
∴函数 y＝f（x）的图象的最低点为（2，3），即 m＝2，n＝3．
∵ma+nb＝6，∴2a+3b＝6，∴ ，
∴ ，
当且仅当 ，即 a＝1， 时取等号，∴ ．
微信/支付宝扫码支付